河北省衡水中学2020届高三下第二次调研考试数学(理)答案
∞）．故选：A．
11．解：由|F1A|：|AB|：|BP|＝2：2：1，可设|BP|＝t，
|AB|＝2t，|F1A|＝2t，由双曲线的定义可得|F2B|＝|F1B|﹣2a＝4t﹣2a，
|F2A|＝|F1A|+2a＝2t+2a， 直线 l 与圆（x﹣c）2+y2＝r2 相切于 P，可得|PF2|＝r，且∠F1PF2＝ 90°，在直角三角形 PBF2 中，t2+r2＝（4t﹣2a）2， 在直角三角形 PAF2 中，9t2+r2＝（2t+2a）2，上面两式消去 r，可得
由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错；
由图 1 知，10 年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，
则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错；故选：D．
4．解：由 sin（
）＝﹣cosα＝2sinα，可得：tanα＝﹣ ，故 tan2α＝
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∴﹣3≤ ＜﹣2，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），解得：﹣ ＜a≤﹣ ，
综上所述： ≤a＜ ，或﹣ ＜a≤﹣ ．故选：B．
9．解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数，基本事件总数 n＝4×5＝20， 其和等于 11 包含的基本事件有：（9，2），（3，8），（7，4），（5，6），共 4 个， ∴其和等于 11 的概率 p＝ ＝ ．故选：A．
又由题知：S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC，
即：
，
∴
，②，把②代入①得：
，
∴ 二．填空题（共 4 小题）
．故选：D．
13．解：画出实数 x，y 满足约束条件
，
表示的平面区域如图：目标函数变形为﹣2x+z＝y，则 z 表示直线在 y 轴上截距， 截距越大，z 越大 作出目标函数对应的直线 L：y＝﹣2x
8t2＝6t•（4a﹣2t），即有 t＝ a，可得 r＝
a，在直角三角形 F1PF2
中，可得 25t2+r2＝4c2，即为 36a2+ a2＝4c2，化为 e＝ ＝
．故选：B．
12．解：由已知得：a＝2•2cosC＝1，
，
第 2页（共 9页）
同理
，
，
由题意：tan∠APB＝tan∠BPC＝tan∠APC，∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°， 由余弦定理得：4＝PA2+PB2+PA•PB，1＝PB2+PC2+PB•PC，4＝PA2+PC2+PA•PC， 三式相加得：9＝2PA2+2PB2+2PC2+PA•PB+PB•PC+PA•PC①
2019-2020 学年度下学期套卷（二）数学理答案
一．选择题（共 12 小题）
1．解：∵
，∴
，∴
，其虚部为 ．故选：A．
2．解：∁RA＝{x|x≤1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}；∴（∁RA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}．故选：B．
3．解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错；
得 a＝lnx2+（
）2﹣1＝﹣ln +（
）2﹣1，
令 t＝ ，由①及 x1＜0＜x2 知，则 0＜t＜ ，且 a＝t2﹣t﹣lnt ，
设 h（t）＝t2﹣t﹣lnt （0＜t＜ ），
则 h′（t）＝2t﹣1﹣ ＝
＝
＜0，∴h（t）在（0， ）上单调递减，
则 h（t）＞h（ ）＝ln2﹣1，又 t→0 时，h（t）→+∞．∴a＞ln2﹣1，则 a 的取值范围是（ln2﹣1，+
＝﹣ ．
故选：A． 5．解：当 x→﹣∞时，
，所以 f（x）→0+，排除 C，D；
因为 x→+∞时，
，所以 f（x）→+∞，因此排除 B，
故选：A．
6．解：∵
≠0，∴
＝
＝
，∴
，
∴
，且
，∴
．故选：D．
7．解：三视图复原的几何体是长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别是：2，2， 3，所以这个几何体的表面积为： ＝20+2 ．
故选：D．
8．解：由题（ax﹣1）2＜x2 恰有 2 个整数解，即（ax﹣1）2﹣x2＜0⇔（（a+1）x﹣1）（（a﹣1）x﹣1）＜0 恰有两个解，∴（a+1）（a﹣1）＞0，即 a＞1，或 a＜﹣1． 当 a＞1 时，不等式解为 ＜x＜ ，∵ ∈（0， ），恰有两个整数解即：1，2， ∴2＜ ≤3，2a﹣2＜1≤3a﹣3，解得： ≤a＜ ； 当 a＜﹣1 时，不等式解为 ＜x＜ ，∵ ∈（﹣ ，0），恰有两个整数解即：﹣1，﹣2，
如图，在棱长为 1 的正四面体 S﹣ABC 中，取 BC 中点 D，连结 SD、AD，
作 SO⊥平面 ABC，垂足 O 在 AD 上，则 AD＝SD＝
＝ ，OD＝
＝，
第 3页（共 9页）
SO＝
＝ ， 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，
球心为 O，且该球与 SD 相切，过球心 O 作 OE⊥SD，则 OE 就是球半径，
不关于直线 x＝﹣ 对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故②正确；
它的最小正周期为 ＝π，故③正确；当 x＝ 时，g（x）＝0，故函数的图象关于点（ ，0）对
称，故④正确；在（0， ）上，2x∈（0， ），g（x）不是单调函数，故排除⑤，故答案为：②③④．
15．解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1，
由
可得 A（2，3）．目标函数 z＝2x+y 线过 A（2，3）时，
直线的纵截距最大，z 取得最大值为 z＝7；故答案为：7． 14．解：将函数 f（x）＝ cos（2x+ ）﹣1 的图象向左平移 个单位长度，
得到 y＝ cos[2（x+ ）+ ]﹣1＝ cos（2x+π）﹣1＝﹣ cos2x﹣1 的图象； 再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）＝﹣ cos2x 的图象． 对于函数 g（x）：它的最大值为 ，由于当 x＝﹣ 时，g（x）＝ ，不是最值，故 g（x）的图象
10．解：由题意知，x1＜0＜x2，当 x1＜0 时，函数 （f x）在点 A（x1，f（x1））处的切线方程为 y﹣（ x12+ x1+a）
＝（ x1+ ）（x﹣x1）；
当 x2＞0 时，函数 g（x）在点 B（x2，g（x2））处的切线方程为 y﹣lnx2＝ （x﹣x2）．
两直线重合的充要条件是 ＝ x1+ ①，lnx2﹣1＝﹣ x12+a②，
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(理)试题(含答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A ．2,1B ．-2，-1C ．3,1D ．-3，-1【答案】C 【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4．已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据命题p 和命题q ，分别得到k 的范围，从而得到答案.【详解】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，则0042x x k =-， 0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5．已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x x =，得()()g x f x x =-，分0x ≤和0x >进行讨论，利用零点存在定理，得到()g x 的零点个数，从而得到答案.