2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似多边形》单元同步练习及答案.docx

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2019秋浙教版数学九年级上册同步测试题：4.6 相似多边形

4．6相似多边形知识点1.图形的相似1．“相似的图形”是(A)A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同．知识点2.相似多边形的概念与性质2．[2018秋·福田区校级月考]下列说法中不正确的是(D)A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比3．[2018秋·东区校级月考]两个相似六边形的相似比为3∶5，它们周长的差是24 cm，那么较大的六边形周长为(C)A．40 cm B．50 cmC．60 cm D．70 cm【解析】由题意，可设较小六边形的周长为3x，则较大六边形的周长为5x，则有5x－3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.4．[2017秋·滨湖区期末]已知A4纸的宽度为21 cm ，如图1对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( C )图1A ．24.8 cmB ．26.7 cmC ．29.7 cmD ．无法确定【解析】设A4纸的高度为x cm ，则对折后的矩形的高度为x 2，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴21x 2＝x 21，解得x ＝212≈29.7 cm ，即A4纸的高度约为29.7 cm.5．[2017秋·鼓楼区期末]四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，它们的面积比为9∶4，四边形ABCD 的周长是24，则四边形A 1B 1C 1D 1的周长为__16__．【解析】设四边形A 1B 1C 1D 1的周长为x ，∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1的面积比为9∶4，∴它们的周长比为3∶2，∴24∶x ＝3∶2，解得x ＝16.6．把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x 为．【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x ＝x 6，解得x ＝23(负值舍去)．图2 图3 7．[2017秋·徐汇区校级月考]如图3，已知矩形ABCD 中，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD 相似，则AD ＝．【解析】设AD ＝x ，∵AB ＝2，则FD ＝x －2，FE ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，∴2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，经检验x 1＝1＋5是原方程的解，∴AD ＝1＋ 5.8．[2018秋·太原期中]如图4，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且EF ⊥BC ，若矩形ABFE ∽矩形DEFC ，且相似比为1∶2，求AD 的长．图4解：∵矩形ABFE ∽矩形DEFC ，且相似比为1∶2，∴AB DE ＝AE DC ＝12，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝4，∴4DE ＝AE 4＝12，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE ＋DE ＝2＋8＝10.易错点：对相似图形的概念理解不透．9．[2017秋·泰兴校级月考]如图5，矩形A ′B ′C ′D ′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A ′B ′，AD ∥A ′D ′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′，CD 与C ′D ′，DA 与D ′A ′之间的距离分别为a ，b ，c ，d .(1)若a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似吗？为什么？(2)若矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ，a ，b ，c ，d 应满足什么等量关系？请说明理由．图5解：(1)不相似，理由如下：∵AD A ′D ′＝128＝32≠AB A ′B ′＝62＝3，∴不相似；(2)要使矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ，就要ADA′D′＝ABA′B′，即1212－a－c＝66－d－b，可得2d＋2b＝a＋c.。

2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似三角形的性质及应用》同步练习1及答案.docx

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2，即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《两个三角形相似的判定》同步练习2及答案.docx

4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D)(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F.如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B)A. 25B. 35C. 23D. 53(第3题) (第4题)4．如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为(C)A. 154B. 7C. 152D. 2455．如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线交于点E ，作BP ∥DF ，与AD 交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP ∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A.已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD ＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题)【解】结论：△AEC∽△ACD.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD.10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC的值为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶3(第10题)【解】如解图，连结BD ，交AC 于点O.(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO. 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶BC. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶BC. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3.由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ，∴BN ＝5 3－3t.当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15.(2)分两种情况： ①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157.综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t10，解得MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×53－12(53－3t)×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38cm 2.13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°.在△A ′B ′C ′中，∠C ′＝90°， A ′C ′＝B ′C ′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC 所分成的两个三角形与△A ′B ′C ′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)。

浙教版九年级数学同步训练(39)第四章相似三角形相似多边形(word版附答案)

