空间向量与空间角的计算(含解析)

专题24空间向量与空间角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异二面角的计算考点82 空间异面直线所成角的计算1．(2018•新课标Ⅱ，理9)在长方体1111ABCD A B C D −中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( ) A ．15B CD ．2【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，Q 在长方体1111ABCD A B C D −中，1AB BC==，1AA =，(1A ∴，0，0)，1(0D ，0，(0D ，0，0)，1(1B ，1，，∴1(1AD =−u u u u r ，0，，1(1DB =u u u u r，1，，设异面直线1AD与1DB 所成角为θ，则1111||cos ||||AD DB AD DB θ===u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，∴异面直线1AD 与1DB ，故选C ．2．(2018•新课标Ⅱ，文9)在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) ABCD【答案】C【解析】连接BE ，因为AB//CD ，所以∠EAB 是异面直线AE 与CD 所成角，设正方体棱长为2，则AB=BC=2CE=2，在Rt △BCE 中，5122222=+=+=CE BC BE ，在ABE Rt ∆中，25tan ==∠AB BE EAB ，∴异面直线AE 与CD所成角的正切值为2，故选C ．3. (2017•新课标Ⅱ，理10)已知直三棱柱111ABC A B C −中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) ABCD【答案】C【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,])2π，可知112MN AB ==，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形，1PQ =Q ，12MQ AC =，在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+−∠g g 141221()2=+−⨯⨯⨯−7=，AC ∴，MQ ∴=，在MQP ∆中，2MP ==，在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PMMNP MN NP+−+−∠===g g ，又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC． 4．(2016•新课标Ⅰ，理11文11)平面α过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．13【答案】A【解析】如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =，可知：1//n CD ，11//m B D ，Q △11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒，则m 、n ，故选A ．5．(2014新课标Ⅱ，理11)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为( )A ．110B ．25C D【答案】C【解析】如图所示，取BC 的中点P ，连结NP 、AP ，∵M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM PN P ，∴所求角的余弦值等于ANP ∠的余弦值，不妨令12BC CA CC ===，则AN AP ==NP MB ==，∴222222||||||cos2||||10AN NP AP ANP AN NP +−∠===⨯⋅，故选C ．6．(2020全国Ⅰ理16)如图，在三棱锥P ABC −的平面展开图中，1,,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．【答案】14−【思路导引】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF V 中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值．【解析】AB AC ⊥Q ，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD ，BF BD ∴==ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=o ，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+−⋅=+−⨯=o ，1CF CE ∴==，在BCF V 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +−+−∠===−⋅⨯⨯，故答案为：14−． 7．(2017•新课标Ⅲ，理16)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒； 其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③【解析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，||AB =AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1D ，0，0)，(0A ，0，1)，直线a 的方向单位向量(0a =r ，1，0)，||1a =r，直线b 的方向单位向量(1b =r ，0，0)，||1b =r，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标(cos B θ'，sin θ，0)，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0θ∈，2)π，AB ∴'在运动过程中的向量，(cos AB θ'=u u u r ，sin θ，1)−，||AB 'u u u r ，设AB 'u u u r 与a r所成夹角为[0α∈，]2π，则|(cos ,sin ,1)(0,1,0)|cos sin |[0||||a AB θθαθ−−==∈'g u u u r rg， [4πα∴∈，]2π，∴③正确，④错误．设AB 'u u u r 与b r 所成夹角为[0β∈，]2π，|||(cos ,sin ,1)(1,0,0)|cos |cos |2||||||||AB b AB b b AB θθβθ'−===''u u u r rg g u u u r u u u r r r g g ，当AB 'u u u r 与a r夹角为60︒时，即3πα=，|sin |3πθα===22cos sin 1θθ+=Q，1cos |cos |2βθ∴==，[0β∈Q ，]2π，3πβ∴=，此时AB 'u u u r 与b r的夹角为60︒，∴②正确，①错误．8．(2015浙江)如图，三棱锥A BCD −中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．【答案】78【解析】如图连接ND ，取ND 的中点E ，连接,ME CE ，则//ME AN ．则异面直线AN ，CM 所成的角为EMC ∠，由题意可知1CN =，AN =∴ME =．又CM =DN =，NE，∴CE =则2227cos 28CM EM CE CME CM EM +−∠===⨯． 9．(2015四川)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为_________．【答案】25【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系，设正方形边长为2．cos θ=令[]()0,2)f m m =∈，()f m '=，[]0,2,()0m f m '∈∴<Q ，max 2()(0)5f m f ==，即max 2cos 5θ=．10．