《微积分初步》期末复习资料
电大专科微积分初步期末考试试题及答案
1微积分初步考试试题1填空题答案：f(x)=x 2—1X 2 -2x -3(6)函数y =的间断点是x +1答案：x = -11(7) lim xsin —= X答案：1(8)若 llm sln4x =2，贝y k = T sin kx答案：k = 2(9)曲线f(x)=JX+1在(1,2)点的切斜率是 1 答案：12(10)曲线f(x)=e X在(0,1)点的切线方程是答案：y =x +e(1) 函数f(X 2E 的定义域是答案:函数 f(X)= ---- 1-- +』4 -x 2In(X +2)的定义域是答案: (—2,—1)5—1,2]函数 f(X +2) = X 2+4x + 7，则 f(x) = 答案：f(X)= X 2+3(4)若函数f(X)= { i ■ 3 4 [xsi n —+1,! xX c 0 在X = 0处连续，则k =X >0 答案：k =1 (5)函数 f(X-1) =X 2-2x ，则(11)已知 f(X)=X 3 +3x，贝y f'(3) =答案:(13)若 f(X)=xe 」，则 f "(0)答案：f "(X)= —2e 」+xe 」f 70) = -2(16)若f (x)的一个原函数为ln X 2，则f (x)=2答案：-(17)若 J f (x)dx =sin 2x +c ，则 f (x)答案：2cos2x答案: f(X)=3x 2 +3XIn3f '(3)=27 (1+1 n3)(12)已知 f(X)=lnx ，贝U f “(x) =(14)2函数y=3(x-1)的单调增加区间是答案: (1,畑)(15) 2函数f(x)=ax +1在区间(0, +K )内单调增加，则a 应满足答案: a >0(18) 若 fcosxdx = 答案： sin X +c(19) 2答案：-X 丄 e +c(20)f(sin x) dx=答案：sin X +c (21) 若 J f (x)dx =F(x) +c ，贝U Jf(2x-3)dx =2方程是答案：y=2jx+1(27)由定积分的几何意义知， r J a 2 -x 2dx =答案:(29)微分方程y'+3y =0的通解为答案：y=ce°x(30)微分方程(y)3 +4xy ⑷=y 7sinx 的阶数为答案：42. 单项选择题e+e x答案:1F(2x-3) +c 2(22) 若 J f (x)dx = F(X)+c ,贝U Jxf (1 — x 2)dx答案: --F(1 -X 2) +C2 (23)12L(sin x cos2x - X + x)dx答案: —3de (24)dx1答案： 0(25)0 JU 52x dx =答案： 1(26)已知曲线y = f (x)在任意点x 处切线的斜率为1',且曲线过(4,5),则该曲线的(28) 微分方程y' = y, y(0)=i 的特解为答案:xy =e22+1)dx =(1)设函数y =，则该函数是( ).A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数 D .既奇又偶函数2A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ). A . xsinx B . + e xC . ln(X + J 1+X 2) 2D . X +x答案：C (3)函数 x+4 + h (X + 5)的定义域为( ). A. X 答案: > -5 D B . XH -4 C . x>-5 且 XH O (4) f(x+1) =x 2-1, A. x(x +1) C .X(X-2) (x + 2)(x-1)答案：C (5)当 k时,函数 f(x)=r +2,L k,X 工0在x=0处连续.X =0B .C . 2答案：D(6)当 k时, 函数wf:1'HO ，在x=0处连续.=0 A. 0B .-1答案：B(7)函数 f(x) x 2-3x +2的间断点是(A. X = 1,x =2X =3C. X =1, X = 2, X= 3.无间断点答案:(8)若 f(X)= r cosx , 则 f(0) =).A. 2 答案：CB. 1C. -1D. -2(9)设 y =lg2x ，则 dy =( ).A 1 1 A.——dxB . ---------- d x2x xln10答案：BA . 2f(cos2x)dxf'(cos2x)sin2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdxD . - f \cos2x)sin2xd2x答案：D答案：D答案：C.f(x)在 ^x 0处连续，则一定在 x 0处可微. .f(x)在x = x 0处不连续，则一定在 x 0处不可导. .可导函数的极值点一定发生在其驻点上D.函数的极值点可能发生在不可导点上 答案：A (14) 下列函数在指定区间(亠，畑)上单调增加的是( A . sin X B答案：B(15) 下列等式成立的是((10)设y = f(x)是可微函数，则df(cos2x)=().D . -dx X⑴)若f(X)=sin X + a 3，其中a 是常数，则f "(X)=().2A . COSX + 3aB . sinx+6aC.-sinxcosx答案：C(1)函数y =(X+1)2在区间(—2,2)是( A.单调增加B .单调减少 C.先增后减D .先减后增(12)满足方程 f '(X)=0的点一定是函数 =f(x)的(A.极值点B .最值点C .驻点 D.间断点(13)下列结论中()不正确.).A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)plC. f f (x)dx = f(X)dx 、答案：C(16) 以下等式成立的是(答案：D(17) Jxf7x)dx =答案:答案:.y=Cx B . y=x + C 答案：(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是( D. Jdf(X)= f(X)A. In xdx = d(-)X.sin xdx=d(cosx)C.—仮v x.3X d^-^ In 3A. xf '(X)- f(X)+cB. xf '(X)+ cC. 1X 2f (X)+c 2答案：(18) D.(x +1) f \x )+c答案:J 』A下列定积分中积分值为X _xe -e , X2 兀 3f (x +cosx)dxJIA(19)设 A. 00的是().—x•［兀(x 2+si nx)dx• -JIf(x)是连续的奇函数，则定积分a -f (x)dx =()-aB. J a f (x)dx CJ0f(x)dx 0D. 2f a f(x)dx(20) 下列无穷积分收敛的是().A. -be J 。
微积分初步例题和知识点总结
微积分初步例题和知识点总结微积分是数学中的重要分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
下面将为大家介绍微积分初步的一些知识点，并通过具体例题来加深理解。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
