空间角及其计算
空间角总结
空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
核心考点四 空间角及空间距离的计算
核心考点四 空间角及空间距离的计算方向一：点到平面的距离解法突破：求点到平面的距离的常见方法有：（1）定义法：直接作出点到平面的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离（2）转化法：利用等体积法或者线面平行的位置关系进行转化例1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BP AP ACB BC AC ===∠==,90,20，AC PC ⊥，求点C 到平面APB 的距离。
变式1、如图所示，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，求点C 到平面BD A 1的距离。
⊥OA 底面ABCD ，2=OA ，求点B 到平面OCD 的距离。
例2、如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，21====AA AB CB CA ，61=C A ，0160=∠BAA ，求三棱柱111C B A ABC -的体积。
已知6,2===PA PD PB ，若E 为PA 的中点，求三棱锥BCE P -的体积。
变式2、如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，F 为AB 上一点，该四棱锥的侧（左）视图如图所示，求四面体BFC P -的体积。
变式3、如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,上的点，且32==AE AD ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC ，求三棱锥DEG F -的体积。
方向二：空间角计算（1）异面直线所成的角解法突破：通过“平移法”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，即异面成角问题转化为共面相交成角问题，这是解决异面直线所成角问题的基本思路和方法，其中平移法又包括中位线平移法、选点平移法、补形（体）平移法等具体方法，同时要注意两条一面直线所成的角的范围是]2,0(π。
例3、如图所示，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 是底面ABCD 的中心，F E ,分别是AD CC ,1的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值。
第61讲 空间角及其计算
第65讲 空间的角及计算【考点解读】了解空间三种角的概念，并会求三种角的大小.【知识扫描】1、异面直线,a b 所成的角：范围(0,]2π ① 平移法：过空间上一点（注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就是异面直线,a b 所成的角；（书写时要分三步：作— 指— 求） ② 证明a b ⊥，则a 与b 的夹角为2π； ③ 向量法：求a < ，b >（[0,]π∈)，再确定异面直线a 与b 所成的角((0,2πα∈)。
2、直线与平面所成的角：范围[0,)π① 定义法：找出直线PA 在平面α内的射影AO （射影AO 怎么找），则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角；（书写时要分三步：作— 证— 求） ② 证明a α⊥(或//a α)，则直线a 与平面α所成的角2π（或0）； ③ 向量法：求a 与α的法向量n 所成的角,a n <> ，则直线a 与平面α所成的角θ为,2a n π-<>或,2a n π<>- ，总之有||sin |cos ,|||||a n a n a n θ⋅=<>=⨯。
3、二面角① 直接法：直接作出二面角AB αβ--的平面角（书写时要分三步：作—证— 求）；② 向量法：设平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n所成的角为θ，则所求的二面角为θ或πθ-（要依图形确定是取θ，还是取θπ-）。
【考计点拨】牛刀小试：1．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（B ）A ．43B ．23 C ．433 D ．32．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （B ）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（A）A ．15B 。
3.2.3空间的角的计算
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度 量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交 直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个 平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两 条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
空间的角
EC5551tan .===∠∴∠∴⊥∴⊥FB EB EBF EBF ABCD EB ABCD EF ABCD PD 的角的平面角是和底面底面底面 空间的角一 空间的角主要有：（1）异面直线的角（2）直线和平面的角（3）平面和平面的二面角（1）空间角的计算的主要方法是将空间角转化为平面角，而求平面角主要应用解三角形的知识和余弦定理。
（2）求空间角一般分三步走：第一步：通过平移，做垂线等做出空间角的平面角。
第二步：证明做出的角必须验证符合题意。
第三步：计算注意：（1）要有丰富的空间想象能力，能够做出空间角的平面角。
（2） 要有良好的计算能力，特别是解三角形的计算和余弦定理的计算。
二 两条异面直线所成的角：（1）作图要点：通过平移一条或者同时平移两条直线，使得平行线相交构成平面角。
（2）计算：主要是应用余弦定理计算，那么就要计算出三角形三边的长（计算量一般有点大）。
例题1）在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 是CC ′中点，F 是AD 中点，O 是底面中点，求异面直线D ′F 和OE 所成的角的余弦值。
解：如图2所示：作BC 中点M,连接MC ’， 则FD ’//MC ’。
作MC 中点N ，连接NE 则NE//MC ’//FD ’因此异面直线D ′F 和OE 所成的角的 平面角是∠EONCos ∠EON=NO EO ENNO EO ∙-+2222 =515三 直线和平面所成的角：平面的一条斜线和他在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。
（1）作图要点：在直线上取适当一点，再过点做平面的垂线，连接斜线在平面的交点和垂足所成的直线为射影，则斜线上的店交点和垂足构成一个直角三角形，再用解三角形的知识解出。
例题2）如图：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2,E是PC 的中点。
求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。
解：作CD 的中点F ，连接EF 。
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0° .
记任一直线与平面所成的角为 θ， 则 θ∈ [0°，90°] .
