微积分总复习
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
微积分复习
o
D
r = ϕ (θ )
β
α
图2
A
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
β ϕ (θ )
= ∫ dθ ∫
α
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
（3）区域如图 ）区域如图3
r = ϕ (θ )
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
D
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图3
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
微积分口诀
——无穷级数
10：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 ：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 11：正项级数判别法，比较比值和根值。 ：正项级数判别法，比较比值和根值。
α ≤θ ≤ β,
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
r = ϕ1 (θ)
D
α
β
o
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图1
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
（2）区域如图 ）区域如图2
α ≤θ ≤ β,
级数（1） un , 级数（2） vn敛散性判别法 ∑ ∑
n =1 n =1
∞
∞
级数的收敛性 名 称 条 件 收 敛 Ι 比较判别法 ΙΙ 发 散 若级数(2)收敛， 若级数(1)发散，则级 则级数(1) 数(2)发散 收敛 当0<A<+ 时， 当A=+ 时，若级数 若级数(2)收敛， (2)发散，则级数 则级数(1)收敛 (1)发散 当0≤r<1时 当r>1时
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分复习
第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。
全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。
1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。
1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。
1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。
如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。
如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。
1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。
如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。
微积分A(二)总复习(向量代数和空间解析几何)
(6) a , b , c 共面 [a , b , c ] 0 a x a y az
bx cx by cy
a x bx a y by az bz 0.
bz 0. cz
二、空间解析几何
1、空间曲面方程 (1) 空间曲面一般方程
F ( x , y , z ) 0 或 z f ( x , y ) 等。
向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 混合积 向量积
空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
向 向量的坐标表达式、模、方向余弦、 量 单位向量、在另一向量上的投影; 空间两 代 点间的距离; 向量的垂直与平行、数量积 数 与向量积及其运算规律与性质意义 空 间 解 析 柱面、旋转曲面、二次曲面方程；空 几 何 间直线在坐标面上的投影
它满足交换律、结合律、分配律。
0 向量积 a b a b sin ( a ,^ b ) n , 0 a , b 所在平面的 n : 按“右手法则”垂直于 单位向量。 i j k a b a x a y az S a b . bx b y bz
a x a y az 0 与a 平行的单位向量为 a { , , } |a | |a | |a | 2 2 2 其中| a | a x a y az
的投影。
一、向量代数
ay ax a 的方向余弦为 cos , cos , |a | |a | az cos , 方向余弦满足 |a | cos2 cos2 cos2 1.
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
高三微积分专题复习(题型全面)
高三微积分专题复习(题型全面)一、导数与微分1. 导数的定义- 利用极限的概念，导数可以定义为函数在某一点的切线斜率。
- 导数可以表示函数的变化率和速度。
2. 导数的性质- 导数具有线性性质，即导数的和、差、常数倍可以通过对应函数的导数求得。
- 乘积法则和商规则为求导提供了相应的计算规则。
3. 微分的概念- 微分可以视为函数在某一点附近的线性近似。
- 微分与导数之间存在着密切的关系。
二、微分的应用1. 最值问题- 利用导数来求解最值问题可以简化计算过程。
- 极值点是函数最值问题中的关键点。
2. 斜率问题- 斜率表示函数在某点的变化趋势和速度。
- 导数可以表示函数斜率，从而解决斜率相关的问题。
3. 函数的图像与曲线- 通过对函数及其导函数的分析，可以绘制出函数的简单图像。
- 曲线的凹凸性与函数的二阶导数密切相关。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念- 定积分可以看作是函数在某一区间上的累积和。
- 定积分可以表示曲线下的面积。
2. 定积分的性质- 定积分具有线性性质，即定积分的和、差、常数倍可以通过对应函数的定积分求得。
- 积分中值定理为计算定积分提供了一种有效的方法。
3. 不定积分与原函数- 不定积分是定积分的逆运算。
- 不定积分可以用来寻找函数的原函数。
- 积分常规则和积分换元法为求不定积分提供了常用的技巧。
