2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|-1＜x＜1}，B={y|y＞0}，则A∩（∁R B）=（）A. （-1，0）B. （-1，0]C. （0，1）D. [0，1）2.已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=（）A. 5B.C.D.3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f（x）=2019x2018+2018x2017+…+2x+1，程序框图设计的是f（x）的值，在M处应填的执行语句是（）A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2+y2-6x=0截得的线段长为（）A. B. 3 C. D.5.将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等6.将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数g（x）在[π，2π]上的最大值为1B. 将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g（x）图象的一个对称中心D. 函数g（x）在区间上为增函数7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. {0，1，2，3}B. {0，1，2}C. {1，2，3}D. {1，2}8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 29.已知抛物线C：y2=2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为（）A. 2B. 3C.D. 410.已知平面向量满足，，，若对于任意实数k，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=1，，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为（）A. B. 1 C. D.12.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A. （0，2）B. （0，3）C. （2，3）D. （3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知O为坐标原点，向量，，若，则=______．14.设实数x，y满足，则的取值范围为______．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C+2sin C cos B=sin A，，，，则b=______．16.已知函数，若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足：，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求满足的最小正整数n．18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若E在线段BC上，且，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D-CEG的体积．19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1．将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；电子阅读纸质阅读合计青少年中老年合计（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k0 2.0722.7063.8415.0246.635K2=．20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△AF1F2的周长为，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2（O为坐标原点），且，求|OP|的取值范围．21.已知函数f（x）=ax lnx-bx2-ax．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求a，b的值；（Ⅱ）若a≤0，时，∀x1，x2∈（1，e），都有，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，直线l的参数方程为为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23.设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0），g（x）=x2-x．（Ⅰ）当a=1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∁R B={y|y≤0}；∴A∩（∁R B）=（-1，0]．故选：B．进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集、补集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得2z=i-iz，则z=，∴|z|=．故选：C．3.答案：B解析：解：由题意，n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n=2019-i．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.答案：D解析：解：∵双曲线的离心率e=，∴双曲线是等轴双曲线，则双曲线的一条渐近线为y=x，代入x2+y2-6x=0得x2+x2-6x=0，即x2-3x=0，得x=0或x=3，对应的y=0或y=3，则交点坐标为A（0，0），B（3，3），则|AB|==3，故选：D．根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线，得到双曲线的渐近线方程为y=x，联立方程求出交点坐标即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质以及直线和圆相交的弦长的计算，根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．5.答案：C解析：解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）=29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）=30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2=×[（26-29）2+（28-29）2+（29-29）2+（31-29）2+（31-29）2]=．乙成绩的方差为：s2=×[（28-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（32-30）2]=2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31-26=5．乙的极差是32-28=4，两者不相等，故错误．故选：C．根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，可得y=2sin（x+）的图象，然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=2sin（x+）的图象，在[π，2π]上，+∈[，]，g（x）=2sin（x+）的最大值为，故A错误；将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的解析式为y=2sin（x+），它不是奇函数，图象不关于原点对称，故B错误；当x=时，g（x）=≠0，故点不是函数g（x）图象的一个对称中心，故C错误；在区间上，+∈[，]，故函数g（x）在区间上为增函数，故D正确，故选D．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数值域的计算，结合分式函数的分子常数法先求出f（x）的取值范围是解决本题的关键，属于基础题.利用分式函数分子常数化，结合指数函数的性质先求出f（x）的取值范围，结合[x]的定义进行求解即可．【解答】解：==1+，∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，则0＜＜2，1＜1+＜3，即1＜f（x）＜3，当1＜f（x）＜2时，[f（x）]=1，当2≤f（x）＜3时，[f（x）]=2，综上函数y=[f（x）]的值域为{1，2}，故选：D．8.答案：A解析：解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.答案：C解析：解：设直线AB的方程为：x=my+t，A（x1，y1），B（22，y2）．由⇒y2-2my-2t=0⇒y1y2=-2t由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=⇒y1y2=-4，∴t=2，即直线AB过定点（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．故选：C．利用由OA⊥OB⇒y1y2=-4，即可得直线AB过定点（2，0）．即可求抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．本题考查了抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题．10.答案：B解析：解：由，，，得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，即△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，故选：B．由向量的模的运算得：易得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，得解．本题考查了向量的模的运算、平面向量数量积的性质及其运算及二次不等式恒成立问题，属中档题11.答案：C解析：解：：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，设BR⊥AC，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与R重合时，BP=BR最短，此时△PBB1的面积最小，由等积法：BR×AC=BE×BF，=，∴BP=，又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，∴△PBB1的面积为：=，故选：C．由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．此题考查了线面平行，面面平行，有探索性质，设计较好，难度适中．12.答案：B解析：解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e x（x-2），可知当x∈（0，2）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e0（0-2）=-2＜0，，所以f（0）＜0，x∈（2，+∞）时，函数φ（x）是单调增函数，且f（3）=0，则φ（3）=3f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，所以不等式f（x）＜0的解集为：{x|0＜x＜3}．故选：B．构造函数，φ（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．13.答案：解析：解：∵，；∴；∴；∴．故答案为：．根据即可求出，带入的坐标即可求出的坐标，从而求出．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法运算．14.答案：[-3，-]解析：解：实数x，y满足约束条件的平面区域如图所示，A（-2，），B（-1，3），的几何意义是可行域上的点到原点的斜率；当直线为OA时，z有最大值为；当直线为OB时，z有最小值为-3；所以，的取值范围为：[-3，-]．故答案为：[-3，-]．先根据约束条件画出可行域，根据的几何意义求最值．本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．画出可行域，的几何意义是可行域上的点到原点的斜率，由图即可求解．15.答案：解析：解：∵sin C+2sin C cos B=sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，∴可得：sin C+sin C cos B=sin B cos C，∴sin C=sin B cos C-sin C cos B=sin（B-C），∵，，，可得B为锐角，sin B==，∴B-C∈（-，），∴C=B-C，可得：B=2C，∴cos B=cos2C=1-2sin2C=，可得：sin C=，cos C=，∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C==，∴由正弦定理可得：b===．故答案为：．由两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin C=sin（B-C），结合角的范围可求B=2C，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin C，进而可求cos C的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，根据正弦定理即可解得b 的值．