向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册

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《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念（1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量）（2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =，为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算（1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线（1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1）柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2）旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。

高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是（ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则（ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则（ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是（ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线垂直的平面方程为（ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示（ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

高等数学(下)期末复习题及近年考题题解

第八章空间解析几何与向量代数1、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程. （07级下A 第一1题7分）解：}1,3,2{-==→→n s 3分直线方程为：1132-=-=z y x 7分 2、设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯.b a ∙（07级下A 第二1题7分）解：)7,1,5(121213=---=⨯→→→→→kj i b a 4分3223=+-=∙→→b a 7分第九章多元函数微分学及其应用 3、设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz4、设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂. （05级下第一1题6分）解：)2cos(2y x xz-=∂∂ 2分)2cos(y x yz--=∂∂ 4分)2)(2cos(dy dx y x dz --= 6分5、设),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂（05级下第一2题6分）解：21f y f xz'+'=∂∂ 3分 22212112221212112)()(f f xy f y x f f x f y f f x f yx z'+''+''-+''-=''+''-+'+''+''-=∂∂∂ 6分 6、设)32sin(y x z -=，求yx z∂∂∂2.（07级下A 第二2题7分）解：)32cos(2y x xz-=∂∂ 4分)32s i n (62y x yx z -=∂∂∂ 7分7、设2(,)y z f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z .（05级下补第一1题6分）解：22122122f x yf xy f x y xy f z x '-'='-⋅'= 3分 222222121122111)1(2)1(2f x x f x f x y f x x f x f xy z xy '-⋅''+⋅''-'+⋅''+⋅''= 22122312113122f xf x f x y f y f y x '-'+''-''+''= 6分 8、设),,(2xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂9、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. （07级下A 第三1题7分）解：1,2,2,1),,(22-===--+=z y x F y F x F z y x z y x F)1,2,4(-=→n 3分切平面方程为：0)4()1(2)2(4=---+-z y x 或0624=--+z y x 5分法线方程为：142142--=-=-z y x 7分 10、求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数解：))2cos(),2cos(2(),(y x y x z z z grad y x ---==)1,2()0,0(-=z grad βαcos )0,0(cos )0,0()0,0(y x z z lz+=∂∂5)51()1(522=-⨯-+⨯=11、求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数. （07级下A 第二2题7分）解：32cos ,32cos ,31cos ),2,2,1(-===-=→γβαMN 3分 223323,2,z xy zuxyz y u z y x u =∂∂=∂∂=∂∂ 5分31)32(3322311-=-⨯+⨯+⨯=∂∂Mlu 7分12、欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小. （07级下A 第四题8分）解：设长为x ，宽为y ，高为xyV z =，表面积xyVy x xy z y x xy A )(2)(2++=++= 3分 020222=-=∂∂=-=∂∂yV x y A xV y x A 5分3334,22,2V A Vz V y x ==== 8分 13、已知曲面方程34222=++z y x ，（1）求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程；（2）求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V 的最小值. （05级下第六题8分）解：法向量)8,2,2(c b a n =→切平面方程)(8)(2)(2c z c b y b a x a -+-+-或34=++cz by ax 3分切平面在三个坐标轴上的截距分别为cb a 43,3,3 abcc b a c b a V 89433361),,(=⋅⋅⋅=5分令)34(89),,(222-+++=c b a abc c b a F λ 解方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-==+-==+-=34088902890289222222c b ac abc F b cab F a bc a F c ba λλλ得21,1===c b a ),,(c b a V 的最小值为49)21,1,1(=V 8分第十章重积分14、设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22（05级下第一3题6分）（07级下A 第一3题7分）解：⎰⎰⎰⎰=+aDdr r d dxdy y x 022022πθ 3分 4分332a π=6分 7分 15、已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxab adx x b x f dy y f dx ))(()(.（07级下A 第三2题7分）证明：⎰⎰=b abydx y f dy )(左 4分⎰-=bady y f y b )()(⎰-=badx x b x f ))(( 7分16、计算二重积分σd x xD⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域. 17、计算二重积分σd y D⎰⎰,其中D 为2,x y x y ==所围区域. 18、计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.（05级下第一4题6分）解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++Ωadr r d d dV z y x 0420222sin )(ϕϕθππ 3分 5052054sin 5a d a d πϕϕθππ==⎰⎰6分 19、计算三重积分,zdV ⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1,22=+=z y x z 所围区域.20、证明：⎰⎰⎰----=-b an xan b ady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(12证明：⎰⎰--=babyn dx y f y x dy )()(2左右=--=⎰-baby n dy n y x y f ]1)()[)121、设有平面区域1:22≤+y x D ，（1）计算二重积分σyd x y D)(22+⎰⎰；（2）设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D.22、设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ，（1）计算二重积分σd y x y x D)(22-⎰⎰；（2）设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D（05级下第二题8分）解：（1）0)23()()(21010221022=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x xy dx d y x y x Dσ 4分（2）由于积分区域关于直线x y =对称，则当),(),(x y f y x f -=时0),(=⎰⎰σd y x f D8分注：本题答案不惟一，如：),(),(),(x y g y x g y x f -=等说明：积分域的轮换对等性（或称为轮换对称性）是把刻画积分域的不等式或不等式组中的坐标进行轮换或对换后，积分域不改变的性质.对于平面xOy 上的积分域来说，轮换对称性就是关于直线x y =的对称性；对于空间域来说，x 与y 的轮换对称性是关于平面x y =的对称性.积分域的轮换对称性与被积函数的轮换对称性（以三元函数为例）：若积分域Ω的边界曲面方程中的z y x ,,依次轮换，方程的形式不变，则称Ω具有轮换对称性.若被积函数),,(z y x f 中的z y x ,,依次轮换，方程的形式不变，则称),,(z y x f 具有轮换对称性.第十一章曲线积分与曲面积分 23、计算对弧长的曲线积分,122ds xx L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.（05级下第一5题6分）解：dx xx x ds x x eL⎰⎰++=+1222221111 3分 2121-==⎰e xdx e6分24、计算对弧长的曲线积分,12ds e y Lx ⎰+其中L 为曲线x e y =从0=x 到1=x 的一段弧.25、计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.26、计算对弧长的曲线积分,ds y L⎰其中L 为抛物线2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧. （07级下A 第三3题7分）解：⎰⎰+=1241dx x x ds y L4分12155-=7分 27、计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界. （07级下A 第二3题7分）解：⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂-∂∂=++-DDLd x d y Px Q dy y x dx x xy σσ)21()()()2(22 3分 ⎰⎰-=xxdy x dx 2)21(10 5分301))(21(12=--=⎰dx x x x 7分 28、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面. （07级下A 第一4题7分）解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++dV