以上是高三微积分专题复习的题型全面的内容概要。
希望这份文档能帮助你更好地复习和理解微积分的知识。
微积分复习资料_微积分公式运算法则
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
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微积分总结第一部分 函 数函数是整个高等数学研究的主要对象,因而成为考核的对象之一。
特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。
一、 重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②分段函数是一个函数而不是几个函数。
求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示） 对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围(集合）主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数:被开方式≥0 ③对数函数式:真数式＞0④反正(余)弦函数式：自变量1≤x定义域的定义域。
求函数例的定义域。
求函数例的 2x-1x2=y 3例y x 4)2y x (ln 2122+----=x x y 例4 x x x y arccos )3ln(2++=在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
2、关于反函数定义,我们仅要求掌握变量反解法。
3、函数的简单性质,重点掌握奇偶性、单调性。
4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。
指出xey 1arctansin =的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义.注意分段函数不是初等函数。
二、 典型例题类型题1、求函数定义域 例1 求函数)1lg(4)(--=x xx f 的定义域.解 要使函数表达式有意义，x 要满足:⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x 所以函数的定义域为（1,2） （2，4]。
例2 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解 函数f （x)的定义域是[0,2］。
小结:注意，对于分段函数,它的定义域为所有分段区间的并集.如： （1)函数21)(x x x f -+=的定义域是 ； (2)函数()11ln -+=x x y 定义域是(3）函数)12(log )(2-=x x f +arcsin （1—x)的定义域类型题2、函数值与函数记号 例 设f （x)=11+x ,求(1）f(x —1)；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1；(3）f ［⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1］。
解 (1）f(x —1)=xx 11)1(1=+-（2)⎪⎭⎫⎝⎛x f 1=1111+=+x x x（3）f ［⎪⎭⎫⎝⎛x f 1］=f 1211111++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x xx x第二部分 极限与连续作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题,要引起注意。
一、 重点内容提要1、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件.2、知道极限的四则运算法则3、熟练掌握两个重要极限4、关于无穷小量（1）掌握无穷小量的定义,要特别注意极限过程不可缺少。
（2)掌握其性质与关系无穷小量的判定也是一个比较重要的问题例：xx x x x x x x x x x x 1sin ,sin ,sin ,,cos ,tan ,03下列那些量是无穷小量→ 5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法（1）掌握函数的连续性定义 （2）掌握间断点定义 (3)掌握并会用单侧连续性(4）掌握初等函数的连续性的结论 6、掌握闭区间上连续函数的性质(1）理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。
本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。
（2）掌握介值定理的推论—-—零点定理.本定理主要用于判定一个方程根的存在性.二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限;利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等.类型题1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限例1)()(lim )(lim 000111001110x f a x a x a x a a x a x a x a x f n n n n n n n n x x x x =+++=+++=----→→例2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<=++++++=----∞→∞→mn m n b a m n b x b x b x b a x a x a x a x q x p mn m m m m n n n n x m n x 0lim )()(lim 01110111例3 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠∞==≠=→0)(0)(0)()()(000)()()()()(lim 00000000x q x p x q x p x q x q x p x q x p x x ；洛比达法则例1 求1lim →x 11232-+-x x x解 注意到1=x 使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决，我们有1lim →x 11232-+-x x x =1lim →x )1)(1()1(22++--x x x x =1lim →x 0112=++-x x x 注：约去零因子后，1=x 成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了. 例2 求4lim→x 22312---+x x解 同上题，设法分离出零因子,然后消去。