【详解】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数， 所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．【详解】 因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰ 所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．7．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e t f t >，构造新函数()()e x f x g x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案.【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0ex f x f x g x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔> ()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( )A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集.【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2x f x x e =-， 所以()2xf x x e '=- 设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-， 当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，。
河北省衡水中学2020届高三下第二次调研考试数学(理)试题
衡水中学2019-2020一．选择题（共12小题）1．复数z 满足，则复数z 的共轭复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．设A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（）A ．{x |x ＞﹣1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{x |﹣1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}3力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW 源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过4．已知sin （）＝2sin α，则tan2α的值为（）A ．B ．C ．D ．风计能国）5．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知非零向量满足，则向量的夹角为（）A．B．C．D．7．某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．16B．20C．D．8．关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）A．，]∪（，]B．（，]∪[，）C．[，）∪（，]D．[，）∪[，）9．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝x2++a（x＜0），g（x）＝lnx（x＞0），其中a∈R．若f（x）的图象在点（x1，f（x1））处的切线与g（x）的图象在点B（x2，g（x2））处的切线重合，则a的取值范围是（）A．（﹣1+ln2，+∞）B．（﹣1﹣ln2，+∞）C．D．（ln2﹣ln3，+∞）11．如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线Γ：＝1（a，b＞0）的左、右焦点，过点F1作直线l，使直线l与圆（x﹣c）2+y2＝r2相切于点P，设直线l交双曲线Γ的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段F1P上），若|F1A|：|AB|：|BP|＝2：2：1，则双曲线Γ的离心率为（）A．5B．C．D．12．在△ABC中，AC＝AB＝2，，P是△ABC内部的一点，若（S表示相应三角形的面积），则（PA+PB+PC）2等于（）A．B．C．9D．二．填空题（共4小题）13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质．①最大值为，图象关于直线x＝﹣对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π；④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、如图，图，1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．M（﹣1，0）的直线，与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物C的焦点，点N满足：＝5，则△ABF与△AMN的面积之和的最小值是．6小题）{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的n项和为Sn，且S3＝14．）求数列{a n}，{b n}的通项公式；）令，（﹣1）n d n＝n c n+n，求数列{d n}的前项和为T n．ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝．）求证：OE⊥平面ABCD；）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，Q﹣BC﹣A的余弦值．（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为点M，与圆O：x2+y2＝4是否存在直线l使得|AM|＝|MN|？若存在，求出直线l20n（n∈N*且n≥2）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这nn份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为n+1次．份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为p（0＜p＜（1）如果n＝4，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当n＝2k（k∈N*且k≥2）时，将这n验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n＝mk（k，m∈N*，且k≥2，m≥2）时，将这n份产品均分为m检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．21.定义在R上的函数f（x）满足，g（x）＝e x﹣a（xf （x ）的解析式；g （x ）的单调区间；s 、t 、r 满足|s ﹣r |≤|t ﹣r |，那么称s 比t 更靠近r ．当a ≥2且x ≥1时，试比较和1+a 哪个更靠近lnx ，并说明理由．xOy 中，设P 为⊙O ：x 2+y 2＝9上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满2＝，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直，点A （ρ1，0）、B （ρ2，）为直线上两点．1）求C 的参数方程；2）是否存在M ，使得△MAB 的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由x ，y ，z 均为正数．1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；2）若＝，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．。
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试理科综合试题
