相似多边形的性质二
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
相似知识总结讲解
相似知识总结知识点一：放缩与相似形1图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2、把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶、我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷、若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.1. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1 ）有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m n,那么就说这两条线段的比是a：b= m： n （或—m）b n2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，女口a -b d4、比例外项：a在比例一c（或a：b = c：d）中a、d叫做比例外项。
b d5、比例内项：在比例- c（或a：b = c：d）中b、c叫做比例内项。
b d6、第四比例项:在比例a■—（或a：b = c：d）中, d叫a、b、c的第四比例项。
b da b7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b = b:d时，我们把bb d叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长a c度的比相等，即一一（或a：b=c: d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）4、合比性质：--b d a b~b~ （分子加（减）分母,分母不变）1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC 和BC(AC >BC),如果ACABBCAC，（2 ）比例性质1、基本性质：a：bc d ad bc （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：a c b d一（把比的前项、后项交换）b d a c3、更比性质（交换比例的内项或外项）：a-，（交换内项）c dd -，（交换外项）b ad b•（同时交换内外项）c a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a cb d a a bc cd 'a b c d5、等比性质: （分子分母分别相加，比值不变.)a c如果_ —b d 邑m(b df nf n 0),a书［7 Ac e m a那么b d f n b注意：（1）、此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；（2）、应用等比性质时，要考虑到分母是否为零；（3）、可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.知识点三：黄金分割即AC2=AB X BC,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，ACU5 1与AB的比叫做黄金比。
多边形的相似性与性质解析
多边形的相似性与性质解析多边形是几何学中常见的图形，而相似性是指两个或多个图形的形状相似。
本文将探讨多边形的相似性及其性质，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、相似性的概念多边形的相似性是指两个多边形的对应边成比例，对应角相等。
具体来说，当两个多边形的所有对应边长度之比相等，且对应角度相等时，它们被认为是相似的。
二、相似性的判定条件在判定两个多边形是否相似时，我们可以根据以下条件进行分析：1. 角对应判定：两个多边形的对应角相等。
2. 边对应判定：两个多边形的对应边成比例。
这些判定条件是判断两个多边形相似的基本依据。
三、相似性的性质相似的多边形具有一些重要的性质，接下来我们将介绍其中几个：1. 周长比：相似的多边形的周长比等于任意一条对应边的长度比。
举个例子，若两个三角形相似，它们的周长比等于对应边的长度比。
2. 面积比：相似的多边形的面积比等于任意一条对应边长度的平方比。
对于两个相似的三角形，它们的面积比等于对应边长度的平方比。
3. 高度比：相似三角形的高度比等于对应边长度的比。
4. 布尔斯公式：布尔斯公式是用来计算三角形面积的公式，根据布尔斯公式，相似三角形的面积比等于对应边长度的平方比。
四、应用举例相似性在几何学中有着广泛的应用，特别是在测量和建模方面。
以下是一些应用举例：1. 比例尺计算：根据多边形的相似性，可以利用已知边长比例尺计算未知边长的长度。
2. 面积估算：通过相似多边形的面积比例，可以估算未知多边形的面积。
3. 空间几何建模：多边形的相似性可用于构建三维物体的模型，从而进行工程计算和设计。
五、总结多边形的相似性是几何学中重要的概念，通过判断角对应和边对应的比例关系，我们可以确定多边形之间是否相似。
相似性具有周长比、面积比和高度比等重要性质，并可以应用于测量和建模等实际问题中。
熟练掌握多边形的相似性与性质，对于解决几何问题将大有裨益。
相似多边形的性质(第一课时)课例(二)
５ 联系小结 ， 深化提高
师 ： 节课 ， 本 大家 发现 了什 么规 律？ 生 １ ： 似三 角形 的对应 高 线 、 ８相 中线 、 角平分 线 的 比等 于相 似 比 ； 长 的 比等 于 相 似 比 ； 积 的 比等 于 周 面 相似 比的平 方． 师 ： 们用 什么知 识发 现这 些结论 的？ 我 生 １： ９ 用相 似 三角形 的有 关知 识． 师： 大家认 为还需 要研 究 什么 问题？
（） ２
图４
度的比与另两条线段的长度的比相等， 例如詈一号
“
教 师 ： 是 北 京 某 地 区 的 两 幅 不 同 比例 尺 的 地 这
（ ａ： 一ｃ： ） 那 么 ， 四条 线段 叫 做成 比例线 段 ， 或 ６ ， 这
简称 比例 线段 ．
图 ， 就是 刚 才 一 位 同学 所 举 的相 似 图形 的 例 子 ． 也 在 图 ４ １ 中 ， Ｂ、 Ｄ、 各 点 分 别 表 示 故 宫 博 物 院 、 （ ） Ａ、 Ｃ、 Ｅ
奥 林 匹克 公 园 、 华 大 学 、 和 园 、 央 电视 台 ， 清 颐 中 图 ４ ２ 中对 应 点 分 别 为 Ａ Ｂ 、 Ｄ Ｅ ． （） 、 Ｃ 、 、 由于 这 两 幅
讨论 ．
版本 ： 华东 师 大版
教学 目标 ：
执教 ： 江苏 省无 锡市 蠡园 中学
钱 云祥
１ 教学过程
１ １ 创 设情 景 ．
（ ） 过 实 例促 进学 生 了解 成 比 例线 段 的概 念 ， １通
体验成 比例线 段 在 实 际生 活 中及 相 似 图形 中 的 应 用
价值．
与原 图 的长宽 比相 等 ， 图②与 图④ 则不 符合 ． 而
第2课 相似多边形的性质及判定
A__B___B_C_ __C_D_ __A_D__.