函数表示了两个变量之间的对应关系。
例如，y ＝ f(x) ＝ x²就是一个简单的二次函数。
极限是微积分中的重要概念。
如果当 x 无限趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 无限趋近于一个确定的值 L，那么我们就说当 x 趋近于 a 时，函数 f(x) 的极限是 L，记作：lim(x→a) f(x) ＝ L 。
例题 1求lim(x→2) （x² 4) ／（x 2)解：对式子进行化简可得：lim(x→2) （x² 4) ／（x 2) ＝lim(x→2) （x ＋ 2)（x 2) ／（x 2)＝lim(x→2) （x ＋ 2) ＝ 4二、导数导数表示函数在某一点的变化率。
对于函数 y ＝ f(x) ，其导数记为 f'（x) 。
常见函数的导数公式有：（xⁿ)＇＝nxⁿ⁻¹，（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x 等。
例题 2求函数 y ＝ x³的导数解：根据导数公式（xⁿ)＇＝nxⁿ⁻¹，可得 y' ＝ 3x²三、导数的应用导数可以用于求函数的单调性、极值和最值。
如果 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间单调递减。
当 f'（x₀) ＝ 0 且 f'＇（x₀) ＜ 0 时，函数在 x₀处取得极大值；当f'（x₀) ＝ 0 且 f'＇（x₀) ＞ 0 时，函数在 x₀处取得极小值。
例题 3求函数 y ＝ x³ 3x²＋ 1 的单调区间和极值解：首先求导，y' ＝ 3x² 6x ，令 y' ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
电大微积分初步专科期末复习题汇编
微积分初步、填空题 20.微分方程y J y, y(0) =1的特解为y=e 的x 次 方1•函数f (x)二1的定义域是 In(x -2) 121.函数 f (x)--In (x + 2)(-2,-1) 一(-1,2] _ •4 - x 2的定义域是答案: (2,3) 一(3,：：) 22若函数f (x)=2.函数 y =XZU 3的间断点是= X +1 •答案：X = -13•曲线 f (x^ . x 1在(0,1)点的斜率是 •答案:4.若 f(x)dx=cos2x ，c ,则 f (x) 答案：-4cos2x 5•微分方程x< (y )3 =0的阶数是 6屈数 2 f(x 1) = x 2x , f(x)二 •答案:x 2 -17 •函数 2xsin- +k, x 2, x 一°在x = 0处连续,x =0 8•曲线 f(x)= x 1在(0,1)点的斜率是 _•答案: 9. ：(3x 3 -5x 2)dx 二•答案：4 10.微分方程x< (y )3 -sin y = 0的阶数是答案：2 11.函数f (x)二——1一 的定义域是 •答案: J4 -x 2— (-2,2)12.若鸣于=2，则“•答案：2 13.已知 f(x) =1 n x ，则 f (x)= •答案: 14.若 sinxdx = •答案：-COSX ■ c 15.微分方程x< (y )4sin x 二的阶数是 316.函数 f (x)= 1• 4-x 的定义域是(-2,-1)ln(x 2) U (-1 , 4】. 皿=2，则C. kx 17.若 limX — 18.曲线y =e x在点(0,1)处的切线方程是_y=x+1__. d e 2 19.In(x 1)dx 二_0dx 1x 2 2, k,x -- 0 x"在x = °处连续，则23.曲线y「x 在点W)处的斜率是一二•2X25.微分方程y ' 2x 满足初始条件y(0) = 1的特解为—f (x)二26.函数l n (x-2)的定义域是 答案：(2,3) - (3, •：：) 1f (x)= 27•函数 答案：(i_5)f (x)二28•函数 ln(x 2)答案：(-2,-1)(-1,2]f(x-1) =x 2 -2x 7 ---- 4「X 2的定义域是 29.函数 答案：x 2则 f(x)二f(x)二x 2 2 xe30•函数 答案：231.函数 f(x -1)= 答案：x 2-1X 2 -2x -3 y32 •函数 答案：x =T1lim xsin —二33 • x —凡 x 答案：1sin 4xlim34 若 x e sin kx 答案：2sin 3xlim35 •若 ％ Rkxx^Ox 0则 f(0)二X -2x ，则 f(X )= 的间断点是二 2，则k =3答案：2 - 136•曲线f (x )iX 1在(1,2)点的斜率是2 . X 37•曲线f (x )二e 在(0,1)点的切线方程是 八X/ .138.曲线y = X 2在点(1, 1)处的切线方程是1 3 y x —2 2 39. x 1ln22X (2X )=2 x40. 若 y = x (x -1)(x -2)(x -3)，则 y(0) = — 6 . 41. 已知 MX)，"则 f (3) =27(1In3).1 42. 已知 f (x )"nx ，则 f (X )J7.43. 若 f (x )=xe 」，则 f (0)二—2 . 44 .函数f (x ) =ax 7在区间(0,=)内单调增加, 10 若 f(x)dx = F(x) c 则 xf(1 — x)dx 二1 2 F(1 - x ) c2 1 2f i (sin xcos2x —x )dx = _______. 2 _ 3兀5為(x —4x 十 cosx)dx = _____ . 55 .答案：256 .已知曲线y = f(x)在任意点x处切线的斜率为 x ，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 _________答案：y -2x= -313 (5x-3x 2)dx =57 .若」答案: 54.答案: 58 .由定积分的几何意义知,2二 a____ 答案：4a 2 - x 2 dx则a 应满足大于零 45 .若f (x )的一个原函数为In x ，则 f (x)=_______________________ O答案：4 d 59 .，它是1/4半径为a 的圆的面积。
(完整版)微积分初步课程期末复习
《微积分初步》课程期末复习第一部分课程的说明《微积分初步》是电大专科数控技术、计算机网络技术、计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
本课程选用教材是《微积分初步》，中央电大出版社出版，赵坚、顾静相编。
本课程的形成性考核仍采用中央电大统一规定的课程形成性考核作业，一共四次，形成性考核作业挂到网上。
本课程的考核成绩采用期末考试成绩与形成性考核作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80％；形成性考核作业满分为100分，占期末考核成绩的20％。
考试要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．期末考试采用闭卷方式，考试时间为90分钟。
