2019届高三数学(文)一轮复习导学案及达标训练：第49讲圆锥曲线的综合问题Word版含答案

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【数学】2019届一轮复习人教B版直线与圆锥曲线的综合应用学案

高考必考题突破讲座(五)直线与圆锥曲线的综合应用考情分析命题趋势题型特点圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、抛物线的准线、双曲线的渐近线是常考题型．2．圆锥曲线中的定点与定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．3．圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．4．圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【例1】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A ．x 29－y 213＝1B ．x 213－y 29＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1 (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有相同的焦点F .点P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.(2)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E .如图所示，将x ＝p2代入抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，且PF ⊥OF . 所以|PE |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ，|PF |＝p ，|EF |＝p .故2a ＝2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.【例2】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是点M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解析 (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)．又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b 2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，由Δ>0，得m 2<4k 2＋2， (*) 且x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1.又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m 2k 2＋1＋m 2，整理得|ND |2＝4m 2(1＋3k 2＋k 4)(2k 2＋1)2，因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1)(2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2.令t ＝8k 2＋3，t ≥3.故2k 2＋1＝t ＋14，所以|ND |2|NF |2＝1＋16t (1＋t )2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2.当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3时等号成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4，故|NF ||ND |≥12，设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF |ND ≥12，所以θ的最小值为π6.从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.由(*)得－2<m <2且m ≠0.综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.【例3】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解析 (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，且l 不过原点，所以k ≠3.由(1)可知Δ＝4k 2b 2－4(k 2＋9)(b 2－m 2)>0，即k 2m 2>9b 2－9m 2.将⎝⎛⎭⎫m 3，m 代入直线l 的方程，得b ＝m －km3，∴k 2m 2>9⎝⎛⎭⎫m －km 32－9m 2，即6k >0，∴k >0.所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将b ＝m －km3代入x M ＝－kb k 2＋9，得x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．1．(2018·河北衡水质检)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1，③|AB |＝83.其中正确结论的个数为( A )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d＝|2|2＝1，故②正确；③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB |＝1＋1·|x 1－x 2|＝83，故③正确．故选A ．2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解析 (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y 1y 2＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y 1x 1·y 2x 2＝－12，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0，即y 214·y 224＋2y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－32.所以y 1y 2＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．3．(2017·天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解析 (1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac－a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0.又因为0<e <1，解得e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝32c ，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫3c m ＋22＝⎝⎛⎭⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c2－3c2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为12|FQ |·|QN |＝27c 232，同理△FPM 的面积等于75c 232，由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c ，又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.4．(2016·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||AF －1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．解析 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．课时达标讲座(五)[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．1．(2018·福建三明一中期中)已知双曲线C 1与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－332.(1)求C 1的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx －1与C 1的左支有两个相异的公共点，求k 的取值范围．解析 (1)依题意，双曲线C 1的焦点坐标为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫52＋42＋⎝⎛⎭⎫－3322－⎝⎛⎭⎫52－42＋⎝⎛⎭⎫－3322＝4，即a ＝2，又因为c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝12.故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24－y 212＝1，得(3－k 2)x 2＋2kx －13＝0，设该方程的两根分别为x 1，x 2，则依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝4k 2＋52(3－k 2)＝156－48k 2>0，x 1＋x 2＝－2k3－k 2<0，x 1x 2＝－133－k 2>0，解得－132<k <－ 3.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－132，－3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1＝2＋2m ＋1，x 2＝2－2m ＋1，从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.3．(2018·四川绵阳南山中学期中)如果点M (x ，y )在运动过程中总满足关系式()x －22＋y 2＋()x ＋22＋y 2＝23.(1)说明点M 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx ＋2与点M 的轨迹交于不同的A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解析 (1)(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝23可表示(x ，y )与(2，0)，(－2，0)的距离之和等于常数23，由椭圆的定义，可知此点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且a ＝3，c ＝2，故轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.∵Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＝36k 2－36>0，k 2>1， x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，且点O 到直线l 的距离为d ＝2k 2＋1，|AB |＝k 2＋1·|x 1－x 2|， ∴S ＝12|AB |·d ＝12×2|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6k 2－11＋3k 2.令t ＝k 2－1(t >0)，则k 2＝t 2＋1，∴S ＝6t 3t 2＋4＝63t ＋4t ≤32，当且仅当t ＝233，即k ＝±213时，等号成立，即S 取最大值32. 4．(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作 x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解析 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．5．在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由．解析 (1)方法一当直线AB 垂直于x 轴时， y 1＝22，y 2＝－22，因此y 1y 2＝－8为定值．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0.∴y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值．方法二设直线AB 的方程为my ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值．(2)设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21.点A在抛物线上，所以y 21＝4x 1，因此以AC 为直径的圆的半径 r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4，又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a .故直线l 被圆截得的弦长为 2r 2－d 2＝214(x 21＋4)－⎝⎛⎭⎫x 1＋22－a 2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2. 当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.6．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝6，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以|t ＋k |1＋k2＝1⇒2k ＝1－t 2t (t ≠0)，把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k 2.因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ，又因为C 在椭圆上，所以8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1，因为t 2>0，所以⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．7．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．解析 (1)将圆M 的一般方程x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝3，圆M 的圆心为M (3,1)，半径为r ＝ 3.由A (0,1)，F (c,0)(c ＝a 2－1)得直线AF ：xc ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0.由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1＝ 3.∴c ＝2或c ＝－2(舍去)．∴a ＝3，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明：由AP →·AQ →＝0，知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，由A (0,1)可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1kx ＋1(k ≠0)，将y ＝kx ＋1代入椭圆C 的方程x 23＋y 2＝1并整理，得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－6k1＋3k 2，因为P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－6k 1＋3k 2，－6k 21＋3k 2＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2.将上式中的k 换成－1k ，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3. ∴直线l 的方程为y ＝k 2－3k 2＋3－1－3k 21＋3k 26k k 2＋3＋6k 1＋3k 2⎝⎛⎭⎫x －6k k 2＋3＋k 2－3k 2＋3，化简得直线l 的方程为y ＝k 2－14k x －12.因此直线l 过定点N ⎝⎛⎭⎫0，－12. 8．(2018·广西桂林中山中学阶段性测试)已知焦距为2的椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，点M (x 0，y 0)为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA 1，MA 2，MB 1，MB 2的斜率之积为14.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)如图所示，点A ，D 是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD ⊥AB ，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证：B ，C ，D 三点共线．解析 (1)由题意可知2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1. ∵M (x 0，y 0)为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，∴x 20a 2＋y 20b 2＝1，y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，x 20＝a 2b2(b 2－y 20)， ∴kMA 1·kMA 2·kMB 1·kMB 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ·y 0－b x 0·y 0＋b x 0＝y 20x 20－a 2·y 20－b 2x 20＝b 2a 2(a 2－x 20)x 20－a 2·y 20－b 2a 2b 2(b 2－y 20)＝⎝⎛⎭⎫b 2a 22＝14，则a 2＝2b 2，∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：不妨设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．∵A ，D 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). ∵AD ⊥AB ，∴k AD ·k AB ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即y 1x 1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－1，∴y 1x 1＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2， ∴k BD －k BC ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，即k BD ＝k BC .∴B ，C ，D 三点共线．。

【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题16圆锥曲线的综合问题教案

第3讲圆锥曲线的综合问题高考定位圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.真题感悟(2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以ca＝12，2a2c＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝a2－c2＝3，因此椭圆E的标准方程是x24＋y23＝1.(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0).设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0. 当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.当x0≠1时，直线PF1的斜率为y0x0＋1，直线PF2的斜率为y0x0－1.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程：y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，①直线l 2的方程：y ＝－x 0－1y 0(x －1).②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； ⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1无解.因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫477，377. 考点整合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等. (1)椭圆中的最值F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①OP ∈[b ，a ]； ②PF 1∈[a －c ，a ＋c ]； ③PF 1·PF 2∈[b 2，a 2]；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①OP ≥a ； ②PF 1≥c －a .3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 [命题角度1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2017·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆Ω：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点，过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求出λ值；若不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2，0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(2)解存在.设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝k 1（x －2），x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2（k 21－1）1＋k 21，y P ＝k 1(x P－2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －2），x 24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝2（4k 21－1）1＋4k 21，y B ＝k 1(x B－2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 212（k 21－1）1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC . (3)证明设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0，1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎨⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－2（16k 21－1）16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 212（1－4k 21）1＋4k 21－2＝－14k 1，所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2（16k 21－1）16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q .探究提高如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.[命题角度2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：AN ·BM 为定值.(1)解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明由(1)知A (2，0)，B (0，1).设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2). 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而BM ＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而AN ＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.所以AN ·BM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，BM ＝2，AN ＝2，所以AN ·BM ＝4.综上，AN ·BM 为定值.探究提高定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.【训练1】 (2012·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值.解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝（my 1）2＋y 21＝2（m 2＋1）＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2（m 2＋1）－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22. (ⅱ)证明因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2).同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1).因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22（m 2＋1）m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值. 热点二最值与范围问题[命题角度1] 求线段长度、三角形面积的最值【例2－1】 (2017·宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值.解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＋a 2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线P A 的方程为y ＝k (x ＋4)，k >0，则M (0，4k )，可得MF 的斜率为k MF ＝－2k ，因为MF ⊥FN ，所以直线FN 的斜率k FN ＝－1k MF＝22k ，所以直线FN 的方程为y ＝22k (x －22)，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k .①当直线P A 的斜率为12，即k ＝12时，M (0，2)，N (0，－4)，F (22，0)，因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9. ②联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋4），x 216＋y 28＝1，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2，直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点. 所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k1＋2k 2＝322k ＋1k≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取等号. 所以△APQ 的面积的最大值为8 2.探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).[命题角度2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，AM ＝AN 时，求△AMN 的面积； (2)当2AM ＝AN 时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由AM ＝AN 及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故AM ＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得AN ＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2AM ＝AN 得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎨⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎨⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.(3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2】 (2017·苏、锡、常、镇模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；(2)若r ＝255.①求证：k 1k 2＝－14；②求OP ·OQ 的最大值.(1)解由题意可知c ＝a 2－b 2＝4－1＝3，则椭圆C 右焦点的坐标为(3，0)，因为圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，且点M 是椭圆上一点，所以圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，±12，半径为12，所以圆M 的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14或 (x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14. (2)①证明因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以|k 1x 0－y 0|k 21＋1＝255，即(4－5x 20)k 21＋10x 0y 0k 1＋4－5y 20＝0，同理可得(4－5x 20)k 22＋10x 0y 0k 2＋4－5y 20＝0，所以k 1，k 2是方程(4－5x 20)k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y 20＝0的两个实根，所以k 1k 2＝4－5y 204－5x 20＝4－5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 204－5x 20＝－1＋54x 204－5x 20＝－14. ②解设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 24＋y 2＝1，解得x 21＝41＋4k 21，y 21＝4k 211＋4k 21，同理可得x 22＝41＋4k 22，y 22＝4k 221＋4k 22，所以OP 2·OQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 21＋4k 211＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 22＋4k 221＋4k 22 ＝4（1＋k 21）1＋4k 21·4（1＋k 22）1＋4k 22＝4＋4k 211＋4k 21·1＋16k 211＋4k 21≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋20k 2122（1＋4k 21）2＝254(当且仅当k 1＝±12时取等号)，所以OP ·OQ 的最大值为52.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；① 利用基本不等式求出参数的取值范围；② 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.。

