关于刘徽的割圆术(终审稿)
刘徽割圆术精品PPT课件
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
千古绝技 “割圆术”
扑朔迷离的千古疑案
公元 5 世纪 南北朝祖冲之
3.14 159 26 3.14 159 27
准确到小数点后 7 位
称雄千年的一项数学成就
祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 中国古代最辉煌的数学成就 竟是一桩千古疑案
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华罗庚先生的评说（1963年）
华罗庚 《高等数学引论》 第4章 §5 “祖冲之计算圆周率的方法” 指出“祖冲之从圆的内接正六边形 和外切正六边形出发。显然圆夹在 这两个六边形之间，再做内接的和 外切的正12边形、正24边形、„ ， 边数愈多，内接的和外切的正多边 形就愈接近圆的面积。”
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焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦 始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
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新时代呼唤 “新科学”
Stephen Wolfram
• 1959年 生 • 15岁 发表粒子物理学术论文 • 22岁 被授予美国“天才人物奖”
• 研制 Mathematica 致富
• 隐姓埋名 潜心探索 “复杂性” 十余年
2002年5月 推出鸿篇巨著《一种新科学》该书 用丰富的计算机实验证明 “ 简单的重复生成 复杂 ” 声称 “宇宙原理只是区区几行程序 31 代码”
用内接外切正 96 边形逼近圆周 求得 3.14
16
高明的逼近方法
弱近似
内接多边形 S 2n
强近似 破缺的外切多边形
S2n + (S2n - Sn )
关于刘徽的割圆术
第１ Ｏ卷第 １期
郭书春 ； 于刘徽 的割 圆术 关
ｌｍ ｒ ＝ ０’ ｉ
１９ １
因此
ｌ Ｓ ＋２ ｓ １ ］＝ Ｓ ｉ （ 一ｓ ） ｍＥ ．
这 就证 明 了圆 的上界 序列 与下 界序列 的极 限都 是 圆面积 ．
最后 ， 徽把 与 圆周合 体 的正 多边 形 分割成 无穷 多个 以圆心为 顶点 ， 刘 以每边 长 为底 的小 等腰 三
的错误之 中．
关键 词 九章算术 Ｉ 刘徽 Ｉ 剖圆术 ｆ 限ｌ 极 圆面积公 式Ｉ 圆周率
中豳分类号 Ｏｌ ２ １
《 九章算 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 》提 出了圆 田术 ：
半周 半径相 乘 得积 步．１ ［ ］
这就 是圆 面积公 式
ｓ 丢ｒ ＝Ｌ ．
（ １ ）
其中ｓ Ｌ，分别是圆面积 、 ， ｒ 周长和半径． 它是正确的． 然而 ， 刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长 代替圆周长 Ｌ， 以圆内接正十二边形的面积代替圆面积 Ｓ 用出入相补原理将正十二边形拼补成一 ，
角 形 ， 圆半 径乘 这个 多边 形 的边 长是 每个小 等腰 三角形 面积 的 ２倍 ， 谓 “ 而裁 之 ， 以 所 觚 每辄 白倍 ” ． 显 然 ， 有这 些 小等 腰三 角形 的底边 之 和就是 圆周 长 ， 且 所 有这 些 小 等腰 三角 形 面 积 的 总 和 ， 所 并 就
管讨论刘徽剖圆术的文章 、 著述是中国数学史研究中最多的， 只讲极限过程和求圆周率 ， 却 都未涉 及证 明圆面积公式的问题． 甚至一篇逐字逐句翻译圆田术刘徽注的文章“ ， ］对其中的画龙点睛的几 句话 “ 以一面 乘半 径 ， 觚而 裁之 ， 每辄 自倍 ． 以半 周乘 半径 而 为圆幂 ” 然 略 而不 译 ． 际上 ， 徽 故 竟 实 刘 的极限过程是为进行无穷小分割并最后证明圆面积公式（） １ 做准备的 ， 不是为了求 圆周率 的， 圆 求 周率用不到极限过程 ， 它只是极限思想在近似计算 中的应用． 刘 徽接 着 指 出 ，九 章算术 》 田术 中的 周径 ， 至 然之 数 ， 周 三径 之 一之 率 也 ”他 批 评 道 ： 《 圆 谓 非 ． “ 然世传此法， 莫肯精棱 ： 学者踵古， 习其谬失． 刘徽随即创造了求“ ” 周径至然之教” 圆周率的科 即
割圆法求圆周率公式
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
刘徽割圆术
•一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的 结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的 面积，这个结果比π的真值少.
•二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数 加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、 正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接 近圆面积.
三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即
《九章算术》注文明白写着： “割之弥细，所失弥少；割之 又割以至于不可割，则与圆合 体而无所失矣 ，这段注文充分 说明了刘徽对极限概念.