(2015•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． (Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解析】(Ⅰ)连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG 、EF 、FG ，在菱形ABCD 中，不妨设1BG =， 由120ABC ∠=︒，可得AG GC =BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以EG =，且EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得BE =DF =， 在直角三角形FDG中，可得2FG =， 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，BE =FD =，可得EF ， 从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， (或由tan tan 1EB FD EGB FGD BG DG ∠∠===g g ， 可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥ AC FG G =I ，可得EG ⊥平面AFC ，由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；(Ⅱ)如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度， 建立空间直角坐标系G xyz −，由(Ⅰ)可得(0A，0)，(1E ，0，(1F −，0，(0C0)， 即有(1AE =u u u r，(1CF =−u u u r，， 故cos AE <u u u r，||||AE CF CF AE CF >===u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r g 则有直线AE 与直线CF．考点83 空间线面角的计算1．(2020山东4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 ( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意可知//m CD 、AB m ⊥． 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选：B ．2．(2018•新课标Ⅰ，文10)在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为( ) A ．8 B．C． D．【答案】C【解析】长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒， 即130AC B ∠=︒，可得1tan 30ABBC ==︒，可得1BB ==，所以该长方体的体积为：22⨯⨯=故选C ．3．(2014浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值A．5 B．10 C．9 D．9【答案】D【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PHPAH AHxθ=∠==>，故当1125x =时，tan θ取得最大值，最大值为9，故选D ． 4．(2014四川)如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A． B． C． D． 【答案】B【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>sin 12π= ，所以sin α的取值范围是． 5．(2020全国Ⅱ理20)如图，已知三棱柱111ABC A B C −的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． (1)证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．A 1【答案】(1)证明见解析；(2)10． 【思路导引】(1)由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；(2)连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP =，由(1)BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案．【解析】(1)Q ,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在ABC V 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又Q 侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥ 1//MN BB QMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN又Q 11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又Q11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥Q 平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂Q 平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN(2)连接NPQ //AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =，∴//AO NP ，根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111A B C A N =，∴//ON AP ， 故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC V 边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===，QO 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 603ON =⨯⨯︒=，故：ON AP ==．Q //EF BC ，∴AP EP AM BM =，3EP=，解得：EP m =， 在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，Q 1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由(1)11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===，sin10QN QPN PQ ∴∠===，∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：10．6．(2018•新课标Ⅱ，理20)如图，在三棱锥P ABC −中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C −−为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】(1)证明：连接BO ，AB BC ==Q O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====，PO AC ∴⊥，PO =，则222PB PO BO =+， 则PO OB ⊥， OB AC O =Q I ，PO ∴⊥平面ABC ；(2)建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：(0A ，2−，0)，(0P ，0，，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =−u u u r，2，0)， 设(2BM BC λλ==−u u u u r u u u r，2λ，0)，01λ<< 则(2AM BM BA λ=−=−u u u u r u u u u r u u u r，2λ，0)(2−−，2−，0)(22λ=−，22λ+，0)，则平面PAC 的法向量为(1m =r，0，0)，设平面MPA 的法向量为(n x =r，y ，)z ，则(0PA =u u u r，2−，−，则20n PA y =−−=u u u r r g ，(22)(22)0n AM x y λλ=−++=u u u ur r g令1z =，则y =x =，即((1n λλ+=−r，1)，Q 二面角M PA C −−为30︒，cos30|||||m n m n ∴︒==r r g r r=， 解得13λ=或3λ=(舍)， 则平面MPA的法向量n =r，1)， (0PC =u u u r，2，−，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<u u u r，|n >===r．7．(2016•新课标Ⅲ，理19)如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解析】(1)证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N Q 为PC 的中点， //NG BC ∴，且12NG BC =， 又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂Q 平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ， //MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +−∠==⨯⨯， //AD BC Q ， 2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==Q ，1322AE AC ==，由余弦定理得：32EM ==， 2233()()4122cos 339222AEM +−∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +−∠==⨯⨯， cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠，//AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ． NE EM E =Q I ，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；(2)解：在AMC ∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+−∠=+−⨯⨯⨯=g g ． