全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师11(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)第十一单元数列综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{a n}为等比数列,且a3a9=2a52,a2=2,则a1等于A.±√2B.√2C.-√2D.2解析:a3a9=a62=2a52,q=a6a5=±√2,故a1=a2q=±√2.答案:A2.在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a n=a2+a3+a6+a8,则n等于A.15B.16C.17D.18解析:a n=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故a n为等差数列{a n}的第16项,∴n=16.故选B.答案:B3.若等差数列{a n}满足递推关系a n+1=-a n+n,则a5等于A.92B.94C.114D.134解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=9 4 .答案:B4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于A.4B.3C.2D.8解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q=a2014a2013=4.答案:A5.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+bn+c,若a n+1<a n对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是A.b>0B.b≥-1C.b≤3D.b<3解析:∵a n+1<a n恒成立,∴a n+1-a n=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.答案:D6.已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 11>0,则f(a 9)+f(a 11)+f(a 13)的值A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(a 11)>f(0)=0,a 9+a 13=2a 11>0,a 9>-a 13, 所以有f(a 9)>f(-a 13)=-f(a 13),f(a 9)+f(a 13)>0,故选A. 答案:A 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,2a m-1+2a m+1-a m 2-4=0,S 2m-1=38,则m等于A.7B.8C.9D.10解析:∵a m-1+a m+1=2a m ,∴2a m-1+2a m+1-a m 2-4=4a m -a m 2-4=0,∴a m =2.故S 2m-1=(a 1+a 2m -1)(2m -1)2=2a m (2m -1)2=2(2m-1)=38.∴m=10. 答案:D8.若数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1+an 1-a n(n ∈N +),则该数列的前2014项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2014等于A.3B.1C.32D.23解析:易求得a 1=12,a 2=3,a 3=-2,a 4=-13,a 5=12,…,这是一个周期为4的周期数列, 且每相邻四项a 1·a 2·a 3·a 4=1,故原式=12×3=32. 答案:C9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,若数列{1a n}的前n 项和为S n ,则S n 的取值范围为A.[0,1]B.(2,1)C.[12,1) D.[12,1]解析:依题意1a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=1-1n+1<1,∴当n=1时,S n 取最小值12,∴S n 值范围为[12,1).答案:C10.在数列{a n }中,对于任意的n ∈N +,都有a n+2-a n+1a n+1-a n=k(k为常数),则称{a n }为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为a n =a ·b n +c(a ≠0,b ≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.答案:B11.已知数列{a n }满足a 1=1,na n =(n+1)a n-1(n ≥2,且n ∈N +),则a n 2+14n取最小值的n 值为A.2B.3C.4D.5解析:∵na n =(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n ,∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=21·32·…·n+1n=n+1,即a n =n+1(n ≥2),∴a n 2+14n =n+15n +2,令f(x)=x+15x+2,∵f(x)在(0,√15)上单调递减,在(√15,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,a n 2+14n取最小值, ∵a 32+143=3+153+2=10,a 42+144=4+154+2=394,故当n=4时取最小值,故选C. 答案:C12.对任意x ∈R ,函数f(x)满足f(x+1)=√2f(x)-[f(x)]2+1,设a n =[f(n)]2-2f(n),数列{a n }的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于A.4B.3C.2D.1解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有a n+1+a n =-1. 前2013项和S 2013=1006·(-1)+a 2013=-1003,由此可得a 2013=3,a 2012=-4. 因而f(2013)=√-a 2012+1=3,故选B. 答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d= . 解析:由题意知{a 1+2d =4,3a 1+3×22×d =6,解得d=2. 答案:214.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 9=17S 7,且a 4,a 6为等比数列{b n }相邻的两项,则等比数列{b n }的公比q= .解析:∵a 3+a 9=17S 7,∴2a 6=17×7(a 1+a 7)2=a 4,∴q=12或2. 答案:12或215.数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则通项a n = .解析:由题可得a n+1+1=2(a n +1),∴a n+1+1a n +1=2,数列{a n +1}为等比数列,∴a n +1=2n-1(a 1+1)=2n ,故a n =2n -1.答案:2n -116.数列{a n }中,对任意的m,n,p ∈N +,当m+n=p 时,都有a m ·a n =a p ,若a 1=12,则a 10的值为 .解析:∵a m ·a n =a p ,∴a 12=a 2,a 1·a 2=a 3, a 1·a 3=a 4, …… a 1·a 9=a 10,累乘得a 110=a 10=(12)10=11024. 答案:11024三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110且a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列{a n }的通项公式.解析:因a 1,a 2,a 4成等比数列,故a 22=a 1a 4,而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d,a 4=a 1+3d,于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+3a 1d,化简得a 1=d.5分∵S 10=10a 1+10×92d=110,∴10a 1+45d=110. 又∵a 1=d,∴55d=110,∴d=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n.10分18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)图象过点(-12,-2),数列{a n },{b n }满足a 1=1,b 1=1,且对任意n ∈N +,均有a n+1=a nf(a n )f(an )+3,b n+1-b n =1a n .(1)求函数f(x)的解析式; (2)试求数列{a n },{b n }的通项公式.解析:(1)由题意可知(-12)a =-2,所以a=-1,故f(x)=1x(x ≠0).4分 (2)由(1)可得a n+1=11a n +3=a n 3a n +1,所以有1a n+1=1a n +3,故a n =13n -2. b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·n -1+12(n-1)-2n+2+1=3n 2-7n+62.12分19.(本小题满分12分)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且S n =13a n 2+12a n .(1)求a n ; (2)设√b n =34an +3(n ∈N +),且数列{b n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与14的大小.解析:(1)由已知可得a 1=13a 12+12a 1,a 1>0,所以a 1=32. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=13a n 2+12a n -(13a n -12+12a n-1) =13(a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-32)=0, 又a n >0,所以有a n -a n-1=32,数列{a n }为等差数列. 所以a n =32n.6分 (2)由(1)可知b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1<14n 2+4n <14(1n -1n+1), 所以有T n =b 1+b 2+…+b n <14[(11-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=14(1-1n+1)<14.12分 20.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4+a 5=64(1a 3+1a 4+1a 5).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1a n)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:(1)设公比为q,则a n =a 1q n-1,易知q ≠1.由已知得{a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64(1a 1q 2+1a 1q3+1a 1q4), 化简得{a 12q =2,a 12q 6=64.又a 1>0,故q=2,a 1=1,∴a n =2n-1.6分(2)由(1)知b n =(a n +1a n )2=a n 2+1a n2+2=4n-1+14n -1+2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+14n -1)+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n=13(4n -41-n )+2n+1.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y ∈R ,都有f(x ·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{a n }满足a n =f(2n )(n ∈N +),且a 1=2. (1) 试求数列{a n }的通项公式a n . (2)若b n =a nn(n+1)2,求数列{b n }的最小项.