相似图形_对___应__边__的比叫做相似比，记作k.
1．(例1)如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′. (1)求∠A，∠D′的度数和x，y的长；
1
(2)相似比k＝____2____.
PPT课程
主讲老师:
第二十七章 相 似
第2课 相似多边形的性质及判定 一、新课学习
知识点1：相似多边形的性质： 对应角___相__等___，对应边的比___相__等___． 几何语言 ∵__四__边__形__A_B_C_D__∽__四__边__形__A_＇__B_＇__C__＇__D＇ ， ∴∠__A__=_∠__A_＇__,_∠__B_=__∠__B_＇__,_∠__C_=__∠__C_＇__,_∠__D__=_∠_ D＇
第3关 11．如图，E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD的中点，若矩形
ABEF与矩形ABCD相似，AB＝4，则AD＝____4__2__.
设
AD＝BC＝x，则AF＝
1 2
x
∵矩形ABEF∽矩形BCDA
∴ AB ＝ AF
∴4 ＝
1 2
x
BC BA
x4
∴x＝4 2 ∴AD＝4 2
12．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝5 m，AB＝3 m，沿草坪四周 外围有1 m宽的环形小路，小路内外边缘所成的两个矩形相似 吗？为什么？ 不相似，由题意得AB＝CD＝3 cm
形的最长边的长为 21，则最短边的长为( C )
A ．15
B ．10
C ．9
D ．3
第2关 9．已知A，B两地的实际距离是250 m，若在地图上的距离是
相似多边形的性质
结论： 相似多边形的周长比等于（相似 比），面积比等于（相似比的平方）．
四： 课堂练习
1： △ABC∽ △DEF， AG、DH分别是他 们的高线，且AG/DH=2/3，试求他们的 面积比。
2：某城市中心有一个矩形广场，设计图 的比例尺是1/10000，图上矩形与实际矩 形相似吗？如果相似，他们的相似比是 多少？周长比是多少？面积比呢？
分工协作是现代社会取得成功地的 基本素质，请注意在日常生活、学习中 培养你的协作精神！
结论
1：相似三角形的对应角平分线的比、 对应高的比、对应中线的比等于相似比;
2:相似三角形周长的比等于相似比; 面积比等于相似比的平方。
议一议
如图：四边形ABCD与四边形EFGH相 似，相似比为k
ADE来自HCG F
相似多边形的性质
一：复习回顾
相似多边形：各角对应相等、各边 对应成比例的两个多边形。
相似比：相似多边形对应边的比。
二：问题引入
相似三角形对应高的比、对应角平分 线的比、对应中线的比以及周长的比、面 积的比与相似比有怎样的关系？
仔细的思考、大胆的猜想、 勇敢地说出你的结论！！！
已知：△ABC∽ △DEF, BG、EH分别是∠ ABC ∠
五：课堂小结：
1：相似三角形对应高的比、对应角平分线 的比、对应中线的比等于相似比； 2：相似多边形的对应对角线的比、周长的 比等于相似比； 3：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
六：作业：
习题： 4.11第2，3，4题
独立完成作业是成长 过程中的必要经历！
下课！
•谢谢大家，再见！
B (1)四边形ABCD与四边形EFGH的周长比是多少？
(2)连接相应的对角线BD,FH,所得△ABD与△EFH相似吗？ △BCD与 △FGH相似吗？如果相似，相似比是多少？为什么？
相似多边形的性质二ppt
D C
B
A'
D'
B'
C'
2、ΔABC~ΔA`B`C`,CD、C`D`是高，相似比为 3:4。 1. 成比例的线段有哪些？ 2.Δ ABC和Δ A`B`C`周长比是多少？
3.△ABC的面积如何表示？△A1B1C1的面积呢？ △ABC与△A1B1C1的面积比是多少？
结合1，如果△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，则 △ABC与△A1B1C1周长比和面积比分别是多少？
A1 B1
B2
3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2
的面积分别是S△A1B1C1， S△A1C1D1 ， S△A2B2C2， S△A2C2D2，那么 S A1B1C1 , S A1C1D1 各是多少？ S A2 B2C2 S A2C2 D2
4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积 比是多少？
2： 在设计图上，某城市中心有一个矩形广场， 设计图的比例尺是1：10000。图上矩形 与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相 似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长 比是多少？面积比呢？ 3：如图3，若DE∥BC，AD：BD=2：1， A 求S△ADE：S△ABC
D B E C
4、老师在电脑上画了一个六边形，上课时发现， 原来一条5厘米的边在电视屏幕上变成了15厘 米，那么电视屏幕的放大比例是（1：3 ）， 这个六边形的面积扩大为原来的（ 9 ）倍。
