OR_06-4 回溯法

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三. 批处理作业调度
给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理， 然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个 确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有 n 作业在机器2上完成处理的时间和 f F2i 称为该作业调度的完 i 1 成时间和。 批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调 度方案，使其完成时间和达到最小。
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接下来又返回到结点B处。结点B同样也成为死结点，从而
结点A再次成为当前扩展结点。结点A还可以继续扩展，从而
到达结点C。此时，r=30，获取的价值为0.从结点C可移向结 点F或G。假设移至结点F，它成为新的扩展结点。结点A，C
和F是活结点。在结点F处，r=15，获取的价值为25。从结点
F向纵深移至结点L处，此时，r=0，获取的价值为50。由于L 是叶结点，而且是迄今为止找到的获取价值最高的可行解， 因此记录这个可行解。结点L不可扩展，我们又返回到结点F 处。按此方式继续搜索，可搜索遍整个解空间。搜索结束后 找到的最好解是相应0-1背包问题的最优解。
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4.迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一 个非递归迭代过程。 void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--; } }
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5.子集树与排列树
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遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
tji
作业1 作业2 作业3机器12 3 2来自机器21 1 3
这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1； 3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20， 21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为 17 18。
•解空间：排列树
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
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2.生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点。 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点。 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变 成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之 前，它一直是扩展结点。 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态， 要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际 上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具
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•解空间：子集树 n wi xi c1 •可行性约束函数： i 1 •上界函数：
private static double bound(int i) {// 计算上界 double cleft = c - cw; // 剩余容量 double bound = cp; // 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i <= n && w[i] <= cleft) { cleft -= w[i]; 程序演示： bound += p[i]; Knapsack01Backtrack.java i++; } // 装满背包 if (i <= n) bound += p[i] / w[i] * cleft; return bound; }
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A
B
Cr=C=30，V=0 C Cr=30，V=0 w2=15，v2=25 F C =15，V=25 r
w1=16，v1=45 Cr=14，V=45
C <w C =14 D r 2 E r V=45 不可行解
H
25<50 M 不是 Cr=14 w3=15，v3=25 最优 Cr<w3 K L J V=45 Cr=0，V=50 不可行解 解 x=(1,0,0) 50>45 I x=(0,1,1)
第四节 回溯法
蒹葭苍苍，
白露为霜。
所谓伊人，
在水一方。
溯洄从之，
道阻且长。
溯游从之， 宛在水中央。
The Road Not Taken
－－Robert Frost（1874 - 1963）
Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where it bent in the undergrowth; Then took the other, as just as fair, And having perhaps the better claim, Because it was grassy and wanted wear; Though as for that the passing there Had worn them really about the same, And both that morning equally lay In leaves no step had trodden black. Oh, I kept the first for another day! Yet knowing how way leads on to way, I doubted if I should ever come back. I shall be telling this with a sigh Somewhere ages and ages hence: Two roads diverged in a wood, and I— I took the one less traveled by, And that has made all the difference. 黄色的丛林里分出两条路， 可惜我不能同时涉足， 我站在那路口久久伫立， 向着一条路极目望去， 直到它隐没在丛林深处。 然而我选择了另一条路， 它荒草萋萋，十分幽静， 显得更诱人，更美丽； 虽然那天在这两条小路上 都很少留下旅人的足迹 那天清晨落叶满地 两条路都未经旅人踩印 啊，留下一条路等改日再见！ 明知路途绵延无尽 我却怀疑是否应该回到原地 也许多年后在某个地方， 我将轻声叹息将往事回顾； 一片树林里分出两条路—— 而我选择了人迹更少的一条， 从此决定了我一生的道路。
有限界函数的深度优先生成法称为回溯法.
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例如：0-1背包问题：
N=3,c=30
W=[16,15,15] P=[45,25,25] 如何进行解空间的构造和搜索呢？
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从图中的根结点开始搜索其解空间。开始时，根结点是唯一的活 结点，也是当前的扩展结点。在这个扩展结点处，可以沿纵深方向 移至结点B或结点C。假设选择先移至结点B。此时，结点A和结点 B是活结点，结点B成为当前扩展结点。由于选取了w1，故在结点B 处剩余背包容量是r=14，获取的价值为45。从节点B处，可移至结 点D或E。由于移至结点D至少需要w2=15的背包容量,而现在仅有的 背包容量是r=14，故移至结点D导致不可行解。搜索至结点E不需 要背包容量，因而是可行的。从而选择移至结点 E。此时，E成为新 的扩展结点，结点A、B和E是活结点。在结点E处，r=14，获取的 价值为45。从结点E处，可以向纵深移至结点J或K。移至结点J导 致不可行解，而移向结点K是可行的，于是移向结点K，它成为新 的扩展结点。由于结点K是叶结点，故得到一个可行解。这个解相 应的价值为45。xi的取值由根结点到叶结点K的路径唯一确定，即 x=（1，0，0）。由于在结点K处已不能再向纵深扩展，所以结点K 成为死结点。再返回结点E处。此时在结点E处也没有可扩展的结点， 它也成为死结点。
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主要内容：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 回溯法的算法框架 0-1背包问题 批处理作业调度 旅行售货员问题 回溯法效率分析 应用案例
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一. 回溯法的算法框架
回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井 有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方 法适用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从 根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任 意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯 定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层 向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度 优先策略搜索。
private static void backtrack(int i) { if (i > n) { for (int j = 1; j <= n; j++) bestx[j] = x[j]; bestf = f; } else for (int j = i; j <= n; j++) { f1+=m[x[j]][1]; f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+m[x[j]][2]; f+=f2[i]; public class FlowShop if (f < bestf) { static int n, // 作业数 MyMath.swap(x,i,j); f1, // 机器1完成处理时间 backtrack(i+1); f, // 完成时间和 MyMath.swap(x,i,j); bestf; // 当前最优值 } static int [][] m; // 各作业所需的处理时间 f1-=m[x[j]][1]; static int [] x; // 当前作业调度 f-=f2[i]; static int [] bestx; // 当前最优作业调度 } static int [] f2; // 机器2完成处理时间 }