期末考试题型：填空题（每小题4分，共5题），单项选择题（每小题4分，共5题），计算题（每题11分，共4题），应用题（1题，共16分）。
填空题和单项选择题共40分，主要考核基本概念、基本性质、重要定理、基本运算、基本结果等。
计算题有：计算极限（1题，共11分）；计算导数或微分（1题，共11分），包括复合函数和隐函数求导数、导数值或微分；计算不定积分和定积分（各1题，共22分），包括凑微分法和分部积分法。
应用题16分，主要考核极值的几何应用（几何形状主要是：长方形、长方体、圆柱体等）。
第二部分考核内容和考核要求考核内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、不定积分与定积分、积分应用等方面的知识．一、函数、极限与连续（一）考核知识点1．函数常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分初步(填空、选择)知识点复习考点归纳总结
一、填空题 ⒈函数xx f -=51)(的定义域是5x ＜5⒉=∞→xx x 1sin lim1sin lim=∞→xxx ，01→∞→xx 时，⒊已知x2，则)(x f ''⒋若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程x y y x =+e sin )(的y ''' 6.函数)21)(+=x x f }{}{}122-1ln )2(ln 2-x 0≠+⇒≠+⇒x x x ，＞，＞∴{}1- 2-x |≠且＞x7.→xxx 2sin lim0 2112122sin lim 2sin lim00=⋅=→→x x xx x x21:222sin lim 0==→x xx 8.若y = x – 2)(x – 3)，则y '2-x)(x 2-5x+6)=x4-5x 3+6x 2-x 3+5x 2-6x =x 4-6x 3+11x 2-6x ,622184y 23x -+-='x x ⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y 9.=⎰-x x d e d 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx x f dx x fd )())((=⎰10.微分方程1)0(,=='y y y y y =' y dx= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y1两边积分 ecx y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1)c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)1)(x x f -+=的定⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞ 12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k)()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x 0处连续) ∵k f =)0( 113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴x x x x x x （无穷小量x 有界函数）13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程x x y 2== ， x y 2121-='切k y ==='∴211x | 2121y )1(211y +=⇒-=-∴∴x x 方程14.'⎰x x s d )in (15.微分方程x y y x y sin 4)(5=+''的16.函数)2)(-=xx f 的定义域是{}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x nx x x x17.=∞→x xx2sin lim18.已知x 3)+=，则)3(f '= 3ln 3)(32xx x f +='3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x20.微分方程x y xy y sin 4)(7)4(=+的二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(xf x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式+-=c x x f xx11e d e)(，则)(x f )()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-∙='-∙'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(x x f x e e x f x e x e x x xu =∴=∴=∙=---- ⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程．6.设函数2e e x x y --=，则该函数是（奇函数）． 7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f 在0=x 处连续. 8.下列函数在指定区间上单调减少的是（x -3）．9.11.设1)1(-=+x xf ，则=)(x f （)2(-x x ） 13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增）14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）⎩⎨⎧=≠+=0,0,1e )(x k x x f x 在0=x 处连续. 18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升） 19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2 + 3）． 20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（x y e =）．。
微积分初步课程期末复习(1)word资料5页
《微积分》教学大纲（经济、管理类专科各专业）函数函数的概念;函数的几何性质; 反函数;基本初等函数;复合函数;初等函数。
极限与连续数列的极限;函数的极限;无穷小与无穷大;极限的运算。
极限存在准则,两个重要极限;无穷小的比较,等价无穷小。
函数连续的概念,间断点。
基本初等函数和初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的最大值最小值定理及介值定理.曲线的渐近线。
导数与微分导数的概念及几何意义;基本初等函数的导数公式;函数的和、差、积、商的求导法则;复合函数的导数;隐函数的导数;对数求导法;高阶导数。
微分的概念;微分的运算法则。