2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.6圆锥曲线的综合问题

§ 10.6 圆锥曲线的综合问题考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 20142015201620179,5 分1. 认识圆锥曲线的简单应 21(2),9 21,15 分19(2),7用 .分 17( 文 ),4 19,15 分分21(2),圆锥曲线的理解数形联合的思想 .掌握 9( 文 ),5 分 19( 文 ),1 19(2)( 文综合问题2. 约 9 分3. 能解决直线与椭圆、抛物分 22( 文 ), 5 分),线的地点关系等问题 .22( 文 ), 约10分9 分约 9 分剖析解读1. 圆锥曲线的综合问题是高考的热门之一 , 主要考察两大问题 : 一是依据条件求出平面曲线的方程 ; 二是经过方程研究平面曲线的性质.2. 考察点主要有 :(1) 圆锥曲线的基本观点和性质 ;(2) 与圆锥曲线有关的最值、对称、地点关系等综合问题 ;(2) 有关定点、定值问题 , 以及存在性等探究性问题 .3. 估计 2019 年高考试题中 , 圆锥曲线的综合问题还是压轴题之一, 复习时应惹起高度重视.五年高考考点圆锥曲线的综合问题1.(2014 福建 ,9,5 分) 设 P,Q 分别为圆 x 2+(y-6) 2=2 和椭圆 +y 2=1 上的点 , 则 P,Q 两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案 D2.(2014 湖北 ,9,5 分 ) 已知 F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点 ,P 是它们的一个公共点 , 且∠ F 1PF 2= , 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B.C.3D.2答案 A3.(2017 浙江 ,21,15 分 ) 如图 , 已知抛物线 x 2=y, 点 A,B , 抛物线上的点 P(x,y) .过点 B 作直线 AP 的垂线 , 垂足为 Q.(1) 求直线 AP 斜率的取值范围 ; (2) 求 |PA| 2 |PQ| 的最大值 .分析此题主要考察直线方程、直线与抛物线的地点关系等基础知识 , 同时考察分析几何的基本思想方法和运算求解能力 .(1) 设直线 AP 的斜率为 k,k= =x- ,因为 - <x< , 所以直线 AP 斜率的取值范围是 (-1,1).(2)解法一 : 联立直线 AP 与 BQ的方程解得点 Q的横坐标是 x = .Q因为 |PA|= = (k+1),|PQ|= (x -x)=- ,Q所以 |PA| 2 |PQ|=-(k-1)(k+1) 3,令 f(k)=-(k-1)(k+1) 3. 因为 f'(k)=-(4k-2)(k+1) 2,所以 f(k) 在区间上单一递加 , 上单一递减 , 所以当 k= 时 ,|PA| 2 |PQ| 获得最大值 . 解法二 : 如图 , 连结 BP,|AP| 2 |PQ|=|AP| 2 |PB| 2 cos ∠ BPQ= 2 ( - )=2-.易知 P(x,x 2) ,则 2 =2x+1+2x 2- =2x2 +2x+ , = + =x2+x+ +x 4- x2+ =x4+ x2+x+ .∴ |AP| 2 |PQ|=-x 4+ x2+x+ .设 f(x)=-x 4 2,+ x +x+3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2则 f'(x)=-4x ,∴ f(x) 在上为增函数 , 在上为减函数 ,∴ f(x) =f(1)=.max故 |AP| 2 |PQ| 的最大值为 .4.(2014 浙江 ,21,15 分) 如图 , 设椭圆 C: + =1(a>b>0), 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点P,且点 P在第一象限 .(1)已知直线 l 的斜率为 k, 用 a,b,k 表示点 P 的坐标 ;(2) 若过原点O的直线 l 1与 l 垂直 , 证明 : 点 P 到直线 l 1的距离的最大值为a-b.分析 (1) 设直线 l 的方程为y=kx+m(k<0), 由2 2 2 2 2 2 2 2 2 消去 y 得 (b +a k )x +2a kmx+a m-a b =0.因为 l 与 C只有一个公共点 , 故 =0, 即 b2-m2+a2k2=0, 解得点 P 的坐标为. 又点 P 在第一象限 ,故点 P 的坐标为 P .(2) 证明 : 因为直线 l 1过原点O且与 l 垂直 , 故直线 l 1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l 1 的距离 d=,整理得 d=.22≥ 2ab, 所以 ≤ =a-b,因为 a k +当且仅当 k 2= 时等号建立 .所以 , 点 P 到直线 l 1 的距离的最大值为 a-b.5.(2013 浙江 ,21,15 分) 如图 , 点 P(0,-1) 是椭圆 C 1: + =1(a>b>0) 的一个极点 ,C 1 的长轴是圆 C 2:x 2+y 2=4 的直径 .l ,l 2 是过点 P 且相互垂直的两条直线 , 此中 l1交圆 C 于 A,B 两点 ,l 2交椭圆 C 于另一点 D.121(1) 求椭圆 C 1 的方程 ;(2) 求△ ABD 面积取最大值时直线 l 1 的方程 .分析 (1) 由题意得所以椭圆 12=1.C 的方程为+y(2) 设 A(x,y 1),B(x ,y ),D(x,y 0). 由题意知直线l 1的斜率存在 , 不如设其为 k, 则直线 l1的方程为 y=kx-1.122又圆 C 2:x 2+y 2=4, 故点 O 到直线 l 1 的距离 d= ,所以 |AB|=2=2.又 l 2⊥ l 1, 故直线 l 2 的方程为 x+ky+k=0. 由消去 y, 整理得 (4+k 2)x 2+8kx=0,故 x 0=-.所以 |PD|= .设△ ABD 的面积为 S, 则 S= |AB| 2 |PD|=,所以 S=≤=,当且仅当 k=±时取等号 .所以所求直线l 1的方程为y=±x-1.6.(2017课标全国Ⅰ理,20,12分)已知椭圆C: + =1(a>b>0), 四点 P1(1,1),P2(0,1),P3,P 4中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C的方程 ;(2) 设直线 l 不经过 P2点且与 C 订交于 A,B 两点 . 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 -1, 证明 :l 过定点 . 分析此题考察了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线地点关系中的定点问题.(1)3 4两点对于 y 轴对称 , 故由题设知3 4两点 . 因为 P,P C经过 P ,P又由+ > + 知 ,C 不经过点P1, 所以点P2在 C 上 .所以解得故 C 的方程为 +y 2=1.(2) 设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1,k 2.假如l 与 x 轴垂直, 设l:x=t, 由题设知t ≠ 0, 且|t|<2, 可得A,B 的坐标分别为, . 则k1+k2= - =-1, 得t=2, 不切合题设.进而可设l:y=kx+m(m ≠ 1). 将 y=kx+m代入+y2=1 得2 2 2(4k +1)x +8kmx+4m-4=0.2 2由题设可知=16(4k -m +1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x1+x2=- ,x 1x2= .而k1+k2= +=+=由题设k1+k2=-1,,故 (2k+1)x 1x2+(m-1)(x 1+x2)=0.即 (2k+1) 2 +(m-1) 2 =0.解得k=- .当且仅当m>-1 时 , >0, 于是l:y=- x+m,即 y+1=-(x-2),所以 l 过定点 (2,-1).7.(2017 课标全国Ⅰ文,20,12 分 ) 设A,B 为曲线C:y= 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率 ;(2)设 M为曲线 C 上一点 ,C 在 M处的切线与直线 AB平行 , 且 AM⊥ BM,求直线 AB的方程 .分析此题考察直线与抛物线的地点关系 .(1) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 x1≠ x2,y 1= ,y 2=,x 1 +x2=4,于是直线AB的斜率 k===1.(2) 由 y= , 得 y'=,设 M(x3,y 3), 由题设知 =1,解得 x3=2, 于是 M(2,1).设直线 AB的方程为y=x+m,故线段 AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将 y=x+m 代入 y= 得 x2-4x-4m=0.当=16(m+1)>0, 即 m>-1 时 ,x 1,2 =2±2.进而 |AB|=|x 1 -x 2|=4.由题设知 |AB|=2|MN|,即 4=2(m+1), 解得 m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.8.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中 , 椭圆 E: + =1(a>b>0) 的离心率为, 焦距为 2. (1)求椭圆 E 的方程 ;(2) 如图 , 动直线 l:y=k 1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2, 且k1k2= .M 是线段 OC延伸线上一点 , 且 |MC| ∶ |AB|=2 ∶ 3, ☉ M的半径为 |MC|,OS,OT 是☉ M的两条切线 , 切点分别为S,T. 求∠ SOT的最大值 , 并求获得最大值时直线l 的斜率 .分析此题考察椭圆的方程, 直线与椭圆、圆的地点关系, 考察最值的求解方法和运算求解能力.(1) 由题意知e= = ,2c=2, 所以 a= ,b=1,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立消 y 整理得 (4 +2)x 2-4 k1x-1=0,由题意知>0, 且 x1+x2= ,x 1x2=- ,所以 |AB|=1 2. |x -x |=由题意可知圆M的半径r= |AB|= 2 . 由题设知k1k2= , 所以 k2=,所以直线OC的方程为y=x.联立得 x2=,y 2=, 所以 |OC|==.由题意可知sin==,而=令 t=1+2 , 则t>1,=∈ (0,1),,所以=2 = 2= 2 ≥ 1,当且仅当= , 即t=2 时等号建立, 此时k1=±,所以sin ≤,所以≤ , 所以∠ SOT的最大值为.综上所述 : ∠ SOT的最大值为, 获得最大值时直线l 的斜率k1=±.9.(2016北京,19,14分)已知椭圆C: + =1(a>b>0) 的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程 ;(2) 设 P 是椭圆 C 上一点 , 直线 PA与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点N. 求证 :|AN| 2 |BM| 为定值 .分析(1) 由题意得2 2所以椭圆C的方程为+y2=1.(2) 由 (1) 知,A(2,0),B(0,1).设 P(x 0,y 0), 则 +4 =4.当 x0≠ 0 时 , 直线 PA 的方程为 y= (x-2).令 x=0, 得 y M=- , 进而 |BM|=|1-y M|= .直线 PB 的方程为 y= x+1.令 y=0, 得 x N=- , 进而 |AN|=|2-x N|= .所以 |AN| 2 |BM|= 2===4.当 x0=0 时 ,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以 |AN| 2 |BM|=4.综上 ,|AN| 2 |BM| 为定值 .22 210.(2015 课标Ⅱ ,20,12 分) 已知椭圆 C:9x +y =m(m>0), 直线 l 可是原点 O且不平行于坐标轴 ,l 与 C有两个交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M.(1)证明 : 直线 OM的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ;(2)若 l 过点, 延伸线段 OM与 C交于点 P, 四边形 OAPB可否为平行四边形 ?若能 , 求此时 l 的斜率 ; 若不能, 说明原因 .分析(1) 证明 : 设直线 l:y=kx+b(k ≠0,b ≠ 0),A(x ,y ),B(x2 ,y ),M(x ,y ).11 2 MM2 2 2 2 2 2 2故将 y=kx+b 代入 9x +y =m 得(k +9)x +2kbx+b -m =0,x M= =,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率 k OM= =- , 即 k OM2 k=-9.所以直线OM的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.(2)四边形 OAPB能为平行四边形 .因为直线l 过点, 所以 l 可是原点且与 C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠ 3. 由 (1) 得 OM的方程为 y=- x.设点 P 的横坐标为x P.由得= , 即x P= .将代入 l 的方程得b=,所以 x M=.四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP相互均分, 即 x P=2x M.于是=23 , 解得 k =4- ,k =4+ .1 2因为 k i >0,k i≠3,i=1,2, 所以当 l 的斜率为4- 或4+ 时 , 四边形 OAPB为平行四边形 .11.(2014 课标Ⅰ ,20,12 分 ) 已知点 A(0,-2), 椭圆 E: + =1(a>b>0) 的离心率为,F 是椭圆 E 的右焦点 ,直线 AF 的斜率为,O 为坐标原点 .