18.4 相似多边形同步练习(含答案)

北师大版九年级数学《相似多边形》典型例题(含答案)

《相似多边形》典型例题例题1在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．例题2所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题3 所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题4 已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．例题5图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．例题6下面给出的两个四边形是相似的，请写出它们的对应角和对应边．例题7 已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和βα∠∠、的度数．例题8 在如图所示的相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小．参考答案例题1 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==， ∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．例题2 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题3 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题4 解答 HEDA GH CD FG BC EF AB === 例题5 解答不相似．︒=︒-︒-︒-︒=∠587295135360D ，而︒=︒-︒-︒-︒=∠715995135360E ，不可能有“对应角相等”．例题6 解答 F A ∠→∠ E B ∠→∠ H C ∠→∠ G D ∠→∠FE AB → EH BC → HG CD → GF DA →例题7 分析解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．解答由于对应边成比例，所以232.38.45.442====z y x ．所以3,6,3===z y x ．由于对应角相等，所以 ︒=∠-︒=∠=∠118180A D α，︒='∠-︒='∠=∠70180C B β．例题8 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==，∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．。

人教版九年级数学下册相似多边形及位似同步练习题(含答案)

相似多边形及位似一. 选择题1. 下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2. 下列说法错误的是（）.A. 位似图形一定是相似图形.B. 相似图形不一定是位似图形.C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3. 下列说法正确的是（）A. 分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC 放大后的图形.B. 两位似图形的面积之比等于相似比.C. 位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D. 位似图形的周长之比等于相似比的平方.4. 平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A. 将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B. 将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C. 将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D. 将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=C. AB=D. BC≈0.618AB7. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. B. C. D. 2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为______.9. 已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出___个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______.13. 如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC 的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15. 如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN 是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_____________ ；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_____________（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是．（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．）17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4 ．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC= , AB=AC≈0.618AB．故选D．7. 【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即，解得, ,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选B．二、填空题8. 【答案】50cm.9. 【答案】2个；全等.10. 【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11. 【答案】；【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.12. 【答案】；【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=∴∴13. 【答案】.【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：，故答案为：.14. 【答案】；【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×=.三．解答题15. 【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16. 【答案与解析】问题一：（1）不相似.因为两个梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而这两个梯形一定不相似；（2）相似性无法确定．问题二：（1）不相似；（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，∴，即解得：PQ=4．∵又∵AP+PB=6，∴AP=2（3）存在.如果梯形APQD∽梯形PBCQ，则,，∵AD=a，BC=b，∴PQ=，∴17. 【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF= S矩形ABCO= ×4 ×4=；（2）存在．∵OE=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=∴8h=4×4 ，解得h=2 ，∴当点E到AC的距离为2 +2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2 -2时，△ACE的面积有最小值，S最大=S最小=。

2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】

2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册4.3 相似多边形同步课堂检测题考试总分： 110 分考试时间：90 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列图形中，不相似的是（）A.任意两个等腰直角三角形B.任意两个等边三角形C.任意两个正方形D.任意两个菱形2.如果两个相似多边形面积的比为，则它们的相似比为（）A. B. C. D.3.如果多边形多边形，且，则等于（）A. B. C. D.4.下列判断正确的是（）A.任意两个等腰直角三角形相似B.任意两个直角三角形相似C.任意两个等腰三角形相似D.菱形都相似5.下列图形不是形状相同的图形是（）A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C.某人的侧身照片和正面像D.一棵树与它倒影在水中的像6.有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（）A. B. C. D.7.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）A. B. C. D.8.将的三边都扩大为原来的倍，得，则为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定9.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）A. B. C. D.10.下列图形一定相似的是（）A.两个矩形B.两个等腰梯形C.有一个内角相等的两个菱形D.对应边成比例的两个四边形二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一正方形的边长为，将它缩小为原来的，得到的新正方形面积为________．12.在如图所示方格纸中，已知是由经相似变换所得的像，那么的每条边都扩大到原来的________倍．1 / 513.如图，已知矩形矩形，，则的长为________．14.两个相似多边形面积之比为，周长只差为．则这两个相似多边形的周长分别是________．15.如图，、、分别是、、的中点，则四边形与四边形________（填“是”或“不是”）位似图形．16.小明买了一个倍的放大镜，他在纸上画了一个度的角，用这个放大镜看所画的角是________度．17.一个四边形的四边长分别是、、、，另一个和它相似的四边形的最小边长为，那么后一个四边形的周长为________．18.给形状相同且对应边的比为的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌需用漆________听．19.下图中，形状相同的图形有哪些________．20.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】三、解答题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）21.已知两个相似多边形的对应边的比为，且面积的和为，求这两个多边形的面积分别是多少．22.将有一个锐角为的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值．23.小王在一块一边靠墙，长为米，宽为米的矩形小花园周围栽种了一种花作修饰，如图所示，这块花园的边框宽为厘米，内外边框所圈的两个矩形相似吗？为什么？24.下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？正三角形与正三角形；正方形与正方形．25.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？3 / 5答案1.D2.D3.C4.A5.C6.C7.A8.A9.C10.C11.12.13.14.，15.是16.17.18.19.和，和，和，和20.21.这两个多边形的面积分别是和．22.解：假设有一个直角，其中，，斜边，直角边，．现在将直角放大为，使，，．∵ ，∴ ，∴∴放大前后对应斜边的比值，对应直角边的比值，．23.解：不相似．理由：∵内边框内缘所围成的矩形的长米，宽米，∴长与宽的比为：，原矩形的长与宽之比∵，2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】∴内外边框所围成的两个矩形不相似．24.解：正与正的形状相同．它们的对应角相等，都是．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．正方形与正方形的形状相同．它们的对应角相等，都是．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．25.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴ ，，∴，，∴ ，，∴ ．5 / 5。