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥Q 底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角． 在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ===， 在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =g g，得PA AM AF PM ===g ，5sin 52AF ANF AN ∴∠===∴直线AN 与平面PMN．8．(2013新课标Ⅰ，理18)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°．(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C ；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 【解析】(Ⅰ)取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ， ∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ； ……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA u u u r 的方向为x 轴正方向，|EA u u u r|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz −，有题设知A(1，0，0)，1A (00)，C(0，0，B(－1，0，0)，则BC u u u r =(1，0)，1BB u u u r =1AA u u u r =(－1，0)，1A C u u u r=(0，， ……9分设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u ru u u r n n，即00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取n，1，-1)，∴1cos ,AC u u u r n =11|AC AC •u u u ru u u r n |n||5， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C所成角的正弦值为5． ……12分9．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=o ，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =， 由2AB BC ==，120ABC ∠=o得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， C 1B 1A 1CBADABCA 1B 1C 1由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =，11A B =11AC =得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D =，故111sin C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 方法二 (1)如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz −．由题意知各点坐标如下：(0,A ，(1,0,0)B，1(0,4)A ，1(1,0,2)B，1C ，因此12)AB =u u u r，112)A B =−u u u u r，11(0,3)AC =−u u u u r ， 由1110AB A B ⋅=u u u r u u u u r得111AB A B ⊥． 由1110AB A C ⋅=u u u r u u u u r得111AB A C ⊥．所以1AB ⊥平面111A B C ．(2)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．由(1)可知1(0,AC =u u u u r，AB =u u u r，1(0,0,2)BB =u u u r ，设平面1ABB 的法向量=()x,y,z n ．由100AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(=n ．A所以111||sin |cos ,|||||AC AC AC θ⋅=<>==⋅u u u u ru u u u r u u u u r n n n ． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 10．(2017浙江)如图，已知四棱锥P ABCD −，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =， 又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面P AB ．(Ⅱ)分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， EDCBAPDA在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ． 由PAD ∆为等腰直角三角形得 PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD得CE， 在△PBN 中，由PN =BN =1，PB得14QH =， 在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ，所以sin 8QMH ∠=， 所以，直线CE 与平面PBC所成角的正弦值是8． 11．(2014天津)如图四棱锥P ABCD −的底面ABCD是平行四边形，BA BD ==2AD =，PA PD ==，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(Ⅰ)证明： EF ∥平面PAB ； (Ⅱ)若二面角P AD B −−为60°， (ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面ABCD(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC ．由已知有BC//AD ，BC=AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF//AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ， 所以EF//平面PAB ．(Ⅱ)(i)证明：连接PE ，BE ．因为PA=PD ，BA=BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P -AD -B 的平面角．在三角形PAD 中，由2,AD PA PD ===PE=2． 在三角形ABD中，由BA BD ==BE=1．在三角形PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB ∠=o ，由余弦定理，可解得90PBE ∠=o ，即BE ⊥PB ，又BC//AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．(ii)连接BF ，由(i)知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角， 由，得∠ABP 为直角，而MB=12，可得，故EF=2，又BE=1，故在直角三角形EBF中，sin 11BE EFB EF ∠== 所以直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为1112．(2013浙江)如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =120ABC ∠=o ，G 为线段PC 上的点．(Ⅰ)证明：BD ⊥面APC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值； (Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值． PDB【解析】(Ⅰ)设点O 为AC ，BD 的交点，由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ．所以BD ⊥平面APC ．