解析: (1)因为a 1=f(2)=2,令x=2n-1,y=2,则有f(2n )=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n +2[2n-2f(2)+2f(2n-2)]=2·2n +22f(2n-2)=2·2n +22[2n-3f(2)+2f(2n-3)]=3·2n +23f(2n-3)=…=(n-2)·2n +2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n ·2n ,7分 即a n =n ·2n . (2)由(1)可知b n =2n (n+1)2,令b n+1b n =2·[n+1n+2]2>1得n 2>2,n>√2, 即当n ≥2,n ∈N ,都有b 2<b 3<…<b n ,而b 1=12>b 2=49,故(b n )min =b 2=49.12分22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n(n ∈N +)项和为S n ,a 1=t,a 2=-1,点P n (a n ,S n ),若点P n (n=2,3,4,…)都在斜率为13的同一条直线上.(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列?(2)在满足(1)的条件下,设b n =λa n -n 2,若数列{b n }中,有b 1>b 2,b 3>b 4,…,b 2n-1>b 2n ,…成立,求实数λ的取值范围.解析:(1)∵点P n ,P n+1(n=2,3,4,…)都在斜率为13的直线上, ∴S n+1-S n a n+1-a n =13. 又∵S n+1-S n =a n+1, ∴a n+1=13(a n+1-a n ),整理得a n+1a n =-12(n ≥2). 又∵当n ∈N +时,数列{a n }是等比数列, ∴只需要a 2a 1=-1t=-12, ∴t=2.6分(2)由(1)得a n =2·(-12)n-1, ∵b n =λa n -n 2, ∴b n =2λ(-12)n-1-n 2,由b 2n-1>b 2n 得,2λ(-12)2n-2-(2n-1)2>b 2n =2λ(-12)2n-1-(2n)2, 即2λ(-12)2n-2[1-(-12)]>(2n-1)2-(2n)2,∴λ>-(4n -1)·4n12, ∵-(4n -1)·4n 12单调递减, ∴当n=1时,-(4n -1)·4n12取最大值为-1, ∴λ>-1.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(五)第五单元函数的综合应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x,映射到集合N 中为2x,则a+b等于A.-2B.0C.2D.±2解析:由于M中元素1能对应a,能对应0,所以=0,a=2,所以b=0,a=2,因此a+b=2.答案:C2.已知函数f(x)=--则f[f(-1)]等于A.B.2 C.1 D.-1解析:f[f(-1)]=f(1)=2.答案:B3.函数y=(a>1)的图象大致形状是解析:当x>0时,y=a x,因为a>1,所以是增函数,排除C、D,当x<0时,y=-a x,是减函数,所以排除A.答案:B4.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m(m为常数),则f(-2)等于A.-B.-1C.1D.3解析:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,所以当x≥0时,函数f(x)=2x-2x-1,所以f(-2)=-f(2)=-(4-4-1)=1.答案:C5.记min{a,b}为a,b两个数的较小者,max{a,b}为a,b两个数的较大者,f(x)=-则--·-的值为A.min{a,b}B.max{a,b}C.bD.a--=b.解析:(1)若a>b,则a-b>0,∴f(a-b)=1.∴原式=(2)若a<b,a-b<0,∴f(a-b)=-1.∴原式==a.--·-=min{a,b}.所以答案:A6.已知f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.5解析:求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得的最大值和最小值是相同的,由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,所以f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.答案:B7.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数.若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析:∵f(x)为[-1,0]上的减函数,且f(x)为R上的偶函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数,又f(x)是以2为周期的函数,∴f(x)在[2,3]上的单调性与[0,1]上相同,即递增.答案:A8.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为A.(-,)B.(,π)C.(-,)∪(,π)D.(-,0)∪(,π)解析:<0⇒f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知当x∈(0,π)时,两者异号的区间为(,π),又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴它们在[-π,0]上的图象大致为如图所示,可知其异号的区间为(-,0),∴<0的解集为(-,0)∪(,π).答案:D9.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是A.[-2,-1]B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-1,1)解析:由题可知---即---得∴f'(x)=3x2+6x,令f'(x)≤0,得-2≤x≤0,∵f(x)在区间[t,t+1]上递减,∴-得-2≤t≤-1.答案:A10.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1.则方程f(x)=log4|x|在区间[-4,4]内的解的个数是A.9B.6C.5D.4解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(4)=2f(2)=4f(0)=4,又log44<2,∴当0≤x≤4时,作出草图可知f(x)=log4|x|有3个解,又f(-2)=f(0)==log4|-2|,∴作出草图可知当-4≤x<0时,f(x)=log4|x|有2个解,∴在[-4,4]内解的个数是5个.答案:C11.2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了,但它对日本的核电站的破坏却是持续的,其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中,假设近似满足:其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)等于A.5太贝克B.72ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克解析:因为铯137含量的变化率为M'(t)=-M0-ln2,所以当t=30时,M'(30)=-M0-ln2=-ln2=-10ln2,所以M0=600,可解得M(60)=150.答案:D12.已知函数f(x)=ln x++ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是A.(-∞,-]B.(-∞,-]∪[0,+∞)C.(-∞,0)∪[,+∞]D.(-∞,0)∪(,+∞)-,解析:f'(x)=-+a=当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f'(x)>0,符合要求.当a<0时,令g(x)=ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零,解得a≤-,故Δ=1+4a≤0或-∴a的取值范围是(-∞,-]∪[0,+∞).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=log0.1|x-1|的定义域是.解析:∵|x-1|>0,∴x∈R且x≠1.答案:{x|x∈R且x≠1}14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(2014)=.解析:由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.所以f(2014)=f(671×3+1)=f(1)=f(3-2)=f(-2)=f(2)=1.答案:115.若lg x+lg y=0,则2x·2y的最小值是.解析:lg xy=0,xy=1,x+y≥2=2,2x·2y=2x+y≥22=4.答案:416.抛物线y2=3x与圆x2+y2=4围成的封闭图形的面积是.解析:得或-如图,则抛物线y2=3x与AB围成的图形面积是S=2dx=2×=因为A的坐标是A(1,),所以∠AOx=,劣弧AB与弦AB围成的面积是π·22-×2=π-,所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π-=π+.答案:π+三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知f(+1)=x+2,求f(x),f(x+1),f(x2);(2)已知2f(x)+f()=10x,求f(x).解析:(1)设t=+1≥1,则=t-1(t≥1),x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1),∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0),∴f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1).5分(2)由2f(x)+f()=10x,用代换x,则2f()+f(x)=1,两式联立消去f()得f(x)=×10x-×1.10分18.(本小题满分12分)某段高速公路全长240公里,两端收费站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口,经预算,修建一个安全出口的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间道路费用为x2+x万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个安全出口才能使y最小,其最小值为多少万元?解析:(1)设需要修建k个安全出口,则(k+1)x=240,即k=-1.所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(-1)+(x2+x)=+240x-160.因为x表示相邻两安全出口之间的距离,则0<x≤240.故y与x的函数关系是y=+240x-160(0<x≤240).6分(2)y=+240x-160≥2-160=9440.当且仅当=240x即x=20时取等号,此时k=-1=-1=11.故需要修建11个安全出口才能使y最小,最小值为9440万元.12分19.(本小题满分12分)设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1,且当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.解析:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.3分(2)令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.6分(3)任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0f(x1)<f(x2).故f(x)是R上的增函数.∵f()=1,∴f()=f(+)=f()+f()=2,∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(),又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<,解之得x<-.故x∈(-∞,-).12分20.(本小题满分12分)函数f(x)的图象是[-2,2]上连续不断的曲线,且满足2014f(-x)=,且在[0,2]上是增函数,若f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数m的取值范围.解析:∵2014f(-x)=,即201-=2014-f(x),可得f(-x)=-f(x).