巧用相似多边形的性质
九年级数学相似多边形的性质
利用相似多边形证明角度相等关系
若两个多边形相似，则它们的对应角相等。因此，可以通过 证明两个多边形相似来证明两个角度相等。
例如，若要证明两个角∠A和∠B相等，可以构造两个相似多边形， 使得它们的一组对应角分别为∠A和∠B，然后通过计算对应角的 度数来得到它们相等的结论。
已知一个五边形与一个边长为 5cm的正五边形相似，且相似 比为2:1，求这个五边形的周长。
若两个相似三角形的面积分别 为16cm²和36cm²，求它们的 相似比。
03 相似多边形在几何证明中 应用
利用相似多边形证明线段比例关系
若两个多边形相似，则它们的对应边成比例。因此，可以通过证明两个多边形相 似来证明两条线段的比例关系。
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对应角相等定理
如果两个多边形相似，那么它们 的对应角必定相等。
应用
这个定理在解决相似多边形的问 题时非常重要，因为它允许我们 通过比较对应角来验证或确定多 边形的相似性。
02 相似多边形面积与周长关 系
面积比与相似比平方关系
01
若两个多边形相似，且相似比为 $k$，则它们的面积之比为$k^2$。
04 相似多边形在生活实际问 题中应用
建筑设计中缩放模型原理
建筑设计中，常常需要制作建筑物的缩 放模型来研究和展示设计方案。相似多 边形的性质使得缩放模型能够保持与原 建筑物相同的形状，但尺寸按比例缩小
或放大。
利用相似多边形的性质，建筑师可以计 算缩放模型各部分的尺寸，以确保模型
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
相似多边形及其性质
I A F E D B C J K L
N M
六边形ABCDEF与六边形IJKLMN
∠A=∠I; ∠B=∠N ∠C=∠M; ∠D=∠L ∠E=∠K ; ∠F=∠J
对应角相等
对应边成比例
AB BC CD DE EF IN NM ML LK KJ
1.定义:
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
很久以前，某地发生大旱， 地里的庄稼都干死了，于是大家 到庙里向神祈求下雨。神说， 如果你们做一个比现在的方桌 大一倍的方桌来祭我，我就给 你们降水。于是大家重新做了一个 摆设祭品的方桌。新方桌的边长 是原来的2倍。可是神愈发怒了。
边长扩大2倍，面 积 也扩大 2 倍吗？
1.老师在电脑上画了一个六边形，上课时发现， 原来一条5厘米的边在电视屏幕上变成了15厘米， 这个六边形的面积扩大为原来的（9）倍。 2.两相似多边形面积比为9:4，则它们的周长 比为( D ) Ａ9:４ Ｂ9:２ Ｃ3:４ Ｄ3:２
,
各对应角相等、各对应边成比例的两个多 边形叫做相似多边形（similar polygons）；
相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）
相似比与叙述的顺序有关.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形周长的比等于它们地相似比. 相似多边形面积的比等于它们相似比的平方
A B C F1
A1
B1 C1
对应角相等、对应边成比 例的两个多边形叫做相似 多边形； 记两个多边形相似时，要 把对应顶点的字母写在对 应的位置.
F E D
（1）
E1 D1 （1）
如：六边形ABCDEF∽六边形 A1B1C1D1E1F1
初中数学 相似的多边形有哪些特点
初中数学相似的多边形有哪些特点相似的多边形具有以下特点。
下面是一个详细的解释：1. 对应角相等：相似的多边形的对应角是相等的。
换句话说，两个相似的多边形中的每对对应角度是相等的。
例如，如果两个三角形相似，它们的对应角度将是相等的。
2. 对应边成比例：相似的多边形的对应边长之间存在比例关系。
换句话说，两个相似多边形中的每对对应边的长度比例是相等的。
例如，如果两个三角形相似，它们的对应边的长度比例将是相等的。
3. 对应线段成比例：相似的多边形的对应线段之间存在比例关系。
换句话说，两个相似的多边形中的每对对应线段的长度比例是相等的。
这条特点也适用于多边形的对角线。
例如，如果两个四边形相似，它们的对应线段的长度比例将是相等的。
4. 相似比例：相似的多边形的边长比例和对角线比例是相等的。
换句话说，两个相似的多边形中的边长比例和对角线比例是相等的。
这意味着如果两个多边形相似，它们的边长比例和对角线比例将是相等的。
5. 面积比例：相似的多边形的面积比例等于边长比例的平方。
换句话说，两个相似的多边形中的面积比例等于边长比例的平方。
这意味着如果两个多边形相似，它们的面积比例将是边长比例的平方。
6. 周长比例：相似的多边形的周长比例等于边长比例。
换句话说，两个相似的多边形中的周长比例等于边长比例。
这意味着如果两个多边形相似，它们的周长比例将是边长比例。
7. 内角和相等：相似的多边形的内角和是相等的。
换句话说，两个相似的多边形中的内角和是相等的。
例如，如果两个三角形相似，它们的内角和将是相等的。
这些特点在研究相似多边形时非常重要。
它们可以帮助我们计算未知边长、求解未知角度、比较面积和周长等。
此外，相似多边形的概念也可以应用于实际生活中，如地图的放大和缩小、建筑设计等。
七年级相似多边形知识点总结
七年级相似多边形知识点总结
1. 相似多边形的定义
相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
2. 判定相似多边形的条件
- 角对应定理：如果两个多边形对应角相等，则它们是相似的。
- 边对应定理：如果两个多边形对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似多边形的性质
- 对应边的比例相等：相似多边形的对应边长之比相等。
- 对应角的大小相等：相似多边形的对应角相等。
4. 相似多边形的应用
- 比例求解：利用相似多边形的性质可以求解未知比例。
5. 相似多边形的构造
- 相似多边形的构造可以通过等比例放缩、相似变换等方法进行。
6. 实例分析
（这里可以附上一些具体的例子，展示相似多边形知识的应用）
7. 相似多边形与正多边形的联系
正多边形是一种特殊的相似多边形，它的所有边长和角度均相等。