2022年北师大版九上《相似多边形》同步练习(附答案)

4相似多边形一、请你填一填〔1〕假设△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =4，BC =5，AC =6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.〔2〕两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.〔3〕如图4—8—1，在ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =21AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，那么△BEG 与△CFG 的面积之比是________.图4—8—1〔4〕把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 二、认真选一选〔1〕如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，那么原矩形长与宽的比为〔〕∶1B.3∶1C.2∶∶1图4—8—2 图4—8—3〔2〕如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么21S S的值为〔〕A.21 B.41 C.31 D.32 〔3〕如图4—8—4，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，假设S △CAD =3S △ABD ，那么AB∶AC等于〔〕图4—8—4∶∶∶3 D. 1∶2〔4〕顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是〔〕∶∶∶2∶2三、灵机一动某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.四、用数学眼光看世界如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？图4—8—5参考答案一、〔1〕2∶5 37.5 〔2〕75 〔3〕1∶16 〔4〕22二、〔1〕C 〔2〕C 〔3〕C 〔4〕D三、解：设这块矩形绿地的面积为S ，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S 1、S 2那么S S 1=〔2001〕2，S S 2=〔5001〕2 ∴S 1=40000S ，S 2=250000S∴S 1∶S 2=40000S ∶250000S =41∶251=25∶4即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4四、解：设这个正方形材料的边长为x cm ，那么△P AN 的边PN 上的高为〔8－x 〕 cm∵由得：△APN ∽△ABC∴BC PN =ADx-8，即12x =88x -解得：x答：这个正方形材料的边长为4.8 cm. 4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( ) ∶∶4 ∶3 ∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )倍倍倍倍3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，那么以下结论正确的选项是( )A. BC DE =21B. BC DE =31C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21D. ABC ADE S S ∆∆=314.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，那么S △CBF 等于( )图1A.12 cm 2B.24 cm 2C. 54 cm 2D.15 cm 25.以下说法中正确的选项是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等二、填空题6.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，那么△A′B′C′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.8.假设两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，那么较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.10.，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，那么△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，假设S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、千米千米∶613.40 2014.略。

相似多边形的性质同步练习(含答案)