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试理科综合试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 S 32 C U64 Ga 70第Ⅰ卷一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“分子马达”是分布于细胞内部或细胞表面的一类蛋白质，它们的结构会随着与ATP和ADP 的交替结合而改变，促使ATP转化成ADP，同时引起自身或与其结合的分子产生运动。
下列相关分析错误的是A.“分子马达”具有酶的功能B.主动运输可能与“分子马达”有关C. 吸能反应一般与ATP水解反应相联系D. 蛋白质结构改变意味着其失去活性2．下列有关生物实验的叙述正确的是A．在肺炎双球菌的转化实验中，R型菌和S型菌可相互转化B．健那绿染液可以使死细胞中的线粒体呈现蓝绿色，而细胞质接近无色C．在提取纯净的动物细胞膜和植物细胞的质壁分离与复原实验中水的作用原理相近D．染色体数目加倍的细胞所占的比例与固定液处理的时间有关3．兴奋的产生、传导和传递是完成神经调节的基本要求。
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届河北省衡水中学高三第二次调研考试文科数学试卷 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,0322<=≤-+=x x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A ． {}13≤≤-x xB ． {}10≤≤x xC ． {}13<≤-x xD ． {}01≤≤-x x 2．复数12z i =+，若复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则=21z z （ ）A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 4．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若471=a a ，且25274=+a a ，则5S =（ ） A ．32B ．31C ．30D ．295．在△ABC 中,→→→→→→→+===AC AB BP PD AP DC BD μλ,2,,则=+μλ ( ) A ．31-B ．31 C ．21- D ．216.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．12D ．27．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ） A ．3100B ．3104C ．27D ．188如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33==AF DF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）A.73B.721 C.134D.13132 9．在ABC ∆中，345→→→→→→⋅=⋅=⋅AB CA CA BC BC AB ，则=C B A sin :sin :sin ( )A ．8:7:9B ．8:7:9 C ．7:8:6D ．7:8:610．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(01)k k k >≠且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,A B 间的距离为2,动点P满足PAPB=当,,P A B 不共线时，PAB ∆面积的最大值是（ ） A．BCD11．关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是（ ）A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对12．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a << 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+x y y x y x 022022则y x z +=的最大值为_________ .14．已知一组样本数据1021,x x x ，且1802102221=+++x x x ，平均数4=x ，则该组数据的方差为________15．设x x x f 2cos 32sin )(+=，将)(x f 的图像向右平移）（0>ϕϕ个单位长度，得到)(x g 的图像，若)(x g 是偶函数，则ϕ的最小值为___________16.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()2||10f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为________．三、解答题：(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 有0≠n a ，n S 是它的前n 项和，31=a且2,32122≥+=-n S a n S n n n ． （1）求证：数列{}1++n n a a 为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S18．(本小题满分12分)已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为13的等腰三角形，平面⊥CDE 平面BCD ，平面⊥ABC 平面BCD .（1）试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明（2）求点B 到平面AEC 的距离19. (本小题满分12分)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A,B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.20．(本小题满分12分)已知两定点)0,31(),0,31(B A -，点M 是平面内的动点，且4=+++→→→→B B AM AB ,记M 的轨迹是C（1）求曲线C 的方程；（2）过点)0,1(1F 引直线l 交曲线C 于N Q ,两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点.21．(本小题满分12分)已知函数1)(--=x ae x f x（1）若0)(≥x f 对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：)1ln(131211+≥++++n n对任意的+∈N n 恒成立四、选做题（共10分） 22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 过点)1,(a P ,其参数方程为()1为参数，⎧=⎪∈⎨=⎪⎩x a t a R y ，以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos4cos 0ρθθρ+-=．(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2=PA PB ，求实数a 的值．23.(本小题满分10分)已知函数13)(----=m x m x x f（1）若1=m ，求不等式1)(<x f 的解集。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,或,则（）A. B. C. D.【解析】D【解析】因为,所以,应选解析D。
2. 若复数满足为虚数单位）,则复数在复平面内对应地点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】C【解析】因为,所以该复数在复平面内对于地点位于第三象限,应选解析C。
