第三章 土体中的应力计算

第三章 土体中的应力计算第一节 概述土受力后产生应力和变形。

在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形，从而使建筑物产生一定的沉降量和沉降差。

如果应力变化引起的变形量在容许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害；但当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生过量的沉降，甚至可以使土体发生整体破坏而失去稳定。

因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基和土工建筑物变形和稳定问题的基础。

土体中的应力，就其产生的原因主要有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷载引起的附加应力。

本章将主要介绍自重应力和附加应力的计算方法以及有效应力原理。

一、应力一应变关系的假定土体中的应力分布取决于土的应力一应变关系。

在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。

下面就弹性理论应用中的几个问题作一简单讨论。

1．关于连续介质问题 在弹性理论中，受力体是连续介质。

土是由三相物质组成的非连续介质。

但当我们研究宏观土体的受力问题时（例如建筑物地基的沉降问题），土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸，可以把土体当作连续体来对待，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。

2．关于线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。

土不是纯弹性材料而是弹塑性材料，它的应力、应变关系是非线性的和弹塑性的。

即使在很低的应力情况下，土的应力应变关系也表现出了曲线特性（图3－1），而且在应力卸除后，应变也不能完全恢复。

但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量∆σ不是很大，距离土的破坏强度尚远，土中尚没有发生塑性破坏的区域或塑性破坏的区域很小，这种情况下，若将土的应力应变关系简化为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，对一般工程来说不仅是方便的，也是足够准确的。

3．关于均质、等向问题 理想弹性体应是均质的各向同性体。

均质是指受力体各点的性质相同；等向则是指在同一点处的各个方向上性质相同。

天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的，因此视土体为均质等向将带来误差。

但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内。

二、地基中的几种应力状态计算地基应力时，一般都将地基当作半无限空间弹性体来考虑，即把地基看作是一个具有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体（图3－2）。

常见的地基中的应力状态有如下三种类型。

1．三维应力状态（空间应力状态）局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。

三维应力状态是建筑物地基中最普遍的一种应力状态，例如单独柱基础下地基中各点应力就是典型的三维空间应力状态（图3－3）。

这时，每一点的应力都是三个坐标x 、y 、z 的函数，每一点的应力状态都可用9个应力分量（独立的有6个）来表示。

写成矩阵形式则为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ2．二维应变状态（平面应变状态）土中二维问题往往都是平面应变问题而不是平面应力问题。

当建筑物基础一个方向的尺寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基中引起的应力状态即可简化为二维应变状态，堤坝或挡土墙下地基中的应力状态就属于这一类（图3－4）。

这时沿着长度方向切出的任一xoz 截面都可以认为是对称面，应力分量只是x 、z 两个坐标的函数，并且沿y 方向的应变y ε=0。

由于对称性，yz yx ττ==0。

这种应力状态的应力矩阵可表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zx yy xz xx ij στστσσ00003．侧限应力状态侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于侧限应力状态（图3－5）。

由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度Z 处的土单元受力条件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。

又由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即0===zx yz xy τττ，应力矩阵变为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yy xx ij σσσσ000000 根据y ε=x ε=0的边界条件可知y x σσ=并与z σ成正比。

三、土力学中应力符号的规定土是散粒体，不能承受拉应力，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定：法向应力以压为正，剪应力方向则规定以逆时针方向为正见（图3－6所示）。

第二节 土体的自重应力计算一、地基自重应力在没有修建建筑物之前，地基中由于土体本身的有效重量而产生的应力叫自重应力。

所谓有效重量就是地下水位以上用自然容重、地下水位以下用浮容重。

研究地基自重应力的目的是为了确定土体的初始应力状态。

如果把地基假定为半无限弹性体，则地基中的自重应力状态属于侧限应力状态。

1．竖直向自重应力z s σ由于土体中所有竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度z 处的竖直向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。

若z 深度内土的天然容重不发生变化时，则该处自重应力应为1)-(3 z sz γσ=若地基是由几个不同容重的土层组成时（图3－7a ），则任意深度z 处的自重应力应为∑==++=ni i i sz H H H 111112)-(3 γγγσ式中，n —地基中的土层数；i γ—第i 层土的容重；地下水位以上用天然容重γ，地下水位以下用浮容重γ’；H i —第i 层土的厚度。

