空间角的计算
高一数学空间角的知识点
高一数学空间角的知识点在高一数学的学习中，我们会接触到许多重要的概念和知识点。
其中，空间角作为数学中的一个重要概念，起着非常关键的作用。
本文将通过对空间角的介绍和相关知识点的探讨，帮助读者深入理解和掌握高一数学中的空间角。
一、什么是空间角？空间角是指位于同一平面内的两条射线之间的夹角。
它可以用来描述物体的旋转或者两个线段之间的方向关系。
空间角的大小通常用角的弧度或者度数来表示。
在几何学中，我们通常使用度数来度量空间角。
二、空间角的计算方法计算空间角时，我们需要先确定两条射线的起始点、共同点和终点。
在具体计算时，可以借助坐标轴或者向量的方法来帮助我们进行求解。
下面通过几个具体的例子来说明空间角的计算方法。
1. 用坐标轴计算空间角假设有两条射线分别为AB和AC，我们可以在坐标轴上确定它们的位置。
设A点的坐标为(0,0,0)，B点的坐标为(x1,y1,z1)，C 点的坐标为(x2,y2,z2)。
首先计算向量AB和向量AC的点积，即(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)。
然后计算向量AB和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的点积公式cosθ =(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) / (|AB|·|AC|)。
2. 用向量计算空间角利用向量的方法，我们可以将空间角转化为向量间的夹角。
首先计算向量AB和向量AC的内积，即AB·AC。
然后计算向量AB 和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的内积公式cosθ = AB·AC / (|AB|·|AC|)。
三、空间角的性质空间角具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用空间角。
1. 空间角的值域空间角的值域为[-1, 1]。
当两条射线共线时，空间角等于0；当两条射线垂直时，空间角等于1或者-1，具体取决于旋转方向。
2. 空间角的加法公式空间角的加法公式是指当两个角相加时，结果等于新的角的余角。
空间角的计算
空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。
题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。
3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
3.2.3空间的角的计算
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度 量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交 直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个 平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两 条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
35.空间角的计算
§5.10空间角的计算【基础知识梳理】一. 异面直线所成的角1.过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线,''b a 与那么直线''b a 与所成的 的角，叫做异面直线a 与b 所成的角.2.设异面直线a 与b 的方向向量分别为m 和n ，则异面直线a 与b 所成的角=θ .3.异面直线所成角的范围是 . 二. 直线和平面所成的角1. 直线和平面所成的角是指 .2. 设直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n ，则直线a 和平面α所成的角=θ .3. 直线和平面所成角的范围是 .三. 平面与平面所成的角1.在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线 ， ， 则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角. 设 ， ，面角相等或互补.2. 二面角的平面角的范围是 .【基础知识检测】1. 直线1l 的方向向量()1,1v 1-=；直线2l 的方向向量()2,2v 2-=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C.相交但不垂直D.相交且垂直2. 若平面βα、的法向量分别为)6,6,3(v ),2,2,1(u --=-=，则 （ ） A. βα// B. β⊥α C. βα、，相交但不垂直 D. 以上均不正确.3. 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是)1,1,0(b ),1,0,1(a ==，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ） A.60 B.30 C.45 D.90NO.35【典型例题探究】题型1：(异面直线所成的角) 在正方体1111D C B A ABCD -中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值.变式训练： 长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=2a ，,a AA 1=E 、H 分别为111BBB A 和的中点，求EH 和AD 1所成角的余弦值.题型 2 ：（直线与平面所成的角）在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，AD//BC ，90BAD =∠，ABCD PA 底面⊥且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（Ⅰ）证明：；DM PB ⊥（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.变式训练：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．题型3： 在四面体P-ABC 中，ABC PC 平面⊥，AB=BC=CA=PC ，求二面角B-AP-C 的大小.变式训练：如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点．（1）证明：SO ⊥面ABC;(2)求二面角A SC B --的余弦值．【限时过关检测】 班级______ 学号______ 姓名______ 分数______一、选择题( 每小题9分 )1. 在正三棱柱111C B A ABC -中，若1BB 2AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 （ ）A. 60B. 90C. 105D. 752. 三棱锥P-ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC ∆的外心，PA=AB=1，BC=2，则PB 与底面ABC 所成角为（ ） A.60 B.30 C.45 D.903. 已知三条射线PA ，PB ，PC 两两夹角都是60，则二面角A-PB-C 的余弦值为（ ）A. 31 B. 36 C.23 D.33二、填空题( 每小题9分 )4.给出下列四个命题：① 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；OSBAC④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 .5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 三、解答题(17分+20分)6.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。
空间角的计算
D1
C1
y
D
C
0 1 0 3 B1C1 求得n = (1， -1， -1)， cos n， 1 3 3
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 . 3
三、面面角：
二面角的范围： [0, ]
①将二面角转化为分别在二面角的两个面内且垂直于二面 角的棱的两个向量的夹角.如图，设二面角 l 的大 小为 ，其中 l , AB , CD l , CD
2 n
O
A
n
O
B
B
结论：sin
| cos n, AB |
例2：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
空间的角的计算
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一.我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题.