(1)求 E的方程 ;(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 订交于 P,Q 两点 . 当△ OPQ的面积最大时 , 求 l 的方程 .分析(1) 设 F(c,0),由条件知,=,得 c= .又 = , 所以 a=2,b 2=a2-c 2=1.故 E 的方程为+y 2=1.(2) 当l ⊥ x 轴时不合题意, 故设 l:y=kx-2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).将 y=kx-2 代入+y2=1 得 (1+4k 2)x 2-16kx+12=0.当=16(4k 2-3)>0, 即 k2> 时,x1,2 = .进而 |PQ|= |x 1-x 2|= .d= ,又点 O到直线 PQ的距离所以△ OPQ的面积S△OPQ= d2 |PQ|= .设=t, 则 t>0,S △OPQ= =.因为 t+ ≥ 4, 当且仅当 t=2, 即 k=±时等号建立 , 且知足>0,所以 , 当△ OPQ的面积最大时 ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2.教师用书专用 (12 — 23)12.(2017 山东文 ,21,14 分) 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的离心率为,椭圆 C截直线 y=1 所得线段的长度为 2 .(1)求椭圆 C 的方程 ;(2)动直线 l:y=kx+m(m ≠ 0) 交椭圆 C于 A,B 两点 , 交 y 轴于点 M.点 N是 M对于 O的对称点 , ☉ N的半径为 |NO|. 设 D 为 AB的中点 ,DE,DF 与☉ N分别相切于点E,F, 求∠ EDF的最小值 .分析此题考察椭圆的标准方程及圆锥曲线的有关最值.(1) 由椭圆的离心率为, 得 a2=2(a 2-b 2 ),又当y=1 时,x 2=a2- , 得a2- =2,所以a2=4,b 2=2.所以椭圆方程为+=1.(2) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 联立方程22 2得 (2k +1)x +4kmx+2m-4=0,2 2由 >0 得 m<4k +2,(*)且x1+x2=- , 所以y1+y2= ,所以 D ,又 N(0,-m), 所以 |ND| 2= + ,整理得 |ND| 2=,因为 |NF|=|m|,所以= =1+ .令 t=8k 2+3,t ≥3, 故2k2+1= ,所以=1+=1+.令 y=t+ , 所以 y'=1- .当 t ≥ 3 时 ,y'>0,进而 y=t+ 在 [3,+ ∞ ) 上单一递加 ,所以 t+ ≥ ,等号当且仅当 t=3 时建立 , 此时 k=0,所以≤ 1+3=4,由(*) 得- <m< 且 m≠ 0.故≥ .设∠ EDF=2θ ,则 sin θ =≥ .所以θ的最小值为,进而∠ EDF的最小值为, 此时直线l 的斜率是0.综上所述 : 当 k=0,m∈ (-,0) ∪ (0,) 时 , ∠ EDF取到最小值.13.(2016天津,19,14分)设椭圆+ =1(a>) 的右焦点为F, 右极点为 A. 已知+=, 此中 O为原点 ,e 为椭圆的离心率.(1) 求椭圆的方程;(2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点B(B 不在 x 轴上 ), 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点H. 若 BF ⊥ HF, 且∠ MOA≤∠ MAO,求直线 l 的斜率的取值范围.分析(1) 设 F(c,0),由+=, 即 + =, 可得 a2-c 2=3c2, 又 a2-c 2=b2=3, 所以 c2=1, 所以 a2=4, 所以 , 椭圆的方程为+=1.(2) 设直线 l 的斜率为k(k ≠0), 则直线 l 的方程为y=k(x-2).设 B(x B,y B), 由方程组消去y,整理得 (4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0.解得 x=2 或 x=,由题意得x B=, 进而 y B=.由 (1) 知 F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由 BF⊥ HF,得2=0, 所以+=0, 解得 y H=.所以直线MH的方程为 y=- x+.设 M(x M,y M),由方程组消去 y, 解得 x M=.在△ MAO中, ∠ MOA≤∠ MAO? |MA| ≤ |MO|, 即 (x M-2) 2 +≤+ , 化简得 x M≥ 1, 即≥ 1,解得k≤ -或 k≥.所以 , 直线 l 的斜率的取值范围为∪.14.(2016 四川 ,20,13 分 ) 已知椭圆 E: + =1(a>b>0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个极点 , 直线 l:y=-x+3 与椭圆 E有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标 ;(2) 设 O是坐标原点 , 直线 l' 平行于 OT,与椭圆 E 交于不一样的两点A,B, 且与直线l 交于点 P. 证明 : 存在常数λ, 使得 |PT| 2=λ |PA| 2 |PB|, 并求λ的值 .分析(1) 由题意得 ,a=b, 则椭圆 E 的方程为+=1.由方程组得 3x2-12x+(18-2b 2)=0. ①方程①的鉴别式为=24(b 2-3), 由=0, 得 b2=3,此时方程①的解为x=2, 所以椭圆 E 的方程为+=1.点 T 的坐标为 (2,1).(2)由已知可设直线 l' 的方程为 y= x+m(m≠0),由方程组可得所以 P 点坐标为2 2 ,|PT| = m.设点 A,B 的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0. ②方程②的鉴别式为=16(9-2m 2),由>0, 解得 - <m< .由②得x1+x2=- ,x 1x2= . 所以 |PA|= = ,同理 |PB|= .所以 |PA| 2 |PB|=== =m2.故存在常数λ = , 使得 |PT| 2=λ |PA| 2 |PB|.15.(2015 北京 ,19,14 分 ) 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的离心率为 , 点 P(0,1) 和点 A(m,n)(m ≠ 0) 都在椭圆C上 , 直线PA交 x 轴于点 M.(1) 求椭圆 C 的方程 , 并求点 M的坐标 ( 用 m,n 表示 );(2) 设 O为原点 , 点 B 与点 A 对于 x 轴对称 , 直线 PB交 x 轴于点 N. 问 :y 轴上能否存在点Q,使得∠ OQM=∠ ONQ? 若存在 , 求点 Q的坐标 ; 若不存在 , 说明原因 .分析 (1) 由题意得解得 a2=2.故椭圆 C 的方程为2+y =1.设 M(x M,0).因为 m≠ 0, 所以 -1<n<1.直线 PA 的方程为y-1=x,所以 x M= , 即 M.(2)存在 . 因为点 B 与点 A 对于 x 轴对称 , 所以 B(m,-n).设 N(x N,0), 则 x N=.“存在点 Q(0,y Q) 使得∠ OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q) 使得= ” , 即 y Q知足 =|x M||x N|.因为 x M= ,x N= , +n2 =1,所以 =|x M N =2.||x |=所以 y Q= 或 y Q=- .故在 y 轴上存在点 Q,使得∠ OQM=∠ ONQ.点 Q的坐标为 (0, ) 或 (0,-).16.(2014 湖南 ,21,13 分 ) 如图 ,O 为坐标原点 , 椭圆 C1: + =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心率为e1 ; 双曲线 C2: - =1 的左、右焦点分别为F3、 F4 , 离心率为e2, 已知 e1e2= , 且 |F 2F4|= -1.(1)求 C1,C 2的方程 ;(2)过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB,M为 AB的中点 , 当直线 OM与 C2交于 P,Q 两点时 , 求四边形 APBQ面积的最小值 .分析 (1) 因为 e1e2= , 所以 2 = , 即 a4 -b 4= a4, 所以 a2=2b2, 进而 F2(b,0),F 4( b,0), 于是b-b=|F 2F4|= -1, 所以 b=1, 所以 a2=2.故 C1,C 2的方程分别为+y 2=1, -y 2=1.(2) 因为 AB不垂直于y 轴 , 且过点 F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得 (m2+2)y 2-2my-1=0,易知此方程的鉴别式大于0, 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 y1 ,y 2是上述方程的两个实根 , 所以y1 +y2= ,y 1y2=.所以 x +x =m(y +y2 )-2= , 于是 AB的中点 M的坐标为. 故直线 PQ的斜率为 -, 则 PQ的方程1 2 1为 y=- x, 即 mx+2y=0.由得 (2-m 2)x 2=4, 所以 2-m2>0, 且 x2=,y 2= , 进而 |PQ|=2 =2 .设点 A 到直线 PQ的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ的距离也为 d, 所以 2d= ,因为点 A,B 在直线 mx+2y=0的异侧 , 所以 (mx1+2y1)(mx 2+2y2)<0, 于是 |mx1+2y1|+|mx 2+2y2|=|mx 1+2y1-mx2-2y 2|, 进而2d= .又因为|y 1-y 2|= = ,所以2d= 故四边形. APBQ的面积S= |PQ| 2 2d= =2 . 而 0<2-m2<2, 故当 m=0时 ,S 获得最小值 2. 综上所述 , 四边形 APBQ面积的最小值为 2.17.(2014 山东 ,21,14 分 ) 已知抛物线2C:y =2px(p>0) 的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的随意一点 , 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B, 交 x 轴的正半轴于点D, 且有 |FA|=|FD|. 当点 A 的横坐标为 3 时, △ ADF为正三角形 .(1) 求 C的方程 ;(2) 若直线 l 1∥ l, 且 l 1和 C 有且只有一个公共点E,(i)证明直线 AE 过定点 , 并求出定点坐标 ;(ii)△ ABE的面积能否存在最小值 ?若存在 , 恳求出最小值 , 若不存在 , 请说明原因 .分析(1) 由题意知 F .设D(t,0)(t>0), 则 FD的中点为.因为 |FA|=|FD|,由抛物线的定义知解得 t=3+p(t=-33+ =舍去 ).,由=3, 解得 p=2.所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设 A(x ,y )(x0 y ≠ 0),D(x ,0)(xD>0),00 0 D因为 |FA|=|FD|, 则 |x D-1|=x 0+1,由 x D>0 得 x D=x0+2, 故 D(x 0+2,0).故直线 AB的斜率 k AB=-.因为直线l 1和直线 AB平行 ,设直线l 1的方程为y=- x+b,代入抛物线方程得y2+ y- =0,由题意得= + =0, 得 b=- .设E(x E,y E), 则 y E=- ,x E=,当≠ 4 时 ,k AE==-=, 可得直线AE的方程为y-y 0=(x-x 0), 由 =4x0,整理可得y=(x-1),直线 AE 恒过点 F(1,0).当 =4 时 , 直线 AE的方程为 x=1, 过点 F(1,0),所以直线AE过定点 F(1,0).(ii)由 (i) 知直线 AE过焦点 F(1,0),所以 |AE|=|AF|+|FE|=(x +1)+ =x + +2.0 0设直线 AE的方程为 x=my+1,因为点 A(x 0,y 0) 在直线 AE上 ,故 m= ,设 B(x 1,y 1),直线 AB 的方程为 y-y 0=- (x-x 0),因为 y ≠ 0,可得 x=-0 y+2+x ,代入抛物线方程得y2+ y-8-4x 0=0. 所以 y0+y1=-,可求得 y1=-y 0- ,x 1= +x0+4,所以点 B 到直线 AE的距离为d===4.则△ ABE的面积 S= 3 4 ≥ 16,当且仅当=x0, 即 x0 =1 时等号建立 .所以△ ABE的面积的最小值为16.18.(2014 四川 ,20,13 分 ) 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的焦距为 4, 其短轴的两个端点与长轴的一个端点组成正三角形 .(1)求椭圆 C 的标准方程 ;(2) 设 F 为椭圆 C 的左焦点 ,T 为直线 x=-3 上随意一点 , 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.(i)证明 :OT 均分线段 PQ(此中 O为坐标原点 );(ii)当最小时,求点T的坐标.分析(1) 由已知可得2 2所以椭圆C的标准方程是+ =1.(2)(i) 证明 : 由(1) 可得 ,F 的坐标是(-2,0), 设 T 点的坐标为(-3,m).则直线TF 的斜率k TF= =-m.当 m≠ 0 时 , 直线 PQ的斜率 k PQ= , 直线 PQ的方程是 x=my-2.当 m=0时 , 直线 PQ的方程是 x=-2, 也切合 x=my-2 的形式 .设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立 , 得消去 x, 得 (m2+3)y 2-4my-2=0,其鉴别式2 2=16m+8(m +3)>0.所以 y +y = ,y y =,1 2 1 2x1 +x2=m(y1+y2)-4=.所以 PQ的中点 M的坐标为.所以直线OM的斜率 k OM=-,又直线 OT的斜率 k OT=- , 所以点 M在直线 OT上 , 所以 OT均分线段PQ.