离散数学试卷及答案3
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学(本)形考三答案
形考任务三单项选择题题目1谓词公式(x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。
选择一项：正确答案是：x是约束变元，y都是自由变元题目2表达式的辖域是( )．选择一项：题目3下列公式成立的为( )．选择一项：正确答案是：┐P∧(P∨Q)Q题目4命题公式 (P∨Q)→R的析取范式是 ( )．选择一项：正确答案是：(┐P∧┐Q)∨R题目5设个体域D是整数集合，则命题的真值是（）．选择一项：正确答案是：T题目6设个体域D={a, b, c}，那么谓词公式消去量词后的等值式为( )．选择一项：题目7下列公式 ( )为重言式．选择一项：正确答案是：Q→(P∨(P∧Q))↔Q →P题目8设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．选择一项：题目9命题公式为( )选择一项：正确答案是：可满足式题目10下列等价公式成立的为( )．选择一项：正确答案是：P→(┐Q→P)┐P→(P→Q)判断题题目11命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( )选择一项：正确的答案是“错”。
题目12设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q)→┐R．( )选择一项：正确的答案是“错”。
题目13设P：小王来学校， Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→Q．( )选择一项：正确的答案是“对”。
题目14命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( )选择一项：正确的答案是“对”。
题目15设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( )选择一项：正确的答案是“错”。
题目16设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( )正确的答案是“错”。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(3,4)属于（）。
A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,2,3}×{3,4,5}答案：D2. 命题“若x>2，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤2，则x≤1B. 若x≤1，则x≤2C. 若x≤1，则x≤2D. 若x≤2，则x≤1答案：C3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B的（）。
A. 子集B. 真子集C. 任意子集D. 非空子集答案：D4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 以下哪个命题是真命题（）。
A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 集合{1,2,3}的子集个数为______。
答案：87. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是：若x>1，则______。
答案：x>08. 函数f: A→B中，若A={1,2}，B={3,4}，则f的值域可以是{3}或{4}或{3,4}，但不能是______。
答案：{1,2}9. 在有向图中，若存在从顶点A到顶点B的有向路径，则称A到B是______的。
答案：可达10. 命题逻辑中，合取（AND）的符号是______。
答案：∧三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明：若p∧q为真，则p和q都为真。
证明：根据合取（AND）的定义，p∧q为真当且仅当p和q都为真。
因此，若p∧q为真，则p和q都为真。
12. 给定函数f: A→B，其中A={1,2,3}，B={4,5,6}，且f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
请找出f的值域。
答案：根据函数的定义，f的值域是其所有输出值的集合。
因此，f的值域为{4,5,6}。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学期末考试题(附答案和含解析3)
A一、单项选择题2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不是等价关系的是（ D ）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}； B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}；C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}；D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3．在公式（）F （x ，y ）→（ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）x ∀∃A ．自由变元；(前面无∀或∃量词) B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词) D ．既不是自由变元，又不是约束变元.4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ C ）A ．1∈A ；B ．{1，2，3}A ；C ．{{4，5}}A ；D ．∅∈A.⊆⊆5.设论域为{l ，2}，与公式等价的是( A ))()(x A x ∃A.A (1)A (2)； B. A (1)A (2)； C.A (1)∧A (2)；D. A (2)A (1).∨→→6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B )A.13；B.14 ；C.16 ；D.17 .//设一度结点数为n,则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得：n=7, 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14.7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ A ）A ．<A ,+>是群；B ．<A ,×>是群；C ．<A ,÷>是群；D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。