后来.刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位，
祖冲之:
祖冲之
（公元429-500年）是我国南北朝时 期，河北省涞源县人．他从小就阅读 了许多天文、数学方面的书籍，勤奋 好学，刻苦实践，终于使他成为我国 古代杰出的数学家、天文学家．
圆周率是指平面上圆的周长与直 径之比。早在一千四百多年以前， 我国古代著名的数学家祖冲之， 就精密地计算出圆的周长是它直 径的3.1415926---3.1415927倍之 间。这是当时世界上算得最精确 的数值----圆周率。
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的 祖先很早就有“径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺， 那它的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科 学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算， 求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里 就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术”（在圆内做正6边形，6 边形的周长刚好是直径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多， 它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。 在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方3 寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。 父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的 边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边长越短。父子俩 蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也不敢走神。 最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的周长是 3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里的图形， 高兴地笑了。 后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。所以， 他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数之间。 祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人，比欧洲人 早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
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第三，从圆内接正n边形每边的长，可以直接求 出圆内接正2n边形面积。如图所示，四边形OADB的 面积等于半径OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形OADB的 面积和△OAB的面积的差等于 以AD和DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面积再加上 这样两个直角三角形的面积，就 有一部分超出圆周了。
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼 近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判 总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创 造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要内容和根据
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十 二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正n边形每边 的长，可以求出圆内接正2n边形每边的长。
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论 基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当 时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面 积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德（前 287—前212）用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便 得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百 年前的古代，也是非常难能可贵的。
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东临淄人，魏 晋期间伟大的数学家，中国古典数学 理论的奠基者之一。是中 国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷， 方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用 逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻 苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓 誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝 贵的财富。
刘徽割圆术与其切割方法
刘徽割圆术与其切割方法作者：张莹莹来源：《学校教育研究》2014年第21期一、刘徽割圆术刘徽是我国古代数学家，他在数学上的重大贡献是对《九章算术》的详细整理，从此之后，这本书才有了实本。
他在《九章算术》中求圆周率是由圆内接六边形起算，用语言概括就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”我们把它称为刘徽割圆术。
他的思想后来得到祖冲之父子的推广，从而使得中国古代数学绽放出夺目的光彩。
把刘徽割圆术用现代数学语言来表达，就是：有一个半径是1的圆O，作内接正六边形（如图1），ABCDAEF正六边形的面积是三角形ABO的面积的六倍，由于AB=DA=1,OT=二、不同的分割法上面我们都把X轴上的距离等分，然后来进行计算。
但有时候，应用等分来计算反而很困难。
通过以下的例子，可以更清楚的了解这一点。
我们提出一个和前面类似但更一般的问题，来研究曲线y=xm在X轴上所盖的面积，这里m是不等于-1的实数，如图10。
当m是整数，例如m=3，4，…，我们可以利用杨辉三角求出，但当m不是整数时，要写出这个和的具体表达式是十分困难的。
因此我们运用其他的方法。
在刘徽割圆是时，是用正多边形来作为圆的近似图形，而在求抛物线在X轴上所盖的面积时，就用了很多矩形拼凑起来的折线图形作为近似图形了。
因此，不同的分割方法是不影响问题的结果的。
我们可以不用等分的方法来进行求解。
这样一来，CD这件并不是等分了，而是越靠近C的分得越小，越靠近D的分的越大图11。
但是当分点越来越稀释，每一段得长都趋于零。
照这样分割以后，矩形Mk-1Nk-1PkMk的面积是 aqk-1(q-1)(aqk-1)m=(q-1)(aqk-1)m+1。
把这些矩形拼凑起来得到的图形成为ABCD的近似图形，这个图形的面积是Sn=(q-1)(aq1-1)m+1 +(q-1)(aq2-1)m+1+…+(q-1)(aqn-1)m+1=(q-1)am+1[1+qm+1…+（qm+1）n-1]=(q-1)am+1显然Sn是小于ABDC的面积S的，而且可以看出，这个近似图形也遵循刘徽割圆的原理。
刘徽割圆术和物理解题的极限、微元、积分思想
刘徽割圆术和物理解题的微元法“圆，一中同长也。
”纯语文翻译:圆这种图形,有一个中心,从这个这个中心到圆上各点都一样长.数学意义:圆有一个圆心,圆心到圆上各点的距离(即半径)都相等.关于“圜”的定义。
墨子说：“圜，一中同长也。
”(《墨经上》)这里的“圜”即为圆，墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。
圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。
墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。
遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。
实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。
公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。
”他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。
凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。
”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。
他是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。
”“环矩以为圆，合矩以为方。
”“方数为典，以方为圆。
”于是刘徽看到了圆与方形的关系，用了下下面的方法证明了《九章算术》中计算圆面积的法则：圆内接正n 边形，其面积，周长，一边分别记为Sn,Pn,a n设AB 是圆内接正6边形的一边，AC是内接正12边形的一边，S OBC=1/2DB*DC=1/4a6*r=1/2P6*r,同理，S24=1/2P12*r对一般情形，有S2n=1/2P n*r,为了确定圆面积的上界，他还提出S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,得到:314×64/625< S < 314×169/625,由S =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，把圆看成边数是无穷的正多边形，它是未知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。
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关于刘徽的割圆术文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的, 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂,而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1 古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种着名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2 刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy( 公元～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧,求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作:汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547;汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:1 设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦,半面为勾, 为之求股) ;o将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ;设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;求S= ns 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;将2n 赋予向1 .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes的上限结果相同; P≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3 在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的着作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形. 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了limS= P. 这里S是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S < P< S+ e, 其中e= S- S , 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形,也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S+ e小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位,则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 着; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。