微分中值定理导数的应用微分中值定理;洛必达法则。
函数的单调性;函数的极值;最大值、最小值及其应用问题。
曲线的凹向与拐点;函数作图。
边际概念与函数的弹性;极值的经济应用问题.不定积分原函数与不定积分的概念;基本积分公式与运算性质;换元积分法;分部积分法。
一阶微分方程.定积分及其应用定积分的概念及性质;变上限的定积分;微积分基本定理;牛顿—莱布尼兹公式。
定积分的换元积分法与分部积分法。
无限区间的广义积分;定积分在几何、经济中的应用。
多元函数微分学空间直角坐标系,曲面与方程,平面区域。
多元函数的基本概念;二元函数的极限与连续。
偏导数与全微分方程的概念;复合函数的微分法;隐函数的微分法。
二元函数的极值。
参考教材：高等教育出版社出版的《微积分》(刘书田冯翠莲编)中国人民大学出版社出版的《微积分》及其学习指导书大纲说明一、课程的性质、目的和任务本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。
通过学习，使学生获得一元函数学微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。
为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生的自学能力，逐步学会用科学的方法解决问题。
二、课程的内容和基本要求理解下列基本概念以及它们之间的内在联系：函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、微分方程、定积分、偏导数、全微分。
微积分大一上期末知识点
微积分大一上期末知识点微积分是数学中的一门基础学科，研究的是物体在不断变化的过程中的数学描述与分析。
本文将介绍微积分大一上学期末的知识点，包括导数、函数的极限、不定积分以及曲线图象的绘制等内容。
1. 导数导数是研究函数变化率的一种重要工具，常用符号表示为f'(x)或df/dx。
求导数的方法包括用定义法求导、基本导数公式、常见函数的导数等。
掌握求导法则以及应用导数求切线方程、凹凸性、极值等问题是大一上学期末考试的重点。
2. 函数的极限函数的极限是研究函数趋于某一点的性质的工具。
求解函数极限的方法包括基本极限公式、洛必达法则、夹逼定理等。
在考试中要灵活运用这些方法，判断函数的极限是否存在，求解极限值。
3. 不定积分不定积分可以看作是导数的逆运算，用符号∫f(x)dx表示。
求不定积分的方法包括直接求解、换元法、分部积分法等。
在考试中，需要掌握这些方法并能够灵活运用，求解函数的不定积分。
4. 曲线图象的绘制掌握函数图象的绘制方法是微积分学习中十分重要的一环。
在大一上学期末考试中，常出现需要根据函数表达式绘制其图象的题目。
要注意函数的定义域，分析函数的奇偶性、单调性、极值、拐点等，并正确绘制函数的图象。
5. 近似计算在微积分的应用中，近似计算是一种常见的方法。
大一上学期末考试中，常出现利用微积分知识进行近似计算的题目。
掌握泰勒公式、极限的定义、微分等概念，能够灵活应用进行近似计算是十分重要的。
6. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述自然现象中变化的规律。
大一上学期末考试中，会涉及到一些基本的微分方程的求解题目。
熟悉常见的微分方程求解方法，并灵活运用，能够解决相关的问题。
7. 极坐标与参数方程大一上学期末考试中，有时会出现与极坐标、参数方程相关的题目。
要了解极坐标和参数方程的基本概念，能够进行相关图形的分析和计算。
综上所述，微积分大一上学期末的知识点主要包括导数、函数的极限、不定积分、曲线图象的绘制、近似计算、微分方程以及极坐标与参数方程。
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微积分初步（12春）期末模拟试题一、填空题⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 62-x． ⒉若2sin 6sin lim0=→kxxx ，则=k 1 ．⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2121+=x y ． ⒋若x1是)(x f 的一个原函数，则=')(x f dx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 32+x ．7.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ．9.=⎰-x x d e d 232x ．10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ．11.函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ． 12.若24sin lim 0=→kx xx ，则=k 2 ．13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y．14.=+⎰e12d )1ln(d d x x x．15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,0()0,1(⋃- ．17.函数1322+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ．18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ．19.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =x 2cos 2 ．20.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 21.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ．23.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．24.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是21 ．25.=⎰x xd 2 c x+2ln 2 ．26.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为 12+=x y ． 27.函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f62-x．28.当→x 0 时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 29.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-．30.=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．31.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .32.