中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.
(1)求证:△MED∽△BCA;
(2)求证:△AMD≌△CMD;
(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=
17
5
S1时,求cos∠ABC的
值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 .
【解析】
【分析】
(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD;
(3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以
2
1
1
4
ACB
S MD
S AB
??
==
?
??
,所以
S△MCB=1
2
S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=
2
5
S1,由于1
EBD
S ME
S EB
=,从而可
知
5
2
ME
EB
=,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=
7
2
,最后根据锐角三角函数的
定义即可求出答案.
【详解】
(1)∵MD∥BC,
∴∠DME=∠CBA,
∵∠ACB=∠MED=90°,
∴△MED∽△BCA;
(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,∴MB=MC=AM,
∴∠MCB=∠MBC,
∵∠DMB=∠MBC,
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC,
∵∠AMD=180°﹣∠DMB ,
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,
MD MD AMD CMD AM CM =??
∠=∠??=?
, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,
由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴
2
114
ACB S MD S
AB ??== ???,
∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =
1
2
S △ACB =2S 1, ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2
5
S 1, ∵
1EBD
S ME
S
EB
=
, ∴1125
S ME
EB S =
,
∴
5
2
ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x ,
∵
1
2MD ME AB BC ==, ∴BC=10x ,
∴cos ∠ABC=105
147
BC x AB x ==. 【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
2.在Rt △ACB 和△AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE. 特殊发现:
如图1,若点E 、F 分别落在边AB ,AC 上,则结论:PC =PE 成立(不要求证明). 问题探究:
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转.
(1)如图2,若点E 落在边CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)记
AC
BC
=k ,当k 为何值时,△CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时,CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】
(1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有
EM FP
MC PB
=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.
(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC
BC
=tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可. 【详解】
解:(1)PC=PE 成立,理由如下:
如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,
∴EM FP
=,∵点P是BF的中点,∴EM=MC,又∵PM⊥CE,∴PC=PE;
MC PB
(2)PC=PE成立,理由如下:
如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF和△EAF中
,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA,AF=AF,
∴△DAF≌△EAF(AAS),
∴AD=AE,在△DAP和△EAP中,
∵AD=AE,∠DAP=∠EAP,AP=AP,
∴△DAP≌△EAP(SAS),
∴PD=PE,
∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,
∴FD∥BC∥PM,
∴DM FP
=,
MC PB
∵点P是BF的中点,
∴DM=MC,又∵PM⊥AC,
∴PC=PD,又∵PD=PE,
∴PC=PE;
(3)如图4,∵△CPE总是等边三角形,
∴∠CEP=60°,
∴∠CAB=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°,
∵
AC k BC ,AC
BC
=tan30°, ∴k=tan30°=3
3
, ∴当k 为
3
3
时,△CPE 总是等边三角形.
【点睛】
考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.
3.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)
【答案】22.4m 【解析】 【分析】
首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】
解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3,
∴FG =
tan 3
AG AFG =∠,
在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG
CG
, ∴CG =
tan AG
ACG ∠=3AG .
又∵CG ﹣FG =24m ,
即3AG ﹣3
=24m , ∴AG =123m , ∴AB =123+1.6≈22.4m .
4.如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D 从点A 出发,在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动,连结CD ,作点A 关于直线CD 的对称点E ,设点D 运动时间为t (s ).
(1)若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形,求t 的值; (2)若△BDE 为直角三角形,求t 的值; (3)当S △BCE ≤
9
2
时,所有满足条件的t 的取值范围 (所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=23 【答案】(133
;(23秒或3秒;(3)6﹣3 【解析】 【分析】
(1)如图1,先由勾股定理求得AB 的长,根据点A 、E 关于直线CD 的对称,得CD 垂直平分AE ,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE ,所以AD=DE=BD ,由3,可得t 的值;
(2)分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据t的值;
②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,
②当△BCE在BC的上方时,
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.
