空间角的计算
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
空间角的计算
空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。
题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。
3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
3.2.3空间的角的计算
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度 量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交 直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个 平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两 条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5
35.空间角的计算
§5.10空间角的计算【基础知识梳理】一. 异面直线所成的角1.过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线,''b a 与那么直线''b a 与所成的 的角，叫做异面直线a 与b 所成的角.2.设异面直线a 与b 的方向向量分别为m 和n ，则异面直线a 与b 所成的角=θ .3.异面直线所成角的范围是 . 二. 直线和平面所成的角1. 直线和平面所成的角是指 .2. 设直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n ，则直线a 和平面α所成的角=θ .3. 直线和平面所成角的范围是 .三. 平面与平面所成的角1.在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线 ， ， 则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角. 设 ， ，面角相等或互补.2. 二面角的平面角的范围是 .【基础知识检测】1. 直线1l 的方向向量()1,1v 1-=；直线2l 的方向向量()2,2v 2-=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C.相交但不垂直D.相交且垂直2. 若平面βα、的法向量分别为)6,6,3(v ),2,2,1(u --=-=，则 （ ） A. βα// B. β⊥α C. βα、，相交但不垂直 D. 以上均不正确.3. 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是)1,1,0(b ),1,0,1(a ==，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ） A.60 B.30 C.45 D.90NO.35【典型例题探究】题型1：(异面直线所成的角) 在正方体1111D C B A ABCD -中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值.变式训练： 长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=2a ，,a AA 1=E 、H 分别为111BBB A 和的中点，求EH 和AD 1所成角的余弦值.题型 2 ：（直线与平面所成的角）在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，AD//BC ，90BAD =∠，ABCD PA 底面⊥且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（Ⅰ）证明：；DM PB ⊥（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.变式训练：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．题型3： 在四面体P-ABC 中，ABC PC 平面⊥，AB=BC=CA=PC ，求二面角B-AP-C 的大小.变式训练：如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点．（1）证明：SO ⊥面ABC;(2)求二面角A SC B --的余弦值．【限时过关检测】 班级______ 学号______ 姓名______ 分数______一、选择题( 每小题9分 )1. 在正三棱柱111C B A ABC -中，若1BB 2AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 （ ）A. 60B. 90C. 105D. 752. 三棱锥P-ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC ∆的外心，PA=AB=1，BC=2，则PB 与底面ABC 所成角为（ ） A.60 B.30 C.45 D.903. 已知三条射线PA ，PB ，PC 两两夹角都是60，则二面角A-PB-C 的余弦值为（ ）A. 31 B. 36 C.23 D.33二、填空题( 每小题9分 )4.给出下列四个命题：① 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；OSBAC④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 .5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 三、解答题(17分+20分)6.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
空间的角求法
空间角求法湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算［例1］在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角. 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG ABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.。
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
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法向量的夹
角；
uur
n1
l
同进同出，
二面角等于 法向量夹角 的补角。
uur
n2
l
uur n1
ur uur
cos cos n1, n2
ur uur
cos cos n1, n2
uuur
uuur
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
uur
n2
ur uur
n1，unur2
n1
uur
n1
l
l
ur uur
ur uur
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向补角
例四： 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0)
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
Q AB1 BC1,
uuur AB1
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
简解：
z
A(0,0,0), A1(0, 0, 4),
A1
D1
N
D(0,8,0), M (5, 2, 4)
uuuur
B1 M
C1
uAuuMur (5, 2, 4),
A
A1D (0,8, 4),
B
uuuur uuuur AM gA1D＝0 A1D AM .
x
Dy
C
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角：
直线与平面所成角的范围：
[0,
]
A
2
思考：
B O
r
设平面的法向量为n，则
r uuur
n, BA 与的关系？
r n
A
r uuur n，BA
2
A
B
A1
设A平 Br1 面uu(Au1， urB0，11C)，的ArC法uu向u(r1，量1，0为)r nr (x，y，z) A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以 xx
z y
0 ，取x 0
=
1，
得y = z = -1，故nr = (1，-1，-1)，cos
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
uuur uuuur x uAuuFr1gBuuDu1ur
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
x y 2
z y
ur u2ur
的情况，二面角等于法向
任量取夹nu角ur2 (1, 2,1)
cos
ur n1,
uur n2
|
unr1gnu2ur n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
小结：
1.异面直线所成角：
cos
rr | cos a,b |
uuuur BC1
1 2
a2
则可设 a =1，b
b2
0 b 2 a
2
2
，则B(0,1,0)
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作CE BC1于E, DF BC于1 F，
F
则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
By
在 RtCC1B
x
nr，uBu1uCur1
01 0 1 3
3 3
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l, AB ,CD l,CD
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是
______ . 3. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, E为PC中点 ,
BAC 900 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a
r b
rr
a，b
|
r
ar
r rb
a，b
|
结论：
rr
| cos a,b |
例一：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
B
CA l
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b ,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
所以库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②法向量法
ur uur n1，n2
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
A D1
uuur uuur
B
r DC, AB 与的关r系？
AD (0,8, 0), A1D (0,8, 4), cos AD, A1D
C
25 5
AD与平面ANM所成角的正弦值是 2 5 所以~~~~
5
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面uAuurBu1uCur 所 uuuur成的角. z
设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位Cuu(正u1u，r1交，0)基，C底1 (， 1，u1u，可 u1r)，得则AuBu(1uC0u，r10， 0()， 0，B1，10(1)， ，0，1)，B1
a2 c2 b2 2 AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
2.直线与平面所成角： r uuur
sin | cos n, AB |
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
B
O r n
3.二面角：
B
A C l
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
uur
n2
一进一出， 二面角等于
uuur CD
(1,
1
,
0),
uuur SD
(0,
1
,
r1)
2
rx
A
Dy
设平面
2
uur
SCD的法向量n2
2
(面nx1,内方y,，向z)属朝, 于由面“外nuur2一，n进2 Cu方一uDu向出r,朝”nuur2
uuur SD, 得：
x y 2
yz 2
0 0
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1