空间角及其计算

第52讲 空间角及其计算
1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BDD 1B 1所成的角为(A)
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
取B 1D 1的中点E ，连接C 1E ，BE ，
因为C 1E ⊥平面BDD 1B 1，所以∠C 1BE 即为所求角θ. 因为sin θ＝2
22＝1
2
，所以θ＝30°，选A.
2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B) A ．3 B ．6
C ．9
D ．18
棱锥的底面对角线长为2×23cos 60°＝23，高为23sin 60°＝3，设底面边长为
a ，则2a ＝23，所以a ＝6，
所以底面面积为a 2＝6，
所以其体积V ＝1
3
×6×3＝6，所以选B.
3．已知二面角α-l -β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成
的角为(B)
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
4．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π
6
.过A 、B
分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′＝(B)
A. 4 B ．6 C
．8 D ．9
连接AB ′，设AB ＝a ，可得AB 与平面α所成的角为∠BAB ′＝π
4
，在Rt △BAB ′
中，有AB ′＝2
2
a .
同理可得AB 与平面β所成的角为∠ABA ′＝π
6
，
所以A ′A ＝1
2
a .
因此在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝
(
22a )2－(12a )2＝12
a ， 因为AB ＝12，所以A ′B ′＝6，故选B.
5．长为2a 的线段AB 在平面α内的射影线段A 1
B 1的长为a ，则直线AB 与平面α所成
的角的大小为 60° .
设直线AB 与平面α所成的角为θ，则cos θ＝a 2a ＝1
2
，则θ＝60°.
6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 36
.
如图，O 为底面正△ABC 的中心，则OP ⊥平面ABC ，∠PCO 即为所求角，
设AB ＝1，
则PC ＝2，OC ＝
33， 所以cos ∠PCO ＝OC PC ＝3
6.
7．(2017·天津卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.
(1)求异面直线AP 与BC (2)求证：PD ⊥平面PBC ；
(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
(1)如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．
因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .
在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，
故cos ∠DAP ＝AD AP ＝5
5
.
所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
55
. (2)证明：由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .
(3)过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．
由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1. 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2. 又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC . 在Rt △DCF 中，可得DF ＝
CD 2＋CF 2＝25，
在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝5
5
.
所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55
.
8．(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1
的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为(C)
A. 110
B. 25
C. 3010
D. 22
取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，
由于MN 綊1
2
B 1
C 1綊B
D ，因此ND 綊BM ，
则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角． 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5， 因此，cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝30
10.
9．已知正四面体A -BCD 的棱长为a .
(1)AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为
3
3 ； (2)二面角A -BD -C 的平面角的余弦值为 1
3 .
设A 在底面BCD 上的射影为O ，连接OA ，连接OC 并延长与BD 相交于E ，连
接AE .
(1)因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ACO 就是AC 与平面BCD 所成的角． 因为△BCD 是正三角形， 所以O 是△BCD 的中心．
在Rt △AOC 中，OC ＝23×32a ＝3
3a ，
所以cos ∠ACO ＝OC AC ＝3
3.
所以AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33
. (2)因为四面体A -BCD 为正四面体， 所以△BCD 和△ABD 都为正三角形， 所以OE ⊥BD 且AE ⊥BD ，
所以∠AEO 为二面角A -BD -C 的平面角，
所以OE ＝13×32a ＝3a 6，AE ＝3
2
a ，
所以cos ∠AEO ＝OE AE ＝1
3.
所以二面角A -BD -C 的平面角的余弦值为1
3
.
10．如图，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，且PC ＝a ，E 为P A 的中点．
(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ； (2)求PB 与平面P AC 所成角的正弦值； (3)求二面角D -P A -B 的平面角的余弦值．
(1)证明：设AC 交BD 于O ，连接OE ，因为O 是AC 的中点，E 是P A 的中点，
所以OE ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD ，
因为OE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD . (2)连接OP ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PC ， PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面P AC ， 所以OP 是BP 在平面P AC 上的射影， 所以∠BPO 即为所求角．
在Rt △BPO 中，OB ＝
3
2a ，PB ＝2a ， 所以sin ∠BPO ＝OB PB ＝6
4.
所以PB 与平面P AC 所成角的正弦值为
64
. (3)过D 作DF ⊥P A 于F ，连接BF ，由(2)知BD ⊥P A ， DF ∩BD ＝D ，所以P A ⊥平面BFD ，BF ⊂平面BFD ， 所以P A ⊥BF ，
所以∠DFB 即是所求二面角的平面角． 在△DFB 中，可考虑用余弦定理求∠DFB . 因为PD ＝P A ＝2a ，
取AD 的中点G ，连接PG ，则PG ⊥AD ， PG ＝
PD 2－DG 2＝
72
a ， 由等面积法知AD ×PG ＝P A ×DF ， 得DF ＝a ×72a
2a
＝14
4a ，
BF ＝DF ＝14
4
a ，BD ＝3a ，
所以cos ∠DFB ＝1416a 2＋1416a 2
－3a 22×1416a 2
＝－5
7.
所以二面角D -P A -B 的平面角的余弦值为－5
7
.。