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（0，]解析：解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x=0有两个零点x1，x2，∴=x1，=x2，两式作比，得==，令x2-x1=t，①，则，②∴，代入①，得：，由②，得，∴t≥ln2，令g（t）=，t≥ln2，则g′（t）=，令h（t）=e t-1-te t，则h′（t）=-te t＜0，∴h（t）单调递减，∴h（t）≤h（ln2）=1-2ln2＜0，∴g（t）单调递减，∴g（t）≤g（ln2）=ln2，即x1≤ln2，∵a=，令μ（x）=，则＞0，∴μ（x）在x≤ln2上单调递增，∴μ（x）≤，∴a≤，∵f′（x）=ae x-x有两个零点x1，x2，μ（x）在R上与y=a有两个交点，∵，在（-∞，1）上，μ′（x）＞0，μ（x）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x）＜0，μ（x）单调递减，∴μ（x）的最大值为μ（1）=，大致图象为：∴0＜a＜，∵，，∴0＜a．∴实数a的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．由题意可得=x1，=x2，作比，得=，令x2-x1=t，结合条件将x1定成关于t的函数，求导分析得到x1的范围，再结合a=得到a的范围，与函数f（x）有两个极值点时a的范围取交集即可．本题考查利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用整体换元方法，体现了减元思想，是难题．17.答案：解：（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，两式相减得，，即a n=2n（n+1）（n≥2）．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n（n+1）；（Ⅱ），∴=．由＞，解得n＞9．∴满足的最小正整数n=10．解析：（Ⅰ）由已知数列递推式可得（n≥2），与原递推式作差可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.答案：（Ⅰ）证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠BAD=，∴BF⊥AD，又PF∩BF=F，∴AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AD⊥BF，又PD⊥BF，AD∩PD=D，∴BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD∩平面PAD=AD，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD，又∵GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD，∵，∴，∴，则=．解析：（Ⅰ）连接PF，由已知可得PF⊥AD，BF⊥AD，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，进一步得到PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，得到平面DEG⊥平面ABCD，然后利用等积法求四面体D-CEG的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）=1，解得a=0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5；（Ⅱ）根据题意填写列联表如下，电子阅读纸质阅读合计青少年9020110中老年603090合计15050200计算K2=≈6.061＞5.024，所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．解析：（Ⅰ）根据频率和为1，列方程求出a的值，再计算数据的平均值；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算观测值，对照数表得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，所以a+c=2+…①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=…②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=1，c=，可得椭圆方程为+y2=1，（Ⅱ）当直线AB的斜率k不存在时，直线OA的方程为，此时不妨取A（，），B（，-），P（，0），则|OP|=．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立，消y得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2-m2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．∵，∴4y1y2+x1x2=0，⇒4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2═（1+4k2）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=4m2-4-+4m2=0．整理，得：2m2=4k2+1，∴，△=16m2＞0．设P（x0，y0），，，∴|OP|2=．|OP|的取值范围为[，）．综上，|OP|的取值范围为[，]．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，bc=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，利用韦达定理，结合题设条件能求出|OP|的取值范围．21.答案：解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=a（1+ln x）-2bx-a=a ln x-2bx，由f′（1）=-2b=-1，得b=，又f（1）=-b-a=-，∴a=1．即a=1，b=；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3．即f（x1）-f（x2）＜3x2-3x1，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2．令g（x）=f（x）+3x，则g（x）在（1，e）上为单调增函数，∴有g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立．即a≥，x∈（1，e），令h（x）=，x∈（1，e），h′（x）=，令t（x）=ln x+，t′（x）=．∴t（x）在（1，e）上单调递减，t（x）＞t（e）=，则h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上为单调增函数，∴h（x）＜h（e）=e-3，即a≥e-3．综上，e-3≤a≤0．解析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f′（1）=-2b=-1，求得b，再由f（1）=-b-a=-求解a；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，构造函数g（x）=f（x）+3x，得到g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立，分离参数a，得到a≥，x∈（1，e），再由导数求函数h（x）=，x∈（1，e）的最值，可得a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想方法，属难题．22.答案：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，转换为直角坐标方程为：．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（-2，0）．把直线l的参数方程为为参数）．代入椭圆的方程为：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：t1•t2=-4．故：|PM|•|PN|=|t1•t2|=4（Ⅱ）由椭圆的直角坐标方程转换为（），所以：以A为顶点的内接矩形的周长为4（2）=16sin（）（）所以：当时，周长的最大值为16．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：（1）当a=1时，g（x）≥f（x）⇔或或，解得x≤-1或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}（2）f（x）=，当0＜a≤1时，f（x）min=f（a）=a2+1≥2，a=1；当a＞1时，f（x）max=f（-）=a+≥2，a＞1，综上：a∈[1，+∞）解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（1）分3种情况去绝对值，解不等式组再相并；（2）按照0＜a≤1和a＞1求出分段函数的最小值，由最小值大于等于2可得．。
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2020年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A． B．C． D．2.若复数,则复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.命题“”的否定为( )A．B．C．D．4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A．B． C.D．5.运行如图所示的程序框图，则输出的为( )A．1009 B．-1008 C.1007 D．-10096.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A． B． C. D．7.已知平面向量满足,若,则的最小值为( ) A．-2 B．- C. -1 D．08.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C.156种 D．120种9.已知函数,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.函数在区间上的大致图象为( )A． B．C. D．11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A．23 B．42 C.12 D．5212.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为．14.已知实数满足条件则的最大值为．15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为．16.已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.内接于半径为的圆，分别是的对边，且.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19.如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于.(Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面；(Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.21.已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数).(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、12：AB二、填空题13.4860 14. 15. 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，可化为即.(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中，.在中，由余弦定理得.即：,解得，.故1sin 2ABC S bc A ∆== 18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故.(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.19. 解：（Ⅰ）在中，，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=，因为，∴，从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=∴FED FEA ∠=∠，故． 又，．又平面，故平面，，CF EF F ⋂=故平面.又AD ⊂平面，∴平面平面.（Ⅱ）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(30)(00)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，故(10BC =uu u r，(33CP =-，）uu r，(30CD =-uu u r． 