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ． 33.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 1 ． 34.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ． 35.='⎰x x s d )in (c x +sin ．36.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 37函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x．38.=∞→x x x 1sin lim 1 ．39.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y．40.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． 51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ． 二、单项选择题⒈函数2e e xx y -=-的图形关于（B ）对称．A 。
坐标原点B 。
x 轴C ．y 轴D 。
x y =⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊函数722++=x x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调减少 B ．单调增加 C ．先减后增 D ．先增后减 ⒋下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d x f x x f =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ ⒌微分方程1+='y y 的通解为（B ）A. 1e +=x c y ；B. 1e -=x c y ；C. c x y +=221； D. c x y +=6.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数7.已知1sin )(-=xxx f ，当（ D ）时，)(x f 为无穷小量. A ．+∞→x B ．∞→x C ．0→x D ． 1→x 8.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ C ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 9.以下等式成立的是（ A ）A ．3ln 3d d 3x xx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xx d d = D ．)1d(d ln x x x = 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y +=d d ；C. x xy x y sin d d +=；D. )(d d x y x xy += 11.设函数x x y sin =，则该函数是（A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数12.当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．314.下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 15.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= 16.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（B ）A. 2；B. 3；C. 4；D. 5⒈设函数21001xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 18.设y x =lg2，则d y =（ D ）．A ．12d x xB ．1d x xC ．ln10x x dD ．1d x x ln1019.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ C ）． A ．12+=x y B ．22+=x yC ．y = x 2 + 3D ． y = x 2 + 420.微分方程1+='y y 的通解是（A ）A. 1e -=x C y ；B. 1e -=Cx y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 21.设32)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f （ D ）A ．12-xB ．22-xC ．42-xD ．42-x22.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 33.函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（ A ）A ．先减后增B ．先增后减C ．单调减少D ．单调增加 34.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ B ）. A. c x x ++2 B. c x x ++C. c x x ++2323221 D. c x x ++2322335.微分方程x y y y x y sin 4)(53''='''+'的阶数为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 536.函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃37.曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e 38.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 39.下列无穷积分收敛的是（ A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ． ⎰∞+1d 1x xC ． ⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s40.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 441.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x42.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B)是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 43.