浙教版九年级数学同步训练（39）第四章相似三角形相似多边形（word版附答案）4.6 相似多边形1.以下多边形中，一定相似的是〔 D 〕A.两个平行四边形B.两个菱形C.两个矩形D.两个正方形2.两个相似多边形的一组对应边区分是3cm 和 4.5cm ，假设它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是〔 D 〕A.44.8cm2B.42cm2C.52cm2D.54cm23.如下图的三个矩形中，相似的是〔 B 〕A.甲与乙B.乙与丙C.甲与丙D.甲、乙、丙都相似4.如下图的两个四边形相似，那么∠α等于〔 A 〕A.87°B.60°C.75°D.120°5.如下图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，那么AD 等于〔 A 〕A.2B.2.4C.2.5D.36.以下说法中，正确的选项是(C)A．一切的等腰三角形都相似B．一切的矩形都相似C．一切的正六边形都相似D．一切的等腰梯形都相似111，那么边长增加为原来的(B)7．把一个多边形改成和它相似的多边形，假设面积增加为原来的31 3A.3B. 3C. 3D．38．四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，且点A 与A1，B 与B1，C 与C1 是对应点，AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，那么四边形A1B1C1D1 的周长为38．9．两个相似多边形的一组对应边区分为3 cm 和4.5 cm，假设它们的面积之和为130 cm2，那么较小的那个多边形的面积是40cm2.10．如图，在一个长8 cm，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影局部)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为8cm2.11.假定两个相似多边形的面积比是16∶25，那么它们的相似比等于4∶5 .12.一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，那么它的最大边长为20 cm.13.如下图，将一根铁丝分红两段，区分围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1∶4，其中小五边形的边长为〔x2-4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕.求这根铁丝的总长.【解析】∵两个五边形相似，面积比是1∶4，∴相似比为1∶2.由题意得2〔x2-4〕=x2+2x，整理得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2〔舍去〕.∴铁丝长为12×5+24×5=180〔cm〕.14.如下图，矩形ABCD 能分红三个全等的小矩形，且每个小矩形都与矩形ABCD 相似，AD=1，求AB 的长.【解析】∵三个小矩形全等，∴DE=DC.∵每个小矩形都与矩形ABCD 相似，∴= ，即AB2=1，解得AB= ．∴AB 的长为．15.如下图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的外部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是〔 B 〕A. B. C. D.16.一个矩形ABCD 的较短边长为2.〔1〕如图1 所示，假设沿较长边对折后失掉的矩形与原矩形相似，那么矩形ABCD 的另一边长为2 .〔2〕如图2 所示，矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，那么余下的矩形EFDC 的面积为 2 .图1 图2【解析】〔1〕设它的另一边长为 2x ，那么 AM=DM=x.∵矩形 ABNM 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 x=. ∴矩形 ABCD 的另一边长为 2. 〔2〕设 DF=a.∵余下的矩形 EFDC 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 DF=1.∴矩形 EFDC 的面积为 2×1=2.17.如下图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，取 BC 边中点 E ，作 ED ∥AB ，EF ∥AC ，失掉四边形 EDAF ，它的面积记做 S1.取 BE 中点 E1，作 E 1D 1∥FB ，E1F1∥EF ，失掉四边形 E1D1FF1，它的面积记做 S2，照此规律作下去，那么 S 2021= 〔〕2021 .【解析】∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S =1×2×2=2. ∵点 E 为 BC 的点，ED ∥AB ，∴=〔〕2= 1 1，∴S =1.∴S △CDE =2.同理可得 S △BEF =21 ∵E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1 为 BE 中点，1 ∴四边形 E 1D 1FF 1 与四边形 EDAF 相似，相似比为 .∴=〔〕2= .∴S 2= .. 同理可得 S 3=〔〕2. 由此规律可得 S 2021=〔〕2021．18.如下图，矩形 ABCD 的长 AB=30，宽 BC=20.〔1〕如图 1 所示，假定矩形 ABCD 内周围有宽为 1 的方形区域，图中所构成的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′ 相似吗？请说明理由.〔2〕如图 2 所示，当 x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′相似？图1 图2【解析】〔1〕不相似.理由：∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似.〔2〕假定矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，那么=，∴①= 或②=，解①得x=1.5，解②得x=9．∴当x=1.5 或9 时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.19.如下图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD 区分为它们的最短边，点F 在AB 上，且3AE=2AD.〔1〕矩形ABCD 的面积为450cm2，求矩形AEFG 的面积.〔2〕求证：∠1=∠2.【解析】〔1〕∵3AE=2AD，∴= .∵矩形AGFE∽矩形ABCD∴相似比为= .∴面积的比为..∵矩形ABCD 的面积为450cm2，∴四边形AEFG 的面积为200cm2.〔2〕∵矩形AGFE∽矩形ABCD，∴∠DAB=∠EAG=90°，AE∶AD=AG∶AB.∴∠DAE+∠EAF=∠GAB+∠EAF.∴∠DAE=∠GAB.∵AE∶AD=AG∶AB，∴△ADE∽△ABG.∴∠1=∠2.20.菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1 相交于点O，以点O 为坐标原点，区分以OA1，OB1 所在直线为x 轴，y 轴，树立如下图的直角坐标系，以B1D1 为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2 为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上失掉点A1，A2，A3，…，A n，那么点A n 的坐标为(3n－1，0)．【解】∵菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，∴∠A1B1O＝30°，∴OA1＝1，OB1＝3，∴点A1(1，0)．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A2O＝30°，∴OA2＝3OB1＝3，∴点A2(3，0)．同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……∴点A n(3n－1，0)．21．过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土空中积大约是乙庄主的4 倍，土地的外形都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：〝我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h，绕你的土地跑一周3.5 h 足够．〞甲庄主不信，说：〝假设你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你；假设你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．〞乙庄主说：〝一言为定．〞然后就催马而去．你以为谁是成功者？【解】把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1，所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2 倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只需1.5×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h，所以乙庄主是成功者．22.在长为3、宽为1 的大矩形内不堆叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.〔1〕按如图1 所示放置时，两个小矩形的周长和〔两个小矩形堆叠的边要重复计算〕为163〔2〕怎样放置才干使两个小矩形的周长和最大？在图2 中画出图形，其最大值为88/9. 图1 图2【解析】〔1〕设小矩形的宽为x.∵小矩形与大矩形相似，∴= ，解得x= .∴两个小矩形周长和为2×2〔1+ 〕= .〔2〕两个矩形的放置方式有如下几种:①如答图1 所示，两个小矩形都〝竖放〞，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长区分为1 和，周长和的最大值为.图1②两个小矩形都〝横放〞，有如下两种状况，如答图2，图3 所示.图2图3这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2〔a+3a〕+2［1-a+3〔1-a〕］=8.③两个小矩形一个〝横放〞，一个〝竖放〞，如答图4 所示.这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2×(1+ )+2×图4〔第16 题答图〕∴如答图4 所示为所求，此时最大值为。