学科网3. 某校为了解学生学习地情况,采用分层抽样地方法从高一人、高二人、高三人中,抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取地人数为,那么高三被抽取地人数为（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取地人数为4. 已知命题；命题,则下列命题中为真命题地是（）A. B. C. D.【解析】A5. 《九章算术》中有如下问题:"今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何？"其大意:"已知直角三角形两直角边长分别为步和步,问其内切圆地直径为多少步？"现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外地概率是（）A. B. C. D.【解析】D【解析】由题意可知:直角三角向斜边长为17,由等面积,可得内切圆地半径为:落在内切圆内地概率为,故落在圆外地概率为6. 若实数满足条件,则地最大值为（）A. B. C. D.【解析】A【解析】根据题意画出可行域:=,所以目标函数最值问题转化为可行域中地点与原点连线斜率地问题,可知取点F,G时目标函数取到最值,F(2,1),G(1,3),所以最大值将点F代入即可得最大值为17. 已知,则二项式地展开式中地常数项为（）学#科#网...A. B. C. D.【解析】B【解析】=2,所以地展开式中地常数项为:,令r=3得常数项为8. 已知奇函数地导函数地部分图象如下图所示,是最高点,且是边长为地正三角形,那么（）A. B. C. D.【解析】D【解析】由奇函数,是边长为地正三角形,可得,是最高点且,得A=,所以9. 如图,网格纸上小正方形地边长为,粗实线画出地是某几何体地三视图,则该几何体地表面积为（）A. B.C. D.【解析】B【解析】从题设所提供地三视图中地图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为地等腰直角三角形,高为4地柱体,如图,其全面积,应选解析B。
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−5,0，1}，则( )A. A ∩B =⌀B. B ⊆AC. A ∩B ={0,1}D. A ⊆B2. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1+2i 3. 下列函数中，x =0是极值点的函数是( )A. y =−x 3B. y =cos 2xC. y =tanx −xD. y =1x4. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤03x −y +1≥0x −y −1≤0，则z =3y −2x 的最小值为( )A. 1B. 2C. −3D. −45. 执行如图所示的程序框图，若输入的n =4，则输出的j =A. 1B. 3C. 5D. 7 6. 一个等差数列第9项为9，则它的前17项和为( )A. 153B. 144C. 17D. 1627. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，若ξ在(80,100)内的概率为0.6，则任意选取一名参加本次数学测试的学生，该生成绩不低于100分的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.48. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22D. −√229. 若(x 2+1)(x −3)9=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+⋯+a 11(x −2)11，则a 1+a 2+⋯+a 11的值为( )A. 0B. −5C. 5D. 25510. 椭圆x 212+y 28=1与曲线x 28−k −y 2k−12=1(k <8)的( )A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同11. 已知函数f(x)={3(a −3)x +2,x ≤1,−4a −lnx,x >1,对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [1,3)12. 四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥面ABC ，AD =√7，AB =3，BC =4，此四面体的外接球的表面积为( )A. 28πB. 32πC. 36πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(如图)为某四棱锥的三视图，则该几何体体积为______14. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |=____________． 15. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足：S n+a n=n−1，n=1，2，…，n，则S2019=________．n(n+1)三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=√3a.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，且a>c，b=√7，求边a，c．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(Ⅰ)画出甲、乙两产品数据的茎叶图；(Ⅱ)现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.设椭圆C:x2+y2=1的右焦点为F，过点(m,0)(|m|≥1)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且4坐标原点O(0,0)到直线l的距离为1．(1)当m=1时，求直线AF的方程；(2)求ΔABF面积的最大值．ax2+lnx，g(x)=−bx，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．21.已知函数f(x)=12(1)若f(x)在x=√2处取得极值，且f′(1)=g(−1)−2，求函数ℎ(x)的单调区间；2(2)若a=0时函数ℎ(x)有两个不同的零点x1、x2．①求b的取值范围；>1．②求证：x1x2e222.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E．(I)求证：DE2=AE⋅BE；(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．24.求y=3sin x+2√2+2cos2x的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−16<0}={x|−4<x<4}，B={−5,0，1}，则A∩B={0,1}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：由题意可得z=2+i．复数的共轭复数为：2−i．故选：B．利用表格写出复数z，然后求解共轭复数即可．本题考查复数的几何意义，是基础题．3.答案：B解析：A.y=−x3，∵y′=(−x3)′=−3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点.B．y= cos2x，y′=(cos2x)′=2cosx(−sinx)=−sin2x，当x<0时，−sin2x>0，y′>0；当x>0时，−sin2x<0，y′<0，所以x=0是y=cos2x的极大值点.C．y=tanx−x，y′=(tanx−x)′=1cos2x−1，当x<0或x>0时，0<cos2x<1，y′>0，∴x=0不是极值点.D．y=1x ，y′=(1x)′=−1x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点．4.答案：D解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =3y −2x 得y =23x +z3，平移直线y =23x ，由图象可知当直线y =23x +z3经过点A 时，直线y =23x +z3的截距最小，此时z 最小，由{x −y −1=03x −y +1=0，解得A(−1,−2)， 将A(−1,−2)的坐标代入目标函数z =3y −2x ，得z =3×(−2)−2×(−1)=−4， 即z =3y −2x 的最小值为−4． 故选D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属基础题． 