设平面的法向量111(1)y z =，，n ，则11110,330,z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得112.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩即12(1).3=，n 设平面的法向量222(1)y z =，，n，则22230330z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面与平面的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n20.解：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，曲线方程为.(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线的方程为，，得22(34)4110.k x kx ++-=由直线作直线故121222411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++ 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-， 由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+(Ⅱ)x e x f x 2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x . 又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立. 22.解：(Ⅰ)由直线过点A则易得直线的直角坐标方程为20x y +-=根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离(Ⅱ)由（1）知直线的倾斜角为34π， 则直线的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线的普通方程为22143x y +=. 把直线的参数方程代入曲线t 23.解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a -≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a <31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， min ()()11,22a a f x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =<4.3a ∴=。
2020年河南省郑州市高考(理科)数学二模试卷 含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题.1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9] B ．（﹣∞，9）C ．[2，9]D ．（2，9）2．已知复数z =2+i i2（其中i 是虚数单位，满足i 2＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2iB ．1+2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）A ．20B ．21C ．20.5D ．234．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4D ．（x +6）2+（y +4）2＝45．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米B ．20米C ．15√2米D ．15米6．若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin （π4−α），则sin2α的值为（ ） A ．18B ．−78C ．1D ．787．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini=aS，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)x＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=12．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．36010．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为（）A．4B．3C．2√3−2D．211．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．√6πB．2πC．6πD．24π12．过双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=−bax的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若FB→=2FA→，则该双曲线的离心率为（）A．√3B．2C．√5D．√7二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（x+2x）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．已知函数f（x）=−π2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为．16．设函数y={−x3+x2，x＜elnxm，x≥e的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足1b n+1−1b n=a n (n ∈N ∗)，且b 1=13，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.63519．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当AB AD=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为√32． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．21．已知函数f(x)=lnx a ，g(x)=x+1x(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =f(x)x在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1g(x)在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1y =4t +3（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5； （Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，9）C ．[2，9]D ．（2，9）【分析】根据A ∩B ＝A 可得出A ⊆B ，从而可讨论A 是否为空集：A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5；A ≠∅时，{a +1≤3a −5a +1＞33a −5＜22，解出a 的范围即可．解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，且A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}， ∴①A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5，解得a ＜3； ②A ≠∅时，{a ≥3a +1＞33a −5＜22，解得3≤a ＜9，∴综上得，实数a 的取值范围是（﹣∞，9）． 故选：B ． 2．已知复数z =2+i i2（其中i 是虚数单位，满足i 2＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2iB ．1+2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i【分析】利用复数的运算法则化简z ，再根据共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =2+ii2=−2﹣i ，则z 的共轭复数是﹣2+i ． 故选：C ．3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）A ．20B ．21C ．20.5D ．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可． 解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是12×（20+21）＝20.5．故选：C ．4．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4D ．（x +6）2+（y +4）2＝4【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．解：由圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a ，b ）则{a−22−b+122+8=0b−12a+2=−1解得：a ＝4，b ＝6， 故圆的方程为：（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4， 故选：C ．5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米B ．20米C ．15√2米D ．15米【分析】如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．△OAB 为等边三角形，可得OA ＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．解：如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．△OAB 为等边三角形，∴OA ＝30， ∵OP ⊥平面ABCDEF ， ∴∠OAP ＝45°， ∴OP ＝OA ＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m ．故选：A ．6．若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin （π4−α），则sin2α的值为（ ）A ．18B ．−78C ．1D ．78【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cos α﹣sin α，或 cos α+sin α的值，由此求得sin2α的值．解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin （π4−α），∴2（cos 2α﹣sin 2α）=√22（sin α﹣cos α），∴cos α+sin α=−√24，或 cos α﹣sin α＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cos α+sin α=−√24，则有1+sin2α=18，sin2α=−78；故选：B ．法2：∵α∈（π2，π），∴2α∈（π，2π）， ∴sin2α＜0， 综合选项，故选：B ．7．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini=aS，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)x＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=12．其中不正确的是（）A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【分析】可由当Gini =aS ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①， f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有f(x)x＜1，可由判断②，先积分求a ，再求Gini ，判断③④解：①：由题意知A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为△OKL 的面积．当Gini =aS ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，①对， ②：由图可知f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有f(x)x＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 2（x ∈[0，1]），a =∫ 10(x −x 2)dx =(12x 2−13x 3)|01=16，Gini =1612=13，③错， ④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 3（x ∈[0，1]），a =∫ 10(x −x 3)dx =(12x 2−14x 4)|01=14，Gini =1412=12，④对， 故选：B ．9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96B ．84C ．120D ．