相似多边形的性质(典型题汇总)一、选择题1．如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则下列结论中，正确的是（）A．DE BC=12B．DEBC=13C．ADEABC∆∆周长周长=12D．ADEABCSS∆∆=13图1 图2 图32．△ABC三边长分别为2，6，6，△A′B′C′的两边长分别为13 ABC•∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为（）A2 B．22C633．两相似四边形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个四边形周长分别是（ •）A．8cm和12cm B．9cm和11cm C．7cm和13cm D．4cm和16cm4．如图2所示，已知∠1=∠B，则下列各式正确的是（）A．AD：BC=AE：EB B．DE：BC=AD：AC C．AD·AC=AE·AB D．AC·AE=AD·AB 5．如图3，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离为3m，则点P到AB的距离是（）A．56m B．67m C．65m D．103m二、填空题6．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形DEBC=_____．7．用一个3倍的放大镜照一个多边形，则放大后的面积是原来的______倍．8．如图4所示，在△ABC与△DBE中，AB BC ACBD BE DE===53，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，•则△ABC的周长为______．图4 图5 9．如图5，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=______．三、解答题10．如图所示，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C的高，且```` AB A B AD A D=，∠C=∠C′，求证：AD·B′E′=A′D′·BE．11．如图所示，设AB BC CAAD DE EA==，求证：∠1=∠2．12．在△ABC中，如图所示，AB=AC，BD为腰上的高，求证：CD·CA=12BC2．参考答案一、1．B 点拨：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，又因为AD DB =12，所以可知AD AB =13，所以DE BC =13． 2．A 点拨：因为△ABC ∽△A ′B ′C′，所以可知三条边对应成比例，又通过观察知1=所以可知6与另一条边的比也是：1，． 3．A 点拨；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，•周长比等于相似比可求得，此题也可采用排除法，因为题中告诉两个三角形面积比为4：9，所以周长比为2：3，可看备选答案中，哪一个符合2：3．4．C 点拨：因为∠1=∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ABC ，所以有AD AEAB AC=，即AD ·AC=AE ·AB ．5．C 点拨：因为AB ∥CD ，所以△PAB ∽△PCD ．设点P 到AB 的距离为x ，•根据相似三角形对应高的比等于相似比，得3x =25，所以x=65（m ），故选C ．二、6．1：3 点拨：因为△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，面积比为1：4，•所以在△ABC 中减去△ADE ，余下的四边形面积是△ADE 面积的3倍． 7．9 点拨：因为放大比例是3：1，所以面积比就应该是9：1．8．25cm 点拨：因为这两个三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，•所以周长比等于相似比等于5：3，又因为周长相差10cm ，所以可以求得△ABC 的周长． 9．9：16 点拨：2269()()816ABC DBE S AB S DB ∆∆===．三、10．证明：因为∠ADB=∠A ′D ′B ′=90°，````AB A B AD A D =，所以△ABD ∽△A ′B ′D ′，所以∠ABD=∠A ′B ′D ′．又因为∠C=∠C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′．所以``AB A B =````AD BEA DB E =，即AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE ．点拨：AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE 化成比例式为````AD BEA DB E =，因为AD ，A ′D ′，BE ，B ′E•′是△ABC 与△A ′B ′C ′的高．根据相似三角形对应高的比等于相似比，•所以可以想办法证得△ABC ∽△A ′B ′C ′．11．错解：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ．所以∠BAC=∠DAE ．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD•∽△ACE ．所以∠1=∠2．正确解法：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠α+∠3=∠β+∠3，所以∠α=∠β．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD ∽△ACE ．所以∠1=∠2．点拨：在证△ABD ∽△ACE 时，漏掉条件∠α=∠β，事实上，已证∠BAC=∠DAE ，•只需等式两边都减去∠3即可，但由于存在潜在假设∠BAC=∠DAE 必然得∠α=∠β，•致使判定△ABD ∽△ACE 的理由不充分．12．证明：如图所示，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，因为AB=AC ，所以EC=12BC ，∠AEC=90°．又因为BD 是腰上的高，所以∠BDA=90°，所以∠AEC=∠BDA ．又因为∠C=∠C ，所以△AEC ∽△BDC ．所以EC AC CD BC =，所以CA ·CD=CE ·CB=12BC ·BC=12BC 2．点拨：从结论CD ·CA=12BC 2有CD ·CA=12BC ·BC ，由此想到作底边上的高AE ，有EC=12BC ，则结论化为CD ·CA=CE ·CB ，进而只需证△AEC ∽△BDC 即可．相似多边形的性质一、七彩题1．（一题多解）如图，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求S△EFD：S△ABC．2．（巧题妙解题）如图所示，把△ABC平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于______．二、知识交叉题3．