极限与可导的关系
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
高等数学 第二章 极限和导数2-9导数的概念
例1 已知f ( 3) 2, 求
(1)
f ( 3 h) f ( 3) lim h0 2h
1 f [ 3 ( h)] f ( 3) 解 原式 lim ( ) 2 ( h) h 0
h x
1 f ( 3 x ) f ( 3 ) ( ) lim 2 x 0 x
2°导数的其它形式
f ( x0 x ) f ( x0 ) x x 0 x h lim f ( x0 h) f ( x0 ) h h 0 x x0 x f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( x0 ) lim
3°在一点的导数是因变量 在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化 而变化的 快慢程度.
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t0时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的 切线斜率
f ( x0 )
此外在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等，从数学角度看就是导数.
证 设
从而 故
在点 x 0处可导, 即
y f ( x0 ) ， 其中 x
x 0
函数 f ( x )在点 x0连续 .
x 1, 例9 讨论 f ( x ) x 1,
解
x 0
x0 x0
在 x 0处的可导性.
y
O x
f (0 ) lim ( x 1) 1 f (0 ) lim ( x 1) 1
h 0
∴
定理成立.
例2 讨论函数 f ( x ) x 在点x 0处的可导性.
高中数学-公式-极限与导数
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
函数连续一定可导。
函数连续一定可导。
函数连续一定可导函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于各个领域。
对于一个函数而言，我们常常关注它的连续性和可导性。
本文将重点探讨函数连续与可导之间的关系，并给出相应的定义和定理。
在开始之前，我们首先需要了解一些基本概念。
函数连续的定义是：若函数f(x)在点x=a处的右极限等于左极限，并且在点x=a处有定义，则称函数f(x)在点x=a处连续。
而对于可导性，函数f(x)在点x=a处可导的定义是：若函数f(x)在点x=a处的导数存在，则称函数f(x)在点x=a处可导。
那么，一个自然的问题是，函数是否连续一定可导？答案是肯定的。
根据导数的定义，只有在连续的点处才能有导数存在。
因此，如果一个函数在某一点处连续，则它在该点处一定可导。
这可以通过以下定理来证明：定理1：若函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a处可导。
证明：由函数连续的定义知，在点x=a处的左极限f(a-)等于右极限f(a+)，且函数在该点有定义。
因此，若函数f(x)在点x=a处连续，则左导数等于右导数，并且都存在。
即f'(a-)=f'(a+)=f'(a)，因此函数f(x)在点x=a处可导。
另外，我们还需要探讨一个相关的问题，即函数可导是否一定连续？答案是否定的。
虽然函数在某一点处可导，但它不一定在该点处连续。
这可以通过以下例子来说明：例子1：考虑函数f(x)=|x|在点x=0处的可导性。
我们可以求出该函数在x=0处的导数为f'(0)=0。
但是我们发现，函数f(x)在点x=0处的左极限f(0-)=-1，右极限f(0+)=1。
由于左右极限不相等，所以函数f(x)在点x=0处不连续。
综上所述，函数连续一定可导，但函数可导不一定连续。
函数的连续性和可导性是两个相互关联，但又具有区别的概念。
函数连续性要求函数在该点处的极限相等，而可导性要求函数在该点处的导数存在。
总结起来，函数连续与可导之间的关系是：函数连续一定可导，但函数可导不一定连续。
一元函数极限与连续,可导的定义归纳
一元函数极限与连续,可导的定义归纳一、 函数在x 趋近于0x 时，单侧极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个左邻域00(,)x x ρ-有定义(0)ρ>。
如果存在实数B ，对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ-<-<时，成立()f x B ε-<则称B 是函数()y f x =在点0x 处的左极限，记为0lim ()()x x f x f x B --→==. 类似地，如果函数()y f x =在点0x 的某个右邻域00(,)x x ρ+有定义(0)ρ>.并且存在实数C ，对于任意给定的对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ<-<时，成立()f x C ε-<则称C 是函数()y f x =在点0x 处的右极限，记为0lim ()()x x f x f x C ++→==.二、 函数在x 趋近于0x 时的极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个去心邻域有定义，即存在0ρ>使00(,)\{}f U x x D ρ⊂.如果存在实数A ，对于任意的0ε>,可以找到一个δ(0)δρ<<,使得当00x x δ<-<时，成立()f x A ε-<则称A 是函数()y f x =在点0x 处的极限，记为lim ()x x f x A →=.或()f x A → 0()x x →注：在x 趋近于0x 时函数极限：0lim ()x x f x A →=的定义中，函数必须要满足自变量x 不管是从左边还是从右边趋近于0x ，函数值y 最后都趋近于A ，也就是当lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，才有 0lim ()x x f x A →=用文字来表述：左极限与右极限同时存在并相等（等于A ），才能说函数存在极限，并且极限为A .我们把这个结论说得强一点：左右极限同时存在并相等是函数在x 趋近于0x 时有极限的充分必要条件。
导数
一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率. “点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.
