2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1课件
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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)
-4-
§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用 待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥������������,n1⊥������������,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向 量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
2.4.1 空间向量与平行关系 课件(北师大选修2-1)
1 ①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－ )； 2 ②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)； ③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据
下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向
(
)
解析：当a· b＝0时，lπ或l∥π. 答案：D
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面π1、π2的 法向量分别为n1，n2，若a＝n1＝(1，－2，－2)，b＝n2 ＝(－2，－3,2)，试判断l1与l2，π1与π2，l1与π2间的位置 关系．
解：∵a· b＝n1·2＝a·2 n n
AC 的中点，所以 OB⊥AC，OA＝OB＝OC， 如图，建立空间直角坐标系，设 OA＝a， 则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(－a,0,0)， P(0,0，
a a a)，D－2，0，2，
a a 所以 OD ＝－2，0，2.
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)．
SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：
MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角 坐标系，则根据题意得
4 M 3，0，3 ，
2 N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，3.
2 2 ∴ MN ＝－3，2，3， RS ＝－3，2，3， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS .
一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据
下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向
(
)
解析：当a· b＝0时，lπ或l∥π. 答案：D
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面π1、π2的 法向量分别为n1，n2，若a＝n1＝(1，－2，－2)，b＝n2 ＝(－2，－3,2)，试判断l1与l2，π1与π2，l1与π2间的位置 关系．
解：∵a· b＝n1·2＝a·2 n n
AC 的中点，所以 OB⊥AC，OA＝OB＝OC， 如图，建立空间直角坐标系，设 OA＝a， 则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(－a,0,0)， P(0,0，
a a a)，D－2，0，2，
a a 所以 OD ＝－2，0，2.
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)．
SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：
MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角 坐标系，则根据题意得
4 M 3，0，3 ，
2 N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，3.
2 2 ∴ MN ＝－3，2，3， RS ＝－3，2，3， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS .
一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平
高中数学 用向量讨论垂直与平行参考课件 北师大版选修21
0
0
第四页，共18页。
二、新课
（一）用向量处理平行 (píngxíng)问题
（二）用向量(xiàngliàng)处 理垂直问题
第五页，共18页。
（一）用向量处理(chǔlǐ)平行问
题例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上, F M
B
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
线（关线1系）平平行行(p(pílní/ng/gxmíxníngg) )a
//
b
a
b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
u 0
v
第三页，共18页。
设直线l，m的方向向量分别为a， b， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
线线关面（面系线面2垂垂）垂直直垂直((直cchhl(lucuíhzízuhmhííz)í)hí) aau// ubvaaubvu
（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形 问题）
第二页，共18页。
2、平行与垂直关系(guān xì)的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a， b， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
第十五页，共18页。
三、小结(xiǎojié)
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来(qǐ lái)使用。
第十六页，共18页。
(zuòyè)
用向量讨论垂直与平行(2)(北师大版选修2-1)PPT课件
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21
探究二
探究三
思维辨析
利用向量方法证明空间中的平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为
BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
思维点拨:画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决,但
不如用向量法处理直接简单,因此本题可以通过建立空间直角坐标
∴=(1,-2,-4), =(2,-4,-3).设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z),依题
-2-4 = 0,
解得 z=0,且 x=2y.令
2-4-3 = 0,
y=1,则 x=2.故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
意,应有 n·=0,且 n· =0,即
探究一
一
二
三
思考辨析
一、空间中的垂直关系
1.线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平
面垂直.
2.面面垂直判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.
3.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投
影,则这两条直线垂直.
4.三垂线定理的逆定理
设平面HMN的法向量为n=(x2,y2,z2),
则 n· =(x2,y2,z2)·(0,-1,1)=-y2+z2=0,
n·=(x2,y2,z2)·(1,1,0)=x2+y2=0,
从而得x2=-y2=-z2,设x2=-1,则n=(-1,1,1),
∴m∥n,∴平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
∴ =(0,-1,1),=(1,1,0),
最新北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
一
二
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
一
二
思考 2 如何利用向量知识判断直线、平面的平行?
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), 依题意,应有 n·������������=0,且 n·������������=0,
即 ������-2������-4������ = 0, 解得 z=0,且 x=2y. 2������-4������-3������ = 0,
探究一
探究二
探究三
利用向量方法证明空间中的平行关系
1.线线平行 设直线 l1,l2 的方向向量分别是 a,b,若要证 l1∥l2,只需证 a∥b,即 a=λb(b≠0). 2.线面平行 (1)设直线 l 的方向向量是 a,平面的法向量是 u,若要证 l∥α,只需证 a⊥u,即 a·u=0. (2)根据线面平行的判定定理. (3)根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内 两个不共线向量线性表示即可. 3.面面平行 (1)根据面面平行的判定定理. (2)若能求出平面 α,β 的法向量 u,v,则要证明 α∥β,只需证明 u∥v 即可.
令 y=1,则 x=2. 故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
点评用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共
北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共 线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面 的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共 线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行 有两个途径：利用面面平行的 判定定理，即证明一个平面内 的两个不共线向量都平行于另 一个平面；证明两个平面的法 向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱 长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，
2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
【解析】系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、解答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
【解析】系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、解答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
α
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
2.4.用向量法求平行和垂直
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
a
l
b
m
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
u
a
C
A
B
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
② a∥AC ③ a x AB y AD
2.4用向量法讨论平行和垂直Fra bibliotek北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行或重合
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
α
v
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
β
u
u
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系： (1) l / /m a / /b a b ；
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
β
u
u
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a
b
m
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② a∥AC ③ a x AB y AD
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
α
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
2.4.用向量法求平行和垂直
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
a
l
b
m
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
u
a
C
A
B
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(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
② a∥AC ③ a x AB y AD
2.4用向量法讨论平行和垂直Fra bibliotek北师大 版高中 数学选 修2-1课 件
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
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2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行或重合
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线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
α
v
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β
u
u
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系： (1) l / /m a / /b a b ；
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
β
u
u
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a
b
m
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② a∥AC ③ a x AB y AD
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
α
v
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