360【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A 55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A 44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A 44＝24种， 则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种， 故选：B ．10．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2√3−2D ．2【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1，可得：a 32＝a 1a 13，即（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1， ∴a 32＝a 1a 13，∴（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0， 解得d ＝2．∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． S n ＝n +n(n−1)2×2＝n 2．∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n+1)2−2(n+1)+9n+1=n +1+9n+1−2≥2√(n +1)×9n+1−2＝4， 当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n ＝2，且2S n +16a n +3取到最小值4， 故选：A ．11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6πB ．2πC ．6πD ．24π【分析】由题意，PB 为球的直径，求出PB ，可得球的半径，即可求出球的表面积． 解：如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π．故选：C ．12．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作直线y =−ba x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →=2FA →，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．√7【分析】根据题意直线AB 的方程为y =ab （x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程，求出A 的坐标，进而求得B 的表达式，代入双曲线方程整理求得a 和c 的关系式，进而求得离心率．解：设F （c ，0），则直线AB 的方程为y =ab （x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程y =−b ax得A （a 2c，−abc）， 由FB →=2FA →，可得B （−c 2+2a 23c，−2ab3c ），把B 点坐标代入双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1，即(c 2+2a 2)29c 2a 2−4a 29c 2=1，整理可得c =√5a ，即离心率e =ca =√5． 故选：C ．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（x +2x）6展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 160 ． 【分析】令x ＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C6k x6﹣k•（2x）k＝C6k•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C63•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．已知函数f（x）=−π2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是8．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g（4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为3．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量MC→+MD→的模长表达式，再求最小值．解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以MC→=（2，﹣b），MD→=（1，a﹣b）；所以MC→+MD→=（3，a﹣2b），所以(MC→+MD→)2=9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，|MC→+MD→|取得最小值为√9=3．故答案为：3．16．设函数y={−x3+x2，x＜elnxm，x≥e的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是[e+1，+∞）．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P （t ，f （t ））（t ＞0），则Q （﹣t ，t 3+t 2）， ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴OP →⋅OQ →=0，即﹣t 2+f （t ）（t 3+t 2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．若0＜t ＜e ，则f （t ）＝﹣t 3+t 2代入①式得：﹣t 2+（﹣t 3+t 2）（t 3+t 2）＝0， 即t 4﹣t 2+1＝0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f （t ）=1mlnt ， 代入①式得：﹣t 2+（1m lnt ）（t 3+t 2）＝0，即m ＝（t +1）lnt ②，令h （x ）＝（x +1）lnx （x ≥e ）， 则h ′（x ）＝lnx +1+1x ＞0，∴h （x ）在[e ，+∞）上单调递增，∵t ≥e ，∴h （t ）≥h （e ）＝e +1，∴h （t ）的取值范围是[e +1，+∞）． ∴对于m ≥e +1，方程②总有解，即方程①总有解． 故答案为：[e +1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足1b n+1−1b n=a n (n ∈N ∗)，且b 1=13，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），然后根据题干可列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式； 第（Ⅱ）题由题干1b n+1−1b n=a n 可得1b n−1b n−1=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{1b n}的通项公式，接着计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n 项和T n ．解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则 {7a 1+21d =77，a 1(a 1+60d)=(a 1+10d)2，解得{a 1=5d =2．∴a n ＝5+2•（n ﹣1）＝2n +3，n ∈N*． （Ⅱ）依题意，由1b n+1−1b n=a n ，可得1b n−1b n−1=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)． 则当n ≥2时，1b n =(1b n−1b n−1)+(1b n−1−1b n−2)+⋯+(1b 2−1b 1)+1b 1=a n−1+a n−2+⋯+a 1+1b 1＝（n ﹣1）（n ﹣2+5）+3 ＝n （n +2）．当n ＝1时，b 1=13，即1b 1=3也满足上式，∴1b n=n （n +2），∴b n =1n(n+2)=12（1n−1n+2），n ∈N*．T n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n ﹣1+b n=12（1−13）+12（12−14）+12（13−15）+12（14−16）+⋯+12（1n−1−1n+1）+12（1n −1n+2） =12（1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2） =12（1+12−1n+1−1n+2） =3n 2+5n 4(n+1)(n+2)．18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.635【分析】（I ）作出2×2列联表，求出k 2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为1230=25，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，ξ服从二项分布B(4，25)．由此能求出ξ的分布列、数学期望． 解：（I ）作出2×2列联表：青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830由列联表数据代入公式得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈1.83， 因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关． （Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”， 则至少有1人在青春组的概率为p(A)=1−C 32C 52=710．（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为1230=25，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布B(4，25)．ξ的取值为0，1，2，3，4．且P(ξ=k)=C 4k (25)k (1−25)4−k ，k =0，1，2，3，4． 所以得ξ的分布列为：ξ 01234P816252166252166259662516625数学期望Eξ=4×25=85．19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当AB AD=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．【分析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE 推导出DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABD ，进而BC ⊥AD ，又AD ⊥CD ，从而AD ⊥平面BCD ，由此能证明平面ACD ⊥平面BCD ．（2）过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ，则DE ⊥AC ，AC ⊥平面DME ，EM ⊥AC ，从而∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，由此能求出二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE ， 则DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥BC ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AD ， 又AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD ．解：（2）在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ， ∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥AC ，又DM ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面DME ，∴EM ⊥AC ， ∴∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角， 设AD ＝a ，则AB ＝2a ，在△ADC 中，由题意得AM =√55a ，DM =2√55a ，在△AEM 中，EM AM=tan∠BAC =12，解得EM =√510a ，∴cos ∠DME =EM DM =14． ∴二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值为14．20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为√32．（Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．