空间角的计算课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间向量与空间角、距离 课件
(1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小．
[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1. 又因为 AC＝12AA1，可得 DC21＋DC2＝CC12，所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1，且 BC⊥CC1，则 BC⊥平面 ACC1，所以 CA，CB，CC1 两两相互垂直．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
法向量．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量―A→B ；
(3)求平面的法向量 n；
―→
(4)计算：设线面角为
θ，则
sin
θ＝
|n·AB | ―→
.
|n|·| AB |
求二面角 [例 3] 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝12AA1， D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
空间向量与空间角、距离
[导入新知] 1．空间角及向量求法
角的分类 异面直线 所成的角
直线与平 面所成的 角
二面角
向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方 向向量为a，b，则cos θ
|a·b|
＝ |cos〈a，b〉|＝_|_a_||_b_|
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为
∵cos〈―P→B ，―D→B 〉＝|――PP→B→B|··|――DD→B→B |＝2
4 2×2
2＝12，
∴〈―P→B ，―D→B 〉＝π3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为π6.
[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1. 又因为 AC＝12AA1，可得 DC21＋DC2＝CC12，所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1，且 BC⊥CC1，则 BC⊥平面 ACC1，所以 CA，CB，CC1 两两相互垂直．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
法向量．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量―A→B ；
(3)求平面的法向量 n；
―→
(4)计算：设线面角为
θ，则
sin
θ＝
|n·AB | ―→
.
|n|·| AB |
求二面角 [例 3] 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝12AA1， D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
空间向量与空间角、距离
[导入新知] 1．空间角及向量求法
角的分类 异面直线 所成的角
直线与平 面所成的 角
二面角
向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方 向向量为a，b，则cos θ
|a·b|
＝ |cos〈a，b〉|＝_|_a_||_b_|
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为
∵cos〈―P→B ，―D→B 〉＝|――PP→B→B|··|――DD→B→B |＝2
4 2×2
2＝12，
∴〈―P→B ，―D→B 〉＝π3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为π6.
《角的度量》PPT课件
03
CHAPTER
角的度量方法
量角器的使用
量角器的构造
量角器是一种测量角度的专用工具， 由半圆形或圆形的刻度盘和固定臂组 成，刻度盘上标有度数。
使用方法
将量角器的中心与角的顶点重合，固 定臂与角的一条边重合，另一条边所 对的量角器上的刻度就是这个角的度 数。
角度的测量与标注
角度的概念
两条射线或线段相交于一点所形 成的夹角，通常用度数来表示。
《角的度量》PPT课件
汇报人： 2023-12-23
目录
CONTENTS
• 角的定义与分类 • 角的度量单位与换算 • 角的度量方法 • 角的应用举例 • 角的度量误差分析 • 拓展知识：角的高级应用
01
CHAPTER
角的定义与分类
角的定义
01
角是由两条射线共享一个端点所 形成的几何图形。
02
04
CHAPTER
角的应用举例
几何图形中的角
角度与边长关系
多边形的内角和与外角和
在直角三角形中，角度与边长之间满 足正弦、余弦、正切等三角函数关系 。
多边形的内角和等于（n-2）×180°， 外角和等于360°。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线将一个角分为两个相等的 小角，而垂直平分线则垂直平分一条 线段。
误差对测量结果的影响
误差导致测量结果不准确
由于误差的存在，测量结果可能会偏离真实值，影响对角度大小 的判断。
误差累积可能导致严重后果
在需要高精度测量的场合，误差的累积可能会导致严重的后果，如 建筑设计中的角度偏差可能导致结构不稳定等问题。
对科学研究的影响
在科学研究中，准确的测量结果是得出正确结论的基础。误差的存 在可能会影响研究结果的准确性和可靠性。
《空间角与距离》课件
《空间角与距离》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探讨空间角与距离的概念、度量方法和应用。这些 是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程和计算机等领域有着重要的 意义。
空间角的概念
1 夹角定义
空间中两个射线之间的夹角被称为空间角。