课堂小结
通过本堂课的学习 我学会了… … 我体会到… … 我感到困惑的是… …
北师大版
八年级
下册（第四章）
(第二课时)
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比，对应中线的比， 对应角平分线的比都等于 。 相似比
4.8相似多边形的性质(2)
4.8相似三角形的性质（2） 学前准备 重点：相似多边形周长的比、面积的比与相似比的关系的理解和应用。
难点：相似多边形周长的比、面积的比与相似比的关系的推导和应用。
学习准备1. 怎样求三角形的周长和面积？2. 相似三角形有哪些性质？比例有哪些基本性质？ 课中导学 阅读感知阅读课本149页想一想及上面的内容，思考下列问题：1. 在求两个相似三角形的周长比时，我们会应用研究比例的哪个基本性质？2. 求相似三角形的面积的比的基本思路是什么？3. 若△ABC ～△A ’B ’C ’,相似比为K ，那么△ABC 和△A ’B ’C ’周长 的比为 ,面积的比为 。
这个结论是否可以据推广？合作探究 探究1.相似三角形的周长的比与相似比的关系 例1. 已知，如图△ABC ～△A ’B ’C ’,探究下列问题：(1) △ABC 与△A ’B ’C ’的对应边有什么关系？(2) 若'''''',''''''C A C B B A ACBC AB k C A AC C B BC B A AB ++++===则的比值是否等于k ,试说明理由。
(3) 若四边形ABCD ～四边形A ’B ’C ’D ’，,''''''''k D C CDD A AD C B BC B A AB ==== ''''''''D C D A C B B A CDAD BC AB ++++++则的比值是否等于k ,试说明理由。
总结：相似三角形的周长的比等于相似比。
探究2。
相似三角形的面积比与相似比的关系 例2 已知，如图, △ABC ～△A ’B ’C ’,AD 、A ’D ’是△ABC 和△A ’B ’C ’的高,探究下列问题，（1） 请你写出图中的一对相似三角形（△ABC ～△A ’B ’C ’除外）（2） 相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系，请用数学式子写出来。
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(内容概要)
师生互动
(问题设计,情景创设)
引入
体会面积与边长的关系.
具体讨论三角形
A B若正方形ABCD边长为1周长为4,面积为1
若边长增大一倍,变为2.周长为8,面积为4
若边长,变为3.周长为12,面积为9
C D若边长,变为N.周长为4N,面积为NN
钳工小王准备按照比例尺3:4的图纸制作三角形零件,该零件的横截面为ΔABC画在图纸上是ΔDEF, CH,FG分别是它们的高.
C
F
A H B E G D
(1)找出图中的相似三角形,并简述理由.
ΔABC∽ΔDEF,
ΔAHc∽ΔGFE
ΔHCBΔDGFΔABC∽ΔDEF,
教学流程
(内容概要)
师生互动
(问题设计,情景创设)
议一议
CH与FG的比是多少? 3:4
ΔABC与DEF,的周长比和面积比分别是多少?
你是怎么想的?与同伴交流.
(AB+AC+BC)/(EF+ED+FD)=4:3
课题名称
相似多边形的性质(二)
新授
教材分析
德育点
发展学生积极的情感,态度,价值观.
创新点
体验解决问题策略的多样性.
能力点
培养学生的分析能力和数形结合的能力.
知识点
掌握相似多边形周长,面积的比.
学情分析
由相似比得出周长和面积的比需要一定的推理过程,但本书没有介绍等比定理,因此要引导学生引入比值K,要给学生的思考和交流留有充分的时间和空间.
(2)估计环形快速路所围成的区域的面积,你怎么想的?与同伴交流.
(3)有人认为,两个相似三角对应角平分线的比等于周长的比,你认为对吗?
若比例尺是1:10000.图上图形与实际图形相似吗?求相似比?周长比,面积比.
(1注意什么?
(3)今天回家应对本节哪个知识点进行练习?
所以周长之比是4:3
面积:0.5AB*HC/0.5EDGF=16/9
所以面积之比是16/9
(1)四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2相似.连接对角线A1C1和A2C2所得的ΔA1B1C1与ΔA2B2C2相似吗?
(2)ΔA1C1D1与ΔA2C2D2呢?如果相似,它们相似比是否相等?为什么?相等,
(3)四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的周长比,面积比与相似比有什么关系?
(4)C1 C2
(5)D1 A2 B2
A1 B1
相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方.
练习:P79习题2.10
放缩比例是1:4.面积变为原来的16倍
教学流程
(内容概要)
师生互动
(问题设计,情景创设)
做一做
周长和面积比的应用
随堂练习
小结
作业
左图是某城市地图的一部分,比例尺
1:6000
(1)设法求出图上环形快速路的总长度,并由此求出环形快速路的实际长度.
P79习题2.10 3.4
课后记：