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角. 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角.故我们研究线线角 ] 时，就主要求[0, 范围内的角；
y x 0 2 yz0 2
y x 2 z y 2
任取n2 (1,2,1)
典例分析
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
空间角计算
床坐标系的 X、Y、Z 轴分别旋转 A、B、C 后，与子坐标系 ML 方向一致。若绕 X、Y、Z
0 0 1 AM= 0 cos(A) sin(A) 0 − sin(A) cos(A)
绕 Y 轴旋转的变换矩阵 BM：
cos(B) 0 − sin(B) 1 0 BM= 0 sin(B) 0 cos(B)
空间角
Author：glocier
空间角是指将一个坐标系绕固定坐标系的 X、Y、Z 轴依次进行旋转，以使原坐标系 与固定坐标系重合。其中： 绕 X 轴旋转的角度记为 A； 绕 Y 轴旋转的角度记为 B； 绕 Z 轴旋转的角度记为 C。 注意旋转的先后顺序，必须是先绕 X 轴，然后绕 Y 轴，最后绕 Z 轴进行旋转。 在五轴定位加工中，建立主坐标系与机床坐标系方向一致，建立子坐标系以用于定轴 加工，此时需要将主坐标系经过旋转变换，与局部坐标系重合。其中，旋转变换的方式多 种多样，这里主要记述空间角的算法。
1 0 0 m0 记主坐标系为 MM = 0 1 0 ，子坐标系为 ML = m3 0 0 1 m 6
轴的变换矩阵记为：AM、BM、CM，则有： MM* AM* BM* CM =ML 绕 X 轴旋转的变换矩阵 AM：
m1 m4 m7
m2 m5 。主坐标系 MM 绕机 m8
绕 Z 轴旋转的变换矩阵 CM：
cos(C) sin(C) 0 CM= − sin(C) cos(C) 0 0 0 1
矩阵 AM、BM、CM 的点乘积为：
0 0 cos(B) 0 − sin(B) cos(C) sin(C) 0 1 1 0 − sin(C) cos(C) 0 AM* BM* CM= 0 cos(A) sin(A) 0 0 − sin(A) cos(A) sin(B) 0 cos(B) 0 0 1 0 − sin(B) cos(B) = sin(A) sin(B) cos(A) sin(A) cos(B) cos(A) sin(B) − sin(A) cos(A) cos(B) cos(C) sin(C) 0 − sin(C) cos(C) 0 0 0 1
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精心整理
第五节空间角的计算
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
例1已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o ，PA ⊥平面AC ，且2BC =，
1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值。
图形的画法位置转换一下呢？
小结：求异面直线所成角的方法：
变式如图，点P 是边长为1的正方形ABED 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，又PB EM 2
1//，求异面直线PM
与BD 所成角的余弦值；
例2如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面
ABCD ，
CD AB //，090=∠DAB ，1===DC AD PA ，2=AB ，M 为PB
的中点．
求直线CM 与平面PAC 所成角的余弦值． 小结：求斜线与平面所成角的方法： 变式1如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE ，使平面A′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A′C 的中点. 求FM 与平面A′DE 所成角的大小。
变式2已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o ，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，取PC 的中点M ，求直线DM 与平面PBD 所成角的正弦值。
例3如图，点P 是边长为1的正方形ABED
所在平面外的
一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，PB EM 2
1//，
且∠
DME=90°，求平面PDM 与平面ABED 所成角的余弦值。
小结：求二面角的方法：
变式1如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.
（1）证明：CF ⊥平面ADF ；
（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. 变式2如图，在四棱锥BCDE A -中，平面
⊥ABC 平面
2=AC .
BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2，DE=BE=1，
4
6
8
1012
14
D
C
B
A
E
M
B
P
D
A
M
C
B
P
A
D
E
M
B
P
A
M
A /
F E
D C
B
A E
D A
F
精心整理
（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小 课后练习：
1、如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
22
1
=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：AP //平面EFG ； (Ⅱ)求二面角D EF G --的大小．
（III （IV 2、AE ,M 是AB (1)(2)求(3)求3AC 所的中
点.
(1)(2)求(3)求90=o ，
4、在AB =1B B C -
5、CA =，
点P （1（2。