浙教版九年级上《4.6相似多边形》同步导学练(含答案)

4.6 相似多边形对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为(D).A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶52.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A).A. B. C. D.3.下列说法中，错误的是(C).A.等边三角形都相似B.等腰直角三角形都相似C.矩形都相似D.正方形都相似4.如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为(C).A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶2（第4题）（第5题）5.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于(B).A.215-B.215+C.3D.26.如图所示，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=120°，∠B=85°，∠C1=75°，AB=10，A1B1=16，CD=18，则∠D1= 80°，C1D1= 28.8 ，它们的相似比为 5∶8 ．（第6题）（第7题）（第8题）7.如图所示，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连结OA，OB，OC，OD的中点得四边形A1B1C1D1，顺次连结OA1，OB1，OC1，OD1的中点得四边形A2B2C2D2……依此作下去，得四边形AnBnCnDn ，则四边形AnBnCnDn 的周长为n 29 cm ，面积为1229+n cm 2.（用含n 的代数式表示） 8.如图所示，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC 上有两点E 和F （点E 在点F 的左侧），若要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE 的长为 3 .（第9题）9.如图所示，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连结EB ，GD ．（1）求证：EB=GD ．（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=3，求GD 的长．【答案】(1)∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB.∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD.∴EB=GD.(2)如答图所示，连结BD 交AC 于点P ，则BP⊥AC.（第9题答图） ∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°.∴BP=21AB=1，AP=22BP AB -=3.∵AE=AG=3，∴EP=23.∴EB=22BP EP +=13.∴GD=13.10.如图所示，矩形ABCD 的面积是72，点E 在BC 上，点F 在DC 上，且DF=21AB ，BE=21AD ，则矩形ECFG 的面积是(C ).A.9B.12C.18D.24 （第10题）（第11题）11.如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，则ADAB 等于(B ).A. 215-B. 22 C. 2 D.2 12.如图所示，连结正五边形的各条对角线AD ，AC ，BE ，BD ，CE ，有下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM ∽五边形ABCDE ；③AN 2=AM·AD.其中正确的是(D ).A.①②B.①③C.②③D.①②③（第12题）（第13题）13.一块矩形绸布的宽AB=a （m ），长AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的n 面矩形彩旗，若使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则a 的值为nn . 14.如图1所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=CB=a ，∠A=60°.取AB 的中点A1，连结A1C ，再分别取A1C ，BC 的中点D1，C1，连结D1C1，如图2所示.取A1B 的中点A2，连结A2C1，再分别取A2C1，BC1的中点D2，C2，连结D2C2，如图3所示……如此进行下去，则线段DnCn 的长度为na 2 . 图1 图2 图3（第14题）15.如图所示，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD=12，AB=6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d.（1）当a=b=c=d=2时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？（2）若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，则a ，b ，c ，d 应满足怎样的等量关系？请说明理由.（第15题）【答案】(1)不相似.理由如下：∵，∴ .∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 不相似.(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，就要，即c a --1212=b d --66 可得a+c=2b+2d.∴当a+c=2b+2d 时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.16.【葫芦岛】如图所示，在矩形ABCD 中，AD=2，CD=1，连结AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB1C1C ，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C 的相似矩形AB2C2C1……按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为 5n2的面积为 1225 n n. （第16题）（第17题）17.【成都】已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O ，以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An ，则点An 的坐标为 (3n-1,0) .18.数学学习小组在学过相似图形的知识这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如我们可以定义：长和宽之比相等的矩形是相似矩形；相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方等.请你参与这个学习小组，一同探索这类问题.（1）写出判定菱形相似的一种判定方法．（2）如图所示，将菱形ABCD 沿着直线AC 向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE 是菱形，且菱形ABCD ∽菱形A′FCE．（3）若AC=2，菱形A′FCE 的面积是菱形ABCD 面积的一半，求平移的距离AA′的长．（第18题）【答案】(1)若两个菱形有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似.(2)∵AD∥A′E∥FC，AB∥A′F∥EC，∴四边形A′FCE 为平行四边形，△CEA′∽△CDA, △CFA′∽△CBA.∴.∵AD=AB,∴EA′=FA′.∴四边形A′FCE 为菱形.∵∠EA′F=∠DAB,∴菱形A′FCE ∽菱形ABCD.(3)∵菱形ABCD ∽菱形A′FCE，菱形A′FCE 的面积是菱形ABCD 面积的一半，∴菱形ABC 与菱形A′FCE 的面积比为2∶1.∴对应边之比为2∶1，即AC ∶A′C=2∶1.∵AC=2，∴A′C=1.∴AA′=2-1.。

