北京市二中通州分校高二数学上学期期中试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2022-2023学年北京市通州区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷1. 已知椭圆x 24+y 22=1的焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，则|PF 1|+|PF 2|=( )A. 2B. 4C. 6D. 82. 已知双曲线的标准方程为x 2−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±12xB. y =±√22xC. y =±√2xD. y =±2x3. 已知数列{a n }的前5项为1，12，13，14，15，则数列{a n }的一个通项公式为( ) A. a n =1nB. a n =1n+1C. a n =12n−1 D. a n =12n4. 已知等差数列{a n }的通项公式a n =2n −1，则数列{a n }的首项a 1和公差d 分别为( ) A. a 1=−1，d =−2 B. a 1=−1，d =2 C. a 1=1，d =−2 D. a 1=1，d =25. 在等比数列{a n }中，a 2=3，a n+1=3a n ，则数列{a n }的前5项和为( )A. 40B. 80C. 121D. 242 6. 已知圆(x −2)2+(y +3)2=r 2与y 轴相切，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 37. 如图，在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程为( )A. x 24+y 2=1B. x 24+y 22=1 C. x 24+y 23=1D.x 22+y 2=18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =2，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为( )A. √22B. √2C. 32D. 29. 已知抛物线y 2=4x 与直线y =2x −2相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( ) A. √5B. √10C. 2√5D. 510. 已知数列{a n }满足a n =12n(n+1)，数列{a n }的前n 项和为T n ，若T n >nλn 2+4n+19(λ∈R)对任意n ∈N ∗恒成立，则λ的取值范围是( )A. (−∞,4)B. (−∞,2√5)C. (−∞,5)D. (−∞,6)11. 点(1,−2)到直线3x +4y −5=0的距离为______.12. 已知抛物线x 2=2py(p >0)经过点(2,2)，则该抛物线的方程为______；准线方程为______.13. 如图，点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.14. 已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将数列{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称数列{p n }为数列{a n }的“序数列”．例如，数列a 1，a 2，a 3满足a 1>a 3>a 2，则其“序数列”为1，3，2.设各项均不相等的数列2，3−t ，t +1，5(t ∈R)为数列Ω. ①若t =0，则数列Ω的“序数列”为______；②若数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，则t 的取值范围为______.15. 已知曲线E 的方程为x|x|4+y 2=1，给出下列四个结论：①若点M(x,y)是曲线E 上的点，则x ≤2，y ∈R ； ②曲线E 关于x 轴对称，且关于原点对称； ③曲线E 与x 轴，y 轴共有4个交点； ④曲线E 与直线y =12x 只有1个交点． 其中所有正确结论的序号是______.16. 已知两点A(−1,1)，B(1,1)，直线l ：x +y +1=0.(Ⅰ)若直线l 1经过点A ，且l 1//l ，求直线l 1的方程；(Ⅰ)若圆心为C 的圆经过A ，B 两点，且圆心C 在直线l 上，求该圆的标准方程．17. 已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率e=2.(Ⅰ)求双曲线的标准方程；(Ⅰ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且|MF|=3，求点M的坐标．18. 在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，设b n=3n−2+a n.(Ⅰ)求a3的值；(Ⅰ)若m是a3和b4的等差中项，求m的值；(Ⅰ)求数列{b n}的前n项和S n.19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，点E为B1C1的中点．(Ⅰ)求证：AE⊥平面CD1E；(Ⅰ)求平面CD1E与平面A1B1C1D1的夹角的余弦值．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，点(−1,√32)在椭圆C上，点B的坐标为(−1,0)，点O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅰ)过A(−4,0)的直线l交椭圆C于M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1<x2)两点，判断∠ABM与∠OBN的大小，并说明理由．21. 已知等差数列{a n}的第2项为4，前6项的和为42，数列{b n}的前n项和为T n，且2T n= 3b n−a n.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅰ)求证：数列{b n +1}是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (Ⅰ)设c n ={14,n =1,1b n +a n −1,n≥2,求证：c 1+c 2+⋯+c n <512.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为椭圆x 24+y 22=1的焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|=2a =4， 故选：B.根据椭圆的定义即可求解．本题考查了椭圆的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：已知双曲线的标准方程为x 2−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为y =±√2x ， 故选：C.由双曲线的性质求解即可．本题考查了双曲线的性质，属基础题．3.【答案】A【解析】解：数列{a n }的前5项为1，12，13，14，15， ∴a n =1n ，符合题意， 故选：A.根据题意，分别令n =1，n =2，n =3，n =4，n =5，验证，即可得出答案． 本题考查数列的概念，考查对应思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：等差数列{a n }的通项公式a n =2n −1，则a 1=2×1−1=1，d =a n −a n−1=2n −1−2(n −1)−1=2， 故a 1=1，d =2. 故选：D.根据已知条件，结合等差数列{a n }的通项公式，即可求解． 本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为a n+1=3a n ， 所以等比数列{a n }的公比q =3， 因为a 2=3， 所以a 1=a 2q=1，所以数列{a n }的前5项和为S 5=a 1(1−q 5)1−q=1−351−3=121，故选：C.由a n+1=3a n ，a 2=3，得等比数列{a n }的公比q ，首项a 1，进而可得数列{a n }的前5项和为S 5，即可得出答案．本题考查等比数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由圆(x −2)2+(y +3)2=r 2的方程可得圆心的坐标(2,−3)， 再由圆与y 轴相切，可得半径r =2， 故选：C.由圆的方程可得圆心坐标，再由与y 轴相切，可得半径等于圆心到y 轴的距离，可得半径的值． 本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设M(x,y)，则P 为(x,2y)， 又P 在圆x 2+y 2=4上， ∴x 2+4y 2=4， ∴M 的轨迹方程为x 24+y 2=1.故选：A.根据“相关点法“即可求解．本题考查利用“相关点法“求解轨迹方程，属基础题．8.【答案】B【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，D(0,2,0)， F(0,1,1)，C(2,2,0)，E(1,1,1)，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，则x +y +z =0，y +z =0， 取n ⃗ =(0,−1,1).∴点C 到平面AEF 的距离为d =|n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗ |=|−2|√2=√2.故选：B.如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，利用点C 到平面AEF 的距离为d =|n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |，即可得出． 本题考查了空间向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x =−1，联立抛物线y 2=4x 与直线y =2x −2方程得x 2−3x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3， 因为直线y =2x −2过焦点F ，设A ，B 到准线的距离分别为d 1，d 2，由抛物线定义可知|AB|=|AF|+|BF|=d 1+d 2=x 1+x 2+2=5； 即线段AB 的长为5. 故选：D.联立抛物线和直线方程，消去y 可得到x 2−3x +1=0，可设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，从而有x 1+x 2=3，可看出直线y =2x −2过焦点，从而根据抛物线定义可得到|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2，可求得线段AB 的长．本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，韦达定理，以及抛物线的定义．10.【答案】C【解析】解：∵a n=12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴T n=a1+a2+...+a n=12(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2n+2，T n>nλn2+4n+19(λ∈R)对任意n∈N∗恒成立，即n2n+2>nλn2+4n+19(λ∈R)对任意n∈N∗恒成立，∵n∈N∗，∴n2+4n+19=(n+2)2+15>0，∴λ<n2+4n+192n+2对任意n∈N∗恒成立，又n 2+4n+192n+2=(n+1)2+2(n+1)+162(n+1)=12(n+1)+8n+1+1≥2√12(n+1)⋅8n+1+1=5，∴λ<5，即λ∈(−∞,5)，故选：C.利用裂项求和法可得T n，题意转化为λ<n 2+4n+192n+2对任意n∈N∗恒成立，利用基本不等式求出n2+4n+192n+2的最小值，即可得出答案．本题考查裂项法求和和数列与不等式的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：点(1,−2)到直线3x+4y−5=0的距离d=√3+4=2.故答案为：2.由已知结合点到直线的距离公式的应用即可求解．本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．12.【答案】x2=2yy=−12【解析】解：将(2,2)代入x2=2py，解得p=1，则抛物线方程为x2=2y；根据准线定义可得，准线方程为y=−12.故答案为：x2=2y；y=−12.将点代入方程求解即可；根据准线方程的定义求解即可．本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题．13.【答案】12OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA⃗⃗⃗⃗⃗【解析】解：由于点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故答案为：12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗.直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．14.【答案】4，2，1，3(4,+∞)【解析】解：①因为t =0，所以数列为：2，3，1，5，由“序数列定义可得： t =0时，数列Ω的“序数列”为4，2，1，3，②因为数列Ω的“序数列”3，4，1，2，而数列Ω为2，3−t ，t +1，5， 由“序数列”定义可得：t +1>5>2>3−1，解得：t >4， 所以t 的取值范围为(4,+∞)， 放答案为：4，2，1，3；(4,+∞).根据“序数列”定义直接求解即可．“序数列”实际上给出数列中的项的大小顺序． 本题考查数列的项与序数之间的关系，属于中档题．15.【答案】①④【解析】解：当x <0时，曲线方程为y 2−x 24=1，当0≤x ≤2时，曲线方程为x 24+y 2=1，故作出曲线E 分图像如下：由图象知：x ≤2，y ∈R ，①正确；曲线E 关于x 轴对称，不关于原点对称，②错误； 曲线E 与x 轴，y 轴共有3个交点，③错误；当x >0时，曲线E 与直线y =12x 必有1个交点，当x <0时，联立直线方程和曲线方程得到{y =12xy 2−x 24=1，整理得到0=1，很显然无解，所以曲线E 与直线y =12x 只有1个交点，④正确， 故答案为：①④．先分x <0和0≤x ≤2整理得到曲线方程，然后作出曲线的图像即可判断． 本题主要考查曲线与方程，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵直线l 的方程为x +y +1=0.直线l 1经过点A(−1,1)，且满足l 1//l ， ∴设所求直线l 1方程为x +y +m =0， 由已知−1+1+m =0，m =0， ∴直线l 1的方程为x +y =0； (Ⅰ)∵A(−1,1)，B(1,1)，∴直线AB 的斜率k AB =1−1−1−1=0， ∴直线AB 的垂直平分线的斜率为不存在， 又线段AB 的中点坐标为(0.1)， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是x =0， ∵圆心C 在直线l ：x +y +1=0上 ∴圆心C 的坐标是方程组{x =0x +y +1=0的解，得圆心C 的坐标(0,−1)，∴圆C 的半径长r =√(−1−0)2+(1+1)2=√5， ∴圆C 的标准方程是x 2+(y +1)2=5.