高数期末复习题 第八章 空间解析几何与向量代数
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
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第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）___.1.四点,，，组成的四面体的体积是___162。
已知向量，,,则=__（—2，-1，0）____.3。
点到直线的距离是______________.4.点到平面的距离是_____________。
5。
曲线C：对xoy坐标面的射影柱面是_______,对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________。
6.曲线C：绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________。
7。
椭球面的体积是_____40π____________。
二、计算题（共4题，第1题10分,第2题15分,第3题20分，第4题10分,共55分）1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程。
这里是3个非零实数.解：设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为,在平面上的射影点为,则,于是,，所确定的平面方程是即 .2。
已知空间两条直线,.(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程。
证明：（1) 的标准方程是，经过点，方向向量的标准方程是，经过点，方向向量，于是,所以和是异面直线。
（2）由于，和间的距离（3)公垂线方程是，即.3。
求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.解:设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是,（1）又 ,（2)由（1）（2）消去得到。
4。
已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点，（1）求经过点两条直母线方程及其夹角；(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角。
解：（1）设单叶双曲面两直母线方程是与把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程,得到过点的两条直母线与，即与两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是,则有，。
（2)两直母线所在平面的方程是，即显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0。
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中，点(1,— 2, 3 )在[D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2 22.方程2x y2在空间解析几何中表示的图形为[C ]A.椭圆 B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面X —1 y + 1 z +1” _x + y _1 = 03.直线11j与 >2 :— —> 的夹角是[C ]423x+y+z-2=0AJinnA.—B.— C.—D. 04324.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)A. 2 2 2 a b (a ・b)B. a 2 b 2=(a b)2C. 2 2(a 叱)=(a b) 2 2 2 2D.(a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. z 2 二 4(x y)B. z 2 _ _4.. x 2 y 2C. y 2 z 2 =4xD.2 2 y z = 4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是2 C.3关于 [B ]A 1 1A.B.—337.在空间直角坐标系中，点(B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3)C. (-1,-2,3)1，2,3) 2 D.—3yoz 平面的对称点是[A ]2 28.方程—2 弓二z ，a 2b 2表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面C. 椭球面D.球面9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b =[ C ]A. 1 3B.3C. -1D. 110.(A)平行于■:[x 2 (B)在二上 (C)垂直于2z(D)与二斜交二 121.双曲线 45 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).[y =0x+y+z = O+心 「x + y + z = O 小 11 •直线h 的方程为，直线12的方程为，则l i 与31x-30^29^030x-31y -30z = 012的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12 .已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x = y z 对称 13. 已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x=y Z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. x 2 y 2z 2 =1 B. X 2 y 2 z = 1 C. x 2 y z = 1 D. x y 2 z 2 = 115. 已知a,b 为不共线向量，则下列等式正确的是 CA. aa=a 2B. a*(a*b)=a 2bC. a ・(b ・b)=ab 2D. a 2b 2 = (a*b)2-(1,2,1), b =(-3,4, -3)，那么以a,b 为两边的平行四边形的面积是 B16.已知向量A.20B.10 .2C.10D. 5-217.已知直线 l 方程x 2y 3^0与平面二方程-x z ^0,那么l 与二的位置关系 3x + 4y +5z = 0是CA. l 在二内B. l 垂直于 Ji18.两向量a,b 所在直线夹角一，45B. a,b 夹角——4 Jiab ：： 0 , C. l 平行于•:那么下列说法正确的是 D.不能确定JIA. a 'b 夹角4C. a,3兀亠兀b 夹角可能或一4D.以上都不对19.已知|a 尸1, |b ，且(a ,b )■，则 | a b (D4(A) 1(B) 1、2(C) 220.设有直线L: x 3y 2z ^0及平面二I2x —y —10z+3 = 0:4x -2y • z - 2 =0，则直线 L ( C )。
(完整版)高数A1空间解析几何与向量代数(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。
xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。
2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。
解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。
由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+22222222221522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。
3．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。
解：由题设知：{}{},2,1,120,23,2121--=---=M M 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。
4．已知{}1,5,3-=，{}3,2,2=，{}3,1,4--=，求下列各向量的坐标： (1)2；(2)-+；(3)432+-；(4).n m +解：(1) {}2,10,62-=；(2){}5,8,1=-+；(3){}23,0,16432-=+-； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2π，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）第八章空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。