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，AC=63，求BC和BD的长．4．（当堂交叉题）如图，Y ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF的周长的比，如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．三、实际应用题5．△ABC是一块锐角三角形的余料，如图所示，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？四、经典中考题6．（2007，青岛，3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为_____cm．(第6题) (第7题) (第8题) 7．（2007，常州，3分）如图，已知DE∥BC，AD=6，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，•则∠ADE=_____°，DE=____，ADEABCSS∆∆=_____．8．（2008，河南，3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H 在DC边上，且GH=12DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．五、课标新型题9．（规律探究题）如图所示，点E是四边形ABCD•的对角线BD•上一点，•且∠ABC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比？并证明你的猜想．10．（阅读理解题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．11.如图，E，F分别为Y ABCD的对角线DB上的三等分点，连接AE并延长交DC于P，•连接PF并延长交AB于Q．通过观察，猜测AQ，BQ之间的关系，并说明为什么？参考答案一、1．解法一：因为D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，所以DE EF DF AC BA BC ===12，所以△EFD ∽△ABC ，所以S △EFD ：S △ABC =1：4．解法二：因为D ，E 分别是AB 和BC 的中点，所以DE ∥AC ，所以∠BDE=∠A ，∠BED=∠C ，所以△BDE ∽△BAC ．所以2()BDE ABC S BD S AB ∆∆==（12）2=14．同理，2()ADF ABC S AD S AB ∆∆==（12）2=14，2()CEF ABC S CE S BC ∆∆==（12）2=14，即S △BDE =S △ADF =S △CEF =14S △ABC ．所以S △EFD =S △ABC -（S △BDE +S △ADF +S △CEF ）=14S △ABC ，即S △EFD ：S △ABC =1：4． 2-1 点拨：因为△A ′B ′C ′是△ABC 沿AB 边平移得到的，所以A ′C ′∥AC ，•△ABC 与阴影三角形相似，所以（`A B AB ）2=12，因为，所以A ′B=1，故AA ′-1，•本题的巧妙之处在运用平移的性质得到两个三角形相似．二、3．解：因为CD 是Rt △ABC 中斜边上的高，所以△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，•因为∠A=30°，所以∠DCB=30°．又因为CD=12设BD=x ，则BC=2x ，在Rt △BCD 中，BC 2-BD 2=CD 2，所以4x 2-x 2=27，x=3，所以BC=6，BD=3． 4．解：因为AE ：EB=1：2，所以AE AB =13，即AE CD =13．又因为AB ∥DC ，所以△AEF ∽△CDF ．故C △AEF ：C △CDF =1：3，S △AEF ：S △CDF =1：9．故当S △AEF =6cm 2时，S △CDF =6×9=54（cm 2）．三、5．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC上，△ABC的高AD与PN相交于点E．设正方形的边长为xmm．因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以AE PN AD BC=．因此有8080120x x-=，解之得x=48．答：加工成的正方形零件的边长为48mm．四、6．16 点拨：由题意可知，AB∥CD，△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得453620CD=，解得CD=16（cm）．7．50；6.6；49点拨：相似三角形对应角相等，对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．35 点拨：连EF，则GH//12EF，S矩形EFCD=6×10=60．设EH交FG于O，则△EFO∽△HGO•相似比为2：1，两三角形EF与GH边上的高h1：h2=2：1，h1+h2=6，故h1=4，h2=2，S△EFO=12EH·h1=12×10×4=20，S△GOH=12GH·h=12×5×2=5，故S阴影=S矩形EFCD-S△EFO -S△GOH =60-25=36．此题综合考查矩形性质，•相似三角形相似比，求阴影部分面积．五、9．（1）证明：因为∠BAC=∠DAE．所以∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，即∠EAB=∠DAC．又因为∠AEB=∠2+∠DAE，∠ADC=∠2+∠BDC，∠DAE=∠BDC，所以∠AEB=∠ADC，•所以△AEB∽△ADC，所以BE AEDC AD=，即BE·AD=CD·AE．（2）解：BCDE等于ACAD．因为△AEB∽△ADC，所以AD AEAC AB=．又因为∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．所以BCDE=ACAD．点拨：学会仔细观察图形，从图形中提取解读思路．10．解：（1）在题图①中作CN⊥AB于点N，交GF于点M．因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．因为12×5CN=12×3×4，所以CN=125．因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B．所以△CGF∽△CAB，所以CM GF CN AB=．设正方形的边长为x，则125125x-=5x，解得x=6037．所以正方形的边长为60 37．（2）同（1），125125x-=25x，解得x=6049．（3）同（1），125125x-=35x，解得x=6061．（4）同（1），125125x-=5nx，解得x=602512n+．点拨：根据相似三角形的性质（相等关系）列方程求解，是解答此类问题的一般方法．11.解：猜测：AQ=3BQ．Y ABCD中，DC∥AB，所以△PDF∽△QBF，DP DFBQ BF=，因为E，F分别为BD的三等分点，所以DPBQ=2，•同理ABPD=2，所以ABBQ=4，所以AQBQ=3，即AQ=3BQ．11。