【解析】(Ⅰ)设所求直线l 1方程为x +y +m =0，由直线l 1经过点A(−1,1)，求出m =0，由此能求出直线l 1的方程．(Ⅰ)根据题意，分析可得圆C 的圆心是线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点，先求出线段AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可得圆心C 的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案； 本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b2=1，又双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e =2， 则a =1，c =2，即b 2=c 2−a 2=3，即双曲线方程为x 2−y 23=1； (Ⅰ)由(Ⅰ)可知F(2,0)，则p =4，即抛物线的方程为y 2=8x ，设点M 的坐标为(x 0,y 0)，又|MF|=3，则x 0+2=3，则x 0=1，y 0=±2√2，即点M 的坐标为(1,2√2)或(1,−2√2).【解析】(Ⅰ)由双曲线的性质求双曲线的标准方程即可；(Ⅰ)由抛物线的性质求点M 的坐标即可．本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质，属基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为等比数列{a n }中，a 1=1，公比q =2，所以a n =1×2n−1=2n−1⇒a 3=23−1=4；(Ⅰ)因为b n =3n −2+a n =3n −2+2n−1，所以b 4=3×4−2+24−1=18，又因为a 3=4，所以a 3和b 4的等差中项m =4+182=11； (Ⅰ)因为b n =3n −2+2n−1，所以S n =(1+4+7+⋯+3n −2)+(1+2+4+⋯+2n−1)=(1+3n−2)n 2+1×(1−2n )1−2=3n 2−n 2+2n −1=3n 2−n−22+2n . 【解析】(Ⅰ)先求通项公式，再求a 3的值；(Ⅰ)先求b n 的通项公式，可得a 3和b 4的值，从而可求m 的值；(Ⅰ)利用分组求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：建立如图的空间右手直角坐标系，则根据题意可得：A(0,0,0)，E(1,1,1)，C(1,2,0)，D 1(0,2,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AE ⊥EC ，AE ⊥D 1E ，又EC ∩D 1E =E ，∴AE ⊥平面CD 1E ；(Ⅰ)易知平面A 1B 1C 1D 1的法向量为n ⃗ =(0,0,1)，又由(Ⅰ)知平面CD 1E 的法向量m ⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，∴平面CD 1E 与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的余弦值为：|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√3=√33. 【解析】(Ⅰ)建系，利用向量法及线面垂直的判定定理即可证明；(Ⅰ)建系，利用向量法即可求解．本题考查向量法证明线面垂直，线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的焦距为2c =2√3，解得c =√3； 又因为点(−1,√32)在椭圆C 上，所以1a 2+34b2=1， 又因为a 2=b 2+c 2=b 2+3，所以b 2=1，a 2=4，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(Ⅰ)因为过A(−4,0)的直线l 交椭圆C 于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，且x 1<x 2，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x +4)，由{y =k(x +4)x 2+4y 2=4，消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0， Δ=1024k 4−4(1+4k 2)(64k 2−4)>0，解得2√3<k <2√3；由x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k2，得k BM +k BN =y 1x 1+1+y 2x 2+1 =k(x 1+4)x 1+1+k(x 2+4)x 2+1=(k +3k x 1+1)+(k +3k x 2+1) =2k +3k(1x 1+1+1x 2+1) =2k +3k ⋅x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1 =2k +3k ⋅−32k 21+4k 2+264k 2−41+4k 2+−32k 21+4k2+1 =2k +3k ⋅−32k 2+2+8k 264k 2−4−32k 2+1+4k 2=2k +3k ⋅(−23)=0，所以直线BM 与BN 的倾斜角互补，则∠ABM =∠OBN.【解析】(Ⅰ)根据题意求出c =√3，把点(−1,√32)代入椭圆方程，利用a 2=b 2+c 2求出b 2和a 2即可； (Ⅰ)根据题意知直线l 的斜率存在，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，消去y 整理成关于x 的方程，计算Δ>0，利用根与系数的关系求出x 1+x 2和x 1x 2，计算k BM +k BN ，判断直线BM 与BN 的倾斜角互补，得出∠ABM =∠OBN.本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力与推理转化能力，是难题． 21.【答案】解：(Ⅰ)设{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，由题意可知a 1+d =4，6a 1+15d =42，解得a 1=2，d =2，故a n =2+(n −1)×2=2n ；证明：(Ⅰ)由2T n =3b n −a n 得：当n ≥2时，2T n−1=3b n−1−a n−1，故得2T n −2T n−1=(3b n −a n )−(3b n−1−a n−1)⇒b n =3b n−1+2，因此b n +1=3(b n−1+1)， 故b n +1b n−1+1=3，因此{b n +1}是等比数列，且公比为3，在2T n =3b n −a n 取n =1，则b 1=2，所以{b n +1}的首项为b 1+1=3，因此b n +1=3×3n−1=3n ，进而b n =3n −1；证明：(Ⅰ)由c n ={14,n =11b n +a n −1,n ≥2，得c n ={14,n =113n +2n−2,n ≥2， 当n ≥2时，c n =13n +2n−2<13n， 所以当n =1时，c 1=14<512显然成立， 当n ≥2时，c 1+c 2+⋯+c n <14+132+133⋯+13n =14+132(1−13n−1)1−13=512−12×13n <512，故得证． 【解析】(Ⅰ)根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解；(Ⅰ)根据前n 项和为T n 与b n 的关系即可得b n +1=3(b n−1+1)，进而可证其为等比数列，即可求解通项；(Ⅰ)n ⩾2时，c n =13n +2n−2<13n，根据等比求和公式即可证明． 本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．。
2023-2024学年北京市通州区高二上学期期中质量检测数学试题
2023-2024学年北京市通州区高二上学期期中质量检测数学试题1. 直线x −y +2=0的倾斜角为（ ）A ． π4B ． π3C ． 2π3D ． 3π4 2. 已知A(2,−3,−1)，B(−6,5,3)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ） A ． 2√6 B ． 4√6 C ． 2√33 D ．123. 已知a =(2,−3,1)，b ⃗ =(1,3,0)，c =(0,0,1)，则a ·(b ⃗ +c )等于（ ）A ．-4B ．-6C ．-7D ．-84. 已知圆C 1：x 2+y 2+2x +8y −8=0，圆C 2：(x −2)2+(y −2)2=10，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含5. 设直线l 1：ax +2y −4=0，l 2：x +(a +1)y +2=0.则“a =1”是“l 1∥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，AB =4，AD =1.点P 在线段CD 上，且满足AP⟂BP ，则满足条件的点P 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ． 14a +14b ⃗ +14c B ． 14a +14b ⃗ +12c C ． 12a +12b ⃗ +12c D ． 14a +12b ⃗ +14c 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ． 23B ． √33C ． 13D ． −23 9. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =4，AA 1=2√2，∠BAD =60∘，∠DAA 1=∠BAA 1=45∘，AC 与BD 相交于点O .则OA 1的长为（ ）A ． √3B ．2C ． 2√2D ． 2√310. 过直线y =x −1上一点P 作圆(x −5)2+y 2=2的两条切线l 1，l 2，切点分别为A ，B ，当直线l 1，l 2关于y =x −1对称时，线段PA 的长为（ ）A ．4B ． 2√2C ． √6D ．211. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为_____________. 12. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，则直线AA 1到平面BB 1C 1C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2).则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为___________；CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量a =___________. 14. 若直线y =x +b 与曲线y =√1−x 2恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1].给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值；③当λ=1时，点P 到A 1B 距离的最小值为1；④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B⟂平面AB 1P .则所有正确结论的序号为__________.16. 已知直线l 1：2x +y −8=0，直线l 2：x −y +2=0，设直线l 1与l 2的交点为A ，点P 的坐标为(2,0).(1)求点A 的坐标；(2)求经过点P 且与直线l 1平行的直线方程；(3)求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线x −y +1=0，圆C ：x 2+y 2−4x −2y +m =0.(1)若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；(2)在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若|AB|=√2，求m 的值.18.如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AD⟂ED.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求证：CD//平面ABFE；(2)若EF=ED=1，CD=2EF，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE与平面BCF夹角的大小.条件①：CD⟂EA；条件②：CF=√2.19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求B1D与平面EFGH所成角的正弦值；(3)求点B1到平面EFGH的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA =AB ，得到三棱锥P −ABD .(1)求证：平面PBD⟂平面ABD ；(2)棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为3√1111，若存在，求PC GB ；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.(1)求点G 的轨迹方程；(2)设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线y =−3交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.。
2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月学段考试数学试卷带讲解
以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为 ，由直线 过圆心 ，则 ，
联立 ，消去 可得 ，解得 ，设直线 与椭圆 的交点分别为 ，则 ， ，
则 ，
由椭圆 恰好将线段 三等分，则 ，即 ，整理可得 ，代入 ，可得 ，解得 .
故答案为： .
15.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知 ，起始位置时大圆与小圆的交点为 （ 点为 轴正半轴上的点），滚动过程中 点形成的轨迹记为星形线 .有如下结论：
三､解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 两点.
（1）求圆 的方程；
（2）当 时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为 ，从而求解圆的标准方程；（2）先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程.
共15种，
其中至少有1名女生的有 ，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为 .