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 44.=''⎰x x f x d )(（ A ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1(45.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y +=d d ；C. x xy x y sin d d +=；D. )(d d x y x xy += 46.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ d ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 47.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ c ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 48.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ b ）．A ．x cosB ．x -5C ．2xD ． x 249.设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （c ）．A. x ln lnB. x x lnC. 2ln 1xx - D. x 2ln 50.下列微分方程中，（a ）是线性微分方程． A ．x y y x y x ln e sin ='-'' B ．x xy y y e 2=+' C ．y y x y e ='+'' D ． y y yx '=+ln 2三、计算题⒈计算极限132lim 221----→x x x x ．⒉设x x y e cos ln +=，求y d .⒊计算不定积分⎰x xxd e21⒋计算定积分x x ed ln 1⎰5.计算极限486lim222-+-→x x x x ．6.设x x x y cos ln +=，求y d .7.计算不定积分x x xd e21⎰8.计算定积分x x x d cos 20⎰π9.计算极限2386lim222+-+-→x x x x x ．解：原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x 10.设x x y 3cos ln +=，求y d .解：)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分x x d ln 2e 1⎰解：x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx13.计算极限4554lim 221+--+→x x x x x ．解：原式23645lim )1)(4()1)(5(lim11-=-=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y x ln e1+=+，求y d .解：x x y x 1121e 1++='+ 9分 x xx y x d )112e (d 1++=+15.计算不定积分x xx d 1cos2⎰解：x x x d 1cos2⎰= c x x x +-=-⎰1sin 1d 1cos16.计算定积分x x x d e 10⎰解：x x x d e 10⎰-=10x xe 1d e 1010=-=⎰xx e e x17.计算极限451lim 221+--→x x x x ．解：原式3241lim )1)(4()1)(1(lim11-=-+=---+=→→x x x x x x x x 18.设x y x cos e 2+=-，求y d .解：x y x sin e 22--='- x x y x d )sin e 2(d 2+-=- 19.计算不定积分x x x d cos ⎰解：x x x d cos ⎰= c x x x x x s x x ++=-⎰cos sin d in sin20.计算定积分x xx d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e x x x 21.计算极限46lim 222----→x x x x ． 解：46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x 22.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 23.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 解：⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 32324.计算定积分⎰π0d sin 2x x x解：⎰π0d sin 2x x x2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x25.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----=→→x x x x x x x x 26.设x y x 3sin 2+=，求y d .解：x y x 3cos 32ln 2+=' 9分dx x dy x )3cos 32ln 2(+= 27.计算不定积分x x x d cos ⎰解：x x x d cos ⎰= c x x x x x s x x ++=-⎰cos sin d in sin28.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+解：x x x d ln 51e 1⎰+e e x x x 121)5ln (1101)5ln )d(15ln (151+=++=⎰27)136(101=-=29.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．解：原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 30.设x x y 2cos +=，求y d .解：2ln 221sin x x xy +-=' x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=31.计算不定积分x x d )12(10⎰- 解：x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2132.计算定积分⎰π20d sin x x x解：⎰20d sin πx x x +-=2cos πxx 1sin d cos 2020==⎰ππx x x四、应用题1.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？2.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。