北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》说课稿

北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》说课稿一. 教材分析北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》是本册教材中的一个重要内容。

本节课的主要内容是引导学生探究相似多边形的性质和判定方法。

在学生已经掌握了多边形的基本概念和性质的基础上，通过探究相似多边形，进一步深化学生对图形变换的理解，培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对多边形的基本概念和性质有所了解。

但是，对于相似多边形的性质和判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握。

此外，学生可能对图形的变换有一定的了解，但如何运用这些知识来解决实际问题，还需要进一步的引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握相似多边形的性质和判定方法，能够运用这些知识来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：相似多边形的性质和判定方法。

2.教学难点：如何运用相似多边形的性质和判定方法来解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、操作、猜想、验证等方法，引导学生主动探究相似多边形的性质和判定方法。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示相似多边形的实例，引导学生直观地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实例，让学生观察和思考，引出相似多边形的概念。

2.探究：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究相似多边形的性质和判定方法。

3.讲解：根据学生的探究结果，进行总结和讲解，让学生明确相似多边形的性质和判定方法。

4.练习：设计一些练习题，让学生运用所学的知识来解决问题，巩固所学内容。

5.拓展：引导学生思考相似多边形在实际中的应用，培养学生的解决问题的能力。

七. 说板书设计板书设计如下：1.对应边成比例2.对应角相等3.两组对应边成比例，且对应角相等4.两边成比例，夹角相等八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和拓展活动的表现来进行。

2022年北师大版数学《相似多边形》配套精品练习(附答案)

4.3 相似多边形一、填空题1．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．2．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．3．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．二、选择题4．在下面的图形中，形状相似的一组是( )5．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形6．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种三、解答题7．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD ＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．8．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．9．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．10．如下图甲所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ．如图乙所示，线段EF ＝10，在EF 上取一点M ，分别以EM ，MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ，设MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?答案:1．对应角相等，对应边的比相等． 2．对应边的比，全等，⋅k1 3．对应角相等，对应边的比相等． 4．C 5．B 6．C7．(1)k ＝2∶3；(2)A ＇B ＇＝9，BC ＝8；(3)3∶2． 8．⋅==750,730AE AD 9．相似． 10．25=x 时，S 的最大值为⋅225《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分） 1．下列判定正确的是( )A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C ．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．147．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为__________，面积为__________．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=__________．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE 的长．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．北师大新版九年级上册《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】多边形．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B正确；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考点】矩形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选：A．【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选B．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得对角线AC平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以∠FAB为直角的．【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，故选B．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．解得：x==5.8（cm）．故选C．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．12．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10（cm），=×AC×BD=×10×10 =50（cm2）；则S菱形ABCD故答案为：10cm，50cm2．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案为：2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=．【考点】矩形的性质．【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵S AOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【专题】探究型．【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：（1）连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；（2）添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=AD，BD=2DO，AB=AD，∴AD=2，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1，答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=2﹣或﹣2+，∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

相似多边形的性质同步练习(含答案)