3．二面角 从一条直线 l 出发的两个半平面(α 和β )所组成的图形叫 作 二面角 .记作二面角α lβ，l 叫作二面角的 棱 ，两个 半平面(α 和 β)叫作二面角的
面
.
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O 分别在二面角的两个面α ， β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
外心 垂心
4．如图，棱长都为 a 的正四棱锥中． (1)侧棱与底面所成的角为 为 . ； (2) 侧面 与 底面 所成的 锐 二面 角 的平 面角 的 正弦 值
2 解：(1)此正棱锥的高为 a，故侧棱与底面所成的角 2 为 45° . 2 a 2 6 (2)设侧面与 2
90° 时，这两条异面
2．直线与平面所成的角 (1)射影 自一点 P 向平面α 引垂线， 垂足 P′叫作点 P 在平面α 内的 正射影 (简称 射影 )．PP′的长度称为点 P 到平面 α 的 距离 .图形 F 上所有点在平面α 上的射影构成的图形 F′，叫作图形 F 在平面 α 上的 射影 . (2)平面的斜线
第52讲
空间角及其计算
1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二 面角的平面角的概念． 3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面 角的简单问题．
1．两条异面直线所成的角 过空间
任意 一点分别引两条异面直线的 平行 直
线， 那么这两条相交直线所成的 锐角或直角 叫作这两条异 面直线所成的角，若记这个角为 θ，则 θ∈(0°，90°] . 当两条异面直线所成的角为 直线互相垂直．
6 答案: 45° 3
5．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中． (1)B1B 与平面 A1BC1 所成的角的余弦 值为 ； . (2)二面角 D1BCA 的大小为
解： (1)三棱锥 B1A1BC1 为正三棱锥， 设 B1B 与平面 A1BC1 2 3 × × 2 3 2 6 所成的角为θ，则 cos θ＝ ＝ . 1 3 (2)二面角 D1BCA 的平面角为∠D1CD，其大小为 45° .
由题意可得 AR,AF 分别为 m,n. 故 m,n 所成的角即为 B1D1,D1C 所成的角,其角度为 60° . 3 故 m,n 所成角的正弦值为 . 2 答案：A
点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ， 平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移； 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平 移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识 求解．
解： ∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
答案：D
2． 正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分别是棱 BC、 CC1 的中点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 .
解：平移 EF 到 AD1，则∠AD1B1 为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角，易知△AB1D1 为正三角形，所以 ∠AD1B1＝60° ，所以 EF 与 B1D1 所成的角为 60° .
答案：60°
3．过△ABC 所在平面α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O，连接 PA，PB，PC. (1)若 PA＝PB＝PC，∠C＝90° ，则点 O 是三角形 AB 边的 ． (2)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的 的 ．
答案：中点
．
(3)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC
二面角 αlβ 的平面角，用它来度量二面角 的大小． 二面角 θ 的取值范围为 θ∈ 平面角是直角的二面角叫作
[0°，180°] 直二面角
. .
1．在三棱锥 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、AC、BD 的中点，若 AD 与 BC 所成的角为 60° ，那么∠FEG 为( A．30° C．120° B．60° D．60° 或 120° )
6 答案： 3 45°
异面直线所成的角
直线与平面所成的角 二面角的平面角
考点一· 异面直线所成的角
【 例 1 】 (2016·新 课 标 卷 Ⅰ ) 平 面 α 过 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD＝ m,α∩平面 ABB1A1＝n,则 m,n 所成角的正弦值为( 3 2 A. B. 2 2 3 1 C. D. 3 3 )
解： (方法一)根据平面与平面平行的性质,将 m,n 所成的 角转化为平面 CB1D1 与平面 A1B1C1D1 的交线及平面 CB1D1 与平面 DCC1D1 的交线所成的角. 设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1. 因为平面 α∥平面 CB1D1,所以 m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1, 所以 B1D1∥m1.所以 B1D1∥m. 因为平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1, 同理可证 CD1∥n.
相交 但不和这个平 如果一条直线 m 与平面 α 面 垂直 ，则直线 m 叫作平面α 的斜线，交点称为 斜足 .
(3)直线与平面所成的角 平面α 的一条斜线 PA 和它在平面 α 上的 射影OA 所成 的锐角，叫作斜线与平面所成的角； 平面的垂线与平面所成的角 为 90°； 直线在平面内或直线与平面平行， 此 直线与平面所成的角为
因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的角. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,△CB1D1 是正三角形, 3 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60° ,其正弦值为 . 2
解： ( 方法二 ) 正方体 ABCDA1B1C1D1 的下方补两个相同的正方体,如图. 因为 AR∥B1D1,AR⊄平面 CB1D1,B1D1 ⊂平面 CB1D1,所以 AR∥平面 CB1D1. 同理 AF∥平面 CB1D1, 又 AR∩AF＝A,AR⊂平面 ARF,AF⊂平面 ARF, 所以平面 ARF∥平面 B1CD1,