模拟算法，可得输出的j 的值． 【解答】解： 框图的执行过程如下表：i 1 2 3 4 j 1 3 3 5 5． 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质，根据前n项和与通项的关系即可求解．【解答】解：S17=17×(a1+a17)2=17a9=17×9=153．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题考查正态曲线的性质，利用对称性求解．【解答】解：ξ服从正态分布N(90,σ2)，所以正态曲线关于直线x=90对称，由若ξ在(80,100)内的概率为0.6，得ξ在(90,100)内的概率为0.3，所以该生成绩不低于100分的概率为0.5−0.3=0.2，故选A．8.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.答案：C解析：解：在(x2+1)(x−3)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+⋯+a11(x−2)11中，令x=2，得a0=(4+1)×(−1)=−5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=(9+1)×0=0；∴a1+a2+a3+⋯+a11=5．故选：C．在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+⋯+a11，从而求得结果．本题考查二项式定理的应用问题，利用赋值法求出结果，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出c，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：因为椭圆方程为x212+y28=1，所以a=2√3，b=2√2，c=2，焦点在x轴上．曲线x28−k −y2k−12=1(k<8)，因为k<8，所以8−k>0，k−12<0，曲线方程可写为：x28−k +y212−k=1(k<8)，12−k>8−k，所以曲线为焦点在y轴上的椭圆，a=√12−k，b=√8−k，c=2，所以焦距相等正确．故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的判断和应用，考查不等式的解法和运算能力，属于中档题．【解答】解：由(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]>0对任意x1≠x2成立，得(x 1−x 2)·[f(x 1)−f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数对任意x 1≠x 2成立， 则{a −3<0,3(a −3)+2≥−4a,解得1≤a <3． 故选D ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键，属于基础题．由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD 的外接球的半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】 解：由题意，由AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，可得△ABC 外接圆的半径为52， ∵AD ⊥平面ABC ，AD =√7，∴四面体ABCD 的外接球的半径为12DC =12√7+25=2√2， ∴球O 的表面积为4π×8=32π． 故选：B ．13.答案：83解析： 【分析】根据四棱锥的三视图知，四棱锥是侧放的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题． 【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是边长为2的正方形，高为2；所以该四棱锥的体积为V 四棱锥=13×22×2=83． 故答案为：83．14.答案：103解析： ↵ 【分析】考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可． 【解答】解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．15.答案：2解析： 【分析】求出y 2=4x 的准线l ：x =−1，由抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，从而得出A 、B 的坐标，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a ，b ，c 的关系式得出出a ，c 的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵y 2=4x 的准线l ：x =−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=√3，∴b2=3a2，又b2=c2−a2∴3a2=c2−a2，即4a2=c2，∴e=ca=2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．16.答案：12020−(12)2019解析：解：数列{a n}的前n项和为S n满足：S n+a n=n−1n(n+1)，n=1，2，…，n．则：当n=1时，S1=0，当n≥2时，S n+S n−S n−1=2S n−S n−1=1n+1−(1n−1n+1)，所以：S n−1n+1=12(S n−1−1n)=(12)n−1(S1−12)=−(12)n，故：S n=1n+1−(12)n故：S2019=12020−(12)2019，故答案为：12020−(12)2019首先利用关系式的恒等变换求出数列的和的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)在锐角△ABC中，∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，∴sinB=√32，B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，∴7=(a+c)2−2ac−2accosπ3，化为：ac=6，与a+c=5，a>c，联立解得：a=3，c=2．解析：(1)由2bsinA=√3a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，代入化简解出即可．本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：(Ⅱ)x 甲=18(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3)=8.5， x 乙=18(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5，S 甲2=18[(8.3−8.5)2+(9.0−8.5)2+(7.9−8.5)2+(7.8−8.5)2+(9.4−8.5)2+(8.9−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.3−8.5)2]=0.27，S 乙2=18[(9.2−8.5)2+(9.5−8.5)2+(8.0−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8.1−8.5)2+(9.0−8.5)2+(8.5−8.5)2]=0.405，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适． (Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12， ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B(3,12)，∴P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)(12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P18383818×18+×38+×38+×18=32．