浙教版数学(九上)同步提高第4章 4.6 相似多边形(原卷版)有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯相似多边形知识讲解1.相似多边形(1)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．(2)相似多边形的对应边的比叫做相似比．2.相似多边形的性质相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．典型例题例1：已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.求证：四边形ABCD⊥四边形EBFO.同步练习一、选择题1.在下列几个命题中，正确的有()⊥四条边相等的四边形都相似；⊥四个角都相等的四边形都相似；⊥三条边相等的三角形都相似；⊥所有的正十二边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个2.将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是()A．新三角形与原三角形相似B．新矩形与原矩形相似C．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都相似D．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都不相似3.（2019秋•嘉兴期末）下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似4.如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推．若各种开本的矩形都相似，那么ABMN等于()A．0.618 B．22C． 2 D．25.已知四边形ABCD⊥四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：46.（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积（）A．9cm2B．16cm2C．56cm2D．24cm27.（2020春•广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（）A．2：1B．4：1C．√2：1D．1：28.（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（）A．⊥D＝81°B．⊥F＝83°C．⊥G＝78°D．⊥H＝91°9.（2019秋•巴州区校级期中）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．1080元C．720元D．2160元10.如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：⊥⊥AME＝108°；⊥五边形PFQNM⊥五边形ABCDE；⊥AN2＝AM•AD，其中正确的是（）A．⊥⊥B．⊥⊥C．⊥⊥D．⊥⊥⊥二、填空题1.四边形ABCD⊥四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9⊥4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为____．2.把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为____．3.如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将⊥ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝____．4.（2019秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则⊥α的度数是．5.（2019春•张店区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为．三、解答题1.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．3.（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若⊥BPQ与⊥ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．4.（2019秋•雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在⊥ABC中，⊥A＝40°，⊥B＝60°，当⊥BCD＝40°时，CD为⊥ABC的完美分割线；（2）如图2，⊥ABC中，AC＝2，BC=√2，CD是⊥ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．5.【核心素养题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3；…；这样继续下去．求图中的四边形A8B8C8D8的周长和四边形A9B9C9D9的面积．。