(Ⅱ)连结OG ．由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝2．在△ABC 中，AC ＝所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD 2．在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG =所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为3． (Ⅲ)连结OG ．因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG ．在直角△P AC 中，得PC所以GC ＝5AC OC PC ⋅=．从而PG ＝5， 所以32PG GC =． 13．(2019浙江19)如图，已知三棱柱，平面平面，，111ABC A B C −11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】方法一：(I)连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ． 因此EF ⊥B C ．(Ⅱ)取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由(I)得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角)． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E，EG．1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==EF BC ⊥⊂由于O 为A 1G 的中点，故， 所以．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是． 方法二：(Ⅰ)连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1(0，0，)，B1，0)，，，C (0，2，0)． 因此，，． 由得． (Ⅱ)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为，由(Ⅰ)可得，， 设平面A 1BC 的法向量为，由，得， 取，故． 因此直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为．122AG EO OG ===2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +−∠==⋅35⊂1B 3(,,22F 33(,,22EF =(BC =0EF BC ⋅=EF BC ⊥θ(BC =1(0,2,A C =−(,,)x y z =n 100BC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 0y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩=n 4sin cos ,5EF EF EF θ⋅=〈〉==⋅n n n 3514．(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F −−的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3(0,,1)2M ，(1,0,2)N ．(1)证明：依题意(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =．设0(,,)x y z =n 为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即20220y x z =⎧⎨+=⎩，，不妨令1z =−，可得0(1,0,1)=−n ．又3(1,,1)2MN =−，可得00MN ⋅=n ， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．(2)依题意，可得(1,0,0)BC =−，(122)BE =−，，，(0,1,2)CF =−．N ABC D EF GM设(,,)x y z =n 为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z −=⎧⎨−+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,1,1)=n ．设(,,)x y z =m 为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z −=⎧⎨−+=⎩，， 不妨令1z =，可得(0,2,1)=m ．因此有cos ,||||⋅<>==m n m n m n，于是sin ,10<>=m n ． 所以，二面角E BC F −−． (3)设线段DP 的长为h ([0.2]h ∈)，则点P 的坐标为(0,0,)h ，可得(12)BP h =−−，，． 易知，(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DCh ⋅<⋅>==，3sin 602==，解得[0,2]3h =．所以线段DP 的长为3． 15．(2018江苏)如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值； (2)求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值． 【解析】如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，设AC ，11A C 的中点分别为O ，1O ，则OB OC ⊥，1OO OC ⊥，1OO OB⊥，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O xyz −．ABC QPA 1C 1B 1因为12AB AA ==，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C −−．(1)因为P 为11A B 的中点，所以1,2)2P −，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==−−，故111||||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅−===⋅．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．(2)因为Q 为BC 的中点，所以1(,0)22Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=−n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos|,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n CC 1与平面AQC 1． 16．(2017天津)如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．A(Ⅰ)求证：MN ∥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角C EM N −−的正弦值；(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE，求线段AH 的长．【解析】如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,4)，(0,0,2)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)M ，(1,2,0)N ．(Ⅰ)证明：DE =(0,2,0)，DB =(2,0,2)−．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨−=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又MN =(1，2，1−)，可得0MN ⋅=n ．因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE ．(Ⅱ)易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =−−，(1,2,1)MN =−，所以2020y z x y z −−=⎧⎨+−=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=−−n ．因此有121212cos ,|||⋅<>==n n n n |n n12sin ,<>=n n所以，二面角C —EM —N．(Ⅲ)依题意，设AH =h (04h ≤≤)，则H (0，0，h )，进而可得(1,2,)NH h =−−，(2,2,2)BE =−．由已知，得|||cos ,|21||||NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===，整理得2102180h h −+=，解得85h =，或12h =． 所以，线段AH 的长为85或12．