空间角的计算
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
空间角的计算
空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。
题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。
3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
3.2.3空间的角的计算
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度 量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交 直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个 平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两 条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
35.空间角的计算
§5.10空间角的计算【基础知识梳理】一. 异面直线所成的角1.过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线,''b a 与那么直线''b a 与所成的 的角，叫做异面直线a 与b 所成的角.2.设异面直线a 与b 的方向向量分别为m 和n ，则异面直线a 与b 所成的角=θ .3.异面直线所成角的范围是 . 二. 直线和平面所成的角1. 直线和平面所成的角是指 .2. 设直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n ，则直线a 和平面α所成的角=θ .3. 直线和平面所成角的范围是 .三. 平面与平面所成的角1.在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线 ， ， 则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角. 设 ， ，面角相等或互补.2. 二面角的平面角的范围是 .【基础知识检测】1. 直线1l 的方向向量()1,1v 1-=；直线2l 的方向向量()2,2v 2-=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C.相交但不垂直D.相交且垂直2. 若平面βα、的法向量分别为)6,6,3(v ),2,2,1(u --=-=，则 （ ） A. βα// B. β⊥α C. βα、，相交但不垂直 D. 以上均不正确.3. 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是)1,1,0(b ),1,0,1(a ==，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ） A.60 B.30 C.45 D.90NO.35【典型例题探究】题型1：(异面直线所成的角) 在正方体1111D C B A ABCD -中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值.变式训练： 长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=2a ，,a AA 1=E 、H 分别为111BBB A 和的中点，求EH 和AD 1所成角的余弦值.题型 2 ：（直线与平面所成的角）在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，AD//BC ，90BAD =∠，ABCD PA 底面⊥且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（Ⅰ）证明：；DM PB ⊥（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.变式训练：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．题型3： 在四面体P-ABC 中，ABC PC 平面⊥，AB=BC=CA=PC ，求二面角B-AP-C 的大小.变式训练：如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点．（1）证明：SO ⊥面ABC;(2)求二面角A SC B --的余弦值．【限时过关检测】 班级______ 学号______ 姓名______ 分数______一、选择题( 每小题9分 )1. 在正三棱柱111C B A ABC -中，若1BB 2AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 （ ）A. 60B. 90C. 105D. 752. 三棱锥P-ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC ∆的外心，PA=AB=1，BC=2，则PB 与底面ABC 所成角为（ ） A.60 B.30 C.45 D.903. 已知三条射线PA ，PB ，PC 两两夹角都是60，则二面角A-PB-C 的余弦值为（ ）A. 31 B. 36 C.23 D.33二、填空题( 每小题9分 )4.给出下列四个命题：① 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；OSBAC④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 .5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 三、解答题(17分+20分)6.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
空间角的计算
D1
C1
y
D
C
0 1 0 3 B1C1 求得n = (1， -1， -1)， cos n， 1 3 3
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 . 3
三、面面角：
二面角的范围： [0, ]
①将二面角转化为分别在二面角的两个面内且垂直于二面 角的棱的两个向量的夹角.如图，设二面角 l 的大 小为 ，其中 l , AB , CD l , CD
2 n
O
A
n
O
B
B
结论：sin
| cos n, AB |
例2：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
空间的角的计算
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一.我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题.
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角. 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角.故我们研究线线角 ] 时，就主要求[0, 范围内的角；
y x 0 2 yz0 2
y x 2 z y 2
任取n2 (1,2,1)
典例分析
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
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精心整理
第五节空间角的计算
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
例1已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，
PA =
点，且PM 与
BD 例，
CD AB //，为PB
求直线变式，∠ABC＝120°，E 为线段AB 沿直线为线段A′C 的中点. 求FM 2=，PA =所成角的正弦值。
例3面外的
∠
DME=90
ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点 E.
（1）证明：CF ⊥平面ADF ；
（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. 变式2如图，在四棱锥BCDE A -中，平面
⊥ABC 平面
2=AC .
BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2，DE=BE=1，
4
6
8
1012
14
D
A
精心整理
B
（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小 课后练习：
1、如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
22
1
=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：AP //平面EFG ；
(Ⅱ)求二面角D EF G --的大小．
（III （IV 2、AE ,M 是AB (1)(2)求(3)求3所成二. (1)(2)(3)90=，
4、在AB =301B B C -
5、CA =，
点P （1（2。