zdxdy ydzdx dydz x )111( 4分ππ813332=⨯⨯⨯= 7分 29、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面. 30、计算对坐标的曲面积分,)()()(4232dxdy x z dzdx z y dydz yx +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面. （05级下第一6题6分）解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=+++-++zdV dxdy x z dzdx z y dydz y x 2)()()(4232 3分 πρρθπ==⎰⎰⎰z d z d d 110202 6分31、计算对坐标的曲面积分,222dxdy zx dzdx yz dydz xy ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.32、证明曲线积分dy my y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关；并计算dy my y e dx mx y ex Lx)cos ()sin (-++⎰，其中 L 为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.33、证明对坐标的曲线积分⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关；计算⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(，其中 L 为曲线x e y xx 2sin 2π-=从0=x 到1=x 的一段弧.（05级下第四题8分）证明:,4,2x y Q y x P -=-=因为1-=∂∂=∂∂xQ y P 所以曲线积分⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关 4分2)14(2)4()2(11=-+=-+-⎰⎰⎰dy y xdx dy x y dx y x L8分第十二章无穷级数34、判别正项级数∑∞=1!3n nn 的收敛性.解：1013lim lim1<=+=∞→+∞→n u u n nn n由比值审敛法知∑∞=1!3n nn 收敛.35、判别正项级数∑∞=1!3n n n nn 的收敛性. （05级下第一7题6分）解：13)1(3lim lim1>=+=∞→+∞→e n n u u n n nn n 4分由比值审敛法知∑∞=1!3n n n nn 发散 6分36、判别正项级数∑∞=+111n na 的收敛性（)0>a （07级下A 第二4题7分）解：（1）当1=a 时，∑∞=121n 发散 2分（2）当10<<a 时，)(0111∞→≠→+n a n发散 4分（3）当1>a 时，n n a a 111<+, ∑∞=11n n a收敛，∑∞=+∴111n na 收敛 7分 37、判别正项级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的收敛性.解：31)2)(1(1nn n n <++，而级数∑∞=131n n 收敛，由比较审敛法，∑∞=++1)2)(1(1n n n n 收敛.38、已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n .试求其收敛区间. （07级下A 第一5题7分）解：1111lim lim1=+==∞→+∞→nn a a n nn n ρ 3分收敛半径11==ρR 5分收敛区间为)1,1(- 7分39、求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.解：令,121)1()(012∑∞=++-=n n nx n x s 因为,11)1()(22x x x s n n n +=-='∑∞=所以,arctan )(x x s = 故.41arctan )1(12)1(0π===+-∑∞=s n n n40、将函数x y arctan =展开成x 的幂级数解：（直接将x arctan 展开办不到，但)(arctan 'x 易展开）)1()1(11)(arctan 022<-=+='∑∞=x x x x n nn积分得]1,1[,12)1()1()(arctan arctan 0120200-∈+-=-='=∑⎰∑⎰∞=+∞=x x n dt t dt t x n n n x nn nx因为右端级数在1±=x 时均收敛，又x arctan 在1±=x 连续，所以展开式在收敛区间端点1±=x 成立. 41、已知幂级数∑∞=-11n n nx. 求其收敛域；利用逐项积分法，求其和函数).(x s （05级下第三题8分）解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ 收敛半径1=R当1±=x 时级数发散，收敛区间为)1,1(- 4分xxx dx nx dx x s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(11111)1(1)(2<<--=x x x s 8分42、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s43、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x f ,)(，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s （05级下第一8题6分）π=x 是)(x f 的第一类间断点解：ππππππ=+-+-=++-=2)0()0(2)0()0()(f f f f s 3分π2=x 是)(x f 的连续点πππ===)0()2()2(f f s 6分44、已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. （07级下A 第五题8分）解：0cos 1==⎰-πππnxdx x a n 3分0sin 1==⎰-πππnxdx x b n 6分 02)()()(=+=+-πππf f s 7分0)0()0(==f s 8分45、已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n xn ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和. 