2008-2011年高考数学试卷、答案(8海南理)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ） A. 1B. 2C. 1/2D. 1/32、已知复数1z i =-，则221z z z -=-（ ）A. 2iB. －2iC. 2D. －23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. 5/18B. 3/4C.2D. 7/84、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ）A. 2B. 4C. 152D.1725、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c6、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）A.（0，11a ） B. （0，12a ）C. （0，31a ） D. （0，32a ）7、023sin 702cos 10--=（ ）A. 12B.2C. 2D.28、平面向量a r ，b r共线的充要条件是（ ）A. a r ，b r 方向相同B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。

不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 30种C. 40种D. 60种10、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B.417C.2ln 21D. 2ln 211、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、已知向量(0,1,1)a =-r ，(4,1,0)b =r，||a b λ+=r r0λ>，则λ= ____________14、过双曲线221916xy-=的右顶点为A ，右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________第II 卷三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（1） 求{}n a 的通项n a ；（2） 求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

18、（本小题满分12分）如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318320322322324327329331333336337343356（1） 求DP 与CC 1所成角的大小；（2） 求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

19、（本小题满分12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2。

根据市场分析，X 1和X 2的（1） 在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1、DY 2；（2） 将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和。

求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值。

（注：D(aX + b) = a 2DX ）1A AB20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2。

F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3M F =。

（1） 求C 1的方程； （2） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+uuu r uuur uuuu r，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若O A uur ·O B uu u r =0，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。

（1） 求()y f x =的解析式；（2） 证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3） 证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。

（1）证明：O M ·OP = OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。

过B 点的切线交直线ON 于K 。

证明：∠OKM = 90°。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：2()2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数。

（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。

写出1'C ，2'C 的参数方程。

1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（1） 作出函数)(x f y =的图像； （2） 解不等式2|4||8|>---x x 。

2008年普通高等学校统一考试（海南卷）数学（理科）参考答案一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A10．D11．A 12．C二、填空题 13．314．321515．43π16．1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． 3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．三、解答题17．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4．18．解：如图，以D 为原点，D A则(100)DA =，，uu u r ，(001)CC '=，，uuu r ．连结B D ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长D P 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，uuu r，由已知60DH DA <>=，ouuu r uu u r， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rg 可得2m =解得2m =，所以122D H ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，uuu r ．（Ⅰ）因为0011cos 2D H C C ⨯+⨯+⨯'<>==，uuu r uuu r，所以45D H C C '<>=，ouuu r uuu r．即D P 与C C '所成的角为45 ．（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，uuu r．因为01101cos 2D H D C ⨯+⨯+⨯<>==，uuu r uuu r ，所以60D H D C <>=，ouuu r uuu r． 可得D P 与平面AA D D ''所成的角为30 ．19．解：（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为150.8100.26EY =⨯+⨯=，221(56)0.8(106)0.24D Y =-⨯+-⨯=，220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312D Y =-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）12100()100100xx f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212100100100x x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22243(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 2224(46003100)100x x =-+⨯， 当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值．20．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253M F =，所以1513x +=，得123x =，13y =M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去2b 并整理得 4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143xy+=．（Ⅱ）由12MF MF MN +=uuur uuuu r uuu r知四边形12M F N F 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l M N ∥，所以l 与O M 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，12169m x x +=，212849m x x -=．因为O A O B ⊥uur uu u r，所以12120x x y y +=． 121212126()()x x y y x x x m x m +=+-- 2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=-+g g21(1428)09m =-=．所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->， 故所求直线l的方程为y =-，或y =+．21．解： （Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，， 解得11a b =⎧⎨=-⎩，， 或948.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-．（Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形．（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．22．解：（Ⅰ）证明：因为M A 是圆O 的切线，所以O A A M ⊥． 又因为A P O M ⊥．在R t O A M △中，由射影定理知，2OA OM OP =g ．（Ⅱ）证明：因为B K 是圆O 的切线，B N O K ⊥． 同（Ⅰ），有2OB ON OK =g ，又O B O A =， 所以O P O M O N O K =g g ，即O N O M O PO K=．又N O P M O K =∠∠，所以O N P O M K △∽△，故90OKM OPN == ∠∠． 23．解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -+=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '：24x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同． 24．解：（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩， ≤，， ≤，图像如下：（Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，．2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}（2）已知复数12z i =-，那么1z=（A55+ （B）55- （C ）1255i + （D ）1255i -（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=（A(B) (C) 4 (D)12（4）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96S S =（A ） 2 （B ）73（C ） 83（D ）3（7）曲线y=2x x -在点（1，－1）处的切线方程为（A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（A ）23-(B)23(C)－12(D)12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D)［12，23）（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。