相似多边形的性质(典型题汇总)一、选择题1．如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则下列结论中，正确的是（）A．DE BC=12B．DEBC=13C．ADEABC∆∆周长周长=12D．ADEABCSS∆∆=13图1 图2 图32．△ABC三边长分别为2，6，6，△A′B′C′的两边长分别为13 ABC•∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为（）A2 B．22C633．两相似四边形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个四边形周长分别是（ •）A．8cm和12cm B．9cm和11cm C．7cm和13cm D．4cm和16cm4．如图2所示，已知∠1=∠B，则下列各式正确的是（）A．AD：BC=AE：EB B．DE：BC=AD：AC C．AD·AC=AE·AB D．AC·AE=AD·AB 5．如图3，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离为3m，则点P到AB的距离是（）A．56m B．67m C．65m D．103m二、填空题6．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形DEBC=_____．7．用一个3倍的放大镜照一个多边形，则放大后的面积是原来的______倍．8．如图4所示，在△ABC与△DBE中，AB BC ACBD BE DE===53，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，•则△ABC的周长为______．图4 图5 9．如图5，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=______．三、解答题10．如图所示，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C的高，且```` AB A B AD A D=，∠C=∠C′，求证：AD·B′E′=A′D′·BE．11．如图所示，设AB BC CAAD DE EA==，求证：∠1=∠2．12．在△ABC中，如图所示，AB=AC，BD为腰上的高，求证：CD·CA=12BC2．参考答案一、1．B 点拨：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，又因为AD DB =12，所以可知AD AB =13，所以DE BC =13． 2．A 点拨：因为△ABC ∽△A ′B ′C′，所以可知三条边对应成比例，又通过观察知1=所以可知6与另一条边的比也是：1，． 3．A 点拨；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，•周长比等于相似比可求得，此题也可采用排除法，因为题中告诉两个三角形面积比为4：9，所以周长比为2：3，可看备选答案中，哪一个符合2：3．4．C 点拨：因为∠1=∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ABC ，所以有AD AEAB AC=，即AD ·AC=AE ·AB ．5．C 点拨：因为AB ∥CD ，所以△PAB ∽△PCD ．设点P 到AB 的距离为x ，•根据相似三角形对应高的比等于相似比，得3x =25，所以x=65（m ），故选C ．二、6．1：3 点拨：因为△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，面积比为1：4，•所以在△ABC 中减去△ADE ，余下的四边形面积是△ADE 面积的3倍． 7．9 点拨：因为放大比例是3：1，所以面积比就应该是9：1．8．25cm 点拨：因为这两个三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，•所以周长比等于相似比等于5：3，又因为周长相差10cm ，所以可以求得△ABC 的周长． 9．9：16 点拨：2269()()816ABC DBE S AB S DB ∆∆===．三、10．证明：因为∠ADB=∠A ′D ′B ′=90°，````AB A B AD A D =，所以△ABD ∽△A ′B ′D ′，所以∠ABD=∠A ′B ′D ′．又因为∠C=∠C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′．所以``AB A B =````AD BEA DB E =，即AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE ．点拨：AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE 化成比例式为````AD BEA DB E =，因为AD ，A ′D ′，BE ，B ′E•′是△ABC 与△A ′B ′C ′的高．根据相似三角形对应高的比等于相似比，•所以可以想办法证得△ABC ∽△A ′B ′C ′．11．错解：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ．所以∠BAC=∠DAE ．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD•∽△ACE ．所以∠1=∠2．正确解法：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠α+∠3=∠β+∠3，所以∠α=∠β．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD ∽△ACE ．所以∠1=∠2．点拨：在证△ABD ∽△ACE 时，漏掉条件∠α=∠β，事实上，已证∠BAC=∠DAE ，•只需等式两边都减去∠3即可，但由于存在潜在假设∠BAC=∠DAE 必然得∠α=∠β，•致使判定△ABD ∽△ACE 的理由不充分．12．证明：如图所示，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，因为AB=AC ，所以EC=12BC ，∠AEC=90°．又因为BD 是腰上的高，所以∠BDA=90°，所以∠AEC=∠BDA ．又因为∠C=∠C ，所以△AEC ∽△BDC ．所以EC AC CD BC =，所以CA ·CD=CE ·CB=12BC ·BC=12BC 2．点拨：从结论CD ·CA=12BC 2有CD ·CA=12BC ·BC ，由此想到作底边上的高AE ，有EC=12BC ，则结论化为CD ·CA=CE ·CB ，进而只需证△AEC ∽△BDC 即可．相似多边形的性质一、七彩题1．（一题多解）如图，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求S△EFD：S△ABC．2．（巧题妙解题）如图所示，把△ABC平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于______．二、知识交叉题3．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，AC=63，求BC和BD的长．