解：令0=x ，得∑∞=--==12)12(1420)0(n n f ππ，从而所求级数∑∞=-12)12(1n n 的和为82π. 20061.（6分）设),(2x yy x f z =，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z . 解：22122122f xyf xy f x y xy f z x '-'='-⋅'= 3分222222121122111)1(2)1(2f x x f x f x y f x x f x f xy z xy '-⋅''+⋅''-'+⋅''+⋅''= 22122312113122f xf x f x y f y f y x '-'+''-''+''= 6分 3.（6分）求函数yxez 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数.解：21cos ,21cos ),1,1(-==-=βαPQ 2分22,1)0,1(2)0,1()0,1(2)0,1(==∂∂==∂∂yyxe yz ex z4分212221)0,1(-=-=∂∂lz 6分4.（6分）设0,2:22≥≤+x y y x D ，求.22⎰⎰+Ddxdy y x x解：⎰⎰⎰⎰⋅⋅=+θπρρρθρθsin 202022cos d d dxdy y x x D3分⎰⎰⎰===20420420sin 204sin sin 4cos sin 4cos )4(πππθθθθθθθθρd d d54554|sin 20==θπ6分5.（8分）计算曲线积分⎰+=Lds y x I )(22，其中L 是中心在)0,(a ，半径为a 的上半圆周.解：方法一：参数方程)0(sin )cos 1(πθθθ≤≤⎩⎨⎧=+=a y a x 2分⎰++=πθθθ022222]sin )cos 1([d a a a I 4分θθπd a ⎰+=03)cos 1(2 6分π32a = 8分方法二：利用极坐标，⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，20,cos 2πθθ≤≤=a r 2分⎰⎰='+=2022224)cos 2()()sin ,cos (21πθθθθθθθθd a a d r r r r f I 4分ππθθπ33223248cos 8a a d a=⋅==⎰8分6.（8分）某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为y y x x y x )34(,)23(----，求产鱼总量最大的放养数. 解：2234223)34()23(y y xy x x y y x x y x z -+--=--+--= 5分y x z y x z y x 624,243--='--='令0='='y x z z ，得5.0==y x 7分甲种鱼和乙种鱼各放养5.0万尾时产量最大. 8分7.（8分）将x +11展开成1-x 的幂级数. 解：12111-+=+x x 2分211121-+⋅=x 7分 ∑∞=--=02)1()1(21n n nn x 8分 8.（8分）证明级数∑∞=--21)1(n nn n条件收敛. 证明：n n n 11>- ，由比较审敛法，级数∑∞=11n n 发散，∑∞=-∴21n n n发散. 3分 ∑∞=--21)1(n nn n为交错级数，)(01∞→→-n n n 5分2,0)1(21)1(2≥<---='-x x x x x x ，故1111-++≥-n n n n 7分所以原级数条件收敛. 8分9.(10分)求级数∑∞=--11)1(n n n n x 的收敛半径、收敛区间、收敛区域以及∑∞=-⋅-112)1(n nn n 的和. 解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n 3分收敛区间为)1,1(- 4分当1-=x 时，∑∞=-11n n 发散；当1=x 时，∑∞=--11)1(n n n 收敛.收敛区域为]1,1(- 6分设x x x s n x x s n n n n n n +=-='-=∑∑∞=∞=---11)1()(,)1()(11111 )1ln(11)(0x dx xx s x+=+=⎰9分2ln 3ln )21(2)1(11-==⋅-∑∞=-s n n nn 10分 10.（10分）计算积分dy m y e dx my y e I x Lx )cos ()sin (-+-=⎰，其中ax y x L =+22:上从点)0,(a A 到)0,0(O 的一段弧.解：m y e Q my y e P x x -=-=cos ,sin ，从点)0,(a A 沿上半圆周到)0,0(O ，补充a x y L →=0:,0:1⎰⎰-=+11L L L I 2分⎰⎰-∂∂-∂∂=Ddxdy yPx Q 0)(6分 28ma dxdy m Dπ==⎰⎰ 9分若从点)0,(a A 沿下半圆周到)0,0(O ，则28ma I π-= 10分11.（10分）设函数)()(2πππ<<-+=x x x x f 的傅立叶级数展开式为)sin cos (210∑∞=++n n n nx b nx a a ，又设函数⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2以π2为周期的傅立叶级数在点π=x 处收敛于c .证明ππ6713=+c b . 证明：⎰-=πππxdx x f b 3sin )(13 2分 ⎰-+=ππππxdx x x 3sin )(12 3分π32= 5分 )]0()0([21-++-=ππf f c 6分)]1(1[212π++-= 8分 221π= 9分 ππππππ67)2132(21132123=+=⋅+=+c b 10分13.（6分）计算曲面积分⎰⎰∑+dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及3=z 之间的部分的下侧.解：方法一：补充面)6(3:221≤+=∑y x z ，取上侧.⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=dv )001(12分πθθππ9)213(603203260202=-==⎰⎰⎰⎰⎰dr r r d rdz dr d r 4分而0)(12=+⎰⎰∑dydz x z 5分故ππ909)(112=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑dydz x z 6分方法二：212:y z x -=∑前侧；222:y z x --=∑后侧，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-----+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑32166:,)2()2()(22222221z y y D dydz y z z dydz y z z dydz x z yz D D yz yz 2分⎰⎰-=yzD dydz y z 222 4分⎰⎰-=-321266222ydz y z dyπ9)6(346232=-=⎰dy y 6分方法三：222211cos ,1cos yx yx x ++-=++=γαdxdy x z dS x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γααcos cos )(cos )()(222 2分 ⎰⎰∑-+=dxdy x x z ))((2 4分60,20:])(41)[(222≤≤≤≤++--=⎰⎰r D dxdyx y x x xy D xy πθπθθπ9cos 622202===⎰⎰⎰⎰rdr r d dxdy x xyD 6分 2007 一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、求过点)1,0,0(M 且平行于平面0532=---z y x ，又与直线11112-+=-=z y x 垂直的直线方程.解：)8,0,4(112132)1,1,2()1,3,2(=---=-⨯--=→→→→kj i s 5分直线方程：8104-==z y x 7分 2、设)32sin(y x z -=，求dz .解：)32cos(3),32cos(2y x y zy x x z --=∂∂-=∂∂ 5分 )32)(32cos(dy dx y x dy yzdx x z dz --=∂∂+∂∂=7分 3、计算二重积分⎰⎰Ddxdy y ysin ，其中D 由x y x y ==,2围成. 解：⎰⎰⎰⎰=y y Ddx y y dy dxdy y y2sin sin 10 3分 ⎰-=1sin )1(ydy y 6分1sin 1-= 7分4、计算对坐标的曲线积分⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232，其中L 是四个顶点分别为)2,2(),0,2(),0,0(和)2,0(的正方形区域的正向边界.解：⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232dxdy xy y dxdy y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+-=∂∂-∂∂=)32()(2 3分 ⎰⎰+-=2022)32(dy xy y dx⎰-=2)48(dx x 6分8= 7分5、判定正项级数∑∞=110!n n n 的收敛性.解：∞=+=+=∞→+∞→+∞→101lim 10!10)!1(lim lim11n n n u u n nn n nn n 5分由比值审敛法，∑∞=110!n n n 发散. 7分二、（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、已知)0,1,3(),3,1,2(),1,0,1(-C B A ，求三角形ABC 的面积及其所在平面方程. 解：)1,1,2(),2,1,1(--==)3,5,1(112211-=--=⨯→→→kj i4分面积235==S 6分平面方程：0235=+-+z y x 7分2、求xyz u =在点)2,1,5(M 处沿从M 到)14,4,9(N 的方向的方向导数.解：,,,xy zu xz y u yz x u =∂∂=∂∂=∂∂ )12,3,4(==→MN l)12,3,4(131=→l e 4分 1398)12,3,4()5,10,2(131),,(=∙=∙∂∂∂∂∂∂=∂∂→l MMe zu y u x u l u 7分 3、计算对面积的曲面积分⎰⎰∑z dS ，其中∑为球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解：⎰⎰⎰⎰-≤+∑++⋅--=22222222211h a y x y x dxdy z z y x a z dS 4分 ⎰⎰-≤+--=2222222h a y x dxdy y x a a⎰⎰--=2202220h a dr r a ard πθ 6分haa ln2π= 7分 4、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. 解：⎰⎰--+==πππππππnxdx x x nxdx x f a n cos )(1cos )(123分⎰⎰--+==πππππππnxdx x x nxdx x f b n sin )(1sin )(125分2)]()([21)(ππππ=+=+-f f s 6分0)0()0(==f s 7分三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1、已知22ln y x z +=，证明：.02222=∂∂+∂∂yzx z证明：22yx x xz+=∂∂3分22222222222222)(,)(y x y x y z y x x y x z +-=∂∂+-=∂∂ 6分 02222=∂∂+∂∂∴yzx z 7分 2、设,0,2:22≥≤+x y y x D 求.22⎰⎰+Ddxdy y x解：⎰⎰⎰⎰=+θπθsin 2022022.dr r d dxdy y x D3分⎰=203sin 38πθθd 5分 916=7分3、计算对坐标的曲面积分,)()(dxdy y x dydz z y x -+-⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑-=-+-dv z y dxdy y x dydz z y x )()()( 3分⎰⎰⎰≤+-=3122zdz dxdy y x 5分π29-= 7分四、（本题满分8分）建一个容积为V 的长方体的厂房，已知前脸和屋顶的单位面积的造价分别是其它墙的2倍和3倍，问如何建造可使造价最低？解：设长、宽、高分别为z y x ,,,则xyV z V xyz =⇒= 造价yV x V xy xz yz xy C 323323++=++= 4分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂03302322y V x yC x V y xC6分 ⎪⎩⎪⎨⎧==33232332V y V x 此时323V z = 8分五、（本题满分8分）已知幂级数,11∑∞=-n n nx试求其收敛区间，并求其和函数).(x s解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，11==ρR收敛区间)1,1(- 5分xxx dx x s xn n -==⎰∑∞=1)(012)1(1)1()(x x x x s -='-= 8分。