自重应力沿深度成直线分布，在土层界面处和地下水位处将发生转折（见图3－7b ）。

2．水平向自重应力sx σ、sy σ由于是侧限条件，故0==y x εε，且y s x s σσ=。

根据广义虎克定律3)-(3 )(z y xx E E σσνσε+-=将侧限条件代入式（3－3）得4)-(3 0 )(=+-=sz sy sx x E E σσνσε 所以sz sy sx σννσσ-==1 令νν-=10K则 5)-(3 0sz sy sx K σσσ==称K 0为土的侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比，所以侧限状态又称为K 0状态；ν是土的波松比。

二、土坝的自重应力为计算土坝坝身和坝基的沉降，需要知道坝身中和坝底面上的应力分布。

由于土坝不是半无限体，其边界条件和坝基的变形条件使得精确求解坝身及坝底应力较为复杂。

对于简单的中小型土坝，即可假定坝体中任何一点因自重所引起的竖向应力均等于该点上面土柱的重量，仍可用式（3－2）计算，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似（见图3－8a ）。

图3－8b 表示某均质土坝用有限元法与用简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其最大误差约为15％。

第三节 地基中的附加应力计算对一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地基的沉降，附加应力则是由于修建建筑物以后在地基内新增加的应力，因此它是使地基发生变形、引起建筑物沉降的主要原因。

下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的附加应力计算。

一、集中荷载作用下的附加应力计算（一）竖直集中力作用—布辛内斯克课题1885年法国数学家布辛内斯克（J ．Boussinesq ）用弹性理论推出了在半无限空间弹性体表面上作用有竖直集中力P 时，在弹性体内任意点M 所引起的应力解析解。

这是一个轴对称的空间问题，对称轴就是集中力P 的作用线，以P 作用点O 为原点，则M 点坐标为x 、y 、z （如图3－10所示），M’点为M 点在弹性体表面上的投影。

由布辛内斯克得出的M 点的6个应力分量和3个位移分量的表达式如下：6a)-(3 )(cos 23233253βππσRP R z P z =∙=式中，σx 、σy 、σz ——x 、y 、z 方向的法向应力；R ——M 点至坐标原点O 的距离β——直角三角形OM’M 中OM 和M M’的夹角。

在上述6个应力分量中，对地基沉降计算意义最大的是竖直法向应力z σ，下面将主要讨论z σ的计算及其分布规律。

利用图3-10中的几何关系R 2=r 2＋z 2，式(3一6a )可以改写为8)-(3 1123232225253 z P K z P z r πR z πP σ/z =∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∙= 式中8a)-(3 1123252/z r πK ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+= K 称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是r/z 的函数，可由图3－1或表3—11中查得。

下面讨论z σ的分布特征：1．在集中力P 作用线上的z σ分布在P 作用线上，r= 0，由式（3－8a ）及（3一8）可知223 ,23z P σK z ∙==ππ当z=0时，=∝z σ。

出现这一结果是由于将集中力作用面积看作零所致。

它一方面说明该解不适用于集中力作用点处及其附近，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用点；另一方面也说明在靠近P 作用线处应力z σ很大。

当z=∝时，0=z σ可见，沿P 作用线上z σ的分布是随深度增加而递减，如图3—12所示。

2．在r ＞0的竖直线上的z σ分布从公式（3一6a ）可知，z=0时β=900，所以0=z σ；随着z 的增加，β变小，cos β增大，所以z σ从零逐渐增大；至一定深度后cos β减小，因此z σ又随着的z 增加逐渐变小，如图3－12中所示。

3．在z=常数的水平面面上的z σ分布z σ值在集中力作用线上最大，并随着r 的增加而逐渐减小。

随着深度z 增加，集中力作用线上的z σ减小，而水平面上应力的分布趋于均匀，如图3—12中所示。

若在空间将z σ相同的点连接成曲面，可以得到如图3—13所示的z σ等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。

通过对应力z σ分布图形的讨论可知，集中力P 在地基中引起的附加应力z σ的分布是向下、向四周无限扩散开的。

当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和。

图3—14中曲线a 表示集中力P 1在z 深度水平线上引起的应力分布，曲线b 表示集中力P 2在同一水平线上引起的应力分布，把曲线a 和曲线b 相加得到曲线c 就是该水平线上总的应力。

（二）水平集中力作用—西罗提课题如果地基表面作用有平行于xoy 面的水平集中力P h 时，求解在地基中任意点M(x y z)所引起的应力问题是弹性体内应力计算的另一个基本课题，已由西罗提（V ．Cerruti ）用弹性理论解出。

这里只写出与沉降计算关系最密切的垂直压应力z σ的表达式：9)-(3 2353Rxz P h z πσ= 式中符号见图3－15。