九年级数学上册4.6相似多边形同步练习(新版)浙教版【含解析】

17. 五边形��∽五边形��ʹ��ʹ��ʹ��ʹ��ʹ， ∠�� = 120∘ ， ∠��ʹ = 130∘ ， ∠�� = 105∘ ， ∠��ʹ = 85∘ ，则 ∠�� = ． 18. 把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的 “开纸”．现在我们在长为 2√2 、宽为 1 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是． 19. 如图，�� 是矩形 �� 内的任意一点，连接 ��，��，�� ，��，得到 △ ��，△ �� ，△ �� ， △ ��，设它们的面积分别是 ��1 ，��2 ，��3 ，��4 ．给出如下结论：① ��1 + ��4 = ��2 + ��3 ；② ��2 + ��4 = ��1 + ��3 ；③ 若 ��3 = 2��1 ，则 ��4 = 2��2 ；④ 若 ��1 = ��2 ，则 �� 点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
2. 下列图形中不具有相似关系的是 (

最新2019-2020年度浙教版九年级数学上册《相似三角形》同步检测题及答案解析-精编试题

第4章相似三角形检测题【本检测题满分100分，时间90分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( )A. B. C. ∠ ∠ D. ∠ ∠2. （ 015·南京中考）如图，在△ 中， ∥ ,12AD DB =,则下列结论中正确的是（）A.12AE AC = B.12DE BC = C.的周长的周长1D .的面积的面积13.已知四条线段，，，是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（） A ．B.b ad b c a =++ C. d bc bd a -=-D ．2222dc b a =4. 若把△ABC 的各边扩大到原来的3倍后，得△ ′ ′ ′，则下列结论错误的是（） A ．△ABC ∽△ ′ ′ ′ B ．△ABC 与△ ′ ′ ′的相似比为1C ．△ABC 与△ ′ ′ ′的对应角相等D ．△ABC 与△ ′ ′ ′的相似比为15.若875cb a ==，且－，则－的值是（）第1题图第2题图A.14B.42C.7D.314 6.如图，已知 // ， // ，、分别交于点、，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对第7题图7. （2015·浙江舟山中考）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C;直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.1B.2C.5D.58.如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积.然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（）A.91()44B.101()44C.91()42D.101()42⨯ 9.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm10.（陕西中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）第8二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，在△ 中， ∥ ,23DE BC ,△ 的面积为8，则△ 的面积为 . 第11题图12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．13.将三角形纸片（△ ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ 相似，那么BF 的长度是．14. （ 015·兰州中考）如果=k( + +f≠0)，且a+c+e=3(b+d+f)，那么k ＝ . 15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得AB=1.2 m ，BP=1.8 m ，PD=12 m ，那么该古城墙的高度是_____.16.已知五边形 ∽五边形 ′ ′ ′ ′ ′，∠A=120°，∠ ′=130°,∠C=105°,∠ ′=85°,则∠E= .17. (2015·浙江湖州中考)已知正方形 1 1的边长为1，延长 1 1到 1，以 1 1为边向右作正方形 1 1 ，延长到，以为边向右作正方形 (如下图所示)，以此类推…若 1 1=2，且点A, , ,…, 10都在同一直线上，则正方形 10 10的边长是 .18.如图，△ 三个顶点的坐标分别为，，，0 ，，，以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为1 ，则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.三、解答题（共46分）19.(6分)如图，在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC ∆（顶点是网格线的交点）.（1）将ABC ∆向上平移3个单位得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；（2）请画出一个格点222A B C ∆，使222A B C ∆∽ABC ∆，且相似比不为1.20.