含参函数的单调性讲义
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
高中数学优质PPT课件含参函数的单调性与导数
x (1,1)时,3x2 [0,3).a 0.
解得a 0.
[变式1]函数f (x) ex (x2 ax a)在R 上单调递减,求实数a的值.
解 :
f (x)
x2
ax ex
a
,
f '(x)
(2x a) ex
(x2 e2x
ax a) ex
x2
(2 a)x 2a
ex
.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
[练3]函数f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 在区间(1,4)上单调递减, 32
在(6, )上单调递增, 求实数a的范围.
(法2) 析 : f (x) x2 ax a 1 (x 1)[ x (a 1)],
依题意, 在 (1,4) 内 f (x) 0, 在 (6,) 内 f (x) 0，
a 0是f (x) x3在(2,1)上递增,不合题意.a 0.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
即x (2,1)使a 3x2. x (2,1)时,3x2 [0,12). a 0.
1.已知函数的单调性求参数
例2.函数f (x) x3 ax在(2,1)内存在单调减区间,求a的取值范围.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
练1.函数f (x) 1 x2 9 ln x在区间[m 1, m 1] 上单调递减,则实数m的 2
取值范围是___________ .
析 :即f '(x) x 9 x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立. xx
即x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立.
由题意得f '(x) 0在R上恒成立.又ex 0,x2 (2 a)x 2a 0在R上恒成立.
含参单调性讨论 解析版
x 1 x)2 ，
令 g(x) ln x x 1，所以 g(x) 1 1 1 x ，
x
x
当
x
0,
1 2
时，
g ( x)
0，
g(x)
单调递增，
g( x)max
g(1 2
)
ln
2
1 2
0，
即 h(x)
0
，所以 h(x)
x 1 x ln x
在
0,
1 2
单调递减，所以
h(
x)
min
h( 1) 2
【分析】（1）求出函数的导数，讨论 a 的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论 a 的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求
得函数最小值.
【详解】（1）由题意得 f (x) 2x (2a 1) a (2x 1)(x a) ，
x
x
f (x) 定义域是{x | x 0} ，
当 0 a 1 时，由 f (x) 0 得 0 x a 或 x 1 ，
含参单调性讨论解析
一、解答题 1．讨论函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 的单调性
x
【答案】答案见解析
【分析】求导
f
x
ax
1 x
x2
1
，再分
a
0
，
a
0，1
，
a
1，
a
1，
讨论求
解.
【详解】解： f x 的定义域为 0， ，
f x a
1 x2
a 1 x
ax 2
a 1x 1
时，
f
x
0，
f
导数的应用含参函数的单调性课件高二下学期数学人教A版选择性
例1：讨论函数f (x) x a ln x的单调性，求出单调区间. 解：f (x)的定义域为(0,+),
f ' (x) 1 a x a (它与g(x) x a同号） xx
变式训练:讨论函数f (x) ax ln x的单调性.
例2：讨论函数f (x) 1 x2 ax (a 1) ln x的单调性，求出其单调区间. 2
解：f (x)的定义域为(0,+),
f '(x) x a a 1 x2 ax a 1 (x 1)[x (a 1)]
x
x
x
令f ' (x) 0得：x1 1，x2 a 1
变式训练1：求函数f (x) 1 x3 1 ax2 x 1的单调区间. 32
解：f (x)的定义域为R,f '(x) x2 ax 1
f ' (x)是开口向上的二次函数，=a2 4
变式训练2:求函数f(x)=ax3 1 (3a 1)x2 x 1的单调区间. 2
解：f (x)的定义域为R,
f ' (x) 3ax2 (3a 1)x 1 (x 1)(3ax 1)
小结：导函数为二次型的一般思路： 1、首先需要考虑 的系数是否含有参数．如果 的系数含有参数，就按 的 系数为零、为正、为负进行讨论； 2、其次考虑能否因式解，如果能因式分解，表明存在零点，只需讨论 零点是否在定义域内，如果两个零点 都在定义域内，则讨论 的大小；如 果不能因式分解，表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨 论.最后写出综上所述结论.