离散数学试卷及答案三
、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列各图是平面图的是（)A.IL J D-2•设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不.正确的是）A. 若G是树，则其边数等于n-1B. 若G是欧拉图，则G中必有割边C•若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点D.若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路3•格L是分配格的充要条件是L不含与下面哪一个选项同构的子格（）A.链C.五角格B.钻石格D.五角格与钻石格4•设<G,*>是有限循环群，则下列说法不.正确的是（）A. <G,*>的生成元是唯一的B. 有限循环群中的运算*适合交换律C. G中存在一元素a,使G中任一元素都由a的幕组成D. 设a是<G,*>的生成元，则对任一正整数i，存在正整数j使a-i=a j5.在实数集合R上，下列定义的运算中是可结合的只有（）A.a*b=a+2b C.a*b=a-b+2abB.a*b=a+b-2ab D.a*b=a-b-2ab6.设群G=<A,*>中,A的元素个数大于1,若元素a€ A的逆元素为b € A，则a*b的运算结果是（）A.aC.G中零元素B.bD.G中幺元7.非空集合A上的二元关系R若是自反和对称的，则R是（）A.偏序关系C.相容关系B.等价关系D.拟序关系8. 下面的图是A= { 1,2,3} 上关系R的关系图G（R）,从G（R）可判断R所具有的性质是（）1。
A. 自反，对称，传递B. 反自反，非对称C. 反自反，对称，非传递D. 反自反，对称，反对称，传递9. 设A= {1, 2, 3}, B= { a,b},下列二元关系R为A到B的函数的是（）A. R= {<1,a>,<2,a>,<3,a> }B. R= {<1,a>,<2,b> }C. R= {<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a> }D. R= {<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a> }10. 设$为空集，P(x)是集合x的幕集，下列论断不.正确的是()A. 0 € P( $ ), $ P( $ )B. { $ } € P ( $ ), { $ }U P ($)C. $ € P (P ($ )), $ §P (P ( $ ))D. { $ } € P ( P ( $ )) ,{ $ }0P (P ( $ ))11. 利用谓词的约束变元改名规则和自由变元代入规则，可将如下公式：(-x)(p(x,y) > ( z)Q(x,z)) (-y)R(x,y)改写成( )A. (-z)(p(z,y) > ( y)Q(z,y)) (-s)R(z,s)B. (—z)(p(z,y)—. ( s)Q(x,s)) (-y)R(z,y)C. (-x)(p(x, m)—；( y)Q(x,y)) (-m)R(m,m)D. (-x)(p(y,y) > ( y)Q(x,y)) (_s)R(y,s)12. 设论域为整数集，下列谓词公式中真值为假的是()A. ( F( y)(x y 0)B. ( -x)( y)(x y =1)C. ( y)(—x)(x y =x)D. (-x)(-y)( z)(x -y z)13. 在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为()A.真值B.陈述句C. 命题D.谓词14.设P:明天天晴；q：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。
离散数学试题带答案(三)
离散数学试题带答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1, 2, 3, 4}中，子集{1, 2}的补集是（）。
A. {3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：A2. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆否命题是（）。
A. 若x² ≤ 0，则x ≤ 0B. 若x² > 0，则x > 0C. 若x ≤ 0，则x² ≤ 0D. 若x² ≤ 0，则x < 0答案：C3. 函数f(x) = x² + 2x + 1的值域是（）。
A. {x | x ≥ 0}B. {x | x ≥ 1}C. {x | x ≥ 2}D. {x | x ≥ -1}答案：B4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 有向树D. 无向树答案：B5. 以下哪个图是二分图（）。
A. 完全图B. 非完全图C. 任意两个顶点都相连的图D. 任意两个顶点都不相连的图答案：C6. 以下哪个是哈密顿回路（）。
A. 经过每个顶点恰好一次的回路B. 经过每个顶点至少一次的回路C. 经过每个顶点恰好两次的回路D. 经过每个顶点至少两次的回路答案：A7. 以下哪个是欧拉回路（）。
A. 经过每条边恰好一次的回路B. 经过每条边至少一次的回路C. 经过每条边恰好两次的回路D. 经过每条边至少两次的回路答案：A8. 以下哪个是二进制数（）。
A. 1010B. 1020C. 1102D. 1120答案：A9. 以下哪个是格雷码（）。
A. 0101B. 1010C. 1100D. 1110答案：B10. 以下哪个是素数（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是______。
答案：{2, 3}12. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆命题是：若x² > 0，则______。