4．（当堂交叉题）如图，Y ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF的周长的比，如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．三、实际应用题5．△ABC是一块锐角三角形的余料，如图所示，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？四、经典中考题6．（2007，青岛，3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为_____cm．(第6题) (第7题) (第8题) 7．（2007，常州，3分）如图，已知DE∥BC，AD=6，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，•则∠ADE=_____°，DE=____，ADEABCSS∆∆=_____．8．（2008，河南，3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H 在DC边上，且GH=12DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．五、课标新型题9．（规律探究题）如图所示，点E是四边形ABCD•的对角线BD•上一点，•且∠ABC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比？并证明你的猜想．10．（阅读理解题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．11.如图，E，F分别为Y ABCD的对角线DB上的三等分点，连接AE并延长交DC于P，•连接PF并延长交AB于Q．通过观察，猜测AQ，BQ之间的关系，并说明为什么？参考答案一、1．解法一：因为D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，所以DE EF DF AC BA BC ===12，所以△EFD ∽△ABC ，所以S △EFD ：S △ABC =1：4．解法二：因为D ，E 分别是AB 和BC 的中点，所以DE ∥AC ，所以∠BDE=∠A ，∠BED=∠C ，所以△BDE ∽△BAC ．所以2()BDE ABC S BD S AB ∆∆==（12）2=14．同理，2()ADF ABC S AD S AB ∆∆==（12）2=14，2()CEF ABC S CE S BC ∆∆==（12）2=14，即S △BDE =S △ADF =S △CEF =14S △ABC ．所以S △EFD =S △ABC -（S △BDE +S △ADF +S △CEF ）=14S △ABC ，即S △EFD ：S △ABC =1：4． 2-1 点拨：因为△A ′B ′C ′是△ABC 沿AB 边平移得到的，所以A ′C ′∥AC ，•△ABC 与阴影三角形相似，所以（`A B AB ）2=12，因为，所以A ′B=1，故AA ′-1，•本题的巧妙之处在运用平移的性质得到两个三角形相似．二、3．解：因为CD 是Rt △ABC 中斜边上的高，所以△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，•因为∠A=30°，所以∠DCB=30°．又因为CD=12设BD=x ，则BC=2x ，在Rt △BCD 中，BC 2-BD 2=CD 2，所以4x 2-x 2=27，x=3，所以BC=6，BD=3． 4．解：因为AE ：EB=1：2，所以AE AB =13，即AE CD =13．又因为AB ∥DC ，所以△AEF ∽△CDF ．故C △AEF ：C △CDF =1：3，S △AEF ：S △CDF =1：9．故当S △AEF =6cm 2时，S △CDF =6×9=54（cm 2）．三、5．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC上，△ABC的高AD与PN相交于点E．设正方形的边长为xmm．因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以AE PN AD BC=．因此有8080120x x-=，解之得x=48．答：加工成的正方形零件的边长为48mm．四、6．16 点拨：由题意可知，AB∥CD，△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得453620CD=，解得CD=16（cm）．7．50；6.6；49点拨：相似三角形对应角相等，对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．35 点拨：连EF，则GH//12EF，S矩形EFCD=6×10=60．设EH交FG于O，则△EFO∽△HGO•相似比为2：1，两三角形EF与GH边上的高h1：h2=2：1，h1+h2=6，故h1=4，h2=2，S△EFO=12EH·h1=12×10×4=20，S△GOH=12GH·h=12×5×2=5，故S阴影=S矩形EFCD-S△EFO -S△GOH =60-25=36．此题综合考查矩形性质，•相似三角形相似比，求阴影部分面积．五、9．（1）证明：因为∠BAC=∠DAE．所以∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，即∠EAB=∠DAC．又因为∠AEB=∠2+∠DAE，∠ADC=∠2+∠BDC，∠DAE=∠BDC，所以∠AEB=∠ADC，•所以△AEB∽△ADC，所以BE AEDC AD=，即BE·AD=CD·AE．（2）解：BCDE等于ACAD．因为△AEB∽△ADC，所以AD AEAC AB=．又因为∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．所以BCDE=ACAD．点拨：学会仔细观察图形，从图形中提取解读思路．10．解：（1）在题图①中作CN⊥AB于点N，交GF于点M．因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．因为12×5CN=12×3×4，所以CN=125．因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B．所以△CGF∽△CAB，所以CM GF CN AB=．设正方形的边长为x，则125125x-=5x，解得x=6037．所以正方形的边长为60 37．（2）同（1），125125x-=25x，解得x=6049．（3）同（1），125125x-=35x，解得x=6061．（4）同（1），125125x-=5nx，解得x=602512n+．点拨：根据相似三角形的性质（相等关系）列方程求解，是解答此类问题的一般方法．11.解：猜测：AQ=3BQ．Y ABCD中，DC∥AB，所以△PDF∽△QBF，DP DFBQ BF=，因为E，F分别为BD的三等分点，所以DPBQ=2，•同理ABPD=2，所以ABBQ=4，所以AQBQ=3，即AQ=3BQ．11。

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