又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数.由奇函数的性质可知,函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数f(x)在[0,2]上是单调递增的,所以函数f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.故由f(log2m)<f[log4(m+2)],可得--6分由-2≤log2m≤2,解得≤m≤4.由-2≤log4(m+2)≤2,解得≤m+2≤16,即-≤m≤14.由log2m<log4(m+2),得log4m2<log4(m+2),故有解得0<m<2.综上所述,m的取值范围为[,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a+)ln x+-x(a>1).(1)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求证x1+x2>.解析:(1)由已知x>0,f'(x)=--1=--=---.由f'(x)=0,得x1=,x2=a.因为a>1,所以0<<1,且a>.所以在区间(0,)上,f'(x)<0;在区间(,1)上,f'(x)>0.故f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增.6分(2)由题意可得,当a∈[3,+∞)时,f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0且x1≠x2).即--1=--1,所以a+=+=,a∈[3,+∞).因为x1,x2>0且x1≠x2,所以x1x2<()2恒成立,所以>,又x1+x2>0,所以a+=>,整理得x1+x2>.令g(a)=,因为a∈[3,+∞),所以g(a)在[3,+∞)上单调递减,所以g(a)=在[3,+∞)上的最大值为g(3)=,所以x1+x2>.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ax(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)≥x+b恒成立,求(a+1)b的最大值.解析:(1)f'(x)=e x-a,显然,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)不存在极值.当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=ln a时,函数f(x)取得极小值,f(ln a)=a-aln a.4分(2)f(x)≥x+b恒成立,即e x-ax≥x+b,得e x-(a+1)x≥b.(i)若a+1<0,对任意实数b,x<0时,因为e x<1,-,所以e x-(a+1)x<1-(a+1)x,令1-(a+1)x<b,得x<因此,a+1<0,f(x)≥x+b不恒成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1),当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0,当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增,故g(x)有最小值,g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1),所以f(x)≥x+b恒成立等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1),因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),10分设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)),所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值h(-1)=,从而h(a)≤,即(a+1)b≤,所以(a+1)b的最大值是.12分。
全国100所名校单元测试示范卷高三数学
全国100所名校单元测试示范卷高三数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = tan(x)D. y = e^x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 4}3. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)：A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，求ab的最大值：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/65. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (1, 0)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. -4C. -3D. 47. 根据题目所给的三角函数关系，求cos(α + β)的值：A. cosαcosβB. sinαsinβC. cosαsinβ - sinαcosβD. sinαcosβ + cosαsinβ8. 若a, b, c ∈ R，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值：A. 1B. 3/2C. 2D. 9/49. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x - 3|，求f(2)：A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。
答案：__________12. 若sinθ = 1/3，且θ为锐角，求cosθ的值。
答案：__________13. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求第5项b5。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列向量中与向量a=(2,3)垂直的是A.b=(-2,3)B.c=(2,-3)C.d=(3,-2)D.e=(-3,-2)解析:因为a·d=0,所以a⊥d.答案:C2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若b=7,c=3,cos C=,则B等于A.B. C. D.解析:∵cos C=,∴sin C=,又∵=,∴sin B===,又∵锐角△ABC,∴B=.答案:B3.已知两个平向量a、b的夹角为π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于A. B.1 C.2 D.2解析:|a-b|=-=-=.答案:A4.在△ABC中,边BC上的高AD=4,则(-)·的值等于A.0B.4C.8D.12解析:因为(-)·=·=0.答案:A5.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),若向量k a+b与向量c=(2,1)共线,则k等于A.-1B.1C.-2D.2解析:因为k a+b=(k-1,k),又因为向量k a+b与向量c=(2,1)共线,所以(k-1)×1=k×2,所以k=-1.答案:A6.以3、4、5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解析:各边分别增加x个单位后的三边分别为x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为-=>0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角三角形.答案:A7.某人向正东方向走了x km后,再向右转150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好km,那么x的值为A. B.或2C.或4D.2或4解析:设AB=x,BC=3,∠ABC=30°,AC=,则()2=x2+32-6xcos30°,∴x2-3x+6=0,∴x=或x=2.答案:B8.已知点A(1,5),B(3,9),O为坐标原点,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.2x+y-7=0B.2x-y+3=0C.x-2y+9=0D.x+2y-11=0解析:因为点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,所以点C的轨迹是直线AB,又因为直线AB的方程为2x-y+3=0.答案:B9.在△ABC中,若cos C=2sin Asin B-1,sin2A+sin2B=1,则此三角形为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵C=π-(A+B),∴-cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-1,∴sin Asin B+cos Acos B=1,∴cos(A-B)=1,又∵A,B∈(0,π),∴A-B=0,∴A=B.又sin2A+sin2B=1,∴A=B=,∴C=,所以△ABC是等腰直角三角形.答案:D10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若sin(A+)=1且=,则∠C等于A. B. C.或 D.或解析:因为sin(A+)=1,所以A+=,所以A=,又因为=,所以=,所以sin B=,所以B=或,所以C=或.答案:D11.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a2,b2,c2成等差数列,则角B的范围为A.(0,)B.(0,]C.[,)D.(,π)解析:若a2,b2,c2成等差,则b2=,∴cos B=-=-=≥=,当且仅当a=c时,“=”成立,又∵B∈(0,π),∴B∈(0,].答案:B12.已知O为坐标原点,平面向量=(1,3),=(3,5),=(1,2),且=k(k为实数).当·取得最小值时,点X的坐标是A.(4,2)B.(2,4)C.(6,3)D.(3,6)解析:设=(x,y),∵=k,∴=(k,2k),又=-,=(1,3),∴=(1-k,3-2k),同样=(3-k,5-2k).于是·=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5k2-20k+18=5(k-2)2-2,由二次函数得知识可知:当k=2时,·有最小值-2,此时点X的坐标是(2,4).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.海上有A、B、C三个小岛,在C岛上观测得A、B两岛相距2n mile,且∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B、C间的距离是n mile.解析:由正弦定理知=--,解得BC=.答案:14.在△ABC中,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积等于.解析:∵cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=bcsin A=6.答案:615.设两个平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算“☉”为:a☉b=(x1x2+y1y2,x1y2-y1x2).若m=(1,2),m☉n=(11,-6),则n=.解析:设n=(x,y),则m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),,).所以--解得即n=(答案:(,)16.已知向量=α,=β,α、β的夹角为,|α+β|=1,则△AOB面积的最大值是.解析:∵|α+β|=1,∴|α|2+|β|2+2|α||β|cos=1,∴|α|2+|β|2-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|,∴|α||β|≤1,∴S△AOB=|α||β|sin≤,∴当且仅当|α|=|β|时,△AOB取得最大面积.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4).(1)若c为单位向量,且a∥c,求c的坐标;(2)若|b|=且a-2b与2a-b垂直,求向量a,b夹角的余弦值.解析:(1)设c=(x,y),由a∥c和|c|=1可得:-∴或--∴c=(,)或c=(-,-).5分(2)∵(a-2b)·(2a-b)=0,即2|a|2-5a·b+2|b|2=0,又|a|=5,|b|=,∴a·b=12,∴向量a,b夹角的余弦值cos<a,b>=·=.