19.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点．
而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线 的周长小于曲线 的周长，故②错误；
对于③，星形线与直线 的交点为 ，即
它们到原点的距离为 与圆 的半径相等，
所以曲线 与圆相切，即有且仅有 个公共点，故③正确；
2023-2024学年北京市西城区铁路二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区铁路二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，计50分）1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．如图在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1B 所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．234．过点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的切线，切点为B ，则切线段AB 长为（ ） A ．√5B ．3C ．√6D ．√75．若点（k ，0）与（b ，0）的中点为（﹣3，0），则直线y ＝kx +b 必定经过点（ ） A ．（1，﹣6）B ．（1，6）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，﹣6）6．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=5MA →−3MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面7．点（1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣4）B ．（3，﹣2）C ．（0，4）D ．（﹣1，6）8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →9．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]10．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，2），圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1．若圆C 上存在点M ，使得|MA |2+|MB |2＝12，则实数a 的值不可能是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1+2√2D ．﹣2二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．以A （2，3），B （4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．12．P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2，则实数t 的取值范围是 ．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ． 14．设a ∈R ，已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0，当l 1和l 2垂直时，a ＝ ；当l 1和l 2平行时，a ＝ ．15．若圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0外切，则m ＝ ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱DD 1的中点，F 是正方形CDD 1C 1内部（含边界）的一个动点，且B 1F ∥平面A 1BE ．给出下列四个结论： ①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得B 1F ⊥A 1B ； ③三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积的最大值为23；④设直线B 1F 与平面CDD 1C 1所成角为θ，则tan θ的取值范围是[2，2√2]． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共5个大题，共计70分）17．（13分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣7＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线3x ﹣2y ﹣1＝0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 中点． （1）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（2）若∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，①求平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值． ②求点A 1到平面AEC 1的距离．19．（14分）已知圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1）． （1）求圆G 的方程；（2）设直线l 的斜率为﹣2，且与圆G 相切，求直线l 的方程．20．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．2023-2024学年北京市西城区铁路二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，计50分）1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角为θ，则tan θ=√3，θ∈[0°，180°）． ∴θ＝60°， 故选：B ．2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交解：由a 、b 是异面直线，直线c ∥a 知c 与b 的位置关系是异面或相交， 故选：D ．3．如图在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1B 所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．23解：建立空间直角坐标系，如图所示；D （0，0，0），E （1，0，0），D 1（0，0，2），B （2，2，0），A 1（2，0，2）； D 1E →=（1，0，﹣2），A 1B →=（0，2，﹣2），D 1E →•A 1B →=1×0+0×2﹣2×（﹣2）＝4， |D 1E →|=√12+02+(−2)2=√5，|A 1B →|=√02+22+(−2)2=2√2；所以cos ＜D 1E →，A 1B →＞=D 1E →⋅A 1B→|D 1E →|×|A 1B →|=45×22=√105；所以异面直线D 1E 和A 1B 所成角的余弦值为√105． 故选：A ．4．过点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的切线，切点为B ，则切线段AB 长为（ ） A ．√5B ．3C ．√6D ．√7解：设圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的圆心为点M ，半径为r ，则M （2，3），r ＝2， ∵点A （﹣1，4），∴AM =√(−1−2)2+(4−3)2=√10， ∴AB =√AM 2−r 2=√10−4=√6． 故选：C ．5．若点（k ，0）与（b ，0）的中点为（﹣3，0），则直线y ＝kx +b 必定经过点（ ） A ．（1，﹣6） B ．（1，6）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，﹣6）解：由题意可得k+b 2=−3，则b ＝﹣k ﹣6，所以直线方程为y ＝kx +b ＝kx ﹣6﹣k ＝k （x ﹣1）﹣6， 所以经过定点（1，﹣6）． 故选：A ．6．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=5MA →−3MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面解：若MA →，MC →共线，则MC →=λMA →(λ∈R)，又MC →=5MA →−3MB →，所以λMA →=5MA →−3MB →，MB →=5−λ3MA →，则MA →，MB →共线，与条件矛盾，故A 错误；同理若MB →，MC →共线，则MC →=λMB →(λ∈R)，又MC →=5MA →−3MB →，所以λMB →=5MA →−3MB →，MA →=λ+35MB →，则MA →，MB →共线， 与条件矛盾，故B 错误；根据空间向量的共面定理可知MA →，MB →，MC →共面，即C 正确，D 错误． 故选：C ．7．点（1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣4）B ．（3，﹣2）C ．（0，4）D ．（﹣1，6）解：设点P （1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标为Q （a ，b ）， 可得1+a 2−2×2+b 2−2=0，斜率2−b1−a×12=−1，由①②解得：a ＝3，b ＝﹣2，则点P （1，2）关于直线l 的对称点坐标为（3，﹣2）． 故选：B ．8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →解：因为点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，所以AE →=AA′→+A′E →=AA′→+12A′C′→=AA′→+12AC →=AA′→+12(AB →+AD →)=AA′→+12AB →+12AD →，又AF =12EF ，所以AF =13AE ，则AF →=13AE →=13AA′→+16AB →+16AD →．故选：D ．9．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]解：∵直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，令y ＝0，得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |=√4+4=2√2，∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，∴设P （2+√2cosθ，√2sinθ）， ∴点P 到直线x +y +2＝0的距离：d =|2+√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin （θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d =|2sin(θ+π4)+4|2∈[√2，3√2]，∴△ABP 面积的取值范围是：[12×2√2×√2，12×2√2×3√2]＝[2，6]．故选：A ．10．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，2），圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1．若圆C 上存在点M ，使得|MA |2+|MB |2＝12，则实数a 的值不可能是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1+2√2D ．﹣2解：设M （x ，y ），由题意可知|MA |2+|MB |2＝12＝（x ﹣2）2+y 2+x 2+（y ﹣2）2⇒（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，即M （x ，y ）是圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1与圆D ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4的交点， 由两圆位置关系可知圆心距满足：2﹣1≤|CD |≤1+2， 即√(a −1)2+(0−1)2∈[1，3]⇒a ∈[1−2√2，1+2√2]． 故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．以A （2，3），B （4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 （x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10 ． 解：易知该圆圆心为A （2，3），B （4，9）的中点C （3，6），半径r =|AB|2=√10， 所以该圆方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10． 故答案为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10．12．P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2，则实数t 的取值范围是 [﹣9，﹣1] ． 解：因为P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2， 所以d =|2+√3×√3+t|√1+(√3)2≤2，解得﹣9≤t ≤﹣1，即实数t 的取值范围是[﹣9，﹣1]．故答案为：[﹣9，﹣1]．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ﹣2 ． 解：由题意得（2m +1）：2＝3：m ＝（m ﹣1）：（﹣m ）⇒m ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．设a ∈R ，已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0，当l 1和l 2垂直时，a ＝ −13 ；当l 1和l 2平行时，a ＝ 1或﹣2 ． 解：由题意得k l 1=−a2，当l 1⊥l 2时，a ＝0或a ＝﹣1不满足题意， 所以k l 2=−1a+1=2a ，所以a =−13； 当l 1∥l 2时，a ＝0或a ＝﹣1不满足题意， 所以k l 2=−1a+1=−a2， 所以a ＝1或﹣2经检验，a ＝1或﹣2时两直线不会重合． 故答案为：−13；1或﹣2．15．若圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0外切，则m ＝ 9 ． 解：由C 1：x 2+y 2＝1，得圆心C 1（0，0），半径为1，由圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0，得（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25﹣m ， ∴圆心C 2（3，4），半径为√25−m ． ∵圆C 1与圆C 2外切， ∴5=√25−m +1， 解得：m ＝9． 故答案为：9．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱DD 1的中点，F 是正方形CDD 1C 1内部（含边界）的一个动点，且B 1F ∥平面A 1BE ．给出下列四个结论： ①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得B 1F ⊥A 1B ； ③三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积的最大值为23；④设直线B 1F 与平面CDD 1C 1所成角为θ，则tan θ的取值范围是[2，2√2]． 其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．