8. 注意事项
在计算相似多边形问题时，要注意边长比例的正确设置和角度
相等的判定。
以上是七年级相似多边形的知识点总结，希望对你的研究有所
帮助！。
4.8相似多边形的性质(1)
4.8相似多边形的性质（1）重点：相似三角形中对应线段比值的推导、理解和应用。
难点：相似三角形性质的推导和应用。
学习准备：1. 什么是相似三角形？怎么判断两个三角形相似？2. 什么是相似比？课中导学 阅读感知先阅读课本146页上面的内容，根据图4-23思考并回答： （1）根据比例尺的定义得='’B A AB ，=''C B BC ，=''C A AC； （2）由（1）可知△ABC 与△A ’B ’C ’相似，理由是： ，并且，它们的相似比为 。
（3）△BCDC 与△B ’C ’D ’相似吗？为什么？ （4）请你把问题（4）的推理过程填在下面： 因为△ ～△ ，所以=''D C CD= 。
合作探究类比（根据阅读感知的启发，回答下列问题）已知△ABC ～△A ’B ’C ’， △ABC 与△A ’B ’C ’相似比为K ， （1）如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应角平分线，那么='C CD。
理由：因为△ABC ～△A ’B’C ’， 所以∠A=∠ ，∠ACB=∠ 。
因为CD 、C ’D ’分别是∠ACB 、∠A ’C ’B ’r 所以∠ACD=∠所以△ACD ～△ ， 所以==ACD C CD '' 。
（2如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应中线，那么=''D C CD。
○1、结合图形猜想，相似三角形对应中线的比等于 . ○2仿照○1的方法，说明你的理由.’’练习巩固1.若两个三角形的对应中线的比是1：2，那么它们对应高线的比是 。
2.把一个五边形改成和相似的五边形，如果边长扩大到原来的7倍，那么对应的角平分线扩大到原来的 （ ） A 49倍 B7倍 C50倍 D8倍3. 已知△ABC ～△A ’B ’C ’，21''=B A AB ，AB 边上的中线CD=4cm,求A ’B ’边是的中线C ’D ’。
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
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多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
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巧用相似多边形的性质
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。
性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用。
如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根。
1、求边长
例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为 （ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.
∴x
662 ，∴2x=36,x=18. 答案 B
点评 本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错。
2、求面积
例2 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF⊥AB 于F ，EG⊥AD 于G ，AB=6，AE∶EC=2∶1，
求S 四边形AFEG 。
思路与技巧 （1）四边形AFEG 是什么图形？为什么？
（2）AE∶EC 的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF 的长？
（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？
解 ∵正方形ABCD ，EF⊥AB，EG⊥AD
∴EF∥CB，EG∥DC
∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF
∵∠FAG=90°，∴AFEG 是正方形，
∴正方形ABCD∽正方形AFEG ，
∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =AB 2∶AF 2
（相似多边形的面积比等于相似比的平方），
在△ABC 中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，
又AB=6 ∴AF=4 ∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =36∶16， ∴ .
点评 本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系。
（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；
（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG 是正方形，即可得到它与正方形ABCD 相似
3、在生活中的应用
例3 暑假里，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条10日元；鱼长13cm 的每条15日元.康子不知道买哪种更好些，你们看怎么办？
思路与技巧 设两条相似的鱼A ，B 的长分别为10cm 和13cm ，即B 对A 的长度之比为1013则体积之比为10
1333＝2.197，又B 对A 的价格之比为1015这里B 种鱼的体积是A 种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5 倍，显然，买B 种鱼比买A 种鱼更划算.
点评 由相似形可知，两个相似图形的大小的比等于相似比，两个相似图形的面积的比
是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.。