【分析】（I ）先设A 的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A 的轨迹方程；（II ）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I ）设A （x ，y ），由题意，√(x−3)2+y 2|x−4|=√32， 化简得x 2+4y 2＝12，所以，动点A 的轨迹C 的方程为x 212+y 23=1，（Ⅱ）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由斜率之积，得y 1y 2x 1x 2=−14，|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2，因为点M ，N 在椭圆C 上，所以y 12=3−x 124，y 22=3−x 224． 所以(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2=（3−x 124）（3−x 224），化简得x 12+x 22=12．直线AB 的方程为（y 2﹣y 1）x ﹣（x 2﹣x 1）y +x 2y 1﹣x 1y 2＝0， 原点O 到直线MN 的距离为d =1221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)2．所以，△MON 的面积S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12|x 1y 2−x 2y 1|， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ＝2|x 1y 2﹣x 2y 1|，所以，S 2=4(x 1y 2−x 2y 1)2=4(x 12y 22−2x 1x 2y 1y 2+x 22y 12)，＝4[x 12(3−x 224)+x 22(3−x 124)−+12(x 1x 2)2]，=12(x 12+x 22)=144，所以S ＝12．所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． 21．已知函数f(x)=lnx a ，g(x)=x+1x(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =f(x)x在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1g(x)在（0，十∞）上的单调性．【分析】（I ）把a ＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II ）先对F （x ）求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．解：（Ⅰ）当a ＝1时，曲线y =f(x)⋅g(x)=xlnx x+1．y′=(1+lnx)(x+1)−xlnx (x+1)2=lnx+x+1(x+1)2． x ＝1时，切线的斜率为12，又切线过点（1，0）所以切线方程为x ﹣2y ﹣1＝0，（Ⅱ）f′(x)=1ax ，(1g(x))′=1(x+1)2，F′(x)=f′(x)−(1g(x))′=1ax −1(x+1)2=(x+1)2−axax(x+1)2，当a ＜0时，F '（x ）＜0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，令k(x)=1a x 2+(2a −1)x +1a ，△=1−4a ，当△≤0时，即0＜a ≤4，k （x ）≥0，此时F '（x ）≥0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a ＞4，方程1a x 2+(2a −1)x +1a =0有两个不等实根x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，(x 1=a−2−√a 2−4a 2，x 2=a−2+√a 2−4a 2) 此时，函数F （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增；在（x 1，x 2）上单调递减． 综上所述，当a ＜0时，F （x ）的单减区间是（0，+∞）；当a ＞4时，F （x ）的单减区间是(a−2−√a 2−4a 2，a−2+√a 2−4a 2)，单增区间是(0，a−2−√a 2−4a 2)，(a−2+√a 2−4a 2，+∞) 当0＜a ≤4时，F （x ）单增区间是（0，+∞）．一、选择题22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1y =4t +3（t 为参数）． （Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sin θ （a ＞0）．∴ρ2＝2a ρsin θ，即x 2+y 2＝2ay ，即x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．则圆C 的标准方程为x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．由{x =3t +1y =4t +3，消去参数t 得4x ﹣3y +5＝0， 即直线l 的普通方程为4x ﹣3y +5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C （0，a ），半径R ＝a ，则圆心到直线的距离d =√3+4=|5−3a|5， ∵|AB|≥√3a ． ∴2√a 2−d 2≥√3a ，即a 2﹣d 2≥34a 2， 则d 2≤a 24， 即d ≤a 2， 则|5−3a|5≤a 2， 则−a 2≤3a−55≤a 2， 由{−a 2≤3a−553a−55≤a 2得{a ≥1011a ≤10得1011≤a ≤10． 即实数a 的取值范围是1011≤a ≤10．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |．（Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5；（Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．【分析】（Ⅰ）将a ＝2代入f （x ），表示出f （x ）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+1||x−1|+|x+3|≤12，求出a 的最小值即可． 解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，f （x ）={1−3x ，x ＜−13−x ，−1≤x ≤13x −1，x ＞1，由f （x ）的单调性及f （−43）＝f （2）＝5，得f （x ）＞5的解集为{x |x ＜−43，或x ＞2}．…（Ⅱ）由f （x ）≤a |x +3|得a ≥|x+1||x−1|+|x+3|，由|x ﹣1|+|x +3|≥2|x +1|得|x+1||x−1|+|x+3|≤12，得a ≥12． （当且仅当x ≥1或x ≤﹣3时等号成立） 故a 的最小值为12．。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
| PQ |
20．解：（1）x =12× 0.04 +14× 0.12 +16× 0.28 +18× 0.36 + 20× 0.10 + 22× 0.06 + 24× 0.04 =17.40 千
元，故估计 50 位农民的年平均收入 x 为 17．40 千元．…………………………………3 分
3
（2）由题意知 X ∼ N (17.40, 6.92) ，
..............4 分
（2）设直线 PQ 的方程为： x = ty +1，则直线 MN 的方程为 x = ty
由
x x2
2
= +
ty +1
y2
得
=1
(2
+
t
2
)
y
2
+
2ty
−1
=
0
，
∆
=
4t
2
+
4(2
+
t
2
)
=
8(t
2
+ 1)
>
0
设 Q(x2, y2 ) ，则
y1
+
y2
=
−
2t 2+t2
且当 2 < t < t0 时， s(t) < 0 ；当 t > t 0 时， s(t) > 0 ，
即θ (x)在(2, t0 ) 上单调递减，在 (t0 , +∞) 上单调递增
所以θ (t= )min
θ= (t0 )
2t0 + 2t0 l= n t0 t0 − 2
t02 −= 2t0 t0 − 2
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（）A．（0，） B．（﹣，）C．（0，2）D．（，2）2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣3，）D．（﹣3，1）3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．34．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣25．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）A．B．C．D．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm39．等差数列的前n项和为S n，且S1006＞S1008＞S1007，则满足S n S n＜0的正整数n为（）﹣1A．2020 B．2020 C．2020 D．202010．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．11．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则•的最大值为（）A．10 B．12 C．10+2 D．812．设过点P（﹣1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，||•||=（）A． B．5 C．8 D．9二、填空题:本大题共4小题。
2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学理科试题(带答案解析)
2020届河南省普通高中高考质量测评（二)理科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（ ）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10B ．24C ．32D ．565．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．202120209．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．810．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为（ ）AB ．2CD ．11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．3B C ．24D ．4812．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω= B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=第II 卷（非选择题)二、填空题13．若||3a =，||2b =，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g .16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 21．已知函数()2(12)ln a f x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b+的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出．对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确； 对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．D 【解析】 【分析】 先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案. 【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 5．B 【解析】 【分析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，【详解】∵()1xf x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解. 7．D 【解析】 【分析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案.取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键. 8．A 【解析】 【分析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和. 9．B 【解析】 【分析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题. 10．C 【解析】 【分析】 由题，可得),Ap ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为得ACF S ∆=然后通过求132ACF S p ∆=⨯=. 【详解】 根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以x =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即ACF S ∆=，所以132ACF S p ∆=⨯=p =故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力. 11．