解：对于①，分别取CC 1和D 1C 1的中点N ，M ，连接MN ，MB 1，NB 1，由正方体的性质知MN ∥A 1B ，NB 1∥EA 1，NB 1⊄平面A 1BE ，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ， ∴MN ，NB 1∥平面A 1BE ，又MN ，NB 1⊂平面MNB 1，MN ∩NB 1＝N ， ∴平面A 1BE ∥平面MNB 1，当F 在MN 上运动时，有B 1F ∥平面A 1BE ， ∴动点F 的轨迹是线段MN ，故①错误； 对于②，当F 为线段MN 中点时， ∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，又MN ∥A 1B ，∴B 1F ⊥A 1B ，故②正确；对于③，三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积V =13S △D 1EF ⋅B 1C 1=23S △D 1EF ， 又 （S △D 1EF ）max =12×2×1=1， ∴三棱锥的体积最大值为23，故③正确；对于④，连接B 1F ，C 1F ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角θ＝∠B 1FC 1， 则tan θ=2C 1F ，∵√22≤C 1F ≤1， ∴tan θ的范围是[2，2√2]，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（共5个大题，共计70分）17．（13分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣7＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线3x ﹣2y ﹣1＝0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解：（1）联立{3x +4y −7=02x +y +2=0⇒{x =−3y =4，则P （﹣3，4）， 由题意可知3x ﹣2y ﹣1＝0的斜率为32，所以直线l 的斜率为−23， 故直线l 的方程为：y −4=−23(x +3)⇒2x +3y −6=0；（2）由上可知x ＝0⇒y ＝2，y ＝0⇒x ＝3，即直线l 与坐标轴的交点分别为（0，2），（3，0），故S =12×2×3=3． 18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 中点．（1）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（2）若∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，①求平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值．②求点A 1到平面AEC 1的距离．解：（1）证明：如图所示，连接A 1C 交AC 1于F 点，连接EF ，由三棱柱的特征可知侧面ACC 1A 1是平行四边形，则F 是A 1C 的中点，又E 是BC 中点．则EF ∥A 1B ，因为EF ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面平面AEC 1，所以A 1B ∥平面AEC 1；（2）由已知可得AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，所以可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），E （1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（0，0，2），则AE →=(1，1，0)，AC 1→=(0，2，2)，C （0，2，0），设平面AEC 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=x +y =0n →⋅AC →=2y +2z =0，取y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)．①易知AC →=(0，2，0)是平面ABB 1A 1的一个法向量，设平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成角为θ，则cosθ=|n →⋅AC →||n →|⋅|AC →|=2×3=√33； ②易知AA 1→=(0，0，2)，则点A 1到平面AEC 1的距离d =|AA 1→⋅n →||n →|=3=2√33．19．（14分）已知圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1）．（1）求圆G 的方程；（2）设直线l 的斜率为﹣2，且与圆G 相切，求直线l 的方程．解：（1）设圆G 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，其中D 2+E 2﹣4F ＞0，因为圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1），所以{4+4+2D +2E +F =025+9+5D +3E +F =01+9+3D −E +F =0，解得{D =−8E =−2F =12，圆G 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣2y +12＝0；（2）由（1）知圆G 是以（4，1）为圆心，以r =√5为半径的圆，设直线方程为y ＝﹣2x +b ，即2x +y ﹣b ＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为d =√2+1=√5，解得b ＝14或b ＝4，所以切线方程为2x +y ﹣14＝0或2x +y ﹣4＝0．20．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3．（Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形，∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ，且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形，∴GE ∥BF ，∵DE ∥AF ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴平面EDC ⊥平面ABCD ，作GN ⊥CD 于N ，则GN ⊥平面EDC ，连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角，在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2，∴sin ∠GEN =GN GE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105； （Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形，∴EC ∥FH ，∴EC ∥平面AFH ，连接AH 交BD 于M ，则CE ∥平面AFM ，此时BM MD =BHAD =2，∴BM BD =23． 21．（15分）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（1）解：设圆的标准为（x ﹣3）2+y 2＝r 2，把A （0，4）代入得r ＝5，故圆的标准方程为（x ﹣3）2+y 2＝25．（2）解：①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝0，此时弦AB 长为8，符合题意； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +4，联立方程{y =kx +4(x −3)2+y 2=25，则（1+k 2）x 2﹣（6﹣8k ）x ＝0， 所以B （6−8k1+k 2，4+6k−4k 21+k 2），根据弦AB 长为8，可得|AB |=√(6−8k1+k 2)2+(4+6k−4k 21+k 2−4)2=8， 解得k =−724，所以直线AB 的方程为7x +24y ﹣96＝0，（令解：当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +4，即kx ﹣y +4＝0，由题意可知圆心C 到直线AB 的距离为3，所以√k 2+1=3， 解得k =−724，所以直线AB 的方程为7x +24y ﹣96＝0）综上所述，直线AB 的方程为x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明：当直线l 斜率不存在时，设M （a ，b ），N （a ，﹣b ），∵直线AM ，AN 的斜率之积为2，A （0，4），∴b−4a •−b−4a =2，即b 2＝16﹣2a 2，∵点M （a ，b ）在圆上，∴（a ﹣3）2+b 2＝25，联立{b 2=16−2a 2(a −3)2+b 2=25，无解，舍去， 当直线l 斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +t ，M （x 1，kx 1+t ），N （x 2，kx 2+t ）， k AM •k AN =kx 1+t−4x 1•kx 2+t−4x 2=2⇒（k 2﹣2）x 1x 2+k （t ﹣4）（x 1+x 2）+（t ﹣4）2＝0① 联立方程{y =kx +t (x −3)2+y 2=25⇒（k 2+1）x 2+（2kt ﹣6）x +t 2﹣16＝0， ∴x 1+x 2=−(2kt−6)1+k 2，x 1x 2=t 2−161+k 2，代入①，得（k 2﹣2）（t 2﹣16）+（kt ﹣4k ）（﹣2kt +6）+（t ﹣4）2（1+k 2）＝0， 化简得k =t 6+2，∴直线l 的方程为：y ＝（t 6+2）x +t ，所以过定点（﹣6，﹣12）．。
2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案
2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。
2021-2022学年北京市通州区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市通州区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项。
1．直线y ＝x ﹣1的倾斜角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π42．已知直线l 经过点A （1，1），且斜率为2，则直线l 的一般式方程为（ ）A ．y ﹣1＝2（x ﹣1）B ．y ＝2x ﹣1C ．2x ﹣y ﹣1＝0D ．x ﹣2y +1＝03．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）A ．a →+b →，a →+b →+c →，2c →B ．a →−c →，a →−b →，b →−c →C ．a →+b →，a →−b →，a →D ．a →+b →，b →+c →，a →+c →4．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →+AD →+AA 1→=（ ）A ．AC 1→B ．CA 1→C ．BD 1→ D ．DB 1→5．已知直线x +ay ﹣1＝0和直线ax +4y +1＝0互相平行，则a 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．06．圆（x ﹣5）2+（y ﹣3）2＝9与圆x 2+y 2﹣4x +2y +4＝0的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点A （3，4，5）在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则|BC →|=（ ）A ．5B ．√34C ．√41D ．5√28．已知点A （2，1，0），B （2，2，1），C （1，2，2），D （0，0，k ），若A ，B ，C ，D 四点共面，则（ ）A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝﹣19．已知圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y +a ＝0上有且只有两个点到直线3x ﹣4y ﹣5＝0的距离等于1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．（﹣4，1）C ．（1，4）D ．（2，4）10．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则A 1B 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值等于（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√63二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年北京市昌平二中高二(上)期中数学试卷【学生版】
2022-2023学年北京市昌平二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知直线l ：√3x −y −4=0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知A （1，1，1），B （﹣3，1，5），则|AB →|的值为（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√23．已知直线l ：x +y +1＝0，则下列结论正确的个数是（ ） ①直线l 的截距为1②向量v →=(1，1)是直线l 的一个法向量③过点（1，3）与直线l 平行的直线方程为x +y ﹣4＝0 ④若直线m ：x ﹣y +1＝0，则l ⊥m A ．4B ．3C ．2D ．14．圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0与圆（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16的位置关系为（ ） A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切5．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上，且CN →=2NB →，设MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值为（ ）A ．12，13，23B ．12，23，13C ．−12，23，13D ．−12，13，236．已知直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点，求线段AB 的中垂线方程（ ） A ．2x ﹣y ﹣2＝0 B ．2x ﹣y ﹣4＝0C ．2√5x −√5y ﹣1＝0D ．2√5x −√5y −√19=07．已知A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ）A ．2√23B ．1C ．√2D ．2√28．已知P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上的点，点P 到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．45C ．54D ．539．“方程x 25−m+y 2m+3=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件又不必要条件10．设F 1，F 2分别是椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，则使得PF 1→•PF 2→=−1成立的点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置） 11．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣3，y ，4），若a →⊥b →，则y ＝ ．12．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ．13．直线y ＝mx +2m ﹣1经过一定点C ，则点C 的坐标为 ，以点C 为圆心且过原点的圆的方程为 ． 14．设F 1，F 2分别是椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 ，若∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积为 ．15．如果实数x ，y 满足等式（x ﹣2）2+y 2＝1，那么y+3x−1的取值范围是 ．16．星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，x 23+y 23=1便是它的一种表达式，①星形线关于y ＝x 对称 ②星形线图像围成的面积小于2③星形线上的点到x 轴，y 轴距离乘积的最大值为14④星形线上的点到原点距离的最小值为12上述说法正确的是有 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，1），B （2，1），C （4，﹣3）．