(ii) 由 (i) 可得 ,|TF|=,|PQ|=== =.所以==≥= .当且仅当 2时, 等号建立 , 此时获得最小值 .m+1=, 即 m=± 1 所以当最小时 ,T 点的坐标是 (-3,1)或(-3,-1).19.(2013 山东 ,22,13 分 ) 椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点分别是 F 1、F 2, 离心率为 , 过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1) 求椭圆 C 的方程 ;(2) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 , 连结 PF 1,PF 2. 设∠ F 1PF 2 的角均分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0), 求 m 的取值范围 ;(3) 在 (2) 的条件下 , 过点 P 作斜率为 k 的直线 l, 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 . 设直线 PF 1 ,PF 2 的斜率分别为 k 1,k 2. 若 k ≠ 0, 试证明 + 为定值 , 并求出这个定值 .分析(1) 因为 c 2=a 2-b 2,将 x=-c 代入椭圆方程 + =1,得 y=± ,由题意知 =1,2即 a=2b .又 e= = ,所以 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为+y 2=1.(2) 解法一 : 设 P(x 0,y 0)(y 0≠ 0). 又 F(- ,0),F 2 ( ,0),1所以直线 PF 1,PF 2 的方程分别为:y 0x-(x 0+ )y+y 0 =0,x-(x 0)y- 0=0.:y - y 由题意知= .因为点 P 在椭圆上 ,所以+=1.所以= .因为 - <m< ,-2<x <2,所以=.所以 m= x0.所以 -<m< .解法二 : 设 P(x 0,y 0).当 0≤ x0<2 时,①当 x0=时,直线PF2的斜率不存在,易知P或P.若 P, 则直线 PF1的方程为 x-4y+=0.由题意得= -m,因为 -<m< , 所以 m=.若 P, 同理可得 m= .②当 x0≠时,设直线PF1,PF2的方程分别为y=k1 (x+),y=k 2(x-). 由题意知=,所以=.因为+=1,而且 k1=,k 2=,所以===,即=.因为 -<m< ,0 ≤ x0<2 且 x0≠,所以=.整理得 m= , 故 0≤ m< 且 m≠.综合①②可得0≤ m< .当 -2<x 0<0 时, 同理可得 - <m<0.综上所述 ,m 的取值范围是.(3) 设 P(x 0,y 0)(y 0≠ 0), 则直线 l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立得2 2+8(ky 0 2 0-2kx0 0+k2-1)=0.整理得 (1+4k )x -k x )x+4( y由题意知=0,2即 (4- )k +2x0y0k+1- =0.又+=1,所以 16 k2+8x0y0k+=0,故 k=-.由 (2) 知+ = += ,所以+ = = 2=-8,所以+ 为定值 , 这个定值为 -8.20.(2013 陕西 ,20,13 分 ) 已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN的长为 8.(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程 ;(2) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不一样的两点 P,Q, 若 x 轴是∠ PBQ的角均分线 , 证明直线 l 过定点 .分析(1) 如图 , 设动圆圆心为O1(x,y), 由题意 , 知 |O1A|=|O 1M|, 当 O1不在 y 轴上时 , 过 O1作 O1H⊥ MN交 MN于H,则 H是 MN的中点 ,∴ |O1M|=,又 |O1A|= , ∴= ,化简得 y2=8x(x ≠ 0).1 1 1 的坐标 (0,0) 也知足方程∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为=8x.2 2又当 O 在 y 轴上时 ,O 与O重合,点O y =8x, y(2) 由题意 , 设直线 l 的方程为 y=kx+b(k ≠ 0),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将 y=kx+b 代入 y2=8x 中 ,得 k2x2+(2bk-8)x+b 2=0.此中 =-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x 1+x 2=, ①x1 x2= , ②因为 x 轴均分∠ PBQ,所以=-,即 y1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0,(kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0,2kx 1x2+(b+k)(x 1+x2)+2b=0, ③将①②代入③得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b, 此时 >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1), 即直线 l 过定点 (1,0).21.(2013课标全国Ⅰ ,20,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切而且与圆N内切 , 圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1) 求 C的方程 ;(2)l 是与圆 P, 圆 M都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点 , 当圆 P 的半径最长时 , 求 |AB|.分析由已知得圆 M的圆心为 M(-1,0), 半径 r 1=1; 圆 N的圆心为 N(1,0), 半径 r 2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.(1) 因为圆 P 与圆 M外切而且与圆 N内切 , 所以 |PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知, 曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点 , 长半轴长为 2, 短半轴长为的椭圆 ( 左极点除外 ), 其方程为+ =1(x ≠ -2).(2) 对于曲线 C上随意一点 P(x,y), 因为 |PM|-|PN|=2R-2 ≤ 2, 所以 R≤ 2, 当且仅当圆 P的圆心为 (2,0) 时 ,R=2. 所以当圆 P的半径最长时 , 其方程为 (x-2) 2+y2=4.若 l 的倾斜角为 90° , 则 l 与 y 轴重合 , 可得 |AB|=2 .若 l 的倾斜角不为90° , 由 r 1≠R 知 l 不平行于 x 轴 , 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则= , 可求得Q(-4,0), 所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M相切得=1, 解得 k=± .当 k= 时 , 将 y= x+ 代入 + =1, 并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2 = .所以 |AB|=|x 2-x 1|=.当k=- 时 , 由图形的对称性可知|AB|= .综上 ,|AB|=2 或 |AB|= .22.(2013 广东 ,20,14 分 ) 已知抛物线C的极点为原点, 其焦点F(0,c)(c>0) 到直线l:x-y-2=0 的距离为. 设 P 为直线 l 上的点 , 过点 P 作抛物线C的两条切线PA,PB, 此中A,B 为切点 .(1)求抛物线 C 的方程 ;(2)当点 P(x 0,y 0) 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB的方程 ;(3)当点 P 在直线 l 上挪动时 , 求 |AF| 2 |BF| 的最小值 .分析 (1) 依题意 , 设抛物线 C 的方程为 x2=4cy, 由题意知=,c>0, 解得 c=1.所以抛物线2C 的方程为 x =4y.(2) 抛物线 C 的方程为2 2 x =4y, 即 y= x ,求导得 y'= x.设 A(x ,y ),B(x2 ,y ) , 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x , x ,1 12 1 2所以切线PA的方程为 y-y 1= (x-x 1), 即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y 1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y 2=0.因为切线PA,PB 均过点 P(x 0,y 0), 所以 x1x0-2y 0-2y 1=0,x 2x0-2y 所以 (x 1,y 1),(x 2,y 2) 为方程 x0x-2y 0-2y=0 的两组解 . 所以直线0-2y 2=0,AB的方程为x0x-2y-2y 0=0.(3)由抛物线定义可知 |AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF| 2 |BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y2+(y 1+y2)+1,联立方程消去 x 整理得 y2+(2y 0- )y+ =0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2= -2y 0,y 1y2= ,所以 |AF| 2 |BF|=y y +(y1 +y )+1= + -2y +1.1 2 2 0又点 P(x ,y0 ) 在直线 l 上, 所以 x =y +2,0 0 0所以 + -2y0 +1=2 +2y +5=2 + .所以当 y0=- 时 ,|AF| 2 |BF| 获得最小值 , 且最小值为 .23.(2013 湖北 ,21,13 分) 如图 , 已知椭圆 C1与 C2的中心在座标原点O,长轴均为 MN且在 x 轴上 , 短轴长分别为 2m,2n(m>n), 过原点且不与 x 轴重合的直线l 与 C ,C 的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A,B,C,D. 记1 2λ= , △ BDM和△ ABN的面积分别为 S1和 S2.(1)当直线 l 与 y 轴重合时 , 若 S1=λ S2, 求λ的值 ;(2) 当λ变化时 , 能否存在与坐标轴不重合的直线l, 使得 S1=λ S2?并说明原因 .分析依题意可设椭圆C1和 C2的方程分别为C1: + =1,C 2: + =1. 此中 a>m>n>0,λ =>1.(1) 解法一 : 如图 1, 若直线 l 与 y 轴重合 , 即直线 l 的方程为 x=0, 则 S1= |BD| 2 |OM|= a|BD|,S2 = |AB| 2 |ON|=a|AB|,所以=.在 C1和 C2的方程中分别令 x=0, 可得 y A=m,y B=n,y D=-m,于是= = =.若=λ , 则=λ2λ -1=0. , 化简得λ -2由λ >1, 可解得λ = +1.故当直线 l 与 y 轴重合时 , 若 S1=λ S2, 则λ = +1.解法二 : 如图 1, 若直线 l 与 y 轴重合 , 则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1 = |BD| 2 |OM|= a|BD|,S 2= |AB| 2 |ON|=a|AB|.所以===.若 =λ , 则=λ , 化简得λ2-2 λ -1=0.由λ >1, 可解得λ = +1.故当直线 l 与 y 轴重合时 , 若 S =λ S , 则λ = +1.1 2(2) 解法一 : 如图 2, 若存在与坐标轴不重合的直线l, 使得 S1=λ S2.d ,d , 则依据对称性 , 不如设直线 l:y=kx(k>0), 点 M(-a,0),N(a,0) 到直线 l 的距离分别为1 2d = = ,1d2 = = ,1 2所以 d =d .又 S1= |BD|d 1,S 2= |AB|d 2,所以==λ ,即 |BD|= λ |AB|.由对称性可知 |AB|=|CD|,所以 |BC|=|BD|-|AB|=(λ -1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=( λ+1)|AB|,于是=. ①将 l 的方程分别与C1,C2的方程联立 , 可求得x A=,x B=.依据对称性可知x C=-x B,x D=-x A, 于是===.②进而由①和②式可得=. ③令 t=, 则由 m>n,可得 t ≠1,于是由③式可解得k2=.因为 k≠ 0, 所以 k2>0.于是③式对于k 有解 , 当且仅当>0,等价于 (t 2-1)<0.由λ >1, 可解得<t<1,即 <<1, 由λ >1, 解得λ >1+,所以当 1<λ ≤ 1+ 时 , 不存在与坐标轴不重合的直线 l, 使得 S1 =λ S2; 当λ >1+ 时 , 存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λS2.解法二 : 如图 2, 若存在与坐标轴不重合的直线l, 使得 S1=λ S2 .依据对称性 , 不如设直线l:y=kx(k>0),点 M(-a,0),N(a,0) 到直线 l 的距离分别为 d1,d 2, 则d1 ==,d 2==,所以 d1=d2.又 S1= |BD|d 1,S 2= |AB|d 2,所以==λ .因为===λ,所以=.由点 A(x ,kx ),B(x ,kx ) 分别在 C ,C 上, 可得 +=1, +=1,A AB B 12两式相减可得+ =0,依题意 x >x >0, 所以> .AB所以由上式解得k2=.