有4lim→x 22312---+x x =4lim →x )22)(312)(22()22)(312)(312(+-++--+-++-+x x x x x x =4lim →x ()()())312(22)22(3122222++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x =4lim →x ()()()()31242282++-+--x x x x =4lim→x 23233222312)22(2=+⋅=+++-x x类型题2、利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式 1sin lim0=→xx x ，推广形式 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ注意比较以下四个极限1sin lim 0sin lim 0sin lim1sin lim0====∞→→∞→→x x x x x xx xx x x x例2 求下列函数的极限： （1）0lim→x x x 3sin ； (2）∞→x lim xx3sin 。
解 （1）0lim→x x x 3sin =0lim →x 333sin ⋅x x x t 3=令 0lim→t 3313sin =⋅=⋅tt . (2）∞→x limxx 3sin =∞→x lim sin 1x 3x=0（因为∞→x lim 01=x ，而sin3x 是有界函数)例 3 求∞→x lim xsin x1解 ∞→x lim xsin x 1=∞→x limxx 11sinx t /1=令 0lim →t .1sin =tt 重要极限二 及其推广形式例1 求∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21解 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21=∞→x lim2221⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx 令u=x /2 = ()22101lim e u u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→0sin sin lim sin lim 020==→→x xxx x x x 例(07.二。
6） 极限=+-∞→xx x x )11(lim类型题3、利用无穷小量的性质求极限x1xsinlim x1xsin lim x x 1sinlim x sinx lim x sinx lim 3001sinx xsinx lim x x sin lim 2010xsinx x 1xsinlim sinx x 1sinx lim1x x x x 0x 0x 20x 0x 20x →∞→∞→∞→→→→→→=•=====例例例类型题4、利用洛必塔法则求极限6lim 5)111(lim 4xlnx lim 3111lim 11x 11x 1-lim arccotx )x 1ln(1lim 21sinx-lim a -x cosa -cosx lim1sin 0x 0x 0x 22x 22x x 0x 0x 例例例例例例xx xe x x x x x x ++→→→+∞→+∞→+∞→→→--=++=+-•+=+==⎰⎰-→x xx dtt t dtt 020)sin 1(2lim求极限类型题5、判断函数在指定点的连续性(连续的定义要明确)例1 判断函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=0,21,0,1cos )(2x x x x x f 在x=0处的连续性。
解 因为0lim →x f(x)= 0lim →x =-21cos x x 0lim →x 22)2(sin 2x x -=0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2122sin 2x x =21-. 又因为 f （0）= 21-，所以函数f(x)在x=0处连续. （07.二.7) 设321)(--+=x x x f ，要使)(x f 在x=3处连续，应补充定义f(3）=_______函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系 小结判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x ）在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值,若相等,则函数在分界点处连续，否则就不连续。
类型题6、求函数的连续区间例 求函数f(x)=32231+-x x 的连续区间。
解 因为f(x ）的定义域为x 2—3x+2≠0，即（x —1）（x —2)≠0得x ≠1且x ≠2。
所以函数f （x)的连续区间是()()()+∞⋃⋃∞-,22,11,小结由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。
类型题7、求函数间断点。
例1 求函数f(x)＝()221+x 的间断点. 解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使（x+2)2=0的点为x= —2， ∴x= —2是函数f （x)的间断点. 例1 求函数f （x)＝())3(2)1)(2(----x x x x 的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使（x-2)（x —3）=0的点为x= 2，x= 3 ∴ x= 2，x= 3是函数f(x ）的间断点.类型题8、判定方程根的存在性例1 证明：方程0145=-+x x 至少存在一个实根。
证：设14)(5-+=x x x f ，则函数)(x f 是定义在整个数轴上的初等函数,故在区间]1,0[上连续，且有,0)4()1()1()0(<⋅-=⋅f f ，由零点定理知，至少存在一个点),1,0(∈=c x 使得,0)(=c f 或,0145=-+c c 即方程0145=-+x x 至少存在一个实根.c x =小结：这类证明题一般都是先行设一个函数，这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的.然后通过方程观察使函数值异号的两个不同点，这两个点做端点就可以形成一个区间.如果所设函数在此区间上连续，问题便转化为利用零点定理的证明问题了.当然，本题的区间可以不取0、1而取0和0。