（1）设AC 的中点为D ，求AC 边上的中线BD 所在的直线方程； （2）求BC 边上的高所在的直线方程； （3）求△ABC 的面积．18．（14分）已知点A （1，4），B （3，﹣2），以AB 为直径的圆记为圆C ． （1）求圆C 的方程；（2）若过点P （0，﹣2）的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且|MN |＝2√6，求直线l 的方程． 19．（14分）如图，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，D ，O 分别为P A ，AC 的中点，AC ＝8，P A ＝PC ＝5．（Ⅰ）设平面PBC ∩平面BOD ＝l ，判断直线l 与PC 的位置关系，并证明； （Ⅱ）求直线PB 与平面BOD 所成角的正弦值．20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点为P （0，1），且离心率为√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|P A |＝|PB |，求m 的值．21．（14分）已知集合S n ＝{X |X ＝（x 1，x 2，⋯x n ），x i ∈N *，i ＝1，2，⋯n }（n ≥2）．对于A ＝（a 1，a 2，⋯，a n ），B ＝（b 1，b 2，⋯，b n ）∈S n ，给出如下定义：①AB →=(b 1−a 1，b 2−a 2，⋯，b n −a n )；②λ（a 1，a 2，⋯，a n ）＝（λa 1，λa 2，⋯，λa n ）（λ∈R ）；③A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=∑|a i −b i |n i=1．说明：（a 1，a 2，⋯，a n ）＝（b 1，b 2，⋯，b n ）的充要条件是a i ＝b i （i ＝1，2，⋯，n ）．（1）当n ＝5时，设A ＝（1，2，1，2，5），B ＝（2，4，2，1，3），求d （A ，B ）；（2）若A ，B ，C ∈S n ，且存在λ＞0，使得AB →=λBC →，求证：d （A ，B ）+d （B ，C ）＝d （A ，C ）； （3）记I ＝（1，1，⋯，1）∈S 20.若A ，B ∈S 20，且d （I ，A ）＝d （I ，B ）＝13，求d （A ，B ）的最大值．2022-2023学年北京市昌平二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知直线l ：√3x −y −4=0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线l 的倾斜角为θ， ∵直线l ：√3x −y −4=0， ∴tanθ=√3， ∵θ∈[0，π），∴θ=π3． 故选：B ．2．已知A （1，1，1），B （﹣3，1，5），则|AB →|的值为（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√2解：A （1，1，1），B （﹣3，1，5），∴|AB →|=√(−3−1)2+(1−1)2+(5−1)2=4√2． 故选：B ．3．已知直线l ：x +y +1＝0，则下列结论正确的个数是（ ） ①直线l 的截距为1②向量v →=(1，1)是直线l 的一个法向量③过点（1，3）与直线l 平行的直线方程为x +y ﹣4＝0 ④若直线m ：x ﹣y +1＝0，则l ⊥m A ．4B ．3C ．2D ．1解：对于①，令x ＝0，则y ＝﹣1；令y ＝0，则x ＝﹣1，故①错误；对于②，因为直线的方向向量为u →=(−1，1)或u →=(1，−1)，则u →⋅v →=0，所以向量v →=(1，1)是直线l 的一个法向量，故②正确；对于③，设与直线l 平行的直线方程为x +y +m ＝0，因为直线过点（1，3），所以m ＝﹣4，所以过点（1，3）与直线l 平行的直线方程为x +y ﹣4＝0，故③正确；对于④，直线m ：x ﹣y +1＝0，直线l ：x +y +1＝0，则k l •k m ＝﹣1，所以两直线垂直，故④正确，所以结论正确的个数为3． 故选：B ．4．圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0与圆（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16的位置关系为（ ） A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切解：由题知x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0可化为，（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，所以圆心为（1，﹣2），半径为2，（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16，圆心为（4，2），半径为4， 所以圆心之间的距离为√(4−1)2+(2−(−2))2=5， 因为圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和， 所以两圆相交． 故选：C ．5．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上，且CN →=2NB →，设MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值为（ ）A ．12，13，23B ．12，23，13C ．−12，23，13D ．−12，13，23解：MN →=MO →+OB →+BN →，MO →=−12OA →，BN →=13BC →=13(OC →−OB →)， 所以MN →=−12OA →+23OB →+13OC →， 故选：C ．6．已知直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点，求线段AB 的中垂线方程（ ） A ．2x ﹣y ﹣2＝0 B ．2x ﹣y ﹣4＝0C ．2√5x −√5y ﹣1＝0D ．2√5x −√5y −√19=0解：由直线l ：x +2y ﹣3＝0与圆（x ﹣2）2+y 2＝4交于A 、B 两点， 得线段AB 的中垂线方程必过圆心，且斜率与直线l 的斜率互为负倒数， ∵k l =−12，∴AB 的中垂线的斜率为2，又过（2，0），∴AB 的中垂线方程为y ＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣4＝0． 故选：B ．7．已知A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√23B ．1C ．√2D ．2√2解：∵A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0）， AB →=（1，0，0），BC →=（﹣1，2，﹣2），∴点A 到直线BC 的距离为：d ＝|AB →|√1−(cos ＜AB →，BC →＞)2＝1×√1−(−11×3)2=2√23．故选：A ． 8．已知P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上的点，点P 到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．45C ．54D ．53解：∵点P 到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，∴{a −c =2a +c =18⇒{a =10c =8，∴椭圆的离心率为e =c a =45． 故选：B ． 9．“方程x 25−m+y 2m+3=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件又不必要条件解：由方程x 25−m+y 2m+3=1表示椭圆，则满足条件为：{5−m ＞0m +3＞05−m ≠m +3，解得﹣3＜m ＜5且m ≠1，所以由﹣3＜m ＜5且m ≠1，可以推出﹣3＜m ＜5，但反过来不成立． 故选：A ．10．设F 1，F 2分别是椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，则使得PF 1→•PF 2→=−1成立的点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：设P （x 0，y ）， ∵F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，∴F 1（−√5．，）．F 2（√5，0），PF 1→=(−√5−x 0，−y 0)，PF 2→=(√5−x 0，−y 0)， ∵PF 1→⋅PF 2→=−1，∴（−√5−x 0）（√5−x 0）+（﹣y 0）2＝﹣1， 即x 02+y 02＝4①，又P （x 0，y 0）为椭圆上任意一点，∴x 029+y 024=1②，联立①②得{x 0=0y 0=2或{x 0=0y 0=−2，∴使得PF 1→⋅PF 2→=−1成立的点的个数为2． 故选：B ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置） 11．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣3，y ，4），若a →⊥b →，则y ＝ 6 ． 解：∵a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣3，y ，4），a →⊥b →， ∴a →⋅b →=−6﹣y +12＝6﹣y ＝0，解得y ＝6． 故答案为：6．12．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 √3010．解：建立坐标系如图，则A （1，0，0），E （0，2，1），B （1，2，0），C 1（0，2，2）， BC 1→=（﹣1，0，2），AE 1→=（﹣1，2，1）， cos ＜BC 1→⋅AE →＞=BC 1→⋅AE→|BC 1→||AE →|=√3010．故答案为√301013．直线y ＝mx +2m ﹣1经过一定点C ，则点C 的坐标为 （﹣2，﹣1） ，以点C 为圆心且过原点的圆的方程为 （x +2）2+（y +1）2＝5 ．解：由y ＝mx +2m ﹣1得y ＝m （x +2）﹣1，即y +1＝m （x +2），由直线的点斜式方程可知，y +1＝m （x +2）是斜率为m ，过定点（﹣2，﹣1）的直线， 故点C 的坐标为（﹣2，﹣1），点C 到原点O 的距离|CO|=√(−2−0)2+(−1−0)2=√5， 即以点C 为圆心且过原点的圆的半径r =|CO|=√5，故以点C 为圆心且过原点的圆的方程为：（x +2）2+（y +1）2＝5． 故答案为：（﹣2，﹣1）；（x +2）2+（y +1）2＝5． 14．设F 1，F 2分别是椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 10 ，若∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积为 5√33． 解：由椭圆x 29+y 25=1知a =3，b =√5，c =2，∵△PF 1F 2的周长为2a +2c ＝10； ∴由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos60°，即16=(PF 1+PF 2)2−3|PF 1||PF 2|⇒16=36−3|PF 1||PF 2|⇒|PF 1||PF 2|=203，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2sin60°=5√33． 故答案为：10；5√33． 15．如果实数x ，y 满足等式（x ﹣2）2+y 2＝1，那么y+3x−1的取值范围是 [43，+∞) ．解：设k =y+3x−1，则y ＝kx ﹣（k +3）表示经过点P （1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率， 所以求k =y+3x−1的取值范围就等价于求同时经过点P （1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，从图中可知，当过点P 的直线与圆相切时取最大值和最小值， 此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ，其中k PB 不存在， 由圆心C （2，0）到直线y ＝kx ﹣（k +3）的距离√k 2+1=r =1，解得k =43，则k =y+3x−1的取值范围是[43，+∞)． 故答案为：[43，+∞)．16．星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，x 23+y 23=1便是它的一种表达式，①星形线关于y ＝x 对称 ②星形线图像围成的面积小于2③星形线上的点到x 轴，y 轴距离乘积的最大值为14④星形线上的点到原点距离的最小值为12上述说法正确的是有 ①②④ ．解：对于①，把方程x 23+y 23=1中的x 与y 互换，方程不变，可得星形线关于y ＝x 对称，故①正确； 对于②，曲线|x |+|y |＝1所围成的区域面积为2，而|x|+|y|＞|x|23+|y|23=x 23+y 23， 即星形线图像围成的区域在曲线|x |+|y |＝1所围成的区域内部， 所以星形线图像围成的面积小于2，故②正确；由x 23+y 23=|x|23+|y|23≥2√|xy|23=2|xy|13，得|xy|≤18，当且仅当|x |＝|y |时等号成立，即星形线上的点到x 轴，y 轴距离乘积的最大值为18，故③错误；因为x2+y2=(x 23)3+(y23)3=(x23+y23)(x43−x23y23+y43)=(x23+y23)[(x23+y23)2−3(xy)23]=1−3(xy)23≥1−3(x23+y23)24=14，即星形线上的点到原点距离的最小值为√x2+y2=12，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3）．（1）设AC的中点为D，求AC边上的中线BD所在的直线方程；（2）求BC边上的高所在的直线方程；（3）求△ABC的面积．解：（1）因为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3），所以AC的中点D（1，﹣1），故k BD=1−(−1)2−1=2，所以AC边上的中线BD所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0；（2）设BC边长的高为AH，则k AH k BC＝﹣1，因为k BC=1−(−3)2−4=−2，所以k AH=12，所以AC边上的高所在的直线方程为y−1=12(x+2)，即x﹣2y+4＝0；（3）由（2）知k BC＝﹣2，所以直线BC的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，所以点A到直线BC的距离d=|−4+1−5|5=8√55，又|BC|=√(4−2)2+(−3−1)2=2√5，所以△ABC的面积为S△ABC=12|BC|d=12×2√5×8√55=8．18．（14分）已知点A（1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆记为圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝2√6，求直线l的方程．解：（1）由A（1，4），B（3，﹣2），得AB的中点坐标为（2，1），即圆心坐标为（2，1），半径r=12|AB|=√10，故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10．（2）由|MN|=2√6，可得弦心距为√10−(√6)2=2，当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为2，所以满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y+2＝kx，即kx﹣y﹣2＝0．圆心C到直线l的距离d=|2k−3|√1+k =2，解得k=512，直线l的方程为5x﹣12y﹣24＝0，故直线l的方程为x＝0或5x﹣12y﹣24＝0．19．（14分）如图，平面P AC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为P A，AC的中点，AC＝8，P A ＝PC＝5．（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）PC∥l．证明如下：∵D，O分别为P A，AC的中点，∴在△APC中，DO∥PC，∵DO⊂平面BOD，PC⊄平面BOD，∴PC∥平面BOD，∵PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面BOD＝l，∴由线面平行的性质定理得PC∥l．