因为 k2>0, 所以由>0, 可解得 1< <λ.进而 1<<λ , 解得λ>1+,所以当 1<λ ≤ 1+ 时 , 不存在与坐标轴不重合的直线 l, 使得 S1 =λ S2; 当λ >1+ 时 , 存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1=λS2.三年模拟A 组2016— 2018 年模拟 2基础题组考点圆锥曲线的综合问题1.(2018 浙江浙东北结盟期中,2) 椭圆 + =1(a>0) 与双曲线- =1 有同样的焦点 , 则 a=()A.3B.C.5D.答案 A2.(2017 浙江湖州期末调研,7) 已知双曲线- =1(a>0,b>0) 与抛物线 y2=2px(p>0) 有公共焦点 F, 且交于A,B 两点, 若直线 AB过焦点F, 则该双曲线的离心率是 ()A. B.1+ C.2 D.2+答案 B3.(2017浙江镇海中学第一学期期中,8) 双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1 (-c,0)、F2 (c,0),A为双曲线C右支上一点 , 且 |AF 1|=2c,AF 1与 y 轴交于点B, 若 F2B 是∠ AF2F1的均分线 , 则双曲线 C 的离心率是 ()A. B.1+C. D.答案 D设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P 是抛物线上异于原点的一点4.(2016 浙江镇海中学测试( 六 ),6) .若以 P为圆心 ,FP 为半径的圆与直线4x+3y+5=0 相切 , 则点 P 的横坐标是 ()A.12B.24C.36D.48答案 C5.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中,21) 如图 , 在平面直角坐标系xOy中 , 设点 M(x0,y 0) 是椭圆 C:+y 2=1 上一点 , 从原点 O向圆 M:+= 作两条切线 , 分别与椭圆C交于点 P,Q, 直线 OP,OQ的斜率分别记为k1,k 2.(1) 求证 :k 1k 2 为定值 ;(2) 求四边形 OPMQ 面积的最大值 .分析 (1) 因为直线 OP:y=k 1x,OQ:y=k 2x 与圆 M 相切 ,所以= , = , 可知 k 1,k 2 是方程 (3 -2)k 2-6x 0y 0k+3 -2=0 的两个不相等的实数根 ,∴ 3 -2 ≠ 0,k 1 k =, 因为点 M(x ,y ) 在椭圆 C 上 , 所以 =1- ,2∴ k 1k 2= =- .(2) 易知直线 OP,OQ 都不可以落在座标轴上, 设 P(x 1 ,y 1),Q(x 2,y 2), 因为 2k 1k 2+1=0, 所以 +1=0, 即= ,因为 P(x ,y 1),Q(x ,y )在椭圆 C 上,12 2所以 ==,整理得 + =2, 所以+ =1,22 所以 OP+OQ=3.因为 S= (OP+OQ)2= (OP+OQ),OPMQOP+OQ ≤= , 所以 S OPMQ 的最大值为 1.6.(2017 浙江杭州质检 ,21) 已知 P,Q 为椭圆 +y 2=1 上的两点 , 知足 PF 2⊥ QF 2, 此中 F 1,F 2 分别为左、右焦点 . (1) 求 | + | 的最小值 ;(2) 若 (+) ⊥ (+), 设直线 PQ 的斜率为 k, 求 k 2 的值 .分析 (1) 由条件得 + =2 ,明显| | min =1,所以 |+| 的最小值为 2.(5分)(2) 由题意易知 OP ⊥OQ.又 F2P⊥F2Q, 所以 PQ是直角△ POQ和直角△ PF2Q的公共斜边 , 故线段 PQ的中点到 O,F2两点的距离相等 , 所以可得线段 PQ中点的横坐标为 .易知直线PQ的斜率存在 , 故设直线PQ的方程为 y=kx+b, 与椭圆方程联立, 得整理得 (1+2k 2)x 2 +4kbx+2b2-2=0.设 P(x 1,y 1),Q(x2 ,y 2), 则 x1+x2=- =1,所以 1+2k 2=-4kb, ①由 x1x2= , 得 y1y2=k2 x1 x2+kb(x 1+x2)+b 2= +kb+b2.由 x x +y y =0, 得 2+kb+b =0,1 2 1 2即 4k2b2-2k 2+3b2-2+kb+2k 3b=0, ②由①②得20k4+20k2-3=0, 解得 k2=.(15分)7.(2017 浙江衢州质量检测 (1 月 ),21) 已知椭圆+ =1(a>b>0) 的长轴长为 4, 焦距为 2 , 以 A 为圆心的圆(x-2) 2+y 2=r 2(r>0) 与椭圆订交于 B、C 两点 .(1)求椭圆的标准方程 ;(2)求 2的取值范围;(3) 设 P 是椭圆上异于B、 C的随意一点 , 直线 PB、 PC与 x 轴分别交于点M、 N,求 S△POM2 S△PON的最大值 .分析(1) 椭圆的标准方程为+y2=1.(2) 设 B(x ,y ), 则 C(x ,-y ),且 + =1,0 0 0 0∴ 2 = - = - = -4x 0+3= - .因为 -2<x 0 <2, 所以 2 的取值范围为.(3) 设 P(x 1,y 1)(y 1≠±y0),则+ =1, 直线 PB,PC的方程分别为 y-y 1=(x-x 1),y-y 1=(x-x 1),分别令 y=0 得 x M= ,x N= ,所以 x M x N= = = =4,于是 S△POM2 S△PON= |OM||ON| 2= |x M x N| 2=,因为 -1 ≤ y1≤1, 所以 S△POM2 S△PON的最大值为1.B 组 2016— 2018 年模拟 2提高题组一、选择题1.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中 ,7) 已知 F 是双曲线 - =1(a>0,b>0) 的右焦点 , 以坐标原点 O 为圆心 ,|OF| 为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右边的两个交点记为A,B, 且∠ AFB=120° , 则双曲线的离心率为 ( )A.B.C.2D.答案 C∈ N * ) 是公比不为2.(2017 浙江金华十校联考 (4月 ),8) 已知 a,b 为实常数 ,{c i }(i 1 的等比数列 , 直线ax+by+c=0 与抛物线 y =2px(p>0) 均订交 , 所成弦的中点为 M(x,y ), 则以下说法错误的选项是()i 2iiiA. 数列 {x i } 可能是等比数列B. 数列 {y i } 是常数列C. 数列 {x i } 可能是等差数列D. 数列 i i{x +y } 可能是等比数列答案 C3.(2016 浙江镇海中学测试卷二 ,7) 已知 A 1,A 2 为双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的左 , 右极点 , 点 P 为双曲线右支上一点 , 设∠ PA 1A 2=α , ∠ PA 2A 1=β , 若 cos( α+β )=- ,cos( α - β )= , 则 C 的离心率 e=( )A.2B.2C.3D.2答案 B二、填空题4.(2017 浙江名校协作体 ,16) 设双曲线 - =1(a>0,b>0) 的右焦点为 F, 过点 F 作与 x 轴垂直的直线交两渐近线于 A,B 两点 , 且与双曲线在第一象限的交点为P, 设 O 为坐标原点 , 若 =λ+μ , λ μ = ( λ , μ∈R), 则双曲线的离心率 e 为.答案三、解答题5.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中12的焦点为 F, 过抛物线 22上一点 M,21) 已知抛物线 C :x =4y C :y=- x +3 作抛物线 C 的切线 l, 与抛物线 C 交于 A,B 两点 .21(1) 记直线 AF,BF 的斜率分别为 k 1,k 2, 若 k 12 k 2=- , 求直线 l 的方程 ;(2) 能否存在正实数 m,使得对随意点 M,都有 |AB|=m(|AF|+|BF|) 建立 ?若存在 , 求出 m 的值 ; 若不存在 , 请说明原因 .分析 (1) 设 M(x ,y), 由 y=- +3, 得 y'=- , 则切线 l 的斜率为 k=- .切线 l 的方程为 y=- (x-x 0)+y 0=- x+ +y 0=- x-2y+6+y 0, 即 y=-x-y 0+6.(3分 )与 x 2=4y 联立 , 消去 y 得 x 2+x 0x+4y 0-24=0.(4分 )设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则有 x 1+x 2=-x 0,x 1x 2=4y 0-24.(5分 )则 y +y =- (x +x )-2y +12= -2y +12=-4y0 +18,1 2 1 2 0 0y1 y2= = , 又 F(0,1),则由 k12 k2= 3 = = =- ,得 5 -28y 0+23=0, 解得 y0=1 或 y0= .(8 分 )∵=-8(y 0-3) ≥ 0, ∴ y0≤ 3, 故 y0 =1, ∴ x0=± 4.则直线 l 的方程为y=± x+5.(9分)(2) 由 (1) 知直线 l 的方程为y=- x-y 0+6, 且 x1+x 2=-x 0,x 1x2=4y0-24.则 |AB|= |x -x |= 2 = 2 ,1 2即 |AB|= 2 =2 (5-y ),(11 分)而 |AF|+|BF|=(y 1+1)+(y 2+1)=-4y 0+20=4(5-y 0 ),(13 分 )则 |AB|=(|AF|+|BF|),(14分)故存在正实数m= , 使得对随意点M,都有 |AB|=(|AF|+|BF|)建立.(15分)6.(2018浙江杭州二中期中,21) 已知点 P 为椭圆 C上的任一点 ,P 到直线 l 1:x=-2的距离为d1, 到点 F(-1,0)的距离为d2, 且=.(1)求椭圆 C 的方程 ;(2)如图 , 直线 l 与椭圆 C 交于不一样的两点 A,B(A,B 都在 x 轴上方 ), 且∠ OFA+∠OFB=180°.(i)当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时 , 求直线 l 的方程 ;(ii)能否存在一个定点 , 不论∠ OFA怎样变化 , 直线 l 恒过该定点 ?若存在 , 求出该点的坐标 ; 若不存在 , 请说明原因 .分析(1) 设 P(x,y), 则 d1=|x+2|,d 2= , = = ,化简可得 +y2=1, 所以椭圆 C的方程为+y2=1.(2)(i) 由 (1) 知 A(0,1), 又 F(-1,0), 所以 k = =1,AFBF所以直线 BF 的方程为 y=-(x+1)=-x-1,因为∠ OFA+∠ OFB=180° , 所以 k =-1,代入 2 2 解得 x=0( 舍 ) 或 x=- , 所以 B,k == ,+y =1 中可得 3x +4x=0,AB所以直线 l 的方程为 y= x+1.(ii) 解法一 : 因为∠ OFA+∠ OFB=180° , 所以 k AF +k BF =0. 设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入+y 2=1 中 , 得x 2+2kbx+b 2-1=0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 x 1+x 2=-,x 1x 2=,所以 k +k =+=+==0,AFBF所以 (kx +b)(x +1)+(kx +b)(x 1+1)122=2kx 1x 2+(k+b)(x 1+x 2)+2b=2k 3-(k+b) 3 +2b=0, 即 =0,所以 b-2k=0, 所以直线 AB 的方程为 y=k(x+2), 即直线 l 总经过定点 M(-2,0). 解法二 :因为∠ OFA+∠ OFB=180° , 所以 B 点对于 x 轴的对称点 B 1 在直线 AF 上 ,设直线 AF 方程为 y=k(x+1), 代入+y 2=1 中得 x 2+2k 2x+k 2-1=0.设 A(x ,y 1 ),B(x 2,y ), 则 B (x ,-y ), 且 x +x =-,x x =,12 1 2 2 1 21 2直线 AB 的方程为 y-y 1= (x-x 1), 令 y=0, 得 x=x 1-y 1 = ,因为 y 1=k(x 1+1),-y 2=k(x 2+1),所以 x= = =-2,所以直线 l 总经过定点 M(-2,0).7.(2017 浙江五校联考 (5 月 ),21) 如图 , 已知椭圆 Γ : + =1(a>b>0) 经过不一样的三点 A ,B ,C(C在第三象限 ), 线段 BC 的中点在直线OA 上 .(1) 求椭圆 Γ 的方程及点 C 的坐标 ;(2) 设点 P 是椭圆 Γ上的动点 ( 异于点 A,B,C), 且直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M,N 两点 , 问 |OM|2 |ON| 能否为定值 ?假如 , 求该值 ; 若不是 , 请说明原因 .分析 (1) 由点 A,B 在椭圆 Γ上 , 得解得所以椭圆 Γ的方程为 + =1.设点C(m,n), 则 BC中点为,由已知 , 求得直线OA的方程为x-2y=0,进而m=2n-1. ①2 2又点 C 在椭圆Γ上 , 故 2m+8n =5. ②由①②解得n= ( 舍去 ) 或 n=- . 进而m=- ,所以点 C 的坐标为.(2) 设P(x 0,y 0),M(2y 1,y 1),N(2y 2,y 2).当 x0≠ - 且 x0≠ - 时 ,因为 P,B,M 三点共线 , 所以=, 整理得 y1=.因为P,C,N 三点共线, 所以= , 整理得y2= .因为点 P在椭圆Γ上, 所以 2 +8 =5,即= -4.进而y1y2= == = = .所以 |OM| 2 |ON|= |y 1| 2 |y 2|=5|y 1y2|= , 为定值.,为定值.当 x0=-或x0=-时,易求得|OM|2 |ON|=综上 ,|OM| 2 |ON| 是定值 , 为.C 组2016— 2018 年模拟 2方法题组方法 1圆锥曲线中的定值与最值问题的解题策略1.(2017浙江吴越结盟测试,20) 已知椭圆C: + =1(a>b>0) 的离心率为, 且过点 P.(1)求椭圆 C 的标准方程 ;(2)过点 G(1,0) 作两条相互垂直的直线 l 1,l 2, 设 l 1与椭圆 C 交于 M,N 两点 ,l 2与椭圆 C 交于 P,Q 两点 , 求2的最大值 .。