（6分）(2015·宁波中考节选)如图①，点P 为∠ O 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM,ON 交于A,B 两点，如果∠ P 绕点P 旋转时始终满足O · ，我们就把∠ P 叫做∠ O 的智慧角．如图②，已知∠ O = 0°，点P 为∠ O 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM,ON 交于A,B 两点，且∠ P =1 5°．求证：∠ P 是∠ O 的智慧角．图②第20题图AE DFCG第21题图21.（6分）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，， 41，连接并延长交的延长线于点（1）求证：ABE DEF △∽△；（2）若正方形的边长为4，求的长．22.（6分）如图，在 ×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O 为位似中心，在网格图中作△ ′ ′ ′和△ 位似，且位似比为12；（2）连接（1）中的 ′,求四边形 ′ ′ 的周长（结果保留根号）.23.（6分）已知：如图所示，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，AB=6，AE ∶EC=2∶1，求S 四边形AFEG ．24.（8分）（2015·浙江丽水中考）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接CF 并延长交AB 于点M ， ⊥ 交射线AD 于点N. （1）当F 为BE 的中点时，求证：AM=CE ；（2）若2==BF EFBC AB ，求NDAN 的值；（3）若n BFEF BC AB ==，当n 为何值时， ∥ ？第24题图25.（8分）（2014·呼和浩特中考）如图，已知反比例函数k y x=（0x >，k 是常数）的图象经过点A （1，4），点B （m ，n ），其中m ＞1，AM ⊥x 轴，垂足为M ，BN ⊥y 轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C. （1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ ∽△ O ；（3）若△ 与△ O 的相似比为2，求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式.第4章相似三角形检测题参考答案1. B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B 正确.2. C 解析：11,23AD AD DB AB =∴=.1,3AE DE AD DE BC AC BC AB ∴===∥, 故选项A 、B 错误；∵ DE ∥BC,∴ △ADE ∽△ABC,且相似比为1,3AD AB =∴，21139⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选项C 正确，选项D 错误. 3.C 解析：由比例的基本性质知A 、B 、D 项都正确，C 项不正确.4. B 解析：A.因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，正确；B.可知△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为，错误；C.因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以△ABC 与△A ′B ′C ′的对应角相等，正确；D.因为相似比即是对应边的比，所以△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为，正确．故选B ． 5.D 解析：设x cb a ===875，则所以所以314. 6.C 解析：△∽△∽△∽△.7. D 解析：因为l 1∥l 2∥l 3，所以.因为AG=2，GB=1，所以AB=3.又BC=5，所以.8.A 解析：正三角形的面积=×（边长）2，所以要求正△A 10B 10C 10的面积，关键是求出其边长. 由于正△A 10B 10C 10是由边长为1的正△A 1B 1C 1演变而来的，所以我们不妨从边长为1的正△A 1B 1C 1入手，求出正△A 10B 10C 10的边长. （1）列表填数．观察上表，易知正三角形边长=，所以第10个正△A 10B 10C 10的边长为，即，它的面积=，故选A.9. A 解析：两个相似多边形的面积比是9︰16，则相似比为3︰4，所以两多边形的周长比为3︰4，即36︰48，故选A.10.D 解析：选项A 中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B 中，由于任意两个等边三角形相似，因此B 中两三角形相似；同理C 中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似. 11.18 解析：∵ DE ∥BC,∴ △ABC ∽△ADE ，∴.94)(2==∆∆BC DE S S ABC ADE ∵ △ADE 的面积为8，∴,948=∆ABCS 解得ABC S ∆=18. 12.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长为由题意得，所以又因为所以此三角形是直角三角形，所以周长为13.127或2 解析：设，由折叠的性质知，当△∽△时，CF B CB B 'F A =，∴ 443x x-=，解得127.当△∽△时,CF B CA B 'F A =，∴ 433x x-=，解得.