17．(2017北京)如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD //平面MAC ，PA PD ==4AB =． (Ⅰ)求证：M 为PB 的中点； (Ⅱ)求二面角B PD A −−的大小；(Ⅲ)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)设,AC BD 交点为E ，连接ME ． 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC平面PBD ME =，所以PD ME ∥．因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，在PBC ∆中，知M 为PB 的中点．(Ⅱ)取AD 的中点O ，连接OP ，OE ． 因为PA PD =，所以OP AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ． 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥． 因为ABCD 是正方形，所以OEAD ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz −，则P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B −，(4,4,0)BD =−，(2,0,PD =．设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即44020x y x −=⎧⎪⎨=⎪⎩．令1x =，则1y =，z ==n ．平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p ．由题知二面角B PD A −−为锐角，所以它的大小为3π．(Ⅲ)由题意知(1,2,)2M −，(2,4,0)D，(3,2,2MC =−． 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||2sin |cos ,|9||||MC MC MC α⋅===<>n n n ． 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为9． 18．(2014福建)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．(Ⅰ)求证：AB ⊥CD ；(Ⅱ)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 【解析】(Ⅰ)因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面,BCD BD AB =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥．(Ⅱ)过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由(Ⅰ)知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD 所以,AB BE ABBD ⊥⊥．以B 为坐标原点，分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴， y轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系．B依题意，得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ． 则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===−． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．取01,z =得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =−． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则6sin cos ,3n AD n AD nADθ⋅=<>==即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为3． 19．(2013天津) 如图， 四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(Ⅰ)证明11B C CE ⊥；(Ⅱ)求二面角11B CE C −−的正弦值；(Ⅲ)设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A， 求线段AM 的长． 1A 16【解析】解法一 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0) (Ⅰ)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是，所以． (Ⅱ) =(1，-2，-1)．设平面1B CE 的法向量，则，即消去，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为=(-3，-2，1)．由(Ⅰ)知，，又，可得平面，故=(1，0，-1)为平面的一个法向量． 于是 从而 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为． (Ⅲ)=(0，1，0)，=(1，l ，1)，设，，有．可取=(0，0，2)为平面的一个法向量，设为直线AM 与平面所成的角， 则，解得，所以考点84二面角的计算1．(2018浙江)已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则11B C CE 110B C CE ⋅=11B C CE ⊥1B C (),,x y z =m 100B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 20x y z x y z −−=⎧⎨−+−=⎩x m 11B C CE ⊥111CC B C ⊥11B C ⊥1CEC 11B C 1CEC 111111cos ,||||14B C B C B C ⋅<>===m m m 1121sin ,7B C <>=m 7AE 1EC ()1,,EM EC λλλλ==01λ≤≤(),1,AM AE EM λλλ=+=+AB 11ADD A θ11ADD A sin cos ,3AM AB AM AB AM ABθ⋅=<>==⋅6=13λ=AM =A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D【解析】由题意知四棱锥S ABCD −为正四棱锥，如图，连接BD ，记ACBD O =，连接SO ，则SO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点M ，连接SM ，OM ，OE ，易得AB SM ⊥，则2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，易知32θθ≥．因为OM ∥BC ，BC AB ⊥，SM AB ⊥，所以3θ也为OM 与平面SAB 所成的角，即BC 与平面SAB 所成的角，再根据最小角定理知，31θθ≤，所以231θθθ≤≤，故选D ．2．(2017浙江)如图，已知正四面体D ABC −(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q −−，D PQ R −−，D QR P −−的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan ODOGγ=， EMSODCBAR QPABC D图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A −，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA ==，∴1(,33Q，2(,33R −，则直线RP的方程为2y x =−，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =，39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<，故选B3．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CD B '−−的平面角为α，则( )A ．A DB α∠'… B ．A DB α∠'…C ．A CB α∠'…D ．A CB α∠'…【答案】B【解析】①当AC BC =时，A DB α∠'=；②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α=∠'，连结AA '，易得ADA AOA ∠'<∠'，A DB A OE ∴∠'>∠'，即A DB α∠'>，上所述，A DB α∠'…，故选B ． GF EO DC BAPQR4．(2020全国Ⅰ理18)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E −−的余弦值．