2019高三数学文科一轮复习全品课件第49讲圆锥曲线的综合问题

北师大版
圆锥曲线的综合问题
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第49讲 PART 49
考试说明
1. 理解数形结合的思想.
2. 了解圆锥曲线的简单应用.
教学参考
考情分析
考点直线与圆锥曲线的位置关系弦长及中点弦问题
考查方向
考例
考查热度 ★★★
直线与圆锥曲 2013· 全国卷Ⅱ10,2015· 全国卷线位置关系的 Ⅱ20,2016· 全国卷Ⅰ20,2017· 全判断方法国卷Ⅱ12
[答案] C 2 [解析] 由抛物线的方程 y =4x 得焦点
F(1,0),准线 l:x=-1,故直线 MF 的方程为 �� = 3(��-1), y= 3(x-1).由 2 得 M(3,2 3), �� = 4��, 又 MN⊥l,所以 N(-1,2 3),所以直线 NF 的方程为 3x+y- 3=0,所以 M 到直线 NF 的距离
准线方程为 x=-2,即椭圆的半焦距 c=2.又
�� 2 1 2 离心率 e= = = ,所以 a=4,于是 b =12,则 �� 2 �� 2 �� 2 椭圆的方程为 + =1.A,B 是 C 的准线 16 12
x=-2 与 E 的两个交点,把 x=-2 代入椭圆方程得 y=± 3,所以|AB|=6.
求弦长、利用弦长求参数、 2013· 全国卷Ⅱ10,2014· 全国卷与中点弦有关 Ⅱ10,2015· 全国卷Ⅰ5,2017· 全国的方程或斜率卷Ⅰ20 问题
★★★
教学参考
(续表)
考点证明问题考查方向证明问题考例 Ⅱ21,2017· 全国卷Ⅱ20 考查热度 ★★★ ★★★