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一、填空15%（每空3分）
1、设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。
2、n 阶完全图，K n 的点数X (K n ) = 。
3、有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。
4、设[R ，+，·]是代数系统，如果①[R ，+]是交换群 ②[R ，·]是半群
③ 则称[R ，+，·]为环。
5、设],,[⊕⊗L 是代数系统，则],,[⊕⊗L 满足幂等律，即对L a ∈∀有 。
二、选择15%（每小题3分）
1、 下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（ ）。
A 、（2，2，2，2，2）；
B 、（1，1，2，2，3）；
C 、（1，1，2，2，2）；
D 、（0，1，3，3，3）。
2、 下图中是哈密顿图的为（ ）。
3、 如果一个有向图D 是强连通图，则D 是欧拉图，这个命题的真值为（ ）
A 、真；
B 、假。
4、 下列偏序集（ ）能构成格。
5、 设}4,41
,3,31
,2,21
,1{=s ，*为普通乘法，则[S ，*]是（）。
A 、代数系统； B 、半群； C 、群； D 、都不是。
三、证明 48%
1、（10%）在至少有2个人的人群中，至少有2 个人，他们有相同的朋友数。
2、（8%）若图G 中恰有两个奇数度顶点，则这两个顶点是连通的。
3、（8%）证明在6个结点12条边的连通平面简单图中， 每个面的面数都是3。
4、（10%）证明循环群的同态像必是循环群。
5、（12%）设]1,0,,,,[-+⨯B 是布尔代数，定义运算*为)()(*b a b a b a ⨯+⨯=，
求证[B ，*]是阿贝尔群。
四、计算22%
1、在二叉树中
1） 求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T 。
（5分）
2） 求T 对应的二元前缀码。
（5分）
2、 下图所示带权图中最优投递路线并求出投递路线长度（邮局在D 点）。
一、填空（15%）每空3 分
1、 6；
2、n ；
3、2；
4、+对·分配且·对+分配均成立；
5、a a a a a a =⊕=⊗且。
二、选择（15%）每小题3分
三、证明（48%）
1、（10分）证明：用n 个顶点v 1，…，v n 表示n 个人，构成顶点集V={v 1，…，v n}，设,,,|{v ）
（u v u V v u uv E ≠∈=是朋友且
无向图G=（V ，E ）
现证G 中至少有两个结点度数相同。
事实上，（1）若G 中孤立点个数大于等于2，结论成立。
（2） 若G 中有一个孤立点，则G 中的至少有3个顶点，既不考虑孤立点。
设G 中每个结点度数均大于等于1，又因为G 为简单图所以每个顶点度数都小于等于n-1，由于G 中n 顶点其度数取值只能是1，2，…，n-1，由鸽巢原理，必然至少有两个结点度数是相的。
2、（8分）证：设G 中两个奇数度结点分别为u ，v 。
若 u ，v 不连通则至少有两个连通分支G 1、G 2，使得u ，v 分别属于G 1和G 2。
是G 1与G 2中各含有一个奇数度结点，与握手定理矛盾。
因而u ，v 必连通。
3（8分）证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8
由图论基本定理知：242)deg(=⨯=∑m F ，而3)deg(≥i F ，所以必有3)deg(=i
F ，即每个面用3条边围成。
4（10分） 证：设循环群[A ，·]的生成元为a ，同态映射为f ，同态像为[f （A ），*]，于是A a
a m n ∈∀,都有(*)()(n m n a
f a f a a f =⋅对n=1有)()(a f a f =
n=2, 有22))(()(*)()()(a f a f a f a a f a f ==⋅=
若n=k-1时 有11))(()(--=k k a f a
f 对n=k 时，k k k k k a f a f a f a f a f a a f a f ))(()(*))
(()(*)()()(111===⋅=--- 这表明，f(A)中每一个元素均可表示为n a f ))((，所以[f(A),*]为f(a) 生成的循环群。
5、证：
（1） 交换律：B b a ∈∀, 有 a b a b a b b a b a b a *)()()()(*=⨯+⨯=⨯+⨯= （2）
结合律：B c b a ∈∀,, 有 c
b a
c b a c b a c b a c
b a
c a b c b a c b a c
b b a b b a a a
c b a c b a c
b a b a
c b a c b a c b a b a c b a b a c b a b a c b a ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⨯+⨯=)())()(()())()(()))()(((*))()((*)*(
而： c b a c b a c b a c b a c
b a
c b a c b c b a c b c b a c b c b a c b c b a c b a ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯=)()())()((())()(())()((*)*(*
)*(**)*(c b a c b a =∴
（3） 幺：B a ∈∀有
a a a a a a a a a a =+=⨯+⨯==+=⨯+⨯=0)0()0(*00)0()0(0*。
B ，幺元是*][0∴
（4） 逆：B a ∈∀ 000)()(*=+=⨯+⨯=a a a a a a。
a a 的逆元是∴
综上所述：[B ，*]是阿贝尔群。
四、计算（22%）
1、（10分）
（1）（5分）由Huffman方法,得最佳二叉树为：
（2）（5分）最佳前缀码为：000，001，01，10，11 2、（12分）
图中奇数点为E、F ，d(E)=3,d(F)=3,d(E,F)=28 p=EGF 复制道路EG、GF，得图G‘，则G‘是欧拉图。
由D开始找一条欧拉回路：DEGFGEBACBDCFD。
道路长度为：
35+8+20+20+8+40+30+50+19+6+12+10+23=281。