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且x∈[0,].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|(0≤λ≤1)的最小值是-,求λ的值.解析:(1)a·b=cos cos+sin(-sin)=cos2x,|a+b|=-==2|cos x|.∵x∈[0,],∴|a+b|=2cos x.6分(2)f(x)=cos2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1=2(cos x-λ)2-2λ2-1,∵x∈[0,],∴cos x∈[0,1].9分∵λ∈[0,1],cos x=λ,f(x)min=-2λ2-1,∴-2λ2-1=-,∴λ=;∴λ=.12分19.(本小题满分12分)有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下:“在△ABC中,已知a=,,2cos2()=(-1)cos B,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,该题的答案A=60°是唯一确定的,试将条件补充完整,并说明理由.解析:因为2cos2()=(-1)cos B,所以1+cos(A+C)=(-1)cos B,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.3分对正弦值分以下两种情况对论.情况1:因为A=60°,且=,所以b=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且a>b,所以A=60°或者A=120°,这与已知角A的解为唯一解矛盾.8分情况2:因为B=,又A=60°,所以C=75°,=,所以c=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且c>a,所以A=60°.11分综上所述,破损处应填c=.12分20.(本小题满分12分)已知向量a=(sin,cos),b=(cos,cos),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及函数f(x)的值域.解析:(1)f(x)=a·b=sin cos+cos cos=sin+(1+cos)=sin+cos+=sin(+)+.3分令2kπ-≤+≤2kπ+,解得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ-,3kπ+](k∈Z).6分(2)∵b2=ac,cos x=-=-≥-=,8分∴≤cos x<1,0<x≤,∴<+≤,∴<sin(+)≤1,∴<sin(+)+≤1+即f(x)的值域为(,1+).综上所述,x∈(0,],f(x)的值域为(,1+].12分21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若∠C=π,a、b、c依次成等差数列,且公差为2.(1)求c;(2)如图,A',B'分别在射线CA,CB上运动,设∠A'B'C=θ,试用θ表示线段B'C的长,并求其范围.解析:(1)∵a、b、c成等差,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2.1分又∵cos C=-,∴-=-,∴-----=-,4分∴c2-9c+14=0,解得c=7或c=2,又∵c>4,∴c=7.6分(2)△A'B'C中,∠=∠=∠,∴=-=,∴B'C=sin(-θ),7分又∵θ∈(0,),∴0<-θ<,0<sin(-θ)<,∴0<sin(-θ)<7,∴线段B'C的范围为(0,7).12分22.(本小题满分12分)如图,为测量某巨型雕像AB的高度及取景点C与F之间的距离(B、C、D、F在同一水平面上,雕像垂直该水平面于点B,且B、C、D三点共线),某校研究性学习小组同学在C、D、F三点处测得顶点A的仰角分别为45°、30°、30°.若∠FCB=60°,CD=16(-1)米.(1)求雕像AB的高度;(2)求取景点C与F之间的距离.解析:(1)(法一)设AB=x米,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x米,,在Rt△ADB中,∵∠ADB=30°,∴tan30°=-∴x=16.6分(法二)设AB=x,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x,∴AC=x,在△ADC中,=-,∴=-,-∴x=16.6分(2)(法一)由(1)知BC=16米.在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,tan30°=,∴FB=16米.在△BCF中,设CF=y米,∵∠BCF=60°,∴由余弦定理BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos60°,(16)2=162+y2-2×16·ycos60°,∴y2-16y-512=0.(y+16)(y-32)=0,∴y1=32,y2=-16(负数舍去).12分(法二)在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,∴tan30°=,∴FB=16米,在△BCF中,∠=∠,∴∠BFC=30°或150°(150°舍去),∴在△CBF中,CF2=CB2+FB2=162+(16)2,∴CF=32(米).12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十三)第十三单元立体几何初步(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案:A2.如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为A.3∶2B.3∶1C.2∶1D.2∶1解析:设球的半径为r,则S圆柱∶S球=(2πr2+(2r)·2πr)∶4πr2=3∶2.答案:A3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥βB.a⊂α,a⊥βC.a⊂α,b⊂β,a⊥bD.a⊂α,b⊥α,b∥β解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.答案:B4.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内运动时,那么所有的动点CA.不共面B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A、B如何移动都共面解析:根据平行平面的性质,不论A、B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.答案:D5.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是解析:依次还原几何体,可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥,摆放的位置不同而已,而D和它们表示的不是同一个三棱锥.答案:D6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为A.B.1C.2D.4解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=×1×2×1=1.答案:B7.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F是AB的三等分点,G、H是CD的三等分点,M、N分别是BC、EH的中点,则四棱锥A1—FMGN的侧视图为解析:侧视图即为光线自物体的左侧向右侧投影所得的投影图,点A1、F、M、N的投影分别为点D1、G、C、H,故该物体的侧视图为选项C所示.答案:C8.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则A.a不和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥bD.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D9.设有一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.4+B.4+C.4+D.4+π解析:该三视图的实物图有三部分组成,上半部分为底面半径为1高为2的圆柱,下半部分由底面半径为1高为1的圆柱的一半及边长为2、2、1的长方体组合而成,故其体积为4+.答案:C10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.πa2B.πa2C.πa2D.5πa2解析:由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示.在Rt△AO1O中,AO1=×=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,S球=4πR2=4π×=.答案:B11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,2)C.(2,+∞)D.[2,4]解析:如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以>1,即a>2.答案:C12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四点不可能共面C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.一个棱台被平行于底面的平面所截,若上底底面面积、截面面积与下底底面面积之比为4∶9∶16,则此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为.解析:根据还台于锥的办法可得,此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为1∶1.答案:1∶114.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有(填序号).解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.答案:③15.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论:①PR与BQ是异面直线;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为的等边三角形.以上结论中正确的是.(写出所有正确结论的序号)解析:据图可知③④正确.答案:③④16.如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB且AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,则四棱锥D—ABCE的外接球的体积为.解析:因为平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形,所以四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D—ABCE的外接球的球心,在△ABC中,AB=7,BC=3,AC=5,∠ABC=,由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径为∠=∠=5,即得四棱锥D—ABCE的外接球的半径为,其体积为π.答案:π三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,AB=2,点D1、D分别是棱B1C1、BC的中点.(1)求证:A1D1⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面CA1D1.解析:(1)由已知得AA1⊥平面A1B1C1,∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1,又A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,∴A1D1⊥平面BB1C1C,5分(2)∵D1、D分别是棱B1C1、BC的中点,∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面AB1D.又ADD1A1为矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面AB1D.∵AD∩DB1=D,∴平面CA1D1∥平面ADB1.又AB1⊂平面AB1D,∴AB1∥平面CA1D1.10分18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P—EFG的体积.