∴的长度是127或2.14.3解析：由题意，得a c e kb kd kfk b d f b d f ++++==++++，因为a+c+e=3(b+d+f)，所以k=3.15.8 解析：由反射角等于入射角知∠∠，所以△∽△所以DP CD BP AB =，所以128.12.1CD =，所以CD=8 m.16.解析：因为五边形∽五边形所以.又因为五边形的内角和为所以.17. 7823解析：如图，设AD 2交A 1C 1于M ，由题意易证△∽△∽△∽△∽…∽△.因为△∽△，所以2111211＝＝M A M D D A AD .因为111＝D A ，所以321＝M A ，即3121＝MA D A ，所以233445910223344993A D A D A D A DA D A D A D A D 鬃?＝＝＝＝＝. 在Rt △322D D A 中，＝2232D A D A 3，即323232＝－D A D A ，所以32D A ＝3＝0123；在Rt △433D D A 中，＝3343D A D A 3，即334343＝－D A D A ，所以43D A ＝29＝1223；在Rt △544D D A 中，＝4454D A DA 3，即3295454＝－D A D A ，所以54D A ＝427＝2323；同理，456332A D =，，8910732A D =.第17题答图 18.或解析：∵ （2，2），（6，4），∴ AC 中点的坐标为（4，3）.又以原点为位似中心，将△缩小，位似比为，∴ 线段的中点变换后对应点的坐标为或.19.解：（1）作出111A B C ∆如图所示.（2）本题是开放题，答案不唯一，只要作出的222A B C ∆满足条件即可.第19题答图20.证明：∵ ∠ O = 0°,P 是∠MON 平分线上一点， ∴ ∠AOP=∠BOP ＝∠MON ＝ 5°．∵ ∠AOP+∠OAP+∠ PO=180°，∴ ∠OAP+∠ PO=1 5°． ∵ ∠ P =1 5°，∴ ∠APO+∠OP =1 5°，∴ ∠OAP=∠OPB ，∴ △AOP ∽△POB ．∴=,∴=O ·O ,∴ ∠APB 是∠MON 的智慧角． 21.（1）证明：在正方形中，︒=∠=∠90D A ，.∵∴，∴DFAEDE AB =，∴ ABE DEF △∽△. （2）解：∵∴ 522422=+=BE .又由（1）得DEF ABE ∠=∠，︒=∠+∠=∠+∠90DEF AEB ABE AEB ， ∴ ︒=∠90BEG . 由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△，∴ BGBE BE AE =，∴ 102==AE BE BG . 22. 解：（1）如图.第22题答图（2）四边形的周长=4+62.23.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.解:已知正方形ABCD ，且EF ⊥AB ，EG ⊥AD,∴ EF ∥CB ，EG ∥DC. ∴ 四边形AFEG 是平行四边形. ∵ ∠1=∠2= 5°,∴ .又∵ ∠，∴ 四边形AFEG 是正方形，∴ 正方形ABCD ∽正方形AFEG ，∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）. 在△ABC 中，EF ∥CB ,∴ AE ∶EC=AF ∶FB=2∶1. 又,∴.∴ S正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =36∶16，∴ 36161636AFEG S ⨯==正方形. 24.解：（1）F 为BE 的中点，∴BF ＝EF.AB ∥CD ，∴MBF CEF ∠=∠，BMF ECF ∠=∠，∴△BMF ≌△ECF ，∴MB CE =.∵ AB=CD ，CE=DE ，∴ MB=AM.∴ AM=CE.(2)设MB=a ，∵ AB ∥CD ，∴ △BMF ∽△ECF.∵＝2，∴ =2，∴ CE=2a ，∴ AB=CD=2CE=4a ，AM=AB-MB=3a.∵=2，∴ BC=AD=2a.∵ MN ⊥MC ，∠A=∠ = 0°，∴ △AMN ∽△BCM ，∴ =，即=,∴AN=a ，ND=AD-AN=2a-a=，∴ ==3.第24题答图(3)方法一：∵==n ，设MB=a ，∴ 由(2)可得BC=AD=2a ，CE=DE=na ，AM=(2n-1)a.经分析知△AMN ∽△BCM ，∴ =，∴ AN ＝ (2n-1)a,DN ＝AN-AD ＝.∵ DH ∥AM ，∴ =，∴ DH=(2n-5)a ，∴ HE=DE-DH=(5-n)a.∵MBEH 是平行四边形，∴ HE=MB ，即(5-n)a=a ，∴ n=4.方法二：∵==n ，设MB=a,由(2)可得BC=2a ，CE=na.当MN ∥BE 时，CM ⊥BE ，可证△MBC ∽△BCE ，∴ =∴ =∴ n=4.25.（1）解：∵ 函数k y x=的图象经过（1，4）点， ∴ 4k =，反比例函数解析式为4y .x= （2）证明：∵ B （m ，n ），A （1，4），∴ AC = 4–n ，BC = m –1，ON = n ，OM = 1， ∴ 441AC n .ON n n-==-而B （m ，n ）在函数4y x =的图象上，∴ 4n m =，∴ 1AC m ,ON =- 而11BC m ,OM -= ∴ AC BC .ON OM= 又∵ ∠ACB =∠ O = 0°，∴ △ACB ∽△NOM.（3）解：∵ △ACB 与△NOM 的相似比为2， ∴ 12m -=， ∴ 3m =，∴ B 点坐标为433.⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB 所在直线的解析式为y = kx ＋b ， ∴ 4=334k b,k b,⎧+⎪⎨⎪=+⎩∴43163k ,b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ AB 所在直线的解析式为41633y x .=-+。