高三数学一轮 8.3 圆锥曲线精品复习学案

高三数学一轮 8.3 圆锥曲线精品复习学案【高考目标导航】一、曲线与方程1．考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求轨迹方程是高考的重点和热点；（2）常以解答题的第一问的形式出现. 一般用直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。

二、椭圆1．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。

（3）理解数形结合的思想2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。

三、双曲线1．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。

（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。

（3）理解数形结合的思想。

2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。

（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。

四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲知识梳理】一、曲线与方程1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。

高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题(1)

(1)若三角形 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆” 的方程；
(2)若|A1A|＞|B1B|，求ba的取值范围； (3)一条直线与果圆交于两点，两点间的线段称为“果圆” 的弦．是否存在平行于 x 轴的直线交“果圆”于两点，得到的弦的中点轨迹方程为椭圆？
第二十五页，共52页。
[分析] (1)根据△F0F1F2中的|F0F1|、|F1F2|的值，解出 a、b、c的值，得出“果圆〞的方程．
第十八页，共52页。
[规律总结] 求范围的方法同求最值及函数值域的方法类似．常见的解法有两种：几何法和代数法．假设题目的条件和结论能明显表达几何特征及意义，那么考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性、有界性法.
∴A(
22a，12a)，故
kAB＝
22，AB
方程为
y＝
2 2 x.
第三十四页，共52页。
(2)连结 AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知 S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2.
∴12×2c×12a＝4 2. 又由 c＝ 22a，解得 a2＝16，b2＝16－8＝8，故椭圆方程为1x62 ＋y82＝1.
在入手，找出一个正确结论即可.
第二十四页，共52页。
例 3 已知半椭圆xa22＋by22＝1(x≥0)与半椭圆by22＋xc22＝1(x≤0) 组成的曲线称为“果圆”，其中 a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0， F0、F1、F2 是对应的焦点，点 A1、A 和 B1、B 分别是“果圆” 与 x 轴和 y 轴的交点．

高考数学第一轮高效复习导学案-圆锥曲线

高考数学第一轮高效复习导学案圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a 、b 、c 、e 、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第一课时椭圆及其标准方程【学习目标】① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【考纲要求】直线方程为B 级要求【自主学习】1．椭圆的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+b x a y ，其中a ，b 满足：．【基础自测】1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆32x +y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 .2.已知方程12-m x +my -22=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .3已知椭圆121622y x+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若|ON |=1，则|MF 1|的长等于 .4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 .[典型例析]例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；（2）焦点在y 轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）；（3）经过P （-23，1），Q （3，-2）两点.例2.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A （0，2）和B ⎪⎭⎫⎝⎛3,21.例3一动圆与已知圆O 1：(x +3）2+y 2=1外切，与圆O 2：(x -3）2+y 2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.例4 如图所示，点P 是椭圆4522x y +=1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2=30°,求△F1PF 2的面积.[当堂检测]1.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，52），直线y =3x -2与它相交所得的中点横坐标为21，则这个椭圆的方程为 .2.椭圆131222=+y x 的左、右焦点分别为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的倍.3.已知椭圆125222=+y ax (a ＞5)的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 .第二课时椭圆及其性质【学习目标】① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【考纲要求】椭圆方程为B 级要求【自主学习】 1．椭圆的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+b x a y ，其中a ，b 满足：．3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为． (3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 椭圆的参数方程为．4．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)【基础自测】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .2.若椭圆my x 222+=1的离心率为21，则实数m= .3设椭圆22m x +22n y =1(m ＞0,n ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 .4（2008·江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .[典型例析]例1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（6，1）、P2（-3，-2），求椭圆的方程.例2. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.例3已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，经过两点A (1，255)，B (－2，55)．圆F 的圆心是椭圆E 的右焦点F ，且圆F 的半径恰等于椭圆的短半轴长． (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)若点P 是圆F 上的一个动点，求→FP ⋅→OP 的取值范围．[当堂检测]1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是 .2. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 .3. 已知以F 1（-2,0），F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 .4 经过椭圆22x +y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A 、B 两点，设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于 .解 (Ⅰ)设椭圆E 的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．………………2分因为A (1，255)，B (－2，55)在椭圆E 上，所以⎩⎨⎧m ＋45n ＝1，4m ＋15n ＝1， (4)分解得 m ＝15，n ＝1，满足条件．所以所求椭圆E 的标准方程为x 25＋y 2＝1．…………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E 的右焦点为F (2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r ＝1，所以圆F 的方程为(x －2)2＋y 2＝1．……8分设P (x ，y )，则→FP ＝(x －2，y )，→OP ＝(x ，y )，所以→FP ·→OP ＝x (x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－2x ＝2x －3． …………………………10分因为(x －2)2＋y 2＝1，所以(x －2)2≤1，即－1≤x －2≤1，得1≤x ≤3．所以－1≤2x －3≤3，即→FP ·→OP 的取值范围为[－1，3]．………………………………………………………14分解法二由(Ⅰ)知椭圆E 的右焦点为F (2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r ＝1，所以圆F 的方程为(x －2)2＋y 2＝1．…………………………………8分设P (2＋cos θ，sin θ)，θ∈R ，则→FP ＝(cos θ，sin θ)，→OP ＝(2＋cos θ，sin θ)，所以 →FP ·→OP ＝cos θ(2＋cos θ)＋(sin θ)2＝2cos θ＋1．……………………12分因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤2cos θ＋1≤3，即→FP ·→OP 的取值范围为[－1，3]．……………………………………………………14分评注：(Ⅰ)中求椭圆E 的标准方程时，若设x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则扣2分．这里需要分类讨论，情况y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)不可能．第二课时双曲线及其性质【学习目标】① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．【考纲要求】双曲线为A 级要求【自主学习】 1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在轴上；12222=-b x a y ，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，焦准距P ＝．(5) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为． (7)12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为．【基础自测】1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .3.已知椭圆2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222n y m x -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F 1、F 2分别是双曲线2222by ax -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .[典型例析]例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5． (2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案.doc

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案一、教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（二）、讲解新课： 1.焦点在x 轴的椭圆：12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 2. 焦点在y 轴的椭圆22221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是c o ss i n (2x b y a θθθθ==≤≤π⎨为参数，且0）.★在利用⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos θ,bsin θ）。

例1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角例2、求椭圆2211612x y +=上的点到直线l ：2120x y --=的最大距离和最小距离。

变式：已知椭圆2214x y +=上任意一点M （除短轴以外）与短轴两端点1B 、2B 的连线分别交x 轴与P 、Q 两点，求证：OP OQ ∙为定值。

【课堂练习】1、当参数θ变化时，动点P （cos ,3sin 2θθ）所确定的曲线必过（）A ．点（2,3）B .点（2,0）C ．点（1,3） D.点（0，2π） 2、设O 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ 的中心，P 是椭圆上对应于6πϕ= 的点，那么直线OP 的斜率为（）B.C.3、椭圆22194x y +=上的点到直线240x y +-=的距离最小值为（）4、定点（2a ,0）和椭圆cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）上个点连线段的中点轨迹方程是 A.2222()144x a y a b -+= B.2222()144x a y a b++= B.2222()144x a y a b --= D.2222()144x a y a b +-={3322x t C y t =+⎧⎨=-+⎩5、已知椭圆的方程为22(1)(2)135x y -++=，则它的参数方程为＿＿＿＿＿＿ 6、点P （x,y ）在椭圆2244x y +=上，则x+y 的最大值为＿＿＿＿；最小值为＿＿＿＿7、已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若曲线1C 的极坐标方程为cos()4πρθ-=曲线2C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），试求曲线1C 、2C 的焦点的直角坐标.8、已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）（1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为t=2π，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：322x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.（三）、巩固训练1、曲线)(11为参数t t t y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的普通方程为2、曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 4、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。

高三数学复习教案：高考数学圆锥曲线复习教案

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本文题目：高三数学复习教案：高考数学圆锥曲线复习教案1.已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。

(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。

(文)若为x轴上一点,求证:2.已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足的取值范围。

3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2，)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ2.5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.(1)求曲线的方程;(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n). (Ⅰ)当m+n0时，求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆处的切线方程为，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。

高考数学一轮复习 8.10 圆锥曲线的综合问题精品教学案(教师版) 新人教版

【考纲解读】1．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想． 2．领会转化的数学思想，提高综合解题能力.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.圆锥曲线中的最值问题2.圆锥曲线中的面积问题3.圆锥曲线中的定点或定值问题【例题精析】考点一圆锥曲线中的最值与面积问题例1. (2012年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且△12AB B 是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B 作直线交椭圆于,P Q ，22PB QB ，求△2PB Q 的面积【答案】（Ⅰ）220x +24y =116102PB Q 的面积121211610||||29S B B y y =-= 当2m =- 时，同理可得（或由对称性可得）2PB Q 的面积16109S =综上所述，2PB Q 的面积为16109. 【名师点睛】本小题主要考查直线与椭圆,考查了圆锥曲线中的面积问题，熟练基本知识是解决本类问题的关键. 【变式训练】1.（2012年高考安徽卷文科20）（本小题满分13分）如图，21F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求,a b 的值.法二：设2BF m =；则12BF a m =-，则在12BFF ∆中，由余弦定理可得考点二定点（定值）问题例2.(2012年高考福建卷文科21)（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