（Ⅱ）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面APC，同理，∵AP＝PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，∴OB，OC，OP三线两两垂直，∴以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，由题可知AC ＝8，AB ＝BC ＝4√2，OA ＝OC ＝OB ＝4，OP ＝3，则A （0，﹣4，0），B （4，0，0），P （0，0，3），D （0，﹣2，32）， 则BP →=（﹣4，0，3），OB →=（4，0，0），OD →=（0，﹣2，32）， 设平面BOD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅OB →=4x =0m →⋅OD →=−2y +32z =0，取z ＝4，则m →=（0，3，4）， 设直线PB 与平面BOD 所成角为θ，则直线PB 与平面BOD 所成角的正弦值：sin θ＝cos ＜m →，BP →＞=m →⋅BP →|m →||BP →|=125×5=1225， ∴直线PB 与平面BOD 所成角的正弦值为1225．20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点为P （0，1），且离心率为√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|P A |＝|PB |，求m 的值．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ．由题意得 {b =1，c a =√32，a 2=b 2+c 2，解得a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）由 {y =x +m ，x 24+y 2=1得5x 2+8mx +4（m 2﹣1）＝0，由Δ＝（8m ）2﹣4×5×4（m 2﹣1）＞0，解得−√5＜m ＜√5，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8m 5，设线段AB 的中点为D ，则x D =x 1+x 22=−4m 5，y D =x D +m =m 5， “|P A |＝|PB |”等价于“PD ⊥AB ”，所以1−m 54m 5=−1，解得m =−53，符合题意，所以m =−53．21．（14分）已知集合S n ＝{X |X ＝（x 1，x 2，⋯x n ），x i ∈N *，i ＝1，2，⋯n }（n ≥2）．对于A ＝（a 1，a 2，⋯，a n ），B ＝（b 1，b 2，⋯，b n ）∈S n ，给出如下定义：①AB →=(b 1−a 1，b 2−a 2，⋯，b n −a n )；②λ（a 1，a 2，⋯，a n ）＝（λa 1，λa 2，⋯，λa n ）（λ∈R ）；③A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=∑|a i −b i |n i=1．说明：（a 1，a 2，⋯，a n ）＝（b 1，b 2，⋯，b n ）的充要条件是a i ＝b i （i ＝1，2，⋯，n ）．（1）当n ＝5时，设A ＝（1，2，1，2，5），B ＝（2，4，2，1，3），求d （A ，B ）；（2）若A ，B ，C ∈S n ，且存在λ＞0，使得AB →=λBC →，求证：d （A ，B ）+d （B ，C ）＝d （A ，C ）；（3）记I ＝（1，1，⋯，1）∈S 20.若A ，B ∈S 20，且d （I ，A ）＝d （I ，B ）＝13，求d （A ，B ）的最大值． 解：（1）因为d(A ，B)=∑|a i −b i |n i=1，A ＝（1，2，1，2，5），B ＝（2，4，2，1，3）， 所以d （A ，B ）＝|1﹣2|+|2﹣4|+|1﹣2|+|2﹣1|+|5﹣3|＝7，即d （A ，B ）＝7．证明：（2）设A ＝{a 1，a 2，⋯a n }，B ＝{b 1，b 2，⋯b n }，C ＝{c 1，c 2⋯c n }，因为∃λ＞0，使AB →=λBC →，所以∃λ＞0，使得b i ﹣a i ＝λ（c i ﹣b i ），其中i ＝1，2，⋯n ，所以b i ﹣a i 与c i ﹣b i （i ＝1，2，⋯n ）同为非负数或同为负数，所以|b i −a i |+|c i −b i |=|c i ⬚−a i |，即d(A ，B)+d(B ，C)=∑ n i=1|a i −b i |+∑ n i=1|b i −c i |=∑ n i=1(|b i −a i |+|c i −b i |)=∑ n i=1|c i −a i |=d(A ，C)，故得证．解：（3）d(A ，B)=∑ 20i=1|b i −a i |，设b i ﹣a i （i ＝1，2⋯，20）中有m （m ≤20）项为非负数，20﹣m 项为负数，且不妨设i ＝1，2⋯m 时，b i ﹣a i ≥0i ＝m +1，m +2，⋯，20时，b i ﹣a i ＜0，所以d(A，B)=∑20i=1|b i−a i|=[（b1+b2+⋯+b m）﹣（a1+a2+⋯+a m）]+[（a m+1+a m+2+⋯a20）﹣（b m+1+b m+2+⋯b20）]，又因为d（I，A）＝d（I，B）＝13，所以∑20i=1(a i−1)=∑20i=1(b i−1)，整理得∑20i=1a i=∑20i=1b i，所以d(A，B)=∑20i=1|b i−a i|=[（b i+b2+⋯+b m）﹣（a1+a2+…+a m）]+[（a m+1+a m+2+⋯+a20）﹣（b m+1+b m+2+⋯+b20）]＝2[b1+b2+⋯+b m﹣（a1+a2+⋯+a m）]，又因为b1+b2+⋯+b m＝（b1+b2+⋯+b20）﹣（b m+1+b m+2+⋯+b20）≤（13+20）﹣（20﹣m）×1＝13+m，且a1+a2+⋯+a m≥m×1＝m，所以d（A，B）＝2[b1+b2+⋯+b m﹣（a1+a2+⋯+a m）]≤2[（13+m）﹣m]＝26，即d（A，B）≤26，又对于A＝（1，1，1，⋯，14），B＝（14，1，1，⋯1），有A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13d （A，B）＝26，综上所得，d（A，B）的最大值为26．。
2022-2023学年北京市铁路二中高二(上)期中数学试卷【学生版】
2022-2023学年北京市铁路二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，计50分） 1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．若点（k ，0）与（b ，0）的中点为（﹣1，0），则直线y ＝kx +b 必定经过点（ ） A ．（1，﹣2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，﹣2）4．自点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1的切线，则切线长为（ ） A ．√5B ．3C ．√10D ．55．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于（ ） A ．√155B ．√105C ．45D ．236．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为（ ） A ．2√3B ．2C ．√6D ．√37．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=3MA →−2MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →9．在空间直角坐标系中，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF ＝90°，则点F 的坐标为（ ）A ．(2，14，0)B ．(2，13，0)C ．(2，12，0)D ．(2，23，0)10．在平面直角坐标系xOy 中，记以直线y ＝kx ﹣2上一点P 为圆心，1为半径的圆为⊙P ，所有⊙P 构成的集合为W ，若在W 中存在一个圆，使得该圆与圆x 2+y 2﹣8x +15＝0有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．1B ．23C ．43D ．53二、填空题（每题5分，计30分）11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，则四面体P ﹣ABC 的四个面中，直角三角形的个数有 个．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ． 14．已知两直线l 1：2mx +（3﹣m ）y +1＝0，l 2：2x +2my +m ＝0，当l 1和l 2垂直时，m ＝ ；当l 1和l 2平行时，m ＝ ．15．圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0关于直线x ﹣y ＝1对称的圆的方程是x 2+y 2﹣1＝0，则实数a 的值是 ． 16．四面体ABCD 的三组对棱分别相等（即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ），有以下四个结论： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ③连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；④从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中所有正确结论的序号为 ．三、解答趣（共5个大题，共计70分）17．（12分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣2＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线x ﹣3y ﹣1＝0． （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．18．（13分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AA 1＝AB ＝AC ＝1，CC 1的中点为H ．（1）求证：AB ⊥A 1C ；（2）求二面角A 1﹣BC ﹣A 的余弦值； （3）求点B 1到平面A 1BC 的距离．19．（15分）已知圆G 过三点A （1，3），B （4，2），C （1，﹣7）． （1）求圆G 的方程；（2）设直线l 经过点M （6，1），且与圆G 相切，求直线l 的方程．20．（15分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ＝2EF ＝4，AE =DE =√2． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值．21．（15分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （1）若OP →⋅OQ →=−12，求直线l 的方程；（2）判断是否存在直线l ，使得△OMP 与△OPQ 的面积相等？若存在，求直线l 的斜率；若不存在，说明理由．2022-2023学年北京市铁路二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，计50分）1．直线x+√3y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：直线x+√3y+1＝0的斜率k=1√3=−√33，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tanθ=−√33，∴θ＝150°．故选：D．2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选：D．3．若点（k，0）与（b，0）的中点为（﹣1，0），则直线y＝kx+b必定经过点（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）解：由题意，∵点（k，0）与（b，0）的中点为（﹣1，0），∴k+b＝﹣2∴x＝1时，y＝kx+b＝k+b＝﹣2∴直线y＝kx+b必定经过点（1，﹣2）故选：A．4．自点A（﹣1，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则切线长为（）A．√5B．3C．√10D．5解：因为点A（﹣1，4），设切点为点B，连接圆心O（2，3）和点B得到OB⊥AB，圆的半径为1，而斜边AO=√(−1−2)2+(4−3)2=√10在直角三角形OAB中，根据勾股定理得：切线长AB=√(√10)2−12=3故选：B．5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于（）A ．√155B ．√105C ．45D ．23解：取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ． ∵E 是CC 1的中点，∴GC 1∥EH ∴∠OEH 为异面直线所成的角． 在△OEH 中，OE =√3，HE =√52，OH =√52．由余弦定理，可得cos ∠OEH =OE 2+EH 2−OH 22OE⋅EH =32×3×√52=√155 故选：A ．6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为（ ） A ．2√3B ．2C ．√6D ．√3解：根据题意：直线方程为：y =√3x ， ∵圆x 2+y 2﹣4y ＝0，∴圆心为：（0，2），半径为：2， 圆心到直线的距离为：d ＝1， ∴弦长为2√4−1=2√3， 故选：A ．7．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=3MA →−2MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面解：由题知，MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=3MA →−2MB →， 由共线向量定理知，A ，B ，C 三点共线，由共面向量定理知，MA →，MB →，MC →共面． 故选：C ．8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →解：因为点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，所以AE →=AA′→+A′E →=AA′→+12A′C′→=AA′→+12AC →=AA′→+12(AB →+AD →)=AA′→+12AB →+12AD →，又AF =12EF ，所以AF =13AE ，则AF →=13AE →=13AA′→+16AB →+16AD →． 故选：D ．9．在空间直角坐标系中，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF ＝90°，则点F 的坐标为（ ）A ．(2，14，0)B ．(2，13，0)C ．(2，12，0)D ．(2，23，0)解：由正方体的性质可得E （2，0，1），C 1（0，2，2）， 设F （2，y ，0），则EC 1→=(−2，2，1)，EF →=(0，y ，−1)，∵∠C 1EF ＝90°，∴EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12，则点F 的坐标为(2，12，0)． 故选：C ．10．在平面直角坐标系xOy 中，记以直线y ＝kx ﹣2上一点P 为圆心，1为半径的圆为⊙P ，所有⊙P 构成的集合为W ，若在W 中存在一个圆，使得该圆与圆x 2+y 2﹣8x +15＝0有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．1B ．23C ．43D ．53解：圆x 2+y 2﹣8x +15＝0方程可化为（x ﹣4）2+y 2＝1，圆心坐标为C （4，0），半径为1， 由题意，直线y ＝kx ﹣2上至少存在一点（x 0，kx 0﹣2）， 以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 因为两个圆有公共点，故√(x −4)2+(kx −2)2≤2， 整理得（k 2+1）x 2﹣（8+k ）x +16≤0，此时不等式有解的条件是Δ＝（8+4k ）2﹣64（k 2+1）≥0，解得0≤k ≤43，故k 最大值为43．故选：C ．二、填空题（每题5分，计30分）11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 （x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2 ． 