解析：(Ⅰ)由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．(Ⅱ)分别求出x 甲，x 乙，S 甲2，S 乙2，得到x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．(Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,12)，由此能求 本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ， 则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n ⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)焦点F(√3,0)，当m =1时，直线l:x =1，点A(1,±√32)，k AF =√32−01−√3或−√32−01−√3，∴直线AF 的方程为：y =−√3+34(x −√3)或y =√3+34(x −√3)；(2)当直线l 的斜率不存在时，m =±1， S ΔABF =3−√32或3+√32．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程{x 24+y 2=1y =k(x −m)，得(1+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8mk 21+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2k 2−41+4k 2．由题意知|km|√1+k 2=1，即k 2m 2=k 2+1 ①，，利用①式，消去k ，得|y 1−y 2|=4√3m 2+3， ∴，当m <−1或1<m <√3时，S ΔABF =2√3(√3−m)m 2+3， 令t =√3−m ，t ∈(0,√3−1)∪(√3+1,+∞) ， 则；当m >√3时，S ΔABF =2√3(m−√3)m 2+3， 令t =m −√3，，则；∴当m =−1时，ΔABF 面积的最大值为3+√32．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题．(1)当m =1时，直线l ：x =1，点A(1,±√32)，从而直线AF 有两个，利用点斜式方程即可;(2)当直线的斜率不存在时，m =±1，此时S ▵AFB =3√32；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程组，用点A 、B 的坐标表示出S ▵ABF =12|m −√3|⋅|y 1−y 2|=2√3|m−√3|m +3，通过换元用 基本不等式解决．21.答案： 解：(1)因为f ′(x)=ax +1x ，所以f ′(1)=a +1，由f′(1)=g(−1)−2可得a =b −3，又因为f(x)在x =√22处取得极值，所以f′(√22)=√22a +√2=0，所以a =−2，b =1， 所以，其定义域为，ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x令ℎ′(x)=0得x 1=−12，x 2=1， 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0， 当ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；(2)当a =0时，，其定义域为，①ℎ′(x)=1x +b ，当b ⩾0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在上单调递增，不合题意，当b <0时，ℎ(x)在(0,−1b )上单调递增，在上单调递减，因为ℎ(x)有2个不同零点，所以ℎ(−1b )>0，即b ∈(−1e ,0)， 此时存在1<−1b <4b 2 ，使得ℎ(1)=b <0，ℎ(4b 2)<0， 又ℎ(x)在(0,−1b )和都连续， 所以ℎ(x)在(0,−1b )和各有一个零点，所以b 的取值范围为(−1e ,0)． ②由题意得，，所以，，所以，不妨设x 1<x 2， 要证x 1x 2>e 2，只需要证，即证，设t=x2x1(t>1)，则，因为F(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数F(t)在上单调增，而F(1)=0，所以F(t)>0即，所以x1x2>e2，所以x1x2e2>1．解析：【分析】本题考查函数的综合应用问题，属于较难题，应用导数解决函数的极值，零点，单调区间以及利用不等式求解参数的取值范围和证明相关问题．(1)利用导数解决极值，由导函数与0的关系，求单调区间；(2)利用导数，利用函数与方程，利用函数的零点求出b的范围，构造函数证明不等式．22.答案：证明：(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE//CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴DEBE =AEDE，∴DE2=AE⋅BE．解：(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA⋅EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB−EA=6，由(Ⅰ)知DE2=AE⋅BE，∴DE=4，∵DE//CA，∴△BAC∽△BED，∴BABE =ACED，∴AC=BA⋅EDBE =6×48=3．解析：(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE⋅BE．(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA⋅EB，由DE//CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外， 所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．24.答案：解：y =3sinx +2√2+2cos2x =3sinx +4√cos 2x ．由柯西不等式得：y 2=(3sinx +4√cos 2x)2≤(32+42)(sin 2x +cos 2x )=25， 所以y max =5，此时sinx =35， 所以函数的最大值为5．解析：本题考查利用柯西不等式求函数的最值，由柯西不等式得到y2=(3sinx+4√cos2x)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25，即可求出答案．。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期第二次调研试题理(含解析)
uuur uuur uuur AB AC 且 AP
uuur BC ，
则实数 的值为__________．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为 AP BC ，所以 AP BC 0 ．
AP
BC
(
AB
AC)
( AC
AB)
AB
AC
2 AC
－
2 AB
AB
AC
＝
( 1) AB AC cos 60 AC |2 AB |2 ＝ 2( 1) 4 4 2 2 0 ，解得 1 ．
【解析】
试题分析：令 x 0 ，得 a0 1；令 x 1 ，得 2 a0 a1 a2 a8 ，即
a1 a2 a8 3 ．又 a8 (2)7 C77 128 ，所以 a1 a2 a7 3 a8 125 ，
故选 C．
考点：二项式定理．
10.已知圆 C1 ： x2
2cx
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离， 就是球的半径，
三棱柱中，底面 BDC ， BD CD 1, BC 3 , BDC 120 ，
BDC
的外接圆的半径为
1 2
sin
3 120
1
，
3 由题意可得：球心到底面的距离为 2 .
r 3 1 7
球的半径为
y2
0 ，圆 C2 ： x2
2cx
y2
x2 0 ， c 是椭圆 C ： a2
y2 b2
1
的
半焦距，若圆 C1 ， C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A.
1 2
,1
【答案】B
B.
