二重积分的对称性计算.
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
二重积分积分的对称性
积分的对称性:二重积分二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X 轴对称考察被积分函数Y 的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。
如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x 的奇偶.
三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz
计算确定的区域是由其中1,≤+=⎰⎰+Y X D d I D y x σ
此题便不可根据区域面积是否对称来做！ 积分区域D 被积函数),(y x f
1.D 关于X 轴对称，f 关于y 的奇=0；若f 关于y 是偶=2f 。
相反，则反！
2.D 关于原点对称，f 关于x,y 为奇函数=0；为偶=2f 。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。
二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。
具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。
3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。
轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。
对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。
具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。
2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。
3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。
四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。
常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。
1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。
2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。
3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。
五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。
常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。
1. 找到适当的变换使定义域变得简单。
对称性在二重积分计算中的应用
㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通 ２０１９ ２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。
二重积分的对称性计算
利用对区域
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重 ，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人 。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳在计算二重积分时，我们可以利用区域的对称性和函数的奇偶性来简化计算过程。
这种方法被称为利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳。
首先，让我们熟悉一些基本概念。
对于一个区域D，我们可以将其对称分解为两个对称的子区域，其中一个是关于x轴对称的，另一个是关于y轴对称的。
这意味着，如果函数f(x,y)在D上可积，那么它在这两个子区域上也可积，并且积分值是相等的。
接下来是函数的奇偶性。
一个函数f(x,y)被称为关于x轴对称，如果对于所有的x和y，f(-x,y)=f(x,y)。
而对于关于y轴对称的函数f(x,y)，有f(x,-y)=f(x,y)。
如果一个函数既关于x轴对称又关于y轴对称，我们称其为关于原点对称。
举个例子来说明这个思路。
考虑二重积分∬_Dx^3+y^3dA，其中D是由直线x=0，y=0和x+y=1所围成的区域。
首先，我们可以观察到D关于y=x对称，因此我们只需要计算D的上半部分的积分。
接下来，我们考虑被积函数x^3+y^3、我们可以观察到该函数关于原点对称，即f(x,y)=f(-x,-y)。
因此，我们只需要计算函数在第一象限的积分，并将结果乘以4即可得到整个区域D的积分值。
对于$x\geq0$和$y\geq0$，我们可以将函数x^3+y^3改写为x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)。
我们继续观察这个新的函数x^2-xy+y^2首先，我们注意到该函数关于y=x对称。
因此，我们只需要计算第一象限中y\geq x的部分的积分，并将结果乘以2、然后，我们再考虑这个新的函数关于原点对称，将计算结果乘以2即可得到整个第一象限的积分值。
在第一象限的新函数x^2-xy+y^2中，我们可以继续观察到函数关于x=y/2对称。
因此，我们只需要计算x\geq y/2的部分的积分，并将结果乘以2继续简化表达式，我们可以将x=y/2代入x^2-xy+y^2中，得到新的积分函数3(x/2)^2、然后，我们可以将x积分限从y/2到1，将y积分限从0到1、最终，我们得到二重积分∬_D x^3+y^3 dA = 4∬_D x^3+y^3 dA = 2∫_0^1 ∫_{y/2}^1 3(x/2)^2 dxdy。
对称性在二重积分计算中的应用
对称性在二重积分计算中的应用在对称图形的积分计算中，对称性可以将积分区域划分为若干个相同或相似的子区域，从而简化积分计算。
例如，当积分区域具有关于x轴的对称性时，可以将整个积分区域划分为上下两个对称的子区域，然后只计算其中一个子区域的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于y轴或原点对称性的积分区域，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法可以大大减少计算量，并且适用于各种形式的对称图形，如关于斜线对称、关于点对称等。
另外，对称性还可以用来简化函数的积分计算。
如果被积函数具有关于一些轴的对称性，则可以将函数在整个积分区域上的积分转化为仅在一个子区域上的积分。
例如，当被积函数具有关于y轴的对称性时，可以将积分区域限定在y轴右侧的一个子区域上，然后只计算在该子区域上的积分，最后再乘以2得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于x轴或原点对称性的函数，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法常常用于计算一些特殊函数的积分，如奇偶函数的积分等。
此外，对称性还可以通过坐标变换来进行利用。
通过适当的坐标变换，可以将原始的积分区域变换为具有对称性的新区域，在新区域上进行积分计算。
例如，当积分区域关于x轴对称时，可以利用变换u=x-y和v=x+y将原始区域变换为关于v轴对称的新区域，在新区域上进行积分计算，最后再进行恢复变换得到原始区域的积分结果。
通过这种方式，可以将积分区域的形状简化为对称的形状，从而方便进行积分计算。
在实际问题中，对称性在二重积分计算中的应用也十分广泛。
例如，在求解物体的质量、重心、转动惯量等物理量时，常常可以利用对称性简化计算过程。
又如在求解电荷分布、电场、电势等电磁问题中，对称性也可以起到重要的作用。
此外，对称性还可以用于求解微分方程的特解问题，通过对微分方程和边界条件的对称性进行分析，可以得到特殊的对称函数解，从而简化问题的求解过程。
综上所述，对称性在二重积分计算中的应用是十分广泛的。
二重积分对称公式
二重积分对称公式二重积分对称公式是微积分中的重要概念，它在解决对称区域上的积分问题时起到了关键作用。
本文将对二重积分对称公式进行详细介绍，并探讨其应用。
一、二重积分简介在微积分中，二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分。
它可以看作是对二元函数在该区域上的所有小面积的累加。
二重积分可以用来求解面积、质量、重心等问题，具有广泛的应用。
二、二重积分的对称公式二重积分的对称公式是指当被积函数具有一定的对称性时，可以通过对称性简化积分计算的公式。
常见的二重积分对称公式有以下几种：1. 关于x轴对称：当被积函数f(x, y)关于x轴对称时，即f(x, y) = f(x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
2. 关于y轴对称：当被积函数f(x, y)关于y轴对称时，即f(x, y) = f(-x, y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
3. 关于原点对称：当被积函数f(x, y)关于原点对称时，即f(x, y) = f(-x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 4∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。
二重积分对称公式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求对称区域上的面积：对称区域的面积可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的面积，最后乘以对称系数得到整个对称区域的面积。
2. 求对称区域上的重心：对称区域的重心可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以先求出对称区域上的一部分的重心，然后根据对称公式乘以对称系数得到整个对称区域的重心。
3. 求对称区域上的质量：对称区域上的质量可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。
根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的质量，最后乘以对称系数得到整个对称区域的质量。
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其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
利用对称性简化计算
在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
（4）若D对称于y轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（5）若D对称于原点，且 f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
其中D1是D位于y轴右侧(或左侧）的部分。
（6）若D对称于原点，且 f ( x , y ) f ( x ,
（7）若D对称于直线y x, 则 f ( x, y )d f ( y, x )d .
(或 f ( x , y )d f ( y, x )d ). 对称于直线y x
D D
D1
D2
的两部分区域记为D1和D2 .
这种情况常称为积分区域D具有关于积分变量的对称性 或称为二重积分的轮换对称性(即若积分区域或被积函 数的表达式中，将其变量x, y互换，其表达式不变）。