《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)

6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为______________.2、设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示______________曲面.5、方程x2+y2=z表示______________曲面.6、x2+y2=z2表示______________曲面.7、在空间解析几何中y=x2表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线x y-3z-12=1=5的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎧⎨x-2y+4z-7=0⎩3x+5y-2z+1=0垂直的平面方5、已知：OA=ϖi+3kϖ，OB=ϖj+3kϖ，求∆OAB的面积。

参考答案一填空题1、±⎨⎧67-6⎫⎩11,11,11⎬⎭2、M 11M 2=2,cos α=-2,cos β=22,cos γ=12,α=2π3,β=3ππ4,γ=33、(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=144、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、3x -7y +5z -4=02、9y -z -2=03、x -1y -2z -32=1=5 4、16x -14y -11z -65=05S ∆=12OA ⨯OB =192。

(完整版)高等数学空间解析几何练习

向量代数与空间解析几何第一部分向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6．已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1．设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求：（1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2．设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3．利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

空间解析几何与向量代数复习题答案

间解析几何与向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有（C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示（C ）A 坐标原点（0,0,0）；B xoy 坐标面的原点（0,0）；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。

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ϖ第七章空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[D]A.第一卦限B.第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2.方程2x2+y2=2在空间解析几何中表示的图形为[C]A.椭圆B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面3.直线l:1x-1y+1z+1==423⎧-x+y-1=0与l:⎨2⎩x+y+z-2=0，的夹角是[C]A.πππB. C. D.0 4324.在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy平面的对称点是[D]A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)5.将xoz坐标面上的抛物线z2=4x绕z轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B]A.z2=4(x+y)B.z2=±4x2+y2C.y2+z2=4xD.y2+z2=±4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy平面夹角的余弦是[B]A.-13 B.122C.-D.3337.在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz平面的对称点是[A]A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)8.方程x2y2+a2b2=z2表示的是[B]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C.椭球面D.球面ϖϖ9.已知a={0,3,4},b={2,1,-2},则projρb=[C]aA.3B.-13 C.-110．已知a,b为不共线向量，则以下各式成立的是DA.a2b2=(a b)2 C.(a b)2=(a⨯b)2B.a2⨯b2=(a⨯b)2D.(a b)2+(a⨯b)2=a2b211．直线 l 的方程为 ⎨⎧ x + y + z = 0 ⎩31x - 30 y - 29z = 0 ⎩30x - 31y - 30 z = 0 ⎧ 19.已知 | a |= 1 ， | b |= 2 ，且 (a, b ) = ，则 | a + b |= （D ）.44 ⎧⎩⎧x + y + z = 0 ，直线 l 的方程为 ⎨ ，则 l 与1 2 1l 的位置关系是 D2A.异面B.相交C.平行D.重合12．已知 A 点与 B 点关于 XOY 平面对称，B 点与 C 点关于 Z 轴对称，那么 A 点与 C 点是 CA.关于 XOZ 平面对称B.关于 YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线 x = y = z 对称 13．