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4.6 相似多边形
1．下列说法中，正确的是(C)
A. 所有的菱形都相似
B. 所有的矩形都相似
C. 所有的正六边形一定相似
D. 所有的等腰梯形都相似
2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B)
(第2题)
A. ∠E＝2∠K
B. BC＝2HI
C. 六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D. S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
3．如果两个相似五边形的面积之比为16∶9，那么这两个相似五边形的周长之比为(B)
A. 16∶9
B. 4∶3
C. 2∶3
D. 256∶81
4．有一个多边形的各边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形的最长边长为8cm，那么这个多边形的周长是__32__cm.
5．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则CD＝__10__，∠D＝__105°__．
(第5题)
6．两个相似多边形的一组对应边分别是3 cm和4.5 cm，如果它们的面积之和是78 cm2，那么较大的多边形的面积是__54__cm2.
7．已知矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由．
(2)如图②，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
(第7题)
【解】(1)不相似．理由如下：
∵AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18， ∴2830≠1820
. ∴两矩形不相似．
(2)若矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′
AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′
AB
.
∴30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230
，
解得x ＝1.5或x ＝9.
∴当x ＝1.5或9时，两矩形相似．
8．如图，等腰梯形ABCD 是某儿童公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN 为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1.请你画出新游乐场的示意图．
(第8题)
【解】如图，梯形A ′B ′C ′D ′就是所求的新游乐场(梯形沿网格上下平移都可以)．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 在第二象限，OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2，OC ＝1.在第二象限内，将矩形AOCB 的边长扩大为原来的3
2倍，得
到矩形A 1OC 1B 1, 再将矩形A 1OC 1B 1的边长扩大为原来的3
2
倍，得到矩形A 2OC 2B 2……
以此类推，得到的矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－3n 2n ，3n 2n ＋1．
(第9题)
【解】 ∵在第二象限内，将矩形AOCB 的边长扩大为原来的3
2倍，得到矩形
A 1OC 1
B 1，
∴矩形A 1OC 1B 1与矩形AOCB 相似，点B 与点B 1是对应点． ∵OA ＝2，OC ＝1， ∴OA 1＝2×32，OC 1＝1×3
2
，
∴点B 1的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－2×32， 1×32. ∵将矩形A 1OC 1B 1的边长扩大为原来的3
2
倍，得到矩形A 2OC 2B 2，
∴OA 2＝2×32×32，OC 2＝1×32×3
2
，
∴点B 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－2×32×32，1×32×32， ……
∴点B n ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－2×3n 2n ，1×3n 2n ，
∴矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2×3n 2n ×12，1×3n 2n ×12，即⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－3n 2n ，3n 2n ＋1. 10．如图，已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1
相交于点O ，以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n, 则点A n 的坐标为(3n －1，0)．
(第10题)
【解】 ∵菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°， ∴∠A 1B 1O ＝30°，
∴OA 1＝12A 1B 1＝2×1
2
＝1，∴OB 1＝
3，
∴点A 1(1，0)．
∵菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1, ∴∠B 1C 2D 1＝∠A 1B 1C 1＝60°， ∴∠B 1A 2O ＝30°，
∴OA 2＝3OB 1＝3，
∴点A 2(3，0)．
同理可得点A 3(9，0)，A 4(27，0)…… ∴点A n (3n －1，0)．
11．如图，在矩形ABCD 中，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，且四边形EFDC 与矩形ABCD 相似．
(第11题)
(1)求证：四边形ABEF 是正方形． (2)求证：点F 是AD 的黄金分割点．【解】 (1)∵∠B ＝∠BAF ＝∠AFE ＝90°，
∴四边形ABEF 是矩形．由折叠的性质可知AB ＝AF ， ∴四边形ABEF 是正方形．
(2)∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴矩形EFDC ∽矩形DABC ，∴FD AB ＝CD
CB
.
∵CD ＝AB ＝AF ，CB ＝AD ，∴FD AF ＝AF
AD
，
∴点F 是AD 的黄金分割点．
12．如图，A n 系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸，A 2纸对裁后可以得到两张A 3纸……A n 纸对裁后可以得到A n ＋1纸．
(第12题)
(1)填空：A 1纸的面积是A 2纸面积的__2__倍，A 2纸的周长是A 4纸周长的__2__倍． (2)根据A n 系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比． (3)设A 1纸的质量为a(g)，试求出A 8纸的质量(用含a 的代数式表示)．【解】 (1)∵A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸，
∴A 1纸的面积是A 2纸面积的2倍．
设A 2纸的长为a ，宽为b ，则A 2纸的周长＝2(a ＋b)．易知A 3纸的长为b ，宽为a 2，A 4纸的长为a 2，宽为b
2
，
故A 4纸的周长＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫a 2＋b 2＝a ＋b ，
∴A 2纸的周长是A 4纸周长的2倍．
(2)设A 1纸的长与宽分别是m ，n ，则A 2纸的长与宽分别为n ，12m ，∴m n ＝n
1
2
m ，
∴m n
＝2，
即该系列纸张的长与宽之比为2∶1.
(3)∵A 1纸的质量为a(g)，A 2纸是A 1纸面积的一半， ∴A 2纸的质量为1
2
a(g)．
同理，A 3纸的质量是1
4
a(g)……
∴A 8纸的质量是⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫127a(g)．。