5．生活中的优化问题
6．实习作业
高阶导数
Word中创建导数公式
展开 编辑本段导数（derivative function）
导数的起源
（一）早期导数概念-----特殊的形式 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。 （二）17世纪----广泛使用的“流数术” 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 （三）19世纪导数----逐渐成熟的理论 1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。
可导的条件
可导的条件在微积分中，可导性是一个非常重要的概念。
一个函数在某个点可导意味着在该点处有切线，并且函数在该点处的斜率是有定义的。
要确定一个函数在某一点是否可导，我们需要借助一些可导的条件。
在本文中，我们将讨论一些判定函数可导性的条件。
一、连续性首先，一个函数在某一点可导的必要条件是在该点连续。
也就是说，如果一个函数在某一点不连续，那么它在该点一定不可导。
这是因为一个不连续的函数在该点没有定义斜率，所以也不可能有切线。
连续性是一个非常基本的数学概念，一个函数在某一点连续意味着函数在该点的左极限和右极限都存在，并且它们相等于函数在该点的函数值。
如果一个函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么我们就说该函数在该点连续。
二、极限存在除了连续性外，函数在某一点可导的另一个必要条件是在该点的左导数和右导数存在且相等。
左导数和右导数分别是函数在该点处从左、从右逼近时的斜率。
如果一个函数在某一点的左导数和右导数存在且相等，那么我们就说该函数在该点可导。
要确定一个函数在某一点的导数是否存在，我们可以通过求取函数在该点的极限来判断。
如果函数在某一点的极限存在，那么该函数在该点可导。
极限的存在意味着函数在该点有一个趋于的速度，也就是斜率。
三、严格单调与可导的关系除了以上两个必要条件，我们还可以通过严格单调性来判定函数的可导性。
如果一个函数在某一区间内严格单调增加或严格单调减少，并且在该区间内的每一个点都可导，那么我们可以说该函数在该区间内可导。
严格单调性是指函数在某一区间内的值严格递增或递减。
这意味着函数在该区间内不可能有两个相同的函数值。
如果一个函数在某一区间内严格单调，那么它的导数不会等于0，因为导数等于0意味着函数在该点达到极值。
在实际应用中，可导性是一个非常重要的属性。
通过可导性，我们可以求取函数在某一点的切线方程，进一步研究函数的性质和行为。
因此，了解可导的条件对于学习和应用微积分都是至关重要的。
总结起来，一个函数在某一点可导的条件包括：连续性、极限存在以及严格单调性。
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极限与可导的关系
极限和可导是微积分中两个重要的概念，它们有密切的关系。
在数学中，极限是一种表示数列或函数无限接近某个值的概念，而可导则是指函数在某一点处的导数存在。
一般来说，如果一个函数在某一点处可导，那么它在这个点处必须存在极限。
反之亦然，如果一个函数在某一点处的极限存在，且函数在这一点的左右导数存在且相等，那么它在这个点处就是可导的。
因此，可导性是极限存在的必要条件，而极限存在是可导性的充分条件。
这种关系在实际问题中也有广泛的应用，比如在极限的计算中，我们通常要用到导数的定义和性质，而在求某个点处的导数时，我们需要先判断该点是否存在极限。
因此，了解极限与可导的关系，有助于我们更好地理解微积分中的概念和方法，同时也能更好地应用它们来解决实际问题。
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