已知 A 点与 B 点关于 YOZ 平面对称，B 点与 C 点关于 X 轴对称，那么 A 点与 C 点 C A.关于 XOZ 平面对称 B.关于 XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x = y = z 对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA. x 2 + y 2 + z 2 = 1B. x 2 + y 2 + z = 1C. x 2 + y + z = 1D. x + y 2 + z 2 = 115. 已知 a, b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA. a a = a 2B. a (a b ) = a 2bC. a (b b ) = ab 2D. a 2b 2 = (a b )216．已知向量 a = (1,2,1)， b = (-3,4, -3) ，那么以 a, b 为两边的平行四边形的面积是 BB.10 2D. 5 217．已知直线 l 方程 ⎨ x + 2 y + 3z = 0 ⎩3x + 4 y + 5z = 0与平面 π 方程 - x + z + 2 = 0 ，那么 l 与 π 的位置关系是CA. l 在 π 内B. l 垂直于 πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量 a, b 所在直线夹角π4， ab < 0 ，那么下列说法正确的是 Bπ3π3π πA. a, b 夹角B. a, b 夹角C. a, b 夹角可能或D.以上都不对44π4(A) 1(B) 1 + 2 (C) 2(D)520.设有直线 L : ⎨ x + 3 y + 2 z + 1 = 0 ⎩2 x - y - 10 z + 3 = 0及平面 π : 4 x - 2 y + z - 2 = 0 ，则直线 L （ C ）。

(A) 平行于 π(B) 在 π 上 (C) 垂直于 π (D) 与 π 斜交⎧ x 2 z 2⎪ - = 121.双曲线 ⎨ 4 5⎪ y = 0绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.4 -5 = 1 4 - 5 = 1 4 - 5 =14 -5 = 141(D)-2 2 (C) - 1 (D) - 3⎪x = 2 ⎪ y - 2 = ⎩(A) x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 + z 2(B)(C)( x + y)2 z 2 x 2( y + z)2 (D)22.点 (a, b , c) 关于 y 轴对称的点是（ D ）.(A) (-a, -b , -c)(B) (a, -b , -c) (C) (a, b , -c) (D) (-a, b , -c)23.已知 a = {4, -3,4}, b = {2,2,1} ，则 Prj (a) = （A ）.b(A) 2(B) -2(C)66 4124. x 2 - y 2 = 1在空间表示（ D ）.(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面 25.设 a 与 b 为非零向量，则 a ⨯ b = 0 是（ C ）. (A) a = b 的充要条件 (B) a ⊥ b 的充要条件 (C) a // b 的充要条件 (D) a // b 的必要但不充分条件26．设平面方程为 Ax + Cz + D = 0 ，其中 A, C , D 均不为零，则平面（ B ）.(A) 平行于 x 轴 (B) 平行于 y 轴 (C) 经过 x 轴 (D) 经过 y 轴u uuv u uuv u uuv27．已知等边三角形 ∆ABC 的边长为 1 ，且 BC = a ， CA = b ， AB = c ，则a ⋅b + b ⋅c + c ⋅ a = （ D ）.(A)1(B)3228.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1) (C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C) 平行于 YOZ 平面 (D) 垂直于 Z 轴30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1) (C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )⎧⎨ z - 4 ⎧⎨ z - 4 - 3(A)⎪ y = z (B) ⎪⎩x = 032．二个平面z = 1 和 2x+3y-4z=1 位置关系是（ A ）33. 过点(2，0，-3)且与直线 ⎩3x + 5 y - 2 z + 1 = 0a a 2 +b 2 +c 2a +b +c a + b + c37. 曲线 ⎩ 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )4(x 2 + z 2 )- 9 y 2 = 364(x 2 + z 2)- 9 y 2 + z 2 = 36( )4 x 2 - 9 y 2 + z 2 = 364 x 2 - 9 y 2 = 36 x 2 + y 2 = 0x y - 2 z - 4= = (C)- 2 3 1(D) - 2 x + 3( y - 2) + z - 4 = 0x y + + 2 3 4（A ）相交但不垂直（C.）平行但不重合⎧x - 2 y + 4 z - 7 = 0⎨ （B ）重合（D.）垂直垂直的平面方程是( A )(A)- 16( x - 2) + 14( y - 0) + 11( z + 3) = 0(B) ( x - 2) - 2( y - 0) + 4( z + 3) = 0(C) 3( x - 2) + 5( y - 0) - 2( z + 3) = 0(D)- 16( x + 2) + 14( y + 0) + 11( z - 3) = 034. 向量 α= { , b , c } 与三坐标轴的夹角分别为 α , β , γ ，则 α 的方向余弦中的cos β =( A )bb ± b ± b(A)(B) (C) (D)a 2 +b 2 +c 235. 已知曲面方程 z = - x 2 y 2 +a 2b 2（马鞍面），这曲面与平面 z = h 相截，其截痕是空间中的（ B ） A. 抛物线； B. 双曲线；C. 椭圆；D. 直线。