B 【解析】 【分析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案. 【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定. 12．A 【解析】 【分析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…， 所以52222ϕϕωππ-<-…， 所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A. 故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 13．3π 【解析】 【分析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r 的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14．1514【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144S a q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 15．1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【解析】 【分析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解. 16．221(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.17．（1）3B π=（2）14【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题． 18．（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾 【解析】 【分析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望； （2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值.【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),2),(P A B PA AB =-=u u u r u u u r，设平面PAB的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即20,0,z -=+=⎪⎩可取n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r，所以sin ,5n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ，故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =所以()3a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值.21．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案； （2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>. ①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减； (,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增.（2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<， 要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a a x a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a a g x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=.（2）设212P s ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】 （1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3， 即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当65a b==时等号成立，所以2325,6a b⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
2020年河南省六市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年河南省六市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x=2n+1，n∈N*}，则A∩B等于（）A. {1，3}B. {1，2，3}C. {3}D. {1}2.已知复数z=2+ai（a∈R），则|（1-i）z|=4，则a的值为（）A. 2B. ±2C. 0D. ±13.在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，若点A、B的坐标分别为（）和（），则sin（α+β）的值为（）A. B. C. 0 D.4.已知M（-4，0），N（0，-3），P（x，y）的坐标x，y满足，则△PMN面积的取值范围是（）A. [12，24]B. [12，25]C. [6，12]D. [6，]5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多6.已知tan（x）=2，x是第三象限角，则cos x的值为（）A. -B.C.D.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为（）A. B. C. D.8.已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（2+x）=f（-x），且f（1）=2，则f（2018）+f（2019）的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 49.过双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线E交于A，B两点，与双曲线E的渐近线交于C，D两点，若|AB|=|CD|，则双曲线E的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±2x10.设实数a，b，c分别满足，b lnb=1，3c3+c=1，则a，b，c的大小关系为（）A. c＞b＞aB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形12.已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A. a＞0B. a≤1C. a＞1D. a≤0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（-3，4），向量与向量方向相反，且||=10，则向量的坐标为______．14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为______．15.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=8，a3+a8=2a5+2．（1）求a n；（2）设数列的前n项和为T n，求证：．18.如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(1)当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(2)当AB=1，求四棱锥S-ABCD的侧面积．19.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有6人663120选考方案待确定的有8人540121女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人540011（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数．（直接写出结果）（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．20.已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx-2与椭圆C相交于A，B两点，且，若原点O 在以MN为直径的圆外，求k的取值范围．21.设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数f（x）有极值m，求证：m＜1．（已知ln0.5≈-0.69，ln0.6≈-0.51）22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的倾斜角．23.已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x=2n+1，n∈N*}，∴A∩B={3}．故选：C．首先确定集合B，然后进行交集运算即可．本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2.答案：B解析：解：∵z=2+ai，∴（1-i）z=（1-i）（2+ai）=（2+a）+（a-2）i，由|（1-i）z|=4，得，解得a=±2．故选：B．把z=2+ai代入（1-i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模列式求得a 的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：【分析】由题意首先利用点的坐标确定相应角的三角函数值，然后利用两角和差正余弦公式可得sin（α+β）的值．本题主要考查三角函数的定义，两角和差正余弦公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【解答】解：由题意点A、B的坐标分别为（）和（），可得：sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．故选：B．4.答案：C解析：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P在O处时，△PMN面积有最小值为；当P位于直线3x+4y=12在可行域内的部分时，P到MN所在直线的距离为d=，△PMN面积有最大值为．∴△PMN面积的取值范围是[6，12]．故选：C．由约束条件作出可行域，由图可知当P在O处时，△PMN面积有最小值，当P位于直线3x+4y=12在可行域内的部分时，△PMN面积有最大值，然后由三角形的面积公式求解．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选D．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．根据题意，由正切的和角公式计算可得tan x的值，然后利用同角三角函数基本关系可得cos x的值，即可得答案．【解答】解：由题意可得：tan（x）=2，则=2，解可得tan x=，则有=且sin2x+cos2x=1，解得cos2x=，又由x是第三象限角，所以cos x=-.故选A．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查面与面之间的距离，考查等体积法的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．根据平面AB1D1与平面BC1D平行，将面与面之间的距离转化为点到面的距离，然后利用等体积法即可求解.【解答】解：显然平面AB1D1平面BC1D，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，因为，所以h×=，解得h=，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为：．故选：C．8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性的应用和函数值的求法，考查了推理和运算能力，属于基础题 . 根据题意，分析可得函数y=f（x）满足f（x+4）=f[-（x+2）]=f（x），进而结合函数的奇偶性可得f（2018）=f（2+504×4）=f（2）=f（0）=0，f（2019）=f（3+504×4）=f（3）=f（-1）=-2；相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）满足f（2+x）=f（-x），则f（x+4）=f[-（x+2）]=f（x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，f（-1）=-f（1）=-2；则f（2018）=f（2+504×4）=f（2）=f（0）=0，f（2019）=f（3+504×4）=f（3）=f（-1）=-2；则f（2018）+f（2019）=0+（-2）=-2；故选：A．9.