导数的定义
函数导数的定义
函数导数的定义
函数导数的定义（Derivative），也叫导函数值。
又名，是中的重要
基础概念。
当函数y=f（x）的x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数
输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的函数导数的定义，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
函数导数的定义是函数的局部性质。
一个函数在某一点的函数导数的
定义描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都
是实数的话，函数在某一点的函数导数的定义就是该函数所代表的曲线在
这一点上的。
函数导数的定义的本质是通过极限的概念对函数进行局部的
线性逼近。
例如在中，物体的对于时间的函数导数的定义就是物体的。
不是所有的函数都有函数导数的定义，一个函数也不一定在所有的点
上都有函数导数的定义。
若某函数在某一点函数导数的定义存在，则称其
在这一点，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定；不连续的函数一定
不可导。
说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它
们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式包括：
1.导数（函数的变化率）定义为函数在某一点处的瞬时变化率，即函数在该
点的切线斜率。
这个定义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
2.导数定义为函数对于自变量的导数，即函数在某一点处的变化率。
这个定
义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
3.导数定义为函数的极限，即当自变量趋近于某一点时，函数的变化率趋近
于一个极限值。
这个定义涉及到极限的概念，需要一定的数学基础才能理解。
这三种定义形式实际上是等价的，只是从不同的角度来描述导数的性质。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的定义形式来解决问题。
高等数学导数的定义
高等数学导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的定义与求解
导数的定义与求解导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将深入探讨导数的定义及其求解方法。
定义：导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
给定函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则称该导数为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数可以用极限的概念来定义，具体地，函数f(x)在点x处的导数可以通过以下极限来求解：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h为一个趋近于0的数。
求解导数的方法有很多，下面将介绍几种常见的方法。
1.用定义法求导数：利用导数的定义进行计算。
将函数代入定义式，并对极限进行化简，最终得到导数的值。
这种方法适用于简单函数，但对于复杂函数可能会很繁琐。
2.常见函数的导数：为了简化求导数的过程，我们需要记住一些基本函数的导数。
常见函数的导数公式包括：常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)，对数函数的导数为1/x。
有了这些基本函数的导数公式，可以通过组合和运用求导法则来求解更复杂函数的导数。
3.利用求导法则：求导法则是一系列用于简化求导过程的规则。
常见的求导法则包括：常数乘法法则（导数与常数相乘）、和差法则（导数的和等于导数的和）、乘法法则（导数的乘积等于一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以一个函数）、链式法则（嵌套函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数），以及复合函数的求导法则等。
利用这些法则，可以更快速地求解复杂函数的导数。
4.隐函数求导：有时候，函数的表达式并不是显式给出的，而是以方程的形式出现。
这时需要使用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导基于隐函数定理和导数的定义，通过对方程两边求导得到导数的表达式。
求导是微积分的一个基本概念，它在数学和科学的各个领域中都有广泛应用。
导数的定义帮助我们理解函数的瞬时变化率，求导的方法则使我们能够更方便地计算函数的导数。
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
初中导数的定义
导数的定义
导数的定义：导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点可导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
导数是用来分析变化的。
以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。
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f(x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
2.导函数定义
f (x)在集合D内可导,则f (x)为x的函数, 称为导函数,
记为f (x), y, dy , df (x) dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
(e x ) e x .
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
4.左右导数
def2 单侧导数
1.左导数:
f(x0)源自xlim0但f(x)在x=0处连续.
例3
f(x)
sinx ln(1
x)
x x
0,问在x 0
0处可导否?
并求f (x),f ( ) 2
5.切线问题
导数的几何意义:
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
xo x
x0
x
ln(1 x)
lim
x
x lim x 1
x0 x
x0 x x
(lnx) 1 x
(4) f (x) ax(a 0,a 1)
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
x 0
x
或 f (x) lim f (x h) f (x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 . 表示f (x)在x x0的函数值 区别: f(x0 )与[f (x0 )]
3.导数公式 例1用定义求下列函数的导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
B 沿曲线C A, x x0 ,
x x0
x x0
切线AD的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
引例2 物体移动路程s f(t),求在t t0时的运动速度.
t : t0 t0 t
s f (t0 t) f (t0 )
s t
f
(t0
t) t
f
(t0
)
为物体在[t0
,
t0
t]内的平均速度,
lim
t0
s t
为物体在t0时的瞬时速度.
(二)导数的定义
1.定义1 设函数 y f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 给 x0一个改变量 x, 相应地函数 y的改变量为
y f (x0
x) f (x0 );
如果 lim y 存在, x0 x
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解 f (x) lim y lim f (x x) f (x) lim C C 0.
x0 x x0
x
x0 x
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
一 、 导数概念
• 一.引例 • 二.导数的定义
(一).引例 引例1 求y f (x)在x0的切线的斜率. 思路:用割线AB逼近切线AC
AB B
AC
A
播放
y
如图, 设 A(x0 , y0 ),B(x, y).
y f (x)
B
CA
y y0 D
o
x0
x
x0
x
x
割线AB的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
b使f(x)
ax
x
2
b
x 1 处处可导 x 1
1
例6
讨论f(x)
2x 1
x
2
2
x
x0 0x1
, 1 x 2 x2
在x 0,1,2处的连续性, 可导性.
性质 设f(x)在x0可导, f (x0 ) 0(或f (x0 ) 0) 则在x0的某一邻域O (x0 )有
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
证
函数f (x)在点x0可导,
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 x0
)
f
(x0
)存在
lim (x
xx0
x0 )
0
lim (f
xx0
(x)
f (x0 ))
0
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
)
函数 f ( x)在点 x0连续 .
#
推论：不连续函数一定不可导
在某点，可导 连续 有极限
例5
确定常数a,
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f (x)
x
x
x
x0 ,
x 0
y y x
lim f (x) f (0) lim x 1,
x0
x
x x0
o
x
lim f (x) f (0) lim x 1.
x0
x
x x0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
同理可得 : (cos x) sin x
(3) y lnx
解: (ln x) lim y lim ln( x x) ln( x)
f
(x0
x) x
f
(x0
)
xlimx0
f
(x) x
f (x0 x0
) ;
2.右导数:
f (x0)
xlim0
f (x0
x) x
f
(x0 )
xlimx0
f (x) x
f
(x0
) ;
x0
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 f( x0 )= f ( x0 ).
★ f(x)在(a,b)可导: x0 (a,b),f (x)在x0可导 f(x)在[a,b]可导: (1) f(x)在(a, b)可导; (2) f (a),f (b)存在.
则称函数
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y f (x)
在点x0处的导数,
记为y
x
x0
,
f
(
x
0
),
df (x dx
)
|x
x0
即
y
y
x x0
lim
x0
x
lim x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
或f
'(x0 )
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 ) x0
几何意义:
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f (x0 )
x0 ),f
(x0
)
0
例4 求y sinx在x 处的切线方程和法线方程.
6.可导与连续的关系
性质3.2 y f(x)在x0可导 f (x)在x0连续,反之未必.
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
因此,当f (x0 ) 0时,x0的某一去心邻域 O (x0 ) \ {x0 },是f (x) f (x0 ) 0
例7 设f(x)在[a,b]上连续,f(a) f(b) 0, f (a) 0, f (b) 0, 证 : f (x)在(a, b)内必有一根