解：f (x)的定义域为(0,+),
f ' (x) a 1 ax 1 （它与g(x)=ax+1同号） xx
利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
怎样讨论含参函数的单调性
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载怎样讨论含参函数的单调性地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容如何解决与函数单调性相关的参数问题陈今碧函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。
在解答题里面，经常看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。
学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。
本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：先设y=fx,x∈A,令y'=f'x,a=0,解出x0,令x0∉A，求出x0的范围，再依以下顺序讨论：1°看f'x=0在定义域内是否有解.若无解，则f'x定号，否则进入2°.2°若有解，则比较跟的大小.例1.讨论函数y=ax2-2x+1,x∈-1,1的单调性.解:1°当a=0时:y=-2x+1在-1,1↗2°当a>0时:函数的对称轴为x=1a>01)当0<1a≤1即a≥1时:y在-1,1a↘,1a,1↗2)当1a>1即0<a<1时:y在-1,1↘,3°当a<0时:,函数的对称轴为x=1a<01)当-1≤1a<0即a≤-1时:y在-1,1a↗,1a,1↘2)当1a<-1即-1<a<0时:y在-1,1↘.综上…例2.讨论fx=1+x1-xe-axa>0的单调性.解:定义域为:xx≠1,f'x=ae-ax1-x2x2+2-aa,令2-aa≥0得:0<a≤21°当0<a≤2时:∵x2≥0,2-aa≥0∴f'x≥0∴y=fx在-∞,1↗,1,+∞↗2°当a>2时:令f'x=0得x1=-a-2a,x2=a-2aa>2→0<1a<12→-1<-2a<0→0<1-2a<1→a-2a<1→x2<1列表得:综上…练1.讨论f'x=ax3+3x+1的单调性.解:1°当a≥0时:y=fx在R↗;2°当a<0时:y=fx在-∞,--1a↘,--1a,-1a↗,-1a,+∞,↘.练2.讨论f'x=x+ax的单调性.解:1°当a≤0时:y=fx在-∞,0↗,0,+∞↗;2°当a>0时:y=fx在-∞,-a↗,-a,0↘,0,a↘,a,-∞↗.2.求含参函数的值域（最值）：依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），2°再讨论极值点与定义域的关系.例6.求值域：1)y=2x2-ax-3,x∈-1,1;2)y=x2-a+1x+1ex,x∈-1,1. 解：1)函数的对称轴为：x=a4，结合图像可知：1°当a4<-1即a<-4时:fmaxx=f1=-a-1,fminx=f-1=a-1;2°当-1≤a4<0即-4≤a<0时:fmaxx=f1=-a-1,fminx=fa4=-18a2-3;3°当0≤a4<1即0≤a<4时:fmaxx=f-1=a-1,fminx=fa4=-18a2-3;4°当a4≥1即a≥4时:fmaxx=f-1=a-1,fminx=f1=-a-1.2)令y'=x+1x-aex=0,得：x==-1或x=a1°当a≤-1时：y'>0⇒y在-1,1↗⇒y∈f-1,f1=a+3e,1-ae;2°当a≥1时：y'<0⇒y在-1,1↘⇒y∈f1,f-1=1-ae,a+3e;3°当-1<a<1时：列表如下：∴ymin=1-aea,ymax=maxa+3e,1-ae=M⇒y∈1-aea,M.综上所述：……注：当-1<a<1时:还可因1-ae与a+3e的大小关系,进一步分类讨论为：1°当-1<a≤e2-3e2+3时：y∈1-aea,1-ae;2°当e2-3e2+3<a<1时：y∈1-aea,a+3e.总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.。
含参数的函数单调性
含参数的函数单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。
具体而言，如果对于定义域内的任意两个不同的实数a和b，当a小于b时，函数值f(a)小于f(b)，则称函数在该区间内为递增函数；当a小于b时，函数值f(a)大于f(b)，则称函数在该区间内为递减函数。
当函数有参数时，其单调性可以根据参数的取值范围和函数表达式来确定。
设函数为f(x;a)，其中a为参数，则函数f的单调性可分为以下几种情况：1.a为固定值的情况：当a为固定值时，可以将其视为一个常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。
即只关注函数f(x)在定义域内的增减性质。
2.a为可变参数的情况：当a为可变参数时，需要根据参数a的取值范围和函数表达式来分析函数的单调性。
具体分析方法如下：a)当参数a的取值范围与函数的自变量x无关时，可以将a视为常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。
b)当参数a的取值范围与函数的自变量x相关时，需要通过函数表达式来分析函数的单调性。
可以通过以下几种方法来确定函数的单调性：-方法一：通过求导数来分析函数的单调性。
-方法二：通过构造不等式来分析函数的单调性。
-方法三：通过绘制函数图像来分析函数的单调性。
以下以具体的例子来说明含参数的函数单调性的分析方法。
例1：考虑函数f(x;a) = ax^2 + 1，其中a为参数。
首先，当a为固定值时，函数f(x;a) = ax^2 + 1可以视为一个二次函数。
我们知道，二次函数的单调性与其二次项的系数a有关。
当a>0时，二次函数f(x)是开口向上的，是递增函数；当a<0时，二次函数f(x)是开口向下的，是递减函数。
因此，不考虑a的取值范围时，函数f(x;a)在整个定义域上的单调性与a无关。
接下来，考虑a为可变参数的情况。
直接观察函数表达式f(x;a) =ax^2 + 1，可以发现函数f(x;a)关于自变量x是一个二次函数，函数的单调性与参数a无关。
因此，无论参数a的取值范围如何，函数f(x;a)在整个定义域上都具有相同的单调性。
高中数学讲义：含参数函数的单调区间
含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。
本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +¥，中间并没有进行分类讨论。
思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。
所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。
体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。
所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。
（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。
要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。
例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
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含参函数的单调性讲义
一、讨论函数单调性
1、讨论x
a x x f +
=)(的单调性，求其单调区间 2、讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 3、讨论x ax x f ln )(+=的单调性
4、讨论x ax x f ln 21)(2+=
的单调性 5、求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间
6、已知函数f(x)=2
1x 2－a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间。
总结：一、求是否有实根讨论。
（2008年高考广东卷（理科） 设k R ∈，函数
1,11(),()(),1,1x x f x F x f x kx x R x x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪--≥⎩
，
试讨论函数()F x 的单调性。
二、实根是否落在定义域内讨论。
(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。
三、实根的大小关系，从而引起讨论。
1、（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
练习：07高考山东理科卷改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。
2、（2010山东文数）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x
-=-+-∈
（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12
a ≤时，讨论()f x 的单调性.
3、2010辽宁文数）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
4、（2010北京理数）已知函数f (x )=In(1+x )-x +22
x x (k ≥0)。
(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间。
二、利用单调性求参数取值范围
类型1．参数放在函数表达式上
1、设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(2
3． 的取值范围
求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.
,3)()1(-∞=
练习 .
)().2(;
)().1(1
,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=
类型2．参数放在区间边界上
1、已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.
(1) 求)(x f 的表达式
(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围. .,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=
类型3．参数放在不等式上
1、.已知时都取得极值与在13
2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f
(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．
(2) 若对2
)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． _)(]2,1[,522)(.22
3
的取值范围则都有若任意已知m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型4．参数放在区间上
1、已知三次函数d cx x ax x f ++-=2
35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.
（１） 求)(x f 的解析式.
（２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.
.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-。