解：∵所求圆经过坐标原点，且圆心（1，1）与原点的距离为r =√2， ∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2． 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．12．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，则四面体P ﹣ABC 的四个面中，直角三角形的个数有 4 个．解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形； 又P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ； ∴△P AC 、△P AB 是直角三角形； 又AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， ∴BC ⊥PC ，∴△PBC 是直角三角形；∴四面体P ﹣ABC 的四个面中，直角三角形有4个． 故答案为：4．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ﹣2 ．解：由题意得（2m+1）：2＝3：m＝（m﹣1）：（﹣m）⇒m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．已知两直线l1：2mx+（3﹣m）y+1＝0，l2：2x+2my+m＝0，当l1和l2垂直时，m＝0或5；当l1和l2平行时，m＝−32．解：当l1和l2垂直时，若m＝0，则l1：3y+1＝0，l2：x＝0，满足l1⊥l2，若m≠0，因为l1⊥l2，所以k1⋅k2=−2m3−m ×(−1m)=23−m=−1，解得m＝5，所以当l1和l2垂直时，m＝0或5，因为l1∥l2，所以k1＝k2，即−2m3−m =−1m，解得m＝1或m=−32，经检验m＝1时l1：2x+2y+1＝0，l2：2x+2y+1＝0，则l1和l2重合，不满足题意，所以m=−3 2．故答案为：m＝0或5；m=−3 2．15．圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程是x2+y2﹣1＝0，则实数a的值是2．解：由题意，将圆的方程化为标准方程为：（x−a2)2+（y+1）2=a24，x2+y2＝1∵圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程是x2+y2﹣1＝0∴−1a2=−1，a24=1，∴a＝2故答案为：216．四面体ABCD的三组对棱分别相等（即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC），有以下四个结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分；④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中所有正确结论的序号为③④．解：对①，如图，作AE，CF分别垂直BD于E，F，FG∥AE，则FG⊥DB，又FG，CF⊂平面GFC，FG∩CF＝F，则DB⊥平面GFC，当E ，F 不重合时，则有AC ∩平面GFC ＝C ，则DB 不垂直AC ，①错；对②，当四面体ABCD 为正四面体时，同一顶点出发的三条棱两两夹角均为60°，故和为180°，②错；对③，如图，G ，H ，I ，J 为各边中点，∴GJ 平行且等于HI ，GH 平行且等于IJ ， ∵AC ＝BD ，则GJ ＝HI ＝GH ＝IJ ，∴四边形GHIJ 为菱形，GI ，HJ 相互垂直平分， 其它同理可得，所以连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分，③对；对④，AB ，AD ，BD 构成三角形，因为AC ＝BD ，则从A 点出发的三条棱AB ，AC ，AD 可以构成三角形，同理可得其它，∴从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，④对； 故答案为：③④．三、解答趣（共5个大题，共计70分）17．（12分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣2＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线x ﹣3y ﹣1＝0． （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解：（1）由{3x +4y −2=02x +y +2=0，得x ＝﹣2，y ＝2，即点P （﹣2，2），由题意设直线l 为3x +y +m ＝0， 因为直线l 过P （﹣2，2），所以3×（﹣2）+2+m＝0，得m＝4，所以直线l的方程为3x+y+4＝0；（2）当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x=−4 3，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12×|−4|×|−43|=83．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=π2，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中点为H．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BC的距离．解：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊂面ABC，∴AB⊥AA1，又∠BAC＝90°，即AB⊥AC，又AA1∩AC＝A，AA1⊂面A1ACC1，AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥面A1ACC1，又A1C⊂面A1ACC1，∴AB⊥A1C；（2）取BC中点为O，连接OA，OA1，如图所示：∵AA1⊥面ABC，又AO⊥BC，面ABC∩面A1BC＝BC，AO⊂面ABC，∴二面角A 1﹣BC ﹣A 的平面角为∠A 1OA ， 又∵AA 1⊥面ABC ，AO ⊂面ABC ， ∴AA 1⊥AO ，在△A 1AO 中，AO =12BC =√22，AA 1＝1，则A 1O =√AA 12+AO 2=√62，∴cos ∠A 1OA =AO A 1O =√33，故二面角A 1﹣BC ﹣A 的余弦值为√33； （3）∵AA 1⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ， ∴AC ⊥AA 1，又AC ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，AA 1，AB ⊂面A 1ABB 1， ∴AC ⊥面A 1ABB 1，即点C 到平面A 1BB 1的距离为AC ， 又S △A 1BB 1=12×A 1B 1×BB 1=12×1×1=12， 在△A 1BC 中，A 1B =√AA 12+AB 2=√2，BC =√2，A 1C =√AA 12+AC 2=√2，∴三角形A 1BC 为等边三角形，则S △A 1BC =√34×(√2)2=√32，设点B 1到平面A 1BC 的距离为d ， 又V B 1−A 1BC =V C−A 1B 1B ，即13S △A 1BC ×d =13S △A 1BB 1×AC ，即13×√32×d =13×12×1，解得d =√33， 故点B 1到平面A 1BC 的距离为√33． 19．（15分）已知圆G 过三点A （1，3），B （4，2），C （1，﹣7）． （1）求圆G 的方程；（2）设直线l 经过点M （6，1），且与圆G 相切，求直线l 的方程． 解：（1）设圆G 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 因为圆G 过三点A （1，3），B （4，2），C （1，﹣7）， 所以{1+9+D +3E +F =016+4+4D +2E +F =01+49+D −7E +F =0，解得{D =−2E =4F =−20，圆G 的方程为x 2+y 2﹣2x +4y ﹣20＝0．（2）由（1）知圆G 是以（1，﹣2）为圆心，以r ＝5为半径的圆， （i ）若直线l 的斜率不存在，则此时l 的方程为x ＝6到圆心的距离为6﹣1＝5，满足与圆G 相切；（ii ）若直线l 的斜率存在，则设直线方程为y ﹣1＝k （x ﹣6），即kx ﹣y +1﹣6k ＝0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为d =|3−5k|√k +1=5，解得k =−815，所以切线方程为8x +15y ﹣63＝0． 综上，切线方程为x ＝6或8x +15y ﹣63＝0．20．（15分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ＝2EF ＝4，AE =DE =√2． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值．解：（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， 又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以AB ∥平面CDEF ，又平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ，AB ⊂平面ABEF ， 所以AB ∥EF ；（2）取AD 的中点O ，BC 的中点M ，连接OE ，OM ， 则OM ⊥AD ，由AE =DE =√2，得OE ⊥AD ，且OE ＝1，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⊥平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ， 由OM ⊂平面ABCD ，得OE ⊥OM ， 建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，4，0），C （﹣1，4，0），E （0，0，1），F （0，2，1）， 则AE →=(−1，0，1)，BC →=(−2，0，0)，BF →=(−1，−2，1)，设n →=(x ，y ，z)为平面BCF 的一个法向量，则{n →⋅BC →=−2x =0n →⋅BF →=−x −2y +z =0，令y ＝1，得x ＝0，z ＝2，所以n →=(0，1，2)， |cos〈n →，AE →〉|=|n →⋅AE →||n →||AE →|=2√5×√2=√105，设直线AE 与平面BCF 所成角为α，则sinα=√105． 所以直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√105． 21．（15分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （1）若OP →⋅OQ →=−12，求直线l 的方程；（2）判断是否存在直线l ，使得△OMP 与△OPQ 的面积相等？若存在，求直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（1）过点O 作直线l 的垂线，垂足记作H ，如下所示：因为OP →⋅OQ →=−12=1×1×cos ∠POQ ，又∠POQ ∈（0，180°），故∠POQ ＝120°， 则△OPH 中，∠HOP ＝60°，又|OP |＝1，故可得OH =cos60°×|OP|=12， 显然直线l 的斜率存在，设其为k ，则l 方程为：y ＝k （x +2），√k 2+1=12，解得k =±√1515，故直线l 方程为：y =±√1515(x +2)，整理得直线l 方程为：x −√15y +2=0或x +√15y +2=0．（2）直线l 的斜率显然存在，设其为k ，则直线l 方程为：y ＝k （x +2）， 联立x 2+y 2＝1可得：（k 2+1）x 2+4k 2x +4k 2﹣1＝0， 当Δ＝﹣12k 2+4＞0时，设P ，Q 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 1+x 2=−4k2k 2+1，x 1x 2=4k 2−1k 2+1，根据题意可得P 为MQ 的中点，则2x 1+2＝x 2，代入x 1+x 2=−4k2k 2+1，x 1x 2=4k 2−1k 2+1，可得：3x 1+2=−4k2k 2+1，2x 1(x 1+1)=4k 2−1k 2+1，解得x 1=−2(3k 2+1)3(k 2+1)，将其代入2x 1(x 1+1)=4k 2−1k 2+1，可得：−4×3k 2+13(k 2+1)×1−3k23(k 2+1)=4k 2−1k 2+1，整理得：k 2=527，则k =±√159，此时，满足Δ=12×517+4=169＞0满足题意． 故直线l 的斜率为：√159或−√159．。
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2015-2016学年北京二中通州分校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是( )A．平行 B．相交或异面C．异面 D．平行或异面2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．135°3．直线l1与l2方程分别为y=x，2x﹣y﹣3=0．则两直线交点坐标为( )A．（1，1）B．（2，2）C．（1，3）D．（3，3）4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C．相交不垂直D．不确定5．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )A．只有一条 B．无数条C．是平面α内的所有直线D．不存在6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则体积等于( )A．4 B．C．4 D．27．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：( )A．0个B．1个C．2个D．3个8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段二、填空题（每小题5分，共30分）俯视图侧（左）视图主（正）视图9．点M（2，1）到直线的距离是__________．10．过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是__________．11．圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为__________．12．直线l过点（0，﹣1），且与直线3x﹣y+2=0平行，则直线l方程为__________．13．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于__________；表面积等于__________．14．如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）三、计算题（15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，（1）在正方体的12条棱中，与棱AA1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：AC∥平面A1BC1；（3）证明：AC⊥平面BDD1B1．16．（13分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=2，VC=．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积．（2）求正四棱锥V﹣ABCD的表面积．17．（13分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：（1）EF∥平面ABCD；（2）平面AMN∥平面EFDB．18．（13分）已知△ABC三个顶点是A（3，3），B（﹣3，1），C（2，0）．（1）求AB边中线CD所在直线方程；（2）求AB边的垂直平分线的方程；（3）求△ABC的面积．19．（14分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PMC⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥M﹣PCD的体积．20．（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京二中通州分校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是( )A．平行 B．相交或异面C．异面 D．平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题．【分析】由直线a∥平面α，直线b在平面α内，知a∥b，或a与b异面．