【答案】(1)证明见解析；． 【思路导引】(1)要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；(2)以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||n mm n n m ⋅<>=计算即可得到答案．【解析】(1)由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，则2DO =，1122CO BO AE ===，∴64PO DO ==，,,44PC PB ====又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，∴2BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，∴PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PC PB P =，∴PA ⊥平面PBC ．(2)过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，∵PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点， OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),(0,0,(,(,244444E P B C −−−−，1(,,444PC =−−−，1(,444PB =−−，1(,0,24PE =−−，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111110x x ⎧−=⎪⎨−+=⎪⎩，令1x =111,0z y =−=，∴(2,0,1)n =−， 设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =，由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩，令21x =，得223z y ==，∴3(1,3m =，故2cos ,5||||n mm n n m ⋅<>===⋅， 设二面角B PC E −−的大小为θ，则cos 5θ=．5．(2020全国Ⅲ理19)如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A −−的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)二面角1A EF A −−． 【思路导引】(1)连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；(2)以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz −，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A −−的余弦值，进而可求得二面角1A EF A −−的正弦值． 【解析】证明：(1)在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连结EM ，1B M ，1EC ，1FC ．在长方体1111ABCD A B C D −中，有111DD AA BB ∥∥，且111DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，∴1DE AM FB ==， ∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形． ∴1AF MB ∥且1AF MB =，AD ME ∥且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D −中，有11AD B C ∥且11AD B C =， ∴11B C ME ∥且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， ∴11EC MB ∥且11EC MB =，又1AF MB ∥且1AF MB =，∴1AF EC ∥且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内．(2)解：在长方形1111ABCD A B C D −中，以1C 为原点，11C D 所在直线为y 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz −，∵2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，∴(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ， 则(2,1,1)EF =−−，(0,1,1)AE =−−，1(0,1,2)A E =−，设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111102000n x y z y n EF AE z ⎧⋅=−+−=⎧⎪⇒⎨⎨−−=⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =−；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则22222221020200n x y z y n EF A E z ⎧⋅=−+−=⎧⎪⇒⎨⎨−+=⋅=⎩⎪⎩，取法向量2(1,4,2)n =−，∴121212cos ,7||||13n n n n nn ⋅<>===⋅+， 设二面角1A EF A −−为θ，则sin 7θ==，即二面角1A EF A −−的正弦值为7． 6．(2020江苏24)在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值； (2)若点F在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】(1)15；(2)13． 【思路导引】(1)建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；(2)先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果． 【解析】(1)连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥Q以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E −∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=−=∴<>==−uu u r uuu r uu u r uuu r 从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15(2)设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩，令112,1(2,1,1)y x z n =∴=−=∴=−u r， 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令()11127,2,5,2,7,5y x z n =−∴==∴=−u u r，12cos ,n n ∴<>==u r u u r，因此sin θ==． 7．(2020浙江19)如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．(I)证明：EF ⊥DB ；(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】(I)证明见解析；(II)3【思路导引】(I)作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；(II)由//DF CH ，∴DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值． 【解析】(I)作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC平面ABC AC =，∴DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ︒∠=∠=，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+−⋅=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥． 由棱台的定义可知，//EF BC ，∴DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．(II)∵//DF CH ，∴DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由(1)可知，BC ⊥平面BHD ，∴平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sin3HG HCG CH ∠===，故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3．。