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第49讲圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：__无公共点__、__仅有一个公共点__及有两个__相异的公共点__.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0，消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若__a ＝0__，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当__Δ＞0__时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；当__Δ＝0__时，直线和圆锥曲线相切于一点；当__Δ＜0__时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长：||P 1P 2＝1＋k 2||x 1－x 2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝__ －b 2x 0a 2y 0__；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝__ b 2x 0a 2y 0 __；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率__ k ＝py 0 __.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.4．(1)直线y ＝kx ＋m 表示过点(0，m )且不包括垂直于x 轴的直线，故设直线y ＝kx ＋m 时，必须先讨论过点(0，m )且垂直于x 轴的直线是否符合题设要求．(2)直线x ＝my ＋n 表示过点(n,0)且不包括垂直于y 轴的直线，故设直线x ＝my ＋n 时，必须先讨论过点(n,0)且垂直于y 轴的直线是否符合题设要求．注：过y 轴上一点(0，m )的直线通常设为y ＝kx ＋m ；过x 轴上一点(n,0)的直线通常设为x ＝my ＋n .1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( √ ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( × ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( × ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长||AB ＝1＋t 2||y 1－y 2.(√ )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( × )解析 (1)正确．直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则直线l 与椭圆C 相切，反之亦成立．(2)错误．因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切．(3)错误．因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切．(4)正确.||AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，又x 1＝ty 1＋a ，x 2＝ty 2＋a ，所以||AB ＝[(ty 1＋a )－(ty 2＋a )]2＋(y 1－y 2)2＝t 2(y 1－y 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋t 2||y 1－y 2.(5)错误．应是以l 为垂直平分线的段线AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( B )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析设该抛物线的焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则||AB ＝||AF ＋||FB ＝x A ＋p2＋x B＋p2＝x A ＋x B ＋1＝2＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．故选B. 3．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析当x ≥0时，曲线为y 29－x 24＝1；当x ＜0时，曲线为y 29＋x 24＝1，如图所示．直线l ：y ＝x ＋3过(0,3)，又由于双曲线y 29－x 24＝1的渐近线y ＝32x 的斜率32＞1，故直线l与曲线y 29－x 24＝1(x ≥0)有两个交点，显然l 与椭圆y 29＋x 24＝1(x ≤0)有两个交点，又(0,3)是椭圆与双曲线的公共点，所以共3个交点．4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，P A 1→·PF 2→的最小值为( A )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 5．已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2 ＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为__64__.解析由题意可得||PF 1＋||PF 2＝2a ＝20，||PF 12＋||PF 22＝||F 1F 22＝4c 2＝144＝(||PF 1＋||PF 2)2－2||PF 1·||PF 2＝202－2||PF 1·||PF 2，解得||PF 1·||PF 2＝128，所以△F 1PF 2的面积为12||PF 1·||PF 2＝12×128＝64.一直线与圆锥曲线的位置关系解直线与圆锥曲线相交问题的方法(1)直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题．(2)运用“点差法”解决弦的中点问题，主要是求出过中点弦的直线的斜率，用“点差法”的计算量较少，但是此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式Δ加以检验．【例1】已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为__x ＋2y －3＝0__.解析易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0. ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，经检验知此直线与椭圆相交，即所求为x＋2y －3＝0.【例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于点N ，且满足NA →＝－75NB →，求直线l 的方程．解析 (1)设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)(c >0)，则||c ＋62＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA →＝－75NB →，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8，消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，②因为Δ>0，所以直线与椭圆相交，于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1，④由①③，得y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1，所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.二圆锥曲线的最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法；一是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点D (－1,0)交椭圆于M ，N 两点，求△AMN 面积的最大值．解析 (1)由题意可知a ＝2b,2a ＝4，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A 坐标为(－2,0)，直线MN 过定点D (－1,0)， ∴令直线MN 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. ∴y 1＋y 2＝2mm 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， S △AMN ＝12||AD ||y 1－y 2＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝124m 2(m 2＋4)2＋12m 2＋4＝2m 2＋3(m 2＋4)2.令t ＝m 2＋3，t ≥3， ∴S △AMN ＝2t(t ＋1)2＝21t ＋1t＋2≤213＋13＋2＝32. 当且仅当t ＝m 2＋3＝3，即m ＝0时，△AMN 面积的最大值为32. 三圆锥曲线的范围问题求解范围问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系，确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．【例4】已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析 (1)由椭圆方程为x 24＋y 2＝1，知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x ＞0，y ＞0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，又x 24＋y 2＝1，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝74，x24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，y 2＝34⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫1，32. (2)显然x ＝0不满足题意，可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，且Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)×12＞0，∴k 2＞34. 又∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →＞0，∴x 1x 2＋y 1y 2＞0， ∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＞0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝12(1＋k 2)1＋4k 2＋2k ⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 2＋4＝4(4－k 2)1＋4k 2＞0，∴k 2＜4，又∵k 2＞34，∴34＜k 2＜4，∴k ∈⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 四圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中定点、定值问题的解法(1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例5】已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于255，且过点⎝⎛⎭⎫1，255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．解析 (1)∵椭圆C 的焦点在x 轴上， ∴设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，∵离心率等于255，且过点⎝⎛⎭⎫1，255，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝255，1a 2＋⎝⎛⎭⎫2552b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．又由题意知点F 的坐标为(2,0)，直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 25＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， ∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2.又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，将各点坐标代入得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝2(x 1＋x 2)－2x 1x 24－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20k 21＋5k 2－20k 2－51＋5k 24－2·20k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－10.∴λ1＋λ2为定值－10.【例6】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1,2)为抛物线C 上一点． (1)求C 的方程；(2)若点B (1，－2)在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点．解析 (1)当焦点在x 轴上时，设C 的方程为y 2＝2px ，将点A (1,2)代入，得2p ＝4，即y 2＝4x .当焦点在y 轴上时，设C 的方程为x 2＝2py ，将点A (1,2)代入，得2p ＝12，即x 2＝12y .综上可知C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明：因为点B (1，－2)在C 上，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ ：x ＝my ＋b ，显然m 存在，联立方程有y 2－4my －4b ＝0，Δ＝16(m 2＋b )．① ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4b .∵k BP ·k BQ ＝－2，∴y 1＋2x 1－1·y 2＋2x 2－1＝－2.又x 1＝14y 21，x 2＝14y 22， ∴4y 1－2·4y 2－2＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋12＝0. ∴－4b －8m ＋12＝0，即b ＝3－2m .直线PQ ：x ＝my ＋b ＝my ＋3－2m 即x －3＝m (y －2)． ∴直线PQ 过定点(3,2)．1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 2，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__3__. 解析由题意知，椭圆的右焦点F 2的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则||AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.2．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为__3__.解析如图，FP →·FQ →＝|F P →|·|F Q →|cos ∠PFQ ＝||FP →2＝||FQ→2－1.由抛物线的定义知||FQ →＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知抛物线的顶点到准线的距离最短，∴||FQ→min ＝2.∴FP →·FQ →的最小值为3.3．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )，直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n(x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解析 (1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)．直线AF 的方程为xc ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0.由直线AF 与圆M 相切，得||3＋c －c c 2＋1＝3，解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明：由AP →·AQ →＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2，x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k2，(*)由AP →·AQ →＝0，得AP →·AQ →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0.将(*)代入，得t ＝－12.∴直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－12.易错点忽略对二次项系数的讨论和对Δ的验证错因分析：①联立方程消元后没有注意二次项系数为0的情况；②运用点差法时忽略了对Δ>0的验证．【例1】若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C ：x 23－y 2＝1交于A ，B 两点，D (0，－1)且有|DA |＝|DB |，求实数m 的取值范围．解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，∴1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x 213－y 21＝1，x223－y 22＝1，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)3－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.又y 1－y 2x 1－x 2＝k ，∴y 0＝13k x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝13k x 0，y 0＝kx 0＋m ，得M ⎝⎛⎭⎫3km 1－3k 2，m1－3k 2.∴k DM ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k ，∴m ＝3k 2－14>－14.又将m ＝3k 2－14代入Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.∴m ∈⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)．【跟踪训练1】已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1,2)．(1)求过点P (1,2)的直线l 的斜率k 的取值范围，使l 与C 只有一个交点； (2)是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点为P?解析 (1)①当k 存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入双曲线C 的方程，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0.(*)当2－k 2＝0，即k ＝±2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．当2－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝32.此时只有一个公共点．②当k 不存在时，直线l 的方程为x ＝1，而x ＝1为双曲线的一条切线．∴当k 不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．综上所述，当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点．(2)假设以P 为中点的弦AB 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根，则由根与系数的关系，得2(k 2－2k )2(k 2－2)＝1，∴k ＝1.∴这样的弦存在，方程为y ＝x ＋1(－1≤x ≤3)，即x －y ＋1＝0(－1≤x ≤3)．课时达标第49讲[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查．其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力．1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎫8k3＋4k 22＝43＋4k2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直线坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明：过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解析 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 所以圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3.故过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且长轴长等于4. (1)求椭圆C 的方程；(2)F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析 (1)由题意椭圆的长轴长2a ＝4，解得a ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 与圆O 相切，得|m |1＋k2＝1，即m 2＝1＋k 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k 2，y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·4m 2－123＋4k 2＋km ·⎝⎛⎭⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.因为m 2＝1＋k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.又因为OA →·OB →＝－32，所以－5－5k 23＋4k2＝－32，解得k 2＝12，所以k ＝±22. 4．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．证明设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n . ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0. ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)．5．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解析 (1)根据题意，设AB 的中点为Q (1，t )，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2t. 由P ，Q 两点得线段AB 的中垂线的斜率k ＝t －2，由(t －2)·2t ＝－1，得t ＝43.∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)知直线AB 的方程为y －t ＝2t (x －1)，线段AB 的中垂线方程为y －t ＝－t2(x －1)，即y ＝－t2(x －3)，所以中垂线交x 轴于点M (3,0)，点M 到直线AB 的距离d ＝t 2＋4t 2＋4＝t 2＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t (x －1)，y 2＝4x ，得4x 2－8x ＋(t 2－2)2＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝(t 2－2)24，∴|AB |＝1＋4t2·|x 1－x 2|＝(t 2＋4)(4－t 2)， ∴S ＝12|AB |·d ＝12(t 2＋4)2(4－t 2)＝24(t 2＋4)(t 2＋4)(8－2t 2)≤24×⎝⎛⎭⎫1633＝1669.当t 2＝43时，S 有最大值1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.6．(2018·四川成都摸底测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋2(0＜k ＜2)与y 轴相交于点P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R (点R 在点P 和点Q 之间)，且PQ →＝λPR →，求实数λ的取值范围．解析 (1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·yx ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设R (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋k 2)x 2＋4kx ＋2＝0，∴Δ＝8k 2－16>0，∴k 2>2. 又0<k <2，∴2<k <2.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4k2＋k 2，① x 1x 2＝22＋k 2.② ∵PQ →＝λPR →，点R 在P 和Q 之间， ∴x 2＝λx 1(λ>1)．③联立①②③，可得(1＋λ)2λ＝8k 22＋k 2.∵2<k <2，∴8k 22＋k 2＝82k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫4，163， ∴4<(1＋λ)2<163，∴13<λ<3，且λ≠1.∵λ>1，∴实数λ的取值范围为(1,3)．。