0,
1 2
高考数学专题—算法与程序框图
高考数学专题—算法与程序框图一、基础知识要求1．算法与程序框图(1)算法:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤；(2)程序框图:程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构及相应语句易错点：直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．二、算法与程序框图常见题型：（共4种题型：由程序框图求输出结果、由输出结果判断输入量的值、辨析程序框图的算法功能、完善程序框图）1、由程序框图求输出结果：已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．例1、【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-例2、【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A ．2B ．12C ．13D ．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A ．例3、【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选B ．例4、【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k ＝0.4，S ＝0，n ＝1， S 11133==⨯， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝2，S 11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝3，S 11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=， 此时，满足条件S ＞0.4，退出循环，输出n 的值为3. 故选：C ．例5、【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =.故选：C．例6、【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i=A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z∈，1422S=⨯=，314i=+=，1S≠；第五次循环，12S Z∈，1212S=⨯=，415i=+=，1S=；此时输出5i=.故选：B例7、【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C ．2、由输出结果判断输入量的值例8、【2020·黑龙江哈尔滨六中期中】执行如图所示的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为( )A ．3B ．6C ．5D ．4【解析】 (1)第1次循环，n ＝1，S ＝12；第2次循环，n ＝2，S ＝12＋122；第3次循环，n ＝3，S ＝12＋122＋123；第4次循环，n ＝4，S ＝12＋122＋123＋124＝1516.因为输出的结果为1516，所以判断框的条件为n <4，所以输入的a 为4.故选D.例9、我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为( )A ．4.5B ．6C ．7.5D ．9【解析】选B.由程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k 3×4＝1.5，解得k ＝6，故选B.例10、执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示:此时故选D. 例11、【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C ．3、辨析程序框图的算法功能：对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．例12、执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足 ( ) A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x【答案】C【解析】由题图可知,x=0,y=1,n=1,执行如下循环: x=0,y=1,n=2;x=12,y=2,n=3;x=12+1=32,y=6,退出循环,输出x=32,y=6,验证可知,C 正确.例13、执行如图所示的程序框图,输出的结果为 ( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)【答案】B【解析】x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x,y),即(-4,0).例14、执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+12+13+14B.1+12+13×2+14×3×2C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×2 【答案】B【解析】由程序框图依次计算可得,输入N=4, T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3; T=13×2,S=1+12+13×2,k=4; T=14×3×2,S=1+12+13×2+14×3×2,k=5; 此时k 满足k>N,故输出S=1+1+1+1.例15、如果执行下边的程序框图,输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A,B,则( )A.A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和B. A+B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数 【答案】C【解析】随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.例16、【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．4、完善程序框图：完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．例17、【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；a b > 【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B例18、【2019·全国1·理T8文T9】下图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( )A.A=12+A B.A=2+1A C.A=11+2AD.A=1+12A【答案】A【解析】执行第1次,A=12,k=1≤2,是,第一次应该计算A=12+12=12+A ,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+A,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=12+A,故选A. 例19、【2018·全国2·理T7文T8】为计算S=1-12+13−14+…+199−1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( ) A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4【答案】B【解析】由于N=0,T=0,i=1,N=0+11=1,T=0+11+1=12,i=3,N=1+13,T=12+14,i=5…最后输出S=N-T=1-12+13−14+…+199−1100,一次处理1i 与1i+1两项,故i=i+2. 例20、下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ) A.A>1 000和n=n+1 B.A>1 000和n=n+2 C.A ≤1 000和n=n+1 D.A ≤1 000和n=n+2【答案】D【解析】因为要求A 大于1 000时输出,且程序框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入A>1 000,排除A,B.又要求n 为偶数,且n 初始值为0,所以“”中n 依次加2可保证其为偶数,故选D.例21、执行下面的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为( ) A.x>3B.x>4C.x ≤4D.x ≤5【答案】B【解析】因为输入的x 的值为4,输出的y 的值为2,所以程序运行y=log 24=2. 故x=4不满足判断框中的条件,所以空白判断框中应填x>4.例22、【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则y x∈S ．下列命题正确的是A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.例23、【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足； 对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足； 对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足； 故选：C。
河北省衡水市2020届高三数学二模试题 理(含解析)
2020学年度第二学期二模考试 高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（ ）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。
衡水中学2022年高考数学复习分项汇编 专题06 三角函数【理科】(原卷版+解析版)
专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位D ．向右平移2π个单位3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．20146. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－22. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________. 四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===． （1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积．专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-【答案】B 【解析】由题可得22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===++，解得3tan 4α=±. ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4α∴=-，因此，sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：B.2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A 【解析】如图所示：()()f x x g x x ωω===，故tan 1x ω=，,4k x k Z ππωω=+∈. 取靠近原点的三个交点，3,14A πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,14B πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14C πω⎛⎫- ⎪⎝⎭， ABC ∆为等腰直角三角形，故532444πππωωω+==，故2πω=，故()2f x x π=，()222g x x x πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 故为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象向左平移1个单位 . 故选：A .3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立【答案】D 【解析】因为()3sin 2sin 21sin 22121326f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51136f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭既不是最大值也不是最小值，所以直线3x π=不是其图象的对称轴，故A 错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且01112f π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭是其对称中心，故B 错误；任取方程()1f x =得到的两个根，即为方程sin 206π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 的任意两根，它们之间相差为2T 的整数倍，且22T ππ==，所以它们彼此之间相差的是2π的整数倍，故C 错误；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时()f x 1+1，所以对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()12321f x f x f x +>≥恒成立，故D 正确.故选：D.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈.因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确；当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭ ⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【解析】 ∵a 2+b 2=2014c 2，∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosB sinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）AB．