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数学建模之冰山运输问题
正文
数学建模之冰山运输问题
摘要：在以石油著称的波斯湾海峡，浩瀚的沙漠覆盖了大地，于是淡水资源成了当地最匮乏的物质。

有很多人用淡化海水的方式来给当地人民提供水，可是也有人提出当南极去搬运冰山来解决当地的淡水问题。

以此建立数学模型探讨如何达到运单位体积的冰山的费用最小。

关键词：冰山体积运输费用运输距离耗油量冰川融化
建模目标：建立一个数学模型使得轮船从南极运输冰山到波斯湾海峡所需的费用尽可能的小并且运输的冰山体积最大。

问题的重述
如何建立一个数学模型使得轮船从南极运输冰山到波斯湾海峡的总费用和到达目的地后的冰山的体积的比值（单位体积的冰山所需的费用）最小。

问题分析
对我们最后所需的结果进行分析，我们所要求的分为两个阶段：一个是所需的费用的问题，二是运输的过程中冰山体积的减少量。

所需的费用又分为两个：其一是租船的费用；二是船航行的耗油量。

冰山体积在运输的过程中减少的因素为船行驶的速度和海水的温度（船离南极的距离）。

模型假设：
（1）拖船航行的过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离为9600km.；
（2）冰山的形状为球体，球面的各点的融化速率相同；
（3）冰山到达目的后，1立方米的冰可以融化成0.85立方米的水。

符号说明：
d：表示运输船离南极的距离；
v：表示船运输的速度；
r：表示冰川的溶解速度；
R0：表示冰川刚开始的速度；
R（t）：表示在t时刻的冰川的半径；
V：表示冰川初始时刻的体积；
V1：表示冰川到达目的地时的体积；
V2：表示冰川最后融化成水的体积；
Q：表示总耗油量；
Y：表示船的日租金；
F：冰川运输的总费用；
t：表示冰川到达目的地的总耗时；
g：表示单位体积的冰山所消耗的费用。

模型的建立
（1）先建立选取船的模型，由表我们可以知道，小，中，大型的船的最大运输量不同，针对所运输的冰川的体积的大小我们可以
选择不同的型号的运输船。

船型对于运输过程的总费用的模型如下：
当0<=V<=5510⨯时，可以选择小型的运输船，冰川到达目的地时船的总租金费用为v ÷÷⨯2496004；（1）
当5510⨯<=V<=610时，可以选择中型的运输船，冰川到达目的地船的总租金费用为v ÷÷⨯2496002.6；（2）
当610<=V<=710时，可以选择大型的运输船，冰川到达的目的地船的总租金费用为v ÷÷⨯2496000.8。

（3）
综合所述： F1=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯⨯⨯⨯⨯⨯v v
v 2496000.82496002.62496004 76655
1010101051050≤≤≤≤⨯⨯≤≤V V V
（2） 总费用分为两个部分，一是船的租金，二是船的消耗能量的费
用。

因此再建立消耗燃料的模型：
记燃料的消耗率为q ，由表6.13可知，燃料的消耗主要依赖船速和运输冰山的体积，并且由表6.13的数据我们可以得出燃料的消耗与船速和运输冰山的体积分别是线性关系。

假设燃料速率与船速的线性关系为q1=a1+b1⨯v ;(4)，燃料与运输冰山的体积的对数线性关系是q2=a2+b2⨯lg Ｖ；（５），结合（４）和（５）式我们可以得到每天的耗油量q 与船速ｖ以及冰山的体积的对数三者的关系为：令ｕ＝lgV ，q=(a1+b1v ⨯)(a2+b2⨯u),（6）将表6.13中的数据代入（6）中：
122-=b a 6.01
1=b a b1b2=-0.3 得出的是一个比例关系；那么可以假设a2=1
可以解得b2=-1 b1=0.3 a2=1.8
将该解代入（6）式得到q=(1+0.3v)(-1+1.8u);
总耗油量Q 所消耗的费用的表达式为：
⎰=)
*24/(960002v q F d(24vt)
（3） 总结第一和第二的运输费用，我们得到F 的式子为 F=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯22496000.822496002.62
2496004F v F v
F v 766551010101051050≤≤≤≤⨯⨯≤≤V V V （4） 冰山的融化速率的变化
冰山的融化速率与船里南极的距离（温度）和船速有关，那么根据表6.14中的数据我们可知，冰山的融化速率和运输船的速度成正比，而与运输船到南极的距离在【0，4000】的范围内是成正比，但是大于4000以后，海水的温度的变化很小，可以忽略，故在4000米之后距离对冰山的融化率没有变化。

2211(),04000;,4000;
d c d v d r c d v d +≤≤⎧=⎨+>⎩ 代入表6.14中的数据，
解得：110.08,0.2d c ==22
3c d =，同样令5222.610, 6.5d c -=⨯=510-⨯， 55(6.510 2.610),04000;0.20.08,4000;
d v d r v d --⎧⨯+⨯≤≤=⎨+>⎩
冰川每天的融化的半径是不一样的，所以最后到达目的地时冰川所消耗的半径为0t
i i r =∑
求出冰川到底目的地时的体积为
3100
3()4t i i V R r π==-∑ 冰山融化成水的体积为V2=0.85V1.
（5） 单位体积的冰川所需要的费用
由（3）和（4）的综合我们可以得到
2
F g V =（7） 模型求解
我们要求等式（7）的最小值，那么分别假设船速为1km/h ，3km/h ，5km/h 时冰山体积在56710,10,10时的单位体积的冰山的费用。

在上述的条件下，通过matlab 软件（程序如附页）我们解得的结果如下：
模型的评价
模型的优点：在建模的过程中进行了很实际的简化，有利于求解模型的最优解；
模型的缺点：在建立模型时考虑的是在假设的情况下，而在实际的问题中，误差会很大，首先船在开动的情况下不会是匀速的，这个要考虑天气，洋流等等，同时在这个模型中没有考虑运输船开动南极的耗油量以及在运输过程中所费的劳动力。

模型的结果分析
所得到的解虽然比淡化海水的情况每单位体积的水的费用的消耗要低，但是，得到的解是在没有考虑很多的实际的情况下求解的，比如所消耗的劳动力，船在运行时不会是匀速的，导致耗油量的规律并不是很强，所以，即使是算到的解比淡化海水的情况下的费用低，但是却不可以应用到实际。

参考文献
【1】《matlab软件与基础数学实验》朱旭西安交通大学出版社【2】《数学建模及其基础知识详解》费浦生武汉大学出版社【3】《数学模型》谢金星高等教育出版社（第三版）
附页
clear;clc;
V=[5*10e5,10e6,10e7];
v =[1 3 5];
Y=[4,6.2,8];
for i=1:3
for j=1:3
syms t d
a=9600*Y(j)/(v(i)*24);
u=log10(V(j));
q=(1+0.3*v(i))*(1.8*u)*24*v(i)*t;
p=int(q,t,0,9600/(24*v(i)));
F=p+q;
r1=d*(6.5*10e-5+(2.6*10e-5)*v(i));
r2=0.2+0.08*v(i);
d1=int(r1,d,0,4000);
d2=int(r2,d,4000,9600);
r=d1+d2;
V1=0.85*4*pi/3*((3*V(j)/(4*pi))^1/3-r)^3; A(i,j)=F/V1);
end
end。