解析:(1)∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵ABCD为正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1,EF=CD=1,∴S△PEF=EF×PF=.∵GC=BC=1,∴V P—EFG=V G—PEF=S△PEF·GC=××1=.12分19.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解析:(1)∵多面体ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B⊂平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.以下证明之:易知EF∥C1,且EF=C1D,设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=C1D,所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE,OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小题满分12分)一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF 上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在边AD上是否存在一点P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接DB.可知B,N,D共线,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)当FG=GD时,在边AD上存在一点P,使得GP∥平面FMC,此时A,P重合.证明如下:取DC中点S,连接AS,GS,GA.因为G是DF的中点,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小题满分12分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A'—BCDE.(1)在棱A'B上找一点F,使EF∥平面A'CD;(2)求四棱锥A'—BCDE体积的最大值.解析:(1)F为棱A'B的中点.证明如下:取A'C的中点G,连结DG,EF,GF,则由中位线定理得DE∥BC,DE=BC,且GF∥BC,GF=BC,所以DE∥GF,DE=GF,从而四边形DEFG是平行四边形,EF∥DG.又EF⊄平面A'CD,DG⊂平面A'CD,故F为棱A'B的中点时,EF∥平面A'CD.6分(2)在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H,⇒DE⊥平面A'CD⇒A'H⊥DE.又DE∩CD=D,∴A'H⊥底面BCDE,即A'H就是四棱锥A'—BCDE的高.由A'H≤AD知,点H和D重合时,四棱锥A'—BCDE的体积取最大值.此时V四棱锥A'—BCDE=S梯形BCDE·AD=×(a+2a)a·a=a3,故四棱锥A'—BCDE体积的最大值为a3.12分22.(本小题满分12分)一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.(1)求证:GH∥平面ACF;(2)当平面ACE⊥平面ACF时,求DE的长.解析:(1)如图,连结AC.在△ACE中,∵G,H分别为AE,CE中点,∴GH∥AC,又AC⊂平面ACF,且GH⊄平面ACF.所以GH∥平面ACF.5分(2)如图,连结DB,交AC于O,连结EO,FO,∵ABCD是正方形,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,∴Rt△ADE≌Rt△CDE,得AE=CE,EO⊥AC,∵EO⊂平面ACE,AC⊂平面ACF,AC∩OF=O,∴只要EO⊥FO,就有平面ACE⊥平面ACF,设DE的长为x,在Rt△ODE中,OE2=x2+a2,在Rt△OBF中,OF2=a2+a2=a2,EF2=2a2+(a-x)2,EF2=OE2+OF2,解得x=a,即平面ACE⊥平面ACF时,DE的长为a.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师16（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼗六)第⼗六单元圆锥曲线⽅程(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为A.1B.2C.3D.4解析:圆的⽅程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2.答案:B2.若椭圆+y2=1(a>1)的离⼼率为,则该椭圆的长轴长为A. B. C. D.或解析:由题意可得-=,解之得a=,则椭圆的长轴长为.答案:A3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于A.4B.6C.8D.10解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6.答案:B4.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上⼀点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离⼼率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为A.B.1 C. D.2解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得则则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为a-c=2-1=1.答案:B5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜⾓为45°,则该抛物线的焦点坐标为A.(0,1)B.(0,)C.(0,-1)D.(0,-)解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线⽅程为x2=2y,焦点坐标为(0,).答案:B6.已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上⼀点,F是双曲线的右焦点,若|PF|的最⼩值为a,则该双曲线的离⼼率为A. B. C. D.解析:双曲线的渐近线⽅程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最⼩值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e==.答案:C7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,若·=-,则△AOB的⾯积为A.4B.2C.1D.解析:直线AB的⽅程为x=,代⼊抛物线⽅程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则·=-p2=-,故p=1,则△AOB的⾯积为··2p==.答案:D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)左⽀上⼀点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为8,且双曲线⼀条渐近线的倾斜⾓为60°,则该双曲线的⽅程为A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜⾓为60°可知⼀条渐近线的斜率为=,故b=2,双曲线的⽅程为-=1.答案:D9.在直⾓坐标系中,把双曲线C1:-y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:①C1与C2的离⼼率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线⽅程相同;④C1与C2的实轴长相等.其中正确的说法有A.①②B.②③C.①④D.③④解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,⽅程为-x2=1,渐近线⽅程为y=±x,与C1的渐近线⽅程不同,显然正确的选项只有①④.答案:C10.如图,已知椭圆+=1内有⼀点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M为椭圆上的动点,则||+||的最⼩值为A.4B.6C.4D.6解析:||+||=2a-(||-||)≥2a-||=8-2=6,当且仅当M,F2,B共线时取得最⼩值6.答案:B11.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的⼀点,且满⾜∠F1PF2=90°,则△PF1F2的⾯积为A.4B.3C.2D.1解析:由条件可得-=2a,由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2,故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的⾯积为|PF1|·|PF2|=b2=1.答案:D12.已知抛物线y2=2px(p>0)上⼀点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作倾斜⾓为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则·等于A.-B.-C.D.解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代⼊抛物线⽅程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的⽅程为y=x-,则直线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则·=(-,-1)·(,0)=-.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若直线l的⽅程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆+=1的交点个数为.解析:由题意得直线l的⽅程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),⼜+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:214.2013年国家加⼤了对环境污染监测⼒度,为此某市环保部门在市⾥的⼀条污⽔河的桥孔处进⾏了隔离封闭改造,桥孔的横断⾯为抛物线形(如下图所⽰),已知⽔⾯在l时,拱顶离⽔⾯2⽶,⽔⾯宽4⽶,则⽔上升0.5⽶后,⽔⾯宽变为⽶.解析:建⽴如图所⽰的直⾓坐标系,则抛物线⽅程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=±,所以⽔⾯宽度为2⽶.答案:215.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且⼀个焦点到其中⼀条渐近线的距离为,则双曲线C的离⼼率为.解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线⽅程为-=1(a>0,b>0),则渐近线⽅程为y=±x,即ax±by=0,则=,故a2=b2,⽽a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离⼼率为.答案:16.已知直线x=2与椭圆C:+=1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若=a+b(a,b∈R),则ab的最⼤值是.解析:联⽴x=2与+=1,解得E1(2,),E2(2,-),∴=a+b=(2a+2b,a-b),∴P(2a+2b,a-b),∵点P在椭圆C上,∴+-=1,∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最⼤值是1.答案:1三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)椭圆的中⼼在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的⼀个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三⾓形的周长是8+4,且∠BF1F2=.(1)求椭圆的标准⽅程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.