8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{-- 解：1033112ij k a b i j k ?==+--，所以选C 。
8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ(D) cos a b θ解：由定义，选D 。
8.21 已知1,a b ==a 与b的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。
8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a ba b ，选C 。
高等数学——空间解析几何与向量代数
练 习 题
一、填空： 1 、向量是_________的量； 2 、向量的___________叫做向量的模； 3 、___________的向量叫做单位向量； 4 、_____________的向量叫做零向量； 5 、与_____无关的向量称为自由向量； 6 、平行于同一直线的一组向量叫做 _________ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； 7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成____________；
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点，坐标面上的点，
各卦象的点， z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
M ( x, y, z )若直线段落AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分， 则端点 A 的坐标为_________， 端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 ) 和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则） （三角形法则）
b
c
a
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
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第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ，则同时垂直于b a ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos AB ； B. αsin AB ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a 与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ； D. 充分必要条件是0=⨯b a.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a = , ),,(z y x b b b b = 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a //；B. λλ(b a =为非零常数) ；C. b a ⊥ ；D. 0 =+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a 和，求这个平面。
解：所求平面平行于向量b a ,，可取平面的法向量)3,1,1(011112-=-=⨯=k j i b a n ， …. 4（分） 故所求平面为0)1(3)0()1(=+--+-z y x ，即 043=--+z y x …. 3（分）8.3.2.2、求通过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程。
解：由已知，设所求平面方程为0=+By Ax …. 2（分）将点带入得：A B B A 3,03==+-即 …. 2（分） 带入所设方程得：03=+Ay Ax 即 03=+y x …. 3（分）8.3.3.2、求平面0522=++-z y x 与xoy 面夹角的余弦。
解：平面的法向量为)1,2,2(-=n， …. 2（分）又xoy 面的法向量为)1,0,0(=k …. 2（分） 则两向量夹角余弦，既平面与xoy 面夹角的余弦为31cos =γ …. 3（分）8.3.4.3、用对称式方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 。
解：由题意可知直线的方向向量为)3,1,2(112111-=-=k j i s …. 3（分） 取25,230===z y x 代入得，.即直线经过的点)25,23,0(， …. 2（分） 故直线的对称式方程为 3251232-=-=-z y x . …. 2（分） 8.3.5.3、求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的直线方程。
解：由题意，所求平面的法向量可取已知直线的方程的方向向量，即)11,14,16(253421-=--==k j i s n ， …. 4（分） 故所求平面方程为 065111416=---z y x …. 3（分）8.3.6.3、求过点)4,2,0(且与两平面2312=-=+z y z x 和平行的直线方程。
解：所求直线方程与两已知平面平行，因此所求直线方向向量为)1,3,2(31020121-=-=⨯=k j i n n s ， …. 4（分） 故所求直线方程为14322-=-=-z y x …. 3（分） 8.3.7.3、求过点)2,1,3(-Q 且通过直线12354z y x =+=-的平面方程。
解：根据平面束方程，过已知直线的平面束方程为0)123(2354=-+++--z y y x λ， …. 2（分） 代入点)2,1,3(-得2011=λ. …. 3（分） 故平面方程为：0592298=---z y x . …. 2（分）8.3.8.2、试确定直线723z y x =-=和平面8723=+-z y x 的位置关系。
解：)7,2,3(),7,2,3(-=-=n s …. 2（分） 因为 )7,2,3(-==n s 或1sin =θ，即夹角2πθ=； …. 3（分）故 直线与平面垂直. …. 2（分）8.3.9.3、求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影。
解：由题意，过已知点与已知直线垂直的直线方程为12211-=-=+z y x ， …. 2（分） 化为参数方程为t z t y t x -=+=+-=,22,1， …. 3（分） 代入平面得：32-=t .则投影为)32,32,35(-。
…. 2（分）8.3.10.4、求直线⎩⎨⎧=++-=-+010z y x z y x 在平面 0=++z y x 上的投影直线的方程。
解：做平面束0)1(=++-+-+z y x z y x λ …..2分整理得法向量：k j i n )1()1()1(-+-++=λλλ …..1分该法向量与已知平面的法向量垂直；则有0)1()1()1(=-+-++λλλ,解得1-=λ ……2分 代入平面束方程得：01=+-z y ，所求直线方程为：⎩⎨⎧=++=+-001z y x z y ……2分 四、综合应用8.4.1.4、求通过直线L ：⎩⎨⎧=++=+632402z y x y x 且切于球面的4222=++z y x 的平面方程。
解：通过已知直线的平面束方程为：0)2(6324=++-++y x z y x λ， ……2分此平面切于已知球面，故球心（0，0，0）到平面的距离为2 则有 232246-000222=++++++）（）（λλ，解得：2-=λ ……3分代入得所求平面为2=z . ……2分8.4.2.4、求过点)4,0,1(-，且平行于平面01043=-+-z y x ，又与直线21311z y x =-=+相交的直线方程。
解：过点)4,0,1(-做与已知平面平行的平面 0143=-+-z y x ……1分 求该平面与已知直线的交点：令t z y x ==-=+21311， ……2分 解出想，x,y,z ,代入平面得：32,19,15,16====z y x t ……2分 则所求直线为：28419161-==+z y x ……2分 8.4.3.4、已知点)0,0,1(A 及点)1,2,0(B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆面积最小。
解：所求点位于z 轴上，故设其坐标为),0,0(z C ……1分则ABC ∆的面积S ABC =∆，故525212)1()2(212222+-=+-+=∆z z z z S ABC ……2分 设525)(2+-=z z z f ，求导得驻点51=z ，又010)51(>=''f ……1分 故，当51=z 时，三角形ABC ∆面积最小，为=∆最小ABCz S 530 ……1分。