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故答案为：平行或异面，【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】直线的倾斜角．【专题】转化思想；分析法；直线与圆．【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∵直线的斜截式方程是y=x+1，∴tanθ=，∴θ=60°．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．直线l1与l2方程分别为y=x，2x﹣y﹣3=0．则两直线交点坐标为( )A．（1，1）B．（2，2）C．（1，3）D．（3，3）【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】把两直线方程联立方程组，这个方程组的解就是两直线的交点坐标．【解答】解：∵直线l1与l2方程分别为y=x，2x﹣y﹣3=0，解方程组，得x=3，y=3，∴两直线交点坐标为（3，3）．故选：D．【点评】本题考查两直线的交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二元一次方程组的性质的合理运用．4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．垂直 B．平行 C．相交不垂直D．不确定【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题．【分析】根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论．【解答】解：一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．故选A【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了空间想象能力，属于基础题．5．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )A．只有一条 B．无数条C．是平面α内的所有直线D．不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】若直线a与平面α不垂直，有三种情况：直线a∥平面α，直线a⊂平面α，直线a与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果．【解答】解：若直线a与平面α不垂直，当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．∴若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．故选B．【点评】本题考查在平面α内与直线a垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则体积等于( )A．4 B．C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱，可得棱柱的底面边长和高，计算出几何体的体积．【解答】解：由已知中底面是正三角形的三棱柱，可得棱柱的底面边长为2，棱柱的高为4，故棱柱的底面面积为：=，故棱柱的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：( )A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；综合题．【分析】不同直线m，n和不同平面α，β，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定①②③④，即可得到结果．【解答】解：①，m与平面β没有公共点，所以是正确的．②，直线n可能在β内，所以不正确．③，可能两条直线相交，所以不正确．④，m与平面β可能平行，不正确．故选D．【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】如图，BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故选A．【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征，对依据图象进行正确分析判断线面的位置关系的能力要求较高．其主要功能就是提高答题者对正方体特征的掌握与空间几何体的立体感．二、填空题（每小题5分，共30分）俯视图侧（左）视图主（正）视图9．点M（2，1）到直线的距离是．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案．【解答】解：设点M（2，1）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为d，由点到直线的距离公式得：d==．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．10．过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是1．【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】利用斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，∴tan45°==1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系，属于基础题．11．圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为或．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误．12．直线l过点（0，﹣1），且与直线3x﹣y+2=0平行，则直线l方程为3x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】设与直线3x﹣y+2=0平行的直线方程是3x﹣y+m=0，把点（0，﹣1）代入解得m即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣y+2=0平行的直线方程是3x﹣y+m=0，把点（0，﹣1）代入可得：0﹣（﹣1）+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：3x﹣y﹣1=0．故答案为：3x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查了相互平行的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于；表面积等于4+．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体长方体的一个角，画出图形，结合图形求出它的体积与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥，是长宽高分别为2、1、2的长方体的一个角，如图所示，则其体积为V=××1×2×2=；表面积为S=S△ABD+S△ABC+S△ACD+S△BCD=×2×2+×2×1+×2×1+×2×=4+．故答案为：，4+．【点评】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．14．如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1则B1D1⊥平面A1AC1C∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1故答案为：BD⊥AC．【点评】本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．三、计算题（15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，（1）在正方体的12条棱中，与棱AA1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：AC∥平面A1BC1；（3）证明：AC⊥平面BDD1B1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱．（2）连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明；（3）由DD1⊥面AC，知DD1⊥AC，由DD1⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD1B1．【解答】解：（1）与棱AA1异面的棱为：CD，C1D1，BC，B1C1，共4条．（2）证明：连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，∵AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1；（3）证明：∵DD1⊥面AC，AC⊂平面AC，∴DD1⊥AC，∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，BD⊂平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1∴AC⊥平面BDD1B1．【点评】考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．16．（13分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=2，VC=．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积．（2）求正四棱锥V﹣ABCD的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积．（2）求出斜高，即可求正四棱锥V﹣ABCD的表面积．【解答】解：（1）∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=2，VC=，VM是棱锥的高∴AB=2，VM=1∴正四棱锥V﹣ABCD的体积为V=×S ABCD×VM=×2×2×1=；（2）斜高==，∴正四棱锥V﹣ABCD的表面积2×2+=4+4．【点评】本题考查求正四棱锥V﹣ABCD的表面积、体积．关键是求底面积和高，属于中档题．17．（13分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：（1）EF∥平面ABCD；（2）平面AMN∥平面EFDB．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得EF∥B1D1，BD∥B1D1，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面ABCD．（2）由已知得EF∥MN，MF AD，从而四边形ADFM是平行四边形，进而AM∥DF，由此能证明平面AMN∥平面EFDB．【解答】证明：（1）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点，∴EF∥B1D1，∵BD∥B1D1，∴EF∥BD，∵EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（2）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点，∴EF∥B1D1，MN∥B1D1，MF A1D1，A1D1AD，∴EF∥MN，MF AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM∩MN=M，DF∩EF=F，∴平面AMN∥平面EFDB．【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（13分）已知△ABC三个顶点是A（3，3），B（﹣3，1），C（2，0）．（1）求AB边中线CD所在直线方程；（2）求AB边的垂直平分线的方程；（3）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形的面积公式．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）线段AB的中点D（0，2）．利用截距式即可得出．（2）设P（x，y）为AB边的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，=，化简即可得出．（3）利用点斜式可得直线AC的方程为：3x﹣y﹣9=0，点B到直线AC的距离d．利用两点之间的距离公式可得|AC|．即可得出△ABC的面积S=d．【解答】解：（1）线段AB的中点D，即D（0，2）．∴直线CD的方程为：=1，即x+y﹣2=0．∴AB边中线CD所在直线方程为x+y﹣2=0．（2）设P（x，y）为AB边的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，=，化为：3x+y﹣2=0．（3）直线AC的方程为：y﹣0=（x﹣3），化为3x﹣y﹣9=0，点B到直线AC的距离d==．|AC|==．∴△ABC的面积S=d=．【点评】本题考查了点斜式方程、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PMC⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥M﹣PCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取PD的中点E，连结AE、EN，证明四边形AMNE是平行四边形，可得MN∥AE，利用线面平行的判定，即可得出结论；（2）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，利用∠PDA=45°，E为PD中点，证明AE⊥PD，从而AE⊥平面PCD，利用MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，从而平面PMC⊥平面PCD；（3）V M﹣PCD=V P﹣MCD=S△MCD•PA．【解答】（1）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN则有EN∥CD∥AM，且EN=CD=AB=MA．∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE．∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD；（2）证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥CD，PA⊥AD，∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∵∠PDA=45°，E为PD中点∴AE⊥PD，又∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD；（3）解：V M﹣PCD=V P﹣MCD=S△MCD•PA==．【点评】本题考查线面平行，面面垂直，考查三棱锥M﹣PCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，取AB的中点N，连接CN，可得四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥C B，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可证明．（II）利用V三棱锥A﹣CDE=V三棱锥E﹣ACD=即可得出．（III）线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，可得BM⊥EN，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可证明BM⊥平面CEN．【解答】（I）证明：如图所示，取AB的中点N，连接CN，则四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，∴AC⊥CB，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．（II）解：V三棱锥A﹣CDE=V三棱锥E﹣ACD===．（III）解：线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，∴BM⊥EN，∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴CN⊥平面ABEF，∴CN⊥BM，又CN∩EN=N，∴BM⊥平面CEN，∴BM⊥CE．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。