解析:(1)设椭圆+=1(a>b>0),焦距为2c,由条件可得2a+2c=8+4,所以a+c=4+2.⼜∠BF1F2=,所以=,故所以b=2,所以椭圆⽅程为+=1.5分(2)由可得5x2+8x-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=·-=.10分18.(本⼩题满分12分)为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截⾯,如图.已知探照灯的轴截⾯图是抛物线y2=2px(p>0)的⼀部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上.(1)求该抛物线的⽅程;(2)若⼀束平⾏于x轴的直线⼊射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平⾏光线,试确定点P的位置使得从⼊射点P到反射点Q的路程最短.解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0),故抛物线焦点F(1,0),抛物线⽅程为y2=4x.5分(x-1).(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),⼜PQ过焦点可得PQ的⽅程为y=解得y=a或y=-,故点Q(,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=++2≥2+2=4,当且仅当a=±2时,取等号,故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从⼊射点P到反射点Q的路程最短为4.12分19.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离⼼率为,椭圆上的点到焦点的最近距离为,其左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合.(1)求椭圆及抛物线的⽅程;(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线⽅程.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离⼼率可得=-=,故a=2c,b2=a2.⼜由条件可知a-c=,故a=2,c=,b2=×12=9,故椭圆的⽅程为+=1.则F1(-,0),F2(,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2(,0),即=,故抛物线的⽅程为y2=4x.6分(2)设过F1的切线⽅程为y=k(x+),由可得k2x2+(2k2-4)x+3k2=0,则Δ=(2k2-4)2-12k4=0,解得k=1或-1,故抛物线的两条切线的⽅程分别为y=x+与y=-x-.12分20.(本⼩题满分12分)平⾯直⾓坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满⾜=α+β,其中α、β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹⽅程;(2)设点C的轨迹与双曲线-=1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求-的值.解析:(1)设C(x,y),因为=α+β,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),∴-∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹⽅程是x+y=1.6分(2)由-得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=--,x1x2=--.∵以MN为直径的圆过原点,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+--∴b2-a2-2a2b2=0,∴-=2.12分21.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意⼀点,|PF1|·|PF2|的最⼤值为4,且椭圆C的离⼼率是双曲线-=1的离⼼率的倒数.(1)求椭圆C的标准⽅程;(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM 为菱形,求此菱形⾯积.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最⼤值a2,故a2=4,则a=2.⽽双曲线-=1的离⼼率为=,故椭圆的离⼼率为,即=,故c=,所以b=1,所以椭圆的标准⽅程为+y2=1.6分(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分,所以可设A(1,m),代⼊椭圆⽅程得+m2=1,即m=±,所以菱形OABM⾯积为|OB||AM|=×2×=.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正⽅形,且该正⽅形的内切圆⽅程为x2+y2=2.(1)求椭圆C的⽅程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的⼀个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的⾯积的最⼤值.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.连接⼀个短轴端点与⼀个焦点的直线⽅程可以是+=1,即x+y-b=0.由直线与圆相切可得=,故b=2,则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的⽅程为+=1.6分(2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0),故p=4,抛物线E的⽅程为y2=8x.由可得x2+(2m-8)x+m2=0,由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成⽴.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.则|AB|=-=--=8-.⼜点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=,故△FAB的⾯积为S=d·|AB|=2--.令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,故m=时,f(m)取最⼤值,则△FAB的⾯积的最⼤值为.12分。
《全国100所名校单元测试示范卷》高三语文一轮复习备考 专题十一、古典诗词鉴赏二(教师用卷)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·语文卷(十一)古典诗词鉴赏(二)1.阅读下面这首词,然后回答问题。
临江仙元好问①今古北邙山②下路,黄尘老尽英雄。
人生长恨水长东。
幽怀谁共怀?远目送归鸿。
盖世功名将底用?从前错怨天公。
浩歌一曲酒千钟。
男儿行处是,未要论穷通。
①元好问(1190—1257),字裕之,号遗山,太原秀容(今山西忻州)人。
②北邙山,在河南洛阳县北。
古代王侯公卿多葬此山。
(1)“人生长恨水长东”一句是借用李煜的名句“自是人生长恨水长东”,但又翻出了新意,结合诗歌内容,说说这句诗的含意。
答:(2)作者说“从前错怨天公”?作者为什么要怨“天公”?又为什么说是“错怨”?答:答案:(1)元好问借用此句,感叹昔日那些曾咤叱风云,盛极一时的英雄人物,如今却都默默地长眠地下,烟消云散,无数功勋也都化作汩汩东流水。
(2)以前怨“天公”是因为作者感到怀才不遇,埋怨命运太不公平,没有给自己创造机会去建功立业,创就盖世功名。
如今作者看到那些默默长眠于北邙山下的孤魂,当年也曾有过辉煌的业绩,到头来还不是一样归于黄土一抔,因而发出“错怨”的感叹。
2.阅读下面这首元曲,然后回答问题。
人月圆·春晚次韵张可久萋萋芳草春云乱,愁在夕阳中,短亭别酒,平湖画舫,垂柳骄骢。
一声啼鸟,一番夜雨,一阵东风。
桃花吹尽,佳人何在,门掩残红。
(1)“短亭”“画舫”“垂柳”等意象在曲中有什么作用?答:(2)“一声啼鸟,一番夜雨,一阵东风”这三句在表达上有什么效果?答:答案:(1)“短亭”“画舫”“垂柳”等意象是对过去送别情景的回忆。
那时举杯送行,依依惜别,水陆分途,各奔前程,而亭、船、柳历历在目,以此表明思念之深。
(2)这三句既是写景,又是抒情,情景交融;同时使用反复的手法,把作者的感情推向高潮;这三句还使诗歌意境深化,啼鸟声打断了作者的沉思,使他从迷惘中回到现实,而春晚的风雨,也是分别以后所经历的人生波折的写照。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师21(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)第二十一单元高中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0<x<2},则M∩N等于A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<2}解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1<x<3},N={x|0<x<2},那么M∩N={x|1<x<3}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析:a<0,b>1,0<c<1,故选B.答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所示,阴影部分为正方形,面积为4,而圆C的面积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的一条对称轴方程为x=,则以a=(m,n)为方向向量的直线的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜角α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,所以<a<.答案:C8.如图是一个几何体的三视图,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底面是一个等腰直角三角形,高为2的三棱锥,可求得球半径R=,表面积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:∀x∈R,x+≥2,q:∃x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件C.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成立解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三角形大角对大边,所以a>b⇔A>B⇔cos A<cos B,故B正确;对于C项,p:存在x∈R,使x2-x+1≤0,故C错;对于D项,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而∈[-,],故D错.答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满足-,则的最大值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求目标函数z=2x+y的最大值,作出x,y的可行域,可得当x=3,y=10时,z有最大值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为自然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为自然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平行线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线方程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所示的程序框图,若输入的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m<ln-.