2 计算方法
3 度量单位
空间角可以通过向量的内积和模长求得。
空间角的大小通常用弧度制来表示。
不同距离的应用
欧几里得距离
广泛应用于几何问题中的距离 计算，例如点之间的最短路径。
曼哈顿距离
常用于衡量城市街道间的距离， 尤其在导航和路径规划中得到 广泛应用。
向量的模长
被用于求解向量之间的距离， 例如判断两个向量的相似程度。
结语
空间角与距离的概念与应用是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程、计算机等领域都有着重要的意义。 掌握这些概念将有助于深入理解和解决相关问题。
空间角的度量方法
球面角
用于度量球面上两条射线之间的夹角。
平面角
用于度量平面上两条射线之间的夹角。
二面角
用于度量空间中两个平面的夹角。
空间中的距离
1Hale Waihona Puke 欧几里得距离用于测量空间中两点之间 的直线距离。
2 向量的模长
用于计算向量的长度，也 可以看作是起点与终点之 间的欧几里得距离。
3 曼哈顿距离
用于衡量城市街道等不规 则环境下的距离。
在这个PPT课件中，我们将探讨空间角与距离的概念、度量方法和应用。这些 是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程和计算机等领域有着重要的 意义。
空间角的概念
1 夹角定义
空间中两个射线之间的夹角被称为空间角。
2 计算方法
3 度量单位
空间角可以通过向量的内积和模长求得。
空间角的大小通常用弧度制来表示。
不同距离的应用
欧几里得距离
广泛应用于几何问题中的距离 计算，例如点之间的最短路径。
曼哈顿距离
常用于衡量城市街道间的距离， 尤其在导航和路径规划中得到 广泛应用。
向量的模长
被用于求解向量之间的距离， 例如判断两个向量的相似程度。
结语
空间角与距离的概念与应用是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程、计算机等领域都有着重要的意义。 掌握这些概念将有助于深入理解和解决相关问题。
空间角的度量方法
球面角
用于度量球面上两条射线之间的夹角。
平面角
用于度量平面上两条射线之间的夹角。
二面角
用于度量空间中两个平面的夹角。
空间中的距离
1Hale Waihona Puke 欧几里得距离用于测量空间中两点之间 的直线距离。
2 向量的模长
用于计算向量的长度，也 可以看作是起点与终点之 间的欧几里得距离。
3 曼哈顿距离
用于衡量城市街道等不规 则环境下的距离。
空间角-课件
在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
返回
课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
高三数学二轮复习专题空间角与距离的计算与证明公开课一等奖课件省赛课获奖课件
最小值是_______.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
最小值是_______.
[简评] 线段AB、CD的中点连线即 为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异 面直线AB、CD的距离.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
[长郡演习]
B组
[长郡演习]
B组
1. 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD， PA=AB=1，BC=2. 求证：
(1) 平面PDC⊥平面PAD；
(2) 若E是PD的中点，求异面直线AE 与PC所成角的余弦；
(3) 在BC边上与否存在一点G，使得 D点到平面PAG的距离为1，如果存在， 求出BG的值，如果不存在，阐明理由.
D1
C1
A1
B1
E
F A
D O
C B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
正方体中
中，O是底
面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
的中点. 那么异面直线OE和 所成的
角的余弦值等于 ( )
D1
C1
A1
B1
E
D
C
[解析] 运用空
F
O
间向量求解较简便. A
B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
[解析] △EFG中，∠EFG=60° 或120°，则EG=2或 .
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
最小值是_______.
[简评] 线段AB、CD的中点连线即 为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异 面直线AB、CD的距离.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
[长郡演习]
B组
[长郡演习]
B组
1. 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD， PA=AB=1，BC=2. 求证：
(1) 平面PDC⊥平面PAD；
(2) 若E是PD的中点，求异面直线AE 与PC所成角的余弦；
(3) 在BC边上与否存在一点G，使得 D点到平面PAG的距离为1，如果存在， 求出BG的值，如果不存在，阐明理由.
D1
C1
A1
B1
E
F A
D O
C B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
正方体中
中，O是底
面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
的中点. 那么异面直线OE和 所成的
角的余弦值等于 ( )
D1
C1
A1
B1
E
D
C
[解析] 运用空
F
O
间向量求解较简便. A
B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
[解析] △EFG中，∠EFG=60° 或120°，则EG=2或 .
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.