36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是(B )(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2) (C) (3，1，-2)(D) (-3，-1，2)⎧4 x 2 - 9 y 2 = 36 ⎨z = 0( )(A)(B)(C)(D)38. 准线为 XOY 平面上以原点为圆心、半径为 2的圆周，母线平行于 Z 轴的圆柱面方程是 ( B )(A)(B)x 2 + y 2 = 4x 2 + y 2 + 4 = 0⎩ x 2+ y 2 + ( a - x ) 2 = k 2 2, A , A }{B , B , B } ρ ρ ρρ ρ 3. 母线平行于 x 轴且通过曲线 ⎨ 的柱面方程是 3 y 2 - z 2 = 16ϖ ϖ ϖϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖϖ ϖϖ33 = = 与 L : ⎨ ，则 L 与 L 的夹角为 2 ⎩2 y + z = 3 1 -2 1 3⎧ x - y = 6 (C)(D)x 2 + y 2 + z 2 = 439.球面 xD)2+ y 2 + z 2 = k 2 与 x + z = a 的交线在 XOY 平面上的投影曲线方程是 (( a - z )2 + y 2 + z 2 = k 2(A)(B)⎧⎪( a - z ) 2+ y 2 + z 2 = k 2⎨⎪z = 0⎧x 2 + y 2 + (a - x ) = k 2 ⎨(C)(D) ⎩z = 040. 向量α={AxY z 、β=X Y Z 垂直的充分必要条件是( A )(A) α·β=0(B) α×β=0A x = A y = A z(C) B x B y B z (D)α-β=0二、填空题ρ1. a = 3,b = 4, a + b = 7, 则 a - b =1x 2y 22. 有曲面方程 + = 2 z ，当 pq<0 时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面p q⎧⎪2 x 2 + y 2 + z 2 = 16⎪⎩ x 2 - y 2 + z 2 = 04. 已知 a , b , c 都是单位向量，且满足 a + b + c =0, 则 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = -5、XOZ 平面内曲线 x 2 = z 绕 X 轴旋转，所得曲面方程为 x 4 = y 2 + z 232uuur uuur6．已知向量 O A = (1,2,3) ，向量 OB = (2,3, 4) ，那么三角形 OAB 的面积是6 27、已知平面π : x + 2 y + z + 3 = 0 与 π : -3x + y - z + 1 = 0 ，则其夹角为 arccos66128．点 (-1,2,0) 在平面上 x + 2 y - z + 1 = 0 的投影为 (- 5 , 2 , 2)3 3 39.设有直线 L : 1x - 1 y - 5 z + 8π1 212、平面 x+2y-z+3=0 和空间直线 x - 1 1.求过点 M(3, 1 -2)且通过直线 x - 4 又设所求平面的法向量是 n ，取 n = MN ⨯ s ，ρρ2.求与直线 L 1 ： x + 3 = = 相交且与直线 L 2 ： = = 相交, 与直线s ⎨ y = 3t + 5 ， ⎨ y = 4λ - 7 z = t ⎪ z = λ10．已知 | a |= 2 ， | b |= 2 ， (a, b ) = π ，则 u = 2a - 3b 的模 | u |=2 7311. 已知向量 a = 3i + 2 j + k 与 b = 2i - 3 j ，则 (2a) ⋅ (3b ) = 0； a ⨯ b =r r r 3i + 2 j - 13ky + 1 z - 2= =3 - 1 1的位置关系是直线在平面上13. 过点（2，-3，6）且与 Y 轴垂直的平面为y = -3，此点关于 XOY 平面的对称点是(2,-3,-6)，它与原点的距离为 7三：计算与证明y + 3 z= = 的平面方程5 2 1解：设 N(4, -3, 0), ρ= (5,2,1) , 由已知，MN = (1,-4,2) 是所求平面内的向量ρ ρ ρ ρ ρ i j kρ ρ ρ 即： n = 1 - 4 2 = -8i + 9 j + 22k5 2 1故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即：－8x+9y+22z+59=0y - 5 zx - 10 y + 7 z 2 3 1 5 4 1L 3 ： x + 2 y - 1 z - 3 = =8 7 1平行的直线方程解：将 L 1 ， L 2 分别化为参数方程：⎧ x = 2t - 3 ⎧x = 5λ + 10 ⎪⎪⎪ ⎩⎩对于某个 t 及 λ 值, 各得 L 1 ， L 2 上的一点,分别记为 M t , M λ则向量 M t M λ =[(2t-3)-(5 λ +10)]i+[(3t+5)-(4 λ -7)]j+(t- λ )k=（2t-5 λ -13）i+(3t-4 λ +12)j+(t- λ )k令向量 M t M λ 平行于 L 3 ，即有解得 t= - ，于是 M t （-28， - , - ） y + z + 2 = 23.直线 L 过点 M(2, 6，3), 平行于平面π :x-2y+3z-5=0 且与直线 L 1 : = =解得 ⎨,于是可取法向量 (-1,2,0) 2a + b = 0⎧ ⎪ λ = bc 2 ⎧2t - 5λ -13 3t - 4 λ +12 t - λ= =8 7 125 65 25 2 2 265 25 x + 28 故所求直线为： =8 7 1x - 2 y - 2 z - 6- 5 - 8 2相交, 求 L 的方程解：过点 M 平行于π 的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0即: x-2y+3z=0再求它与直线 L 1 的交点, 将 L 1 写成参数方程:x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1所以交点为 P(7, 10, 4), 又 L 过 M, P 两点故: L 的方程为x - 2 y-6 z -3= =7-2 10 - 6 4-3即： x - 2 y-6 z-3= =5 4 14．求过直线 x - 1 y z x y z + 1 = = ，且平行于直线 = =2 1 -1 2 1 -2的平面方程。