答案:(-∞,ln-)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本小题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最大值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,又bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进行试卷分析,求这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班人数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法一)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法二)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本小题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥面ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB.又PB⊂面PQB,∴PB⊥AD.又PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,又AM∩AD=A,∴PB⊥面ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.又BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共面,又CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使方程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成立,则g(x0)的值必须包含[0,].又g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本小题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4.(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC 面积的最大值.解析:(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的方程为+y2=1.4分(2)(法一)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的方程y=n(x-3)(n>0),则AC的方程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC面积的最大值为.12分(法二)显然直线l与x轴不平行,不妨设直线l的方程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代入上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0<t≤,则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最大值.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(三)第三单元指数函数、对数函数、幂函数(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是A.y=x5B.y=5xC.y=log2xD.y=x-1解析:B、C不具有奇偶性,D不具有单调性.答案:A2.设函数f(x)=则f(f(16))的值是A.9B.C.81D.解析:因为f(16)=lo16=-4,所以f(f(16))=f(-4)=3-4=.答案:D3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log3f()的值为A.B.- C.2 D.-2解析:设幂函数为y=xα,则=()α,所以α=,所以y=,所以log3(=log33-2=-2.答案:D4.函数y=(-的值域为A.(-∞,27]B.(0,27]C.[27,+∞)D.(-27,27)解析:令u=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,因为y=()x是减函数,所以0<y≤27.答案:B5.设a=lo6,b=()0.2,c=,则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:由指、对函数的性质可知:a=lo6<lo1=0,0<b=()0.2<1,c=>50=1,所以a<b<c.答案:A6.函数f(x)=|lo(3-x)|的单调递减区间是A.(-∞,2]B.(2,3)C.(-∞,3)D.[3,+∞)解析:因为f(x)=---而f(x)=-lo(3-x)在(-∞,2]上单调递减.答案:A7.设函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(2,10),其反函数的图象过点(4,1),则a-b等于A.5B.3C.2D.-1解析:由题意知解得a=3或a=-2(舍),b=1,所以a-b=2.答案:C8.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律,设2012年的耕地面积为m,则2017年的耕地面积为A.(1-0.1250)mB.0.mC.0.9250mD.(1-0.)m解析:设每年耕地减少的百分率为a,则有(1-a)50=1-10%,所以a=1-0.,则从2012年起,过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x=0.m.当x=5时,y=0.m.答案:B9.已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=ln-,则函数f(x)的大致图象为解析:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=ln=-ln(1+x),所以f(x)=ln(1+x),其图象是将f(x)=ln x的图象向左平移一个单位,由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故选D.答案:D10.已知函数f(x)=()x-,那么函数f(x)零点所在的区间可以是A.(-1,0)B.(0,)C.(,)D.(,1)解析:因为f(-1)=()-1-(-1=4+1=5>0,f(0)=()0-=1>0,f(1)=-1<0,f()=(-(<0,f()=(-(>0,所以f()·f()<0,故选C.答案:C11.定义一种运算(a,b)*(c,d)=ac+bd,若函数f(x)=(1,log5x)*(()x,log2),x0是方程f(x)=0的解,且x1>x0,则f(x1)的值A.恒为正值B.等于零C.恒为负值D.不小于0解析:由定义f(x)=(1,log5x)*(()x,log2)=()x+log5x·log2=()x-log5x.因为函数f(x)是单调递减函数,所以f(x1)<f(x0)=0.答案:C12.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数g(x)=-的图象在(-12,12)内交点的个数为A.18B.20C.21D.22解析:因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,x∈[-1,1]时,f(x)=x2,画出函数f(x)与g(x)=-在(-12,12)内的图象,发现f(x)=x2在x轴右侧的图象与g(x)=lg x有9个交点,f(x)=x2在x轴左侧的图象与g(x)=-在(-12,0)内有11个交点,一共有20个交点.答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数y=-的定义域是.解析:要使函数有意义,必须满足--即0<1-x≤1,所以0≤x<1.答案:[0,1)14.log2+lg20+lg5++(-7.6)0=.解析:原式=log2+lg(20×5)+2+1=+2+3=.答案:15.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1.已知函数y=3|x|的定义域为[a,b],值域为[3,9],则区间[a,b]的长度为.解析:因为满足值域为[3,9]的定义域为[-2,-1]或[1,2],所以区间[a,b]长度为1.答案:116.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,则实数a 的取值范围是.解析:因为方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,所以f(x)的图象与函数y=-x-3a的图象有两个交点,如图所示,可知-3a≤1,所以a≥-.答案:[-,+∞)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设函数f(x)=ln(x2-ax+2)的定义域为A.(1)若2∈A,-2∉A,求实数a的范围;(2)若函数y=f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.-,所以a≤-3.解析:(1)由题意,得故实数a的范围为(-∞,-3].5分(2)由题意,得x2-ax+2>0在R上恒成立,则Δ=a2-8<0,解得-2<a<2.故实数a的范围为(-2,2).10分18.(本小题满分12分)点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)当x为何值时,有f(x)>g(x).解析:(1)设f(x)=xα,则由题意得2=()α,∴α=2,即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,β=-2,即g(x)=x-2.6分(2)在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.f(x)与g(x)交于(-1,1)点和(1,1)点,由图象可知:当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.解析:(1)函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)满足解得1≤x≤4,即函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,4].5分(2)因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2].g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+6+2log2x2=lo x+10log2x+15=(log2x+5)2-10,当log2x=0时,g(x)min=15,当log2x=2时,g(x)max=39,即函数g(x)的最大值为39,最小值为15.12分20.(本小题满分12分)若已知某火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2(其中k≠0).当燃料重量为(-1)m吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为5千米/秒.(1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x);(2)已知该火箭的起飞重量是816吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道?解析:(1)依题意,把x=(-1)m,y=5代入函数关系y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2,解得k=10.所以所求的函数关系式为y=10[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2=ln()10.6分(2)设应装载x吨燃料方能满足题意,此时m=816-x,y=10,代入函数关系式y=ln()10,得ln-=1,解得x≈516吨,应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.12分21.(本小题满分12分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为不等函数.①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函数g(x)=x3与h(x)=2x-a是定义在[0,1]上的函数.(1)试问函数g(x)是否为不等函数?并说明理由;(2)若函数h(x)是不等函数,求实数a组成的集合.解析:(1)当x∈[0,1]时,总有g(x)=x3≥0,满足①;当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,g(x1+x2)=(x1+x2)3=++3·x2+3x1·≥+=g(x1)+g(x2),满足②,所以函数g(x)是不等函数.5分(2)h(x)=2x-a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1-a≥0,所以a≤1.由h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得-a≥-a+-a,即a≥+-=1-(-1)(-1).因为x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,所以0≤-1≤1,0≤-1≤1,x1与x2不同时等于1,所以0≤(-1)(-1)<1,所以0<1-(-1)(-1)≤1.当x1=x2=0时,[1-(-1)(-1)]max=1,所以a≥1.综合上述,a∈{1}.12分22.(本小题满分12分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且当x∈(-1,0)时, f(x)=-.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解?解析:(1)因为f(x)是x∈R上的奇函数,所以f(0)=0.设x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),所以f(-x)=---=-=-f(x),所以f(x)=,所以f(x)=-∈-∈4分(2)设0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=--=--,因为0<x1<x2<1,所以<,>30=1,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(0,1)上为减函数.8分(3)因为f(x)在(0,1)上为减函数,所以<f(x)<,即f(x)∈(,).同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(-,-).又f(0)=0,当λ∈(-,-)∪(,)或λ=0时,方程f(x)=λ在x∈(-1,1)上有实数解. 12分。