答案：B解析：解：双曲线E的渐近线方程为y=，令x=c，得y=，所以|CD|=，又因为|AB|=，所以由|AB|=|CD|，得，整理得b=，a=c，所以双曲线E的渐近线方程为：y=．故选：B．分析：根据题意，分别求出|AB|，|CD|，利用条件，搭建a，b的方程，从而得到双曲线E的渐近线方程．本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力．10.答案：B解析：解；因为，所以a=，又因为b lnb=1＞0，所以ln b＞0，所以b＞1，又因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f（）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，即b＞c＞a，故选：B．由对数不等式得求法得：b lnb=1＞0，所以ln b＞0，所以b＞1，由函数的零点定理得：因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f（）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，得解．本题考查了解对数不等式及函数的零点定理，属中档题．11.答案：C解析：解：根据题意，△ABC中，，由正弦定理可得：+=2sin A，又由左式=+≥2=2，当且仅当sin B=sin C时等号成立，而右式2sin A≥2，则有sin B=sin C且sin A=1，即b=c且A=，故△ABC是等腰直角三角形；故选：C．根据题意，由正弦定理分析可得⇒+=2sin A，结合基本不等式分析可得左式=+≥2=2，而右式2sin A≥2，分析可得sin B=sin C且sin A=1，结合正弦定理可得b=c且A=，分析即可得答案．本题考查三角形形状的判定，注意利用基本不等式的性质分析．12.答案：A解析：【分析】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题．求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+x2+ax-a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=-a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x-1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．13.答案：（6，-8）解析：解：由题意，不妨设向量的坐标为：=（-3m，4m）（m＜0），则||==10，解得：m=-2（m=2舍去），所以=（6，-8）．故答案为：（6，-8）．由题意首先设出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式解方程即可确定向量的坐标．本题主要考查共线向量的概念，向量的模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．14.答案：解析：解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为=，故答案为：．由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为=，得解本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题．15.答案：解析：解：连接HF，因为点M在抛物线y2=4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|=|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（-1，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为=．故答案为：．由抛物线定义可知|MH|=|MF|，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论．在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16.答案：24解析：【分析】本题考查求解以三视图为载体的空间几何体的体积，关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，训练了利用分割补形法求解多面体的体积，是中档题．首先确定几何体的空间结构特征，然后将其分割之后求解其体积即可．【解答】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E=D1F=2，BG=CH=1，三视图所对应的几何体是多面体AEG-DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：V=V E-AGHD+V H-EFD=．故答案为：24．17.答案：解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意知：，解得a1=3，d=2．所以a n=2n+1．（2）由（1），a n=2n+1，则有．则．所以T n=，=．解析：（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又四边形ABCD是长方形，∴AB⊥AD，又，SO、AD平面SAD,∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD;利用勾股定理得，同理可得;在△SAD中，，SA2+SD2=AD2，故SA⊥SD，又AB⊥SD，，SA、AB平面SAB,∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．解：（2）由（1）中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD，∵AB=CD=1，SB=SC=2，则由勾股定理可得，∴，在△SAD中，，∴AD边上高h=，∴，故=，∴四棱锥S-ABCD的侧面积．解析：本题考查面面垂直的判定与证明，空间几何体的侧面积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．（1）作SO⊥AD，则SO⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD，推导出SA⊥SD，从而SD⊥平面SAB，由此能证明平面SAB⊥平面SCD．（2）推导出AB⊥SA，CD⊥SD，由勾股定理可得，四棱锥S-ABCD的侧面积S=S△SAB+S△SBC+S△SCD+S△SAD，由此能求出四棱锥S-ABCD的侧面积．19.答案：解：（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学生的人中，选生物的频率为，所以选择生物的概率约为，所以选择生物的人数约为人．（Ⅱ）2人．（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件有：（A1，A2），（A2，A3），（A3，B1），（B1，C1），（C1，C2）（A1，A3），（A2，B1），（A3，C2），（B1，C2）（A1，B1），（A2，C1），（A3，C1）（A1，C1），（A2，C2）（A1，C2）所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个，分别为（A1，A2），（A2，A3），（C1，C2），（A1，A3），∴这2名学生选考科目完全相同的概率为p=．解析：（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，在选考方案确定的学生的人中，求出选择生物的概率约为，由此能求出选择生物的人数．（Ⅱ）由题意能求出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数2人．（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，由此利用列举法能求出任取2名男生，这2名学生选考科目完全相同的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.答案：解：（1）依题意，可设椭圆E的方程为∵离心率为，∴，即a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∵椭圆经过点，∴解得c2=1∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为．（2）记A、B两点坐标分别为A（x1，x2 ），B（x2，y2），由消去y，得（4k2+3）x2-16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，∴△=（16k）2-16（4k2+3）＞0，∴k2＞，由韦达定理x1 +x2=，x1x2=，∵原点O在以MN为直径的圆外，∴∠MON为锐角∵∴∠AOB为锐角∴∵═x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4=（k2+1）×-2k×+4=∴∴∵k2＞，∴∴k的取值范围为解析：（1）依题意设出椭圆的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，结合向量条件，原点O在以MN为直径的圆外，可得∠MON为锐角，从而∠AOB为锐角，利用向量的数量积，即可求得k的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，综合性强．21.答案：解：（I）f′（x）=x-（a-1）-=（x＞0），f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞0时，解f'（x）＞0得x＞a，解f'（x）＜0得0＜x＜a．所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（II）由（I）知a＞0且m=f（a）=-a2+a-a lna，f'（a）=-a-ln a，f'（a）=0有唯一根a0，∵ln0.5＜-0.5，ln0.6＞-0.6，∴a0∈（0.5，0.6）．且f（a）在（0，a0）上递增，在（a0，+∞）递减，所以m=f（a）≤f（a0）=-a02+a0-a0ln a0=a02+a0＜×0.36+0.6=0.78＜1．解析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出m=f（a）=-a2+a-a lna，根据f'（a）=-a-ln af'（a）=0有唯一根a0，得到a0∈（0.5，0.6），代入判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22.答案：解：（1）∵，代入y2=4x，∴ρsin2θ-4cosθ=0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4cosα•t-8=0，∴△=16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2=，t1t2=-，则|AB|=|t1-t2|==4，∴，∴或．解析：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，根据弦长公式，即可求解．本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.答案：解：（1）若m=2时，|x-1|+|2x+2|≤3，当x≤-1时，原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-，所以，当-1＜x＜1时，原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0，所以-1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x，即|2x+m|≤2-x，故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x，又由题意知：（-x-2）min≤m≤（2-3x）max，即-3≤m≤2，故m的范围为[-3，2]．解析：本题考查解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力，属于中档题.（1）通过分段讨论去掉绝对值符号解不等式，最后将每一段的解集并在一起即可；（2）当x∈[0，1]时，转化为|2x+m|≤2-x有解，即-x-2≤m≤2-3x在x∈[0，1]时有解，即（-x-2）≤m≤（2-3x）max，可求解实数m的取值范围．min。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(文科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．（5分）已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by ＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sinA+cosA）b，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x1234566.6 6.777.17.27.4年产量（万吨）（I）根据表中数据，建立y关于x 的线性回归方程＝x+a （II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i ﹣）（y i ﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．【解答】解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【解答】解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A 的三角函数，则最大值可求．【解答】解：∵b＝，c＝（sinA+cosA）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．【解答】解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．【解答】解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A 1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB 为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．【解答】解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
