高三数学(理科)冲刺试卷10

第5题2012年高三数学(理科)冲刺试卷班级 姓名 学号一、选择题：（1）已知集合{|M x y ==,22{|log (2)}N x y x x ==-,则()R C M N ⋂=（ ）A. 11(,)32B. 11(,)[,)32-∞⋃+∞ C. 1[0,]2D. 1(,0][,)2-∞⋃+∞（2）复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是（ ）A ．3a =或2a =-B ．3a =或4a =-C ．3a =D ．2a =-（3）若函数cos(2)(0)y x ωϕω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω为（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．4（4）已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m = ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④（5）若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）（6）已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于 （ ）A. B.2 C.3D.4第9题（7）已知A B C ∆中，4,A B A C B C ===，点P 为B C 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+满足 （ ）A.最大值为16B.为定值8C.最小值为4D.与P 的位置有关（8）实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为（ ）A. c d a b <<<B. a b c d <<<C. c a d b <<<D. a c b d <<<（9）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端 的数均为1n（2n ≥），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．1360 B ．1504 C ．1840D ．11260（10）,P Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且M P M Qλ=（0λ>且1λ≠），点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=（0λ>且1λ≠）则以下判断正确的是（ ）A ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是减函数B ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是减函数C ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是增函数D ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是增函数二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n 的值为 ．（12）如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若01,,,mm mm a m bm c m <<===，则输出的数是 ．0.036 第11题第12题（13）已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则b c a+ ．（14）已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的体积为________．（15）有,,,A B C D 四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为,,,a b c d ．把,,,A B C D 和,,,a b c d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A 与a 相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为 ．（16）已知向量,,a b c 满足2,1a b c === ，()()0a c b c -⋅-= ，则a b -的取值范围为 ． （17）已知函数931()931xxxxk f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，均存在以123(),(),()f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题： （18）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围（19）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =（Ⅰ）求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列；（Ⅱ）n S 是数列{}n a 的前n 项的和．问是否存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．第14题（20）如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ． 点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --（21）已知点(,1)P a -（a R ∈）,过点P 作抛物线2:C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y （其中12x x <）．（Ⅰ）求1x 与2x 的值（用a 表示）；（Ⅱ）若以点P 为圆心的圆E 与直线AB 相切，求圆E 面积的最小值．（22）已知函数32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（Ⅰ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？数学（理科）答案第Ⅰ卷（共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. （11）100．（12）c .（13）3-.（14）23. （15）2分.（16）1].（17）142k -≤≤.三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (3)分又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+-⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．……7分（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……9分max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．……14分（19）解：（Ⅰ）证明：1,n n a a + 是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n nn n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ……2分 111111222(2)333 1.111222333n nn nn n n nnnn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯故数列1{2}3nn a -⨯是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1112(1)33nn n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3nnn a =--2321211(2222)[(1)(1)(1)]33n nn n S a a a ∴=+++=++++--+-++-11(1)1[22].32nn +--=--……8分因此，1121111[2(1)][2(1)][2(2)1]99n n n n n nn n n b a a ++++=⋅=--⨯--=---要使n n b S λ>，对*n N ∀∈都成立，即211*1(1)1[2(2)1][220,()932nn nn n N λ++-------->∈（*） ……10分①当n 为正奇数时，由（*）式得：2111[221](21)093n n n λ+++--->即111(21)(21)(21)093n nn λ++-+-->，11210,(21)3n nλ+->∴<+ 对任意正奇数n 都成立，因为1(21)(3nn +为奇数）的最小值为1．所以 1.λ<……12分②当n 为正偶数时，由（*）式得：2111(221)(22)093n nn λ++---->， 即112(21)(21)(21)093n nnλ++--->11210,(21)6n n λ+->∴<+ 对任意正偶数n 都成立，因为11(21)(6n n ++为偶数）的最小值为3.23.2λ∴<所以，存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立时λ的取值范围为(,1)-∞． ……14分（20）解：（Ⅰ）∵点A 、D 分别是RB 、∴BC AD BC AD 21,//=∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥, ……3分∵A AB PA AB BC =⊥ ,,∴BC ⊥平面PAB ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. ……7分（Ⅱ）取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥ ∵AD AP AR AP ⊥⊥,, ∴⊥AP 平面RBC .……9分 ∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF . ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……12分 在Rt△RAD 中, 22212122=+==ADRARD AF ，在Rt△PAF 中, 2622=+=AFPAPF，cos 3AF AFP PF∠==.∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33． ……15分（21）解：（Ⅰ）由2y x =可得，2y x '=． ……1分 ∵直线P A 与曲线C 相切，且过点(,1)P a -，∴211112x x x a+=-，即211210x ax --=， ……3分∴122a x a -==-1x a =+……4分同理可得：2x a =-2x a =+……5分 ∵12x x <，∴1x a =-2x a =+……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，122x x a +=，121x x ⋅=-， ……7分 则直线AB 的斜率221212121212y y x x k x x x x x x --===+--， ……8分∴直线AB 的方程为：1121()()y y x x x x -=+-，又211y x =，∴22112112()y x x x x x x x -=+--，即210ax y -+=．∵点P 到直线AB 的距离即为圆E的半径，即2r =，……10分 ∴22222222222222131913()()()4(1)(1)424164411141444a a a a a r a a a a ++++++++====++++221933()3142216()4a a =+++≥=+，当且仅当22191416()4a a +=+，即21344a +=，2a =±时取等号．故圆E 面积的最小值23S r ππ==．……15分（22）解：（Ⅰ）因为32,1,()ln ,1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤≤时，()(32)f x x x '=--，解()0f x '>得到203x <<；解()0f x '<得到10x -<<或213x <<．所以()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24()327f =．……3分，又(1)2,(1)0f f -==，所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．……4分②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……8分（Ⅱ）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠． ……9分因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0O P O Q ⋅=，即：232()()0t f t t t -+⋅+=（1）……10分 是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解． 若01t <<，则32()f t t t =-+，代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无实数解． ……11分若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1(1)ln t t a=+，……12分设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()l n 0h x x x'=+>在[1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，所以当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程（1）有解．……14分所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……15分。