C．D．【答案】C 【解析】由题意可得：72ACB ∠=︒，且12cos BCACB AC ∠=所以22cos1442cos 72121︒=︒-=⨯-=⎝⎭所以()()sin1674sin 2344360sin 234sin 14490cos144︒=︒+⨯︒=︒=︒+︒=︒= 故选：C7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C 【解析】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽， 所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C 【解析】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】 解：由题意可得：32cos (2,2)2cos sin cos 44()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]44xx k k x x x f x x x x x x x x xx k k ππππππππ⎧∈-+⎪<⎧⎪=++-==⎨⎨⎩⎪∈++⎪⎩，函数图象如下所示故对称轴为4x k ππ=+，()k Z ∈，故A 正确；显然函数在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故B 错误；当524x k ππ=+，()k Z ∈时函数取得最小值()min f x =D 错误； 要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则112πx k 或1122x k ππ=+，222x k π=或2222x k ππ=+，()12,k k Z ∈所以2122x x k ππ+=+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．故选：BCD ．2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】AD 【解析】解: 因为π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4sin 55α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以324sin 2π525α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭．故选: AD3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为【答案】ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos ,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度，得()2cos 2sin 22x x g x π+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()()2sin 2sin 22x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 为奇函数，故A 正确；由周期公式2412T ππ==，所以()g x 的周期为4π，故B 正确； 又()g x 在x π=时取得最小值2-，所以()g x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；令322222x k k ππππ++，解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ 所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以最小值为()2g π=-，故D 错误.故选：ABC. 三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.【解析】由正弦定理将3cos 3cos 5sin b C c B a A +=变形可得 23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=， 由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =， 而A 是锐角，所以4cos 5A =， 则由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则222228855b c bc a b c bc bc bc +-+==-28255bc bc -=≥，当且仅当b c =时，2a bc取得最小值25，故2225ab =，故a ，所以a b c +.故答案为:2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2 【解析】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π）∴2A+6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA3sin故答案为23. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5 【解析】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【解析】由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为：[0,5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】在ABC中，易求sin B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin AC r B ==，所以r =.四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =，连接AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠222224=+-⨯⨯， 所以2BD =；（2）由题意可得360150ADC ABC BAD BCD ∠=︒-∠-∠-∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理sin sin AC CDADC β=∠，在ABC 中，由正弦定理sin sin AC BCABC α=∠，两式相除可得：sin sin sin sin CD ABCBC ADCαβ∠⋅=∠，所以sin sin 2sin sin ABC BC ADC CD αβ∠=⋅∠所以sin sin αβ 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A B A B +=A B C π++=∴sin sin()C A B =+sin sin()sin cos sin B A B A B A B ++=化简得sin cos 1)0B A A --=sin 0B >，cos 1A A -=，可得：1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0A x <<∴3A π=（2）由已知a =1），根据余弦定理得2212cos 2b c A bc+-=， 即2211222b c bc+-=， ∴2212bc b c =+-222b c bc +≥，12bc ≤（当且仅当b c =时取号）∴111sin 12222ABC S bc A bc ==⋅=△b c =时取号）3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +，若2b c =，则a =， ∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B 2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .【答案】选择见解析；π6C =，1S =【解析】选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =或5π6C =. 若5π6C =，由sin sin A B = 而π6A <，π6B <，从而1sin sin 4A B <，矛盾，舍去.故π6C =， 接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==，111sin 4(11222ABCSab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1）得cos C =，即cos cos sin sin A B A B -=sin sin A B，cos cos A B ∴=1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3B A -=， 当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，由正弦定理得π2sinsin 4πsin sin6c B b C ===117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==△当π3B A -=时，同理可得1ABCS =故△ABC的面积为1选②2cos 222CC -=，因为2cos 222C C -=，所以22cos 1cos )20C C --=，即22cos 30C C -=，(2cos 0C C +=，所以cos C =或cos C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =. 以下同解法同①，选③()sin sin sin a A b B c C +=，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得()22a abc +=，即222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==0πC <<，π6C ∴=， 以下解法同①.5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1；（2． 【解析】（1）在ABC 中，π3ABC ∠=，3AB =，1BC =， 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2213123172=+-⨯⨯⨯=，所以AC = 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，sin sin BC ABC BAC AC ⋅∠∠=== 在AOB 中，由正弦定理得sin sin OB OA BAC ABD=∠∠， 即sin sin OB ABD OA BAC ⋅∠=⋅∠，同理，在AOD △中，sin sin OD ADB OA DAC ⋅∠=⋅∠．又因为sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，所以sin sin OA BAC OA DAC ⋅∠=⋅∠．所以sin sin DAC BAC ∠=∠= （2）在ADC 中，由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC=∠∠，=，所以1CD =． 又由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅， 即211722AD AD+--=，解得2AD =． S 四边形ABCD 11sin sin 22△△=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯∠ADC ABC S S AD AC DAC AB AC BAC ()1sin 2AC DAC AD AB =⨯∠⨯+=． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）2【解析】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1，∴AB在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC1060(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACBsin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB·cos30°－cos ∠ACB·sin30°由正弦定理得AD 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；CD =【解析】解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=. 因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形. 因为1,3AD AB = 所以在ADC 中，由余弦定理得CD== 选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin 3aπ=所以 3.a =故CD =选择条件②：由ADC得ABC2=解得 3.a =故CD =选择条件③：由BDC的周长为5，得253a a += 所以 3.a =故CD =8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）在ABC 中，2,1AB AC BC ===，由余弦定理得2221cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠===-⨯． 因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=． （2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽， 所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =．所以114sin 2sin 2233ADE S AD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．。