_2020河南省六市第二次联考文科数学试卷及其答案
2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学文科参考答案一㊁选择题1-6 C B A B C D 7-12 D C C A D A 二㊁填空题13.2 14.3 15.(-1,6) 16.23三㊁解答题17解:(Ⅰ)ȵa 12+a 23+ +a n n +1=n 2+n ..①ʑ当n =1时,可得a 1=4,1分 当n ȡ2时,a 12+a 23+ +a n -1n =(n -1)2+n -1.② 分 ① ②可得:a n n +1=(2n -1)+1=2n ,4分 ʑa n =2n (n +1).n =1时也满足5分 ʑa n =2n (n +1).6分 (Ⅱ)b n =1a n =12n (n +1)=12(1n -1n +1)8分 ʑS n =12(1-12+12+12-13+ +1n -1n +1=12(1-1n +1),10分 又S n >1940,可得n >19,11分 可得最小正整数n 为20.12分 18解:(Ⅰ)证明:因为G 为A E 中点,A D =D E =2所以D G ʅA E .1分 因为平面A D E ʅ平面A B C E ,平面A D E ɘ平面A B C E =A E ,D G ⊂平面A D E ,所以D G ʅ平面A B C E .3分 在直角三角形A D E 中,易求A E =22,则D G =A D ㊃D E A E =2.4分 所以四棱锥D -A B C E 的体积为V D -A B C E =13ˑ(1+5)ˑ22ˑ2=22.6分(Ⅱ)在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =457分 过点C 作C F ʊA E 交A B 于点F ,过点F 作F P ʊA D 交D B 于点P ,连接P C因为C F ʊA E ,A E ⊂平面A D E ,C F ⊄平面A D E ,所以C F ʊ平面A D E ,同理F P ʊ平面A D E ,又因为C F ɘP F =F ,所以平面C F P ʊ平面A D E .9分 因为C P ⊂平面C F P ,所以C P ʊ平面A D E .)页5共(页1第 案答学数科文三高所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E .10分因为四边形A E C F 为平行四边形,所以A F =C E =1,即B F =4故B P B D =B F A B =45所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =4512分 19.(Ⅰ)0.4;(Ⅱ)710.(Ⅲ)选择方案(1)解:(Ⅰ)设事件为 随机选取一天,这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单 依题意,快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为:0.2,0.15,0.05因为0.2+0.15+0.05=0.4所以P (A )估计为0.4.4分 (Ⅱ)设事件B 为 从五名骑手中随机选取2人,至少有1名骑手选择方案(2) 从五名骑手中随机选取2名骑手,有10种情况,即{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{甲,戊},{乙,丙},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁}{丙,戊}{丁,戊}6分 其中至少有1名骑手选择方案(2)的情况为{甲,丁},{甲,戊},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁},{丙,戊},{丁,戊}共7种情况,所以P (B )=710.8分 (Ⅲ)方法1:快递公司人均日快递量的平均数是:30ˑ0.05+40ˑ0.05+50ˑ0.2+60ˑ0.3+70ˑ0.2+80ˑ0.15+90ˑ0.05=62因此,方案(1)日工资约为50+62ˑ3=23610分 方案(2)日工资约为100+(62-44)ˑ5=190<236故骑手应选择方案(1)12分 方法2:设骑手每日完成快递业务量为n 单方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{当n <17时,y 1<y 2依题意,可以知道n ȡ25,所以这种情况不予考虑当n ȡ25时令50+3n >100+5(n -44) 则n <8510分 即若骑手每日完成快递业务量在85单以下,则方案(1)日工资大于方案(2)日工资,而依题中数据,每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05,较低,故建议骑手应选择方案(1)12分 方法3:设骑手每日完成快递业务量为n 单,方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{所以方案(1)日工资约为140ˑ0.05+170ˑ0.05+200ˑ0.2+230ˑ0.3+260ˑ0.2+290ˑ0.15+320ˑ0.f 05=23610分 方案(2)日工资约为100ˑ0.05+100ˑ0.05+130ˑ0.2+180ˑ0.3+230ˑ0.2+280ˑ0.15+330ˑ0.)页5共(页2第 案答学数科文三高05=194.5因为236>194.5,所以建议骑手选择方案(1)12分 20.(Ⅰ)f '(x )=2x -a +1x =2x 2-a x +1x ,(x >0)1分 ȵx =1时,f (x )取得极值,ʑf '(1)=0,a =3.2分 ʑf '(x )=2x 2-3x +1x =(2x -1)(x -1)x 由f '(x )>0得0<x <12或x >1,由f '(x )<0得12<x <14分 ʑf (x )的单调增区间为(0,12)ɣ(1,ɕ),单调减区间为(12,1).5分 (Ⅱ)f '(x )=2x 2-a x +1x ,(x >0)ȵf (x )存在两个极值点ʑ方程f '(x )即2x 2-a x +1=0在(0,+ɕ)上有两个不等实根ʑΔ=a 2-8>0,x 1x 2=12>0,x 1+x 2=a 2>16分 f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=x 22-a x 2+l n x 2-x 12+a x 1-l n x 1x 2-x 1=x 2+x 1-a +l n x 2-l n x 1x 2-x 1=-a 2+l n x 2-l n x 1x 2-x 17分 ʑ所证不等式f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2等价于l n x 2-l n x 1x 2-x 1>4a 8分 即l n x 2-l n x 1x 2-x 1>2x 2+x 19分 不妨设x 2>x 1>0,即证l n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+110分 令t =x 2x 1>1,h (t )=l n t -2(t -1)t +1,则h '(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,ʑh (t )在(1,+ɕ)上递增.ʑh (t )>h (1)=0.11分ʑl n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+1成立.ʑf (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2成立.12分 21.解:(Ⅰ)由题知点Q 到F 的距离|Q F |等于Q 到y 轴的距离加2所以|Q F |等于Q 到直线x =-2的距离2分)页5共(页3第 案答学数科文三高由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点,以x =-2为准线的抛物线3分 所以动点Q 的轨迹W 的方程为y 2=8x 4分 (Ⅱ)设直线AM 的方程为x =m (y -4)+2(m >0),与y 2=8x 联立,得y 2-8m y +32m -16=0,则Δ=64m 2-4ˑ(32m -16)>0,ȵm >0,ʑ0<m <1或m >1,6分 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则4+y 1=8m ,即y 1=8m -4,以-1m 代替m ,得y 2=-8m-4,则向量NM ң在y 轴正方向上的投影为y 1-y 2=8(m +1m )9分 设函数f (m )=8(m +1m ,则f (m )在(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,从而f (m )>f (1)=1611分故向量NM ң在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,+ɕ).12分 22.(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程为x =1-32t y =3+12t ìîíïïïïï(t 为参数)消去参数得x +3y -4=0由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ得ρc o s θ+3ρs i n θ=4,即ρc o s θs i n π6+ρs i n θc o s π6=2即曲线C 1的极坐标方程为ρs i n (θ+π6)3分 由ρ2=x 2+y 2,ρ2(1+2s i n 2θ)=3,x 2+y 2+2y 2=3即x 23+y 2=15分 (Ⅱ)设A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π2),D (ρ3,θ),C (ρ4,θ+π2)故S 2әA O B =14ρ12ρ22=14㊃31+2s i n 2θ㊃31+2c o s 2θȡ9411+2s i n 2θ+1+2c o s 2θ2æèçöø÷2=916,即әA O B 面积的最小值为34,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 法2:ρ12c o s 2θ3+ρ12s i n 2θ=1,ρ22s i n 2θ3+ρ22c o s 2θ=1,故1ρ12+1ρ22=43ʑ2ρ1ρ2ɤ1ρ12+1ρ22=43,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 )页5共(页4第 案答学数科文三高S әA O B =12ρ1ρ2ȡ34此时S әC O D =12ρ3ρ4=12㊃2s i n (π4+π6)㊃2c o s (π4+π6)=4c o s π3=8故所求四边形的面积为S 四边形A B C D =8-34=29410分 23.证明(Ⅰ)ȵa ,b ,c >0,ʑf (x )=1a 2+|x +14c 2|+|x -1b 2|ȡ|x +14c 2-(x -1b 2)|+1a 2=1a 2+1b 2+14c 2ʑ1a 2+1b 2+14c 2=13分 由柯西不等式得(a 2+b 2+4c 2)(1a 2+1b 2+14c 2)ȡ(1+1+1)2=9当且仅当a =b =2c =3时取 = ʑa 2+b 2+4c 2ȡ95分 (Ⅱ)ȵ1a 2+1b 2ȡ2a b ,1b 2+14c 2ȡ1b c ,1a 2+14c 2ȡ1a c (以上三式当且仅当a =b =2c =3时同时取 = )7分 将以上三式相加得2a b +1b c +1a c ɤ2(1a 2+1b 2+14c 2)=2即1a b +12b c +12a cɤ110分 )页5共(页5第 案答学数科文三高。
2020年河南省郑州市高考(文科)数学二模试卷 (word版含解析)
2020年河南省郑州市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住;②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%;④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a;（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x 轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l 在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ （a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。