全国100所名校单元测试示范卷
全国100所名校单元测试示范卷一、语文（满分100分）I. 选择题（每题2分，共30分）1. 下列词语中，加点字的注音全都正确的一项是（）A. 璀璨（cuǐ càn）沙砾（shā lì）瑕疵（xī cī）B. 氛围（fēn wéi）感慨（gǎn kǎi）竣工（jùn gōng）C. 惬意（qiè yì）憧憬（chōng jǐng）涵养（hán yǎng）D. 沉湎（chén miǎn）沙滩（shā tān）沮丧（jǔ sàng）2. 下列句子中，加点成语使用不正确的一项是（）A. 这部电影情节跌宕起伏，引人入胜，让人拍案叫绝。
B. 老师在课堂上耐心讲解，同学们洗耳恭听，收获颇丰。
C. 比赛过程中，他发挥失常，最终名落孙山。
D. 在艰苦的环境中，他们齐心协力，共度难关。
3. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 为了提高同学们的语文素养，老师要求大家平时多读、多写、多思考。
B. 通过这次活动，使同学们更加深刻地认识到团队合作的重要性。
C. 在这条街道上，沿途可以看到许多风格各异的建筑。
D. 老师告诉我们，在学习过程中要善于发现问题、分析问题、解决问题。
……II. 填空题（每题2分，共20分）4. 古诗文名句默写（1）山重水复疑无路，______。
（陆游《游山西村》）（2）不畏浮云遮望眼，______。
（王安石《登飞来峰》）（3）______，思君不见下渝州。
（李白《夜发清溪向三峡》）（4）庭下如积水空明，______。
（苏轼《记承天寺夜游》）（5）______，随君直到夜郎西。
（李白《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》）……III. 阅读理解（共30分）（一）文言文阅读（共15分）阅读下面的文言文，完成10～15题。
【甲】孙权劝学初，权谓吕蒙曰：“卿今当涂掌事，不可不学！”蒙辞以军中多务。
权曰：“孤岂欲卿治经为博士邪！但当涉猎，见往事耳。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师21（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师21（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼆⼗⼀)第⼆⼗⼀单元⾼中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0A.{x|1B.{x|1C.{x|0D.{x|0解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1M∩N={x|1答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.aB.aC.cD.b解析:a<0,b>1,0答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒⼀粒⾖⼦,则⾖⼦落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所⽰,阴影部分为正⽅形,⾯积为4,⽽圆C的⾯积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的⼀条对称轴⽅程为x=,则以a=(m,n)为⽅向向量的直线的倾斜⾓为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜⾓α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满⾜a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0a13=1,所以答案:C8.如图是⼀个⼏何体的三视图,其顶点都在⼀个球⾯上,则该球的表⾯积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底⾯是⼀个等腰直⾓三⾓形,⾼为2的三棱锥,可求得球半径R=,表⾯积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:?x∈R,x+≥2,q:?x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos AC.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成⽴解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三⾓形⼤⾓对⼤边,所以a>b?A>B?cos A答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三⾓形,只要∠AF2B为钝⾓即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满⾜-,则的最⼤值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求⽬标函数z=2x+y的最⼤值,作出x,y的可⾏域,可得当x=3,y=10时,z有最⼤值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F?G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的⼀个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为⾃然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的⼀个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为⾃然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平⾏线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线⽅程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所⽰的程序框图,若输⼊的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m答案:(-∞,ln-)三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是⾸项为1,公⽐为3的等⽐数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本⼩题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最⼤值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最⼤值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,⼜bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本⼩题满分12分)某校⾼三(1)班的⼀次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直⽅图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班⼈数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进⾏试卷分析,求这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班⼈数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法⼀)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法⼆)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本⼩题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三⾓形,且平⾯PAD⊥底⾯ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥⾯ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三⾓形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,⼜PQ∩BQ=Q?AD⊥⾯PQB.⼜PB?⾯PQB,∴PB⊥AD.⼜PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,⼜AM∩AD=A,∴PB⊥⾯ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.⼜BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共⾯,⼜CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本⼩题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使⽅程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成⽴,则g(x0)的值必须包含[0,].⼜g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离⼼率为,且椭圆上⼀点与椭圆的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4.(1)求椭圆M的⽅程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC ⾯积的最⼤值.解析:(1)因为椭圆M上⼀点和它的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,⼜椭圆的离⼼率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的⽅程为+y2=1.4分(2)(法⼀)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的⽅程y=n(x-3)(n>0),则AC的⽅程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC⾯积的最⼤值为.12分(法⼆)显然直线l与x轴不平⾏,不妨设直线l的⽅程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代⼊上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代⼊上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最⼤值.12分。