【详解】
解:(1)如图1,连接AE,
由题意得:AD=t,
∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,
∴BC=2AC=6,
∴
∵点A、E关于直线CD的对称,
∴CD垂直平分AE,
∴AD=DE,
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,
∴DE=BD,
∴AD=BD,
∴t=AD=
;
2
(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,
∵CD垂直平分AE,
∴AD=DE=t,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2t,
∴
∴
②当∠EDB=90°时,如图3,
连接CE,
∵CD垂直平分AE,
∴CE=CA=3,
∵∠CAD=∠EDB=90°,
∴AC∥ED,
∴∠CAG=∠GED,
∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,
∴△AGC≌△EGD,
∴AC=DE,
∵AC∥ED,
∴四边形CAED是平行四边形,
∴AD=CE=3,即t=3;
综上所述,△BDE为直角三角形时,t的值为3秒或3秒;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,
此时S△BCE=1
2
AE?BH=
1
2
×3×3=
9
2
,
易得△ACG≌△HBG,
∴CG=BG,
∴∠ABC=∠BCG=30°,
∴∠ACE=60°﹣30°=30°,
∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,∴△ACD≌△ECD,
∴∠ACD=∠DCE=15°,
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3,
∴t=6﹣33,
由图形可知:0<t<6﹣33时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,
此时S△BCE=1
2
CE?DE=
1
2
×3×3=
9
2
,此时t=3,
综上所述,当S△BCE≤9
2
时,t的取值范围是6﹣33≤t≤3.
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.
5.阅读下面材料:
观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sin B =AD c ,sin C =AD
b
,即AD =c sin B ,AD =b sin C ,于是c sin B =b sin C ,即
sin sin b c B C = .同理有:sin sin c a
C A
=,sin sin a b A B
=,所以sin sin sin a b c
A B C ==. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图,△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =60,则AB = ;
(2)如图,一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A 的距离AB . (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)
【答案】(1)6;(2)6海里;(3)
6+2
4
.
【解析】
【分析】
(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB的值.
(2)此题可先由速度和时间求出BC的距离,再由各方向角得出∠A的角度,过B作
BM⊥AC于M,求出∠MBC=30°,求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长,由勾股定理求出AB即可;
(3)在三角形ABC中,∠A=45,∠ABC=75,∠ACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形ABD,BCD,在直角三角形ABD中可求出AD的长,进而可求出sin75°的值.【详解】
解:(1)在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则∠A=60°,
∵AB
sinC =
sin
BC
A
,
∴
45
AB
sin
=
60
sin60
,
即2
2
=3,
解得:AB=206.
(2)如图,
依题意:BC=60×0.5=30(海里)∵CD∥BE,
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°,
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°.
∴∠ABC=75°,
∴∠A=45°,
在△ABC中,
sin AB ACB
∠=
BC
sin A
∠即60?
AB
sin
=
30
45?
sin,
解之得:AB=156.
答:货轮距灯塔的距离AB=156海里.
(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.
在直角三角形ABM中,∠A=45°,AB=156,
所以AM=153,在直角三角形BDC中,∠BCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,所以AC=153+15,
由题意得,15315
75
+
=
156
60
,sin75°=
6+2
.
【点睛】
本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长:_________________;
(2)当t =__________时,点Q与点C重合时;
(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,求出t的值.
【答案】(1);(2)1;(3)t的值为或或.
【解析】
【分析】
(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;
(2)利用AQ=AC,即可得出结论;
(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.
【详解】
(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°
∴AC= , AD=
∴CD=;
(2)AQ=2AD=
当AQ=AC时,Q与C重合
即=
∴t=1;
(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,
∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.
∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=
②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,
∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.
在Rt△NMQ中,
∵AN+NQ=AQ,∴
③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,
∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°.
∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1.
在Rt△PEH中,PH=2PE=2t.
∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=.
即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为或或.
【点睛】
此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.
7.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.
(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)
(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽
略不计,参考数据:tan53°≈4
3
,tan63.4°≈2)
【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】
分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.
详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,
∵斜坡的坡度i=5:12,
设PF=5x,CF=12x,
∵四边形BFPE为矩形,
∴BF=PEPF=BE.
在RT△ABC中,BC=90,
tan∠ACB=AB BC
,
∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,
∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.
在RT △AEP 中, tan ∠APE =1805490123
AE x EP x -≈=+, ∴x =
207
, ∴PF =5x =
100
14.37
≈. 答:此人所在P 的铅直高度约为14.3米.
由(1)得CP =13x ,
∴CP =13×
20
7
≈37.1,BC +CP =90+37.1=127.1. 答:从P 到点B 的路程约为127.1米.
点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.
8.如图所示,一堤坝的坡角62ABC ∠=?,坡面长度25AB =米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角50ADB ∠=?,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01 米)(参考数据:sin620.88?≈,cos620.47?≈,
tan50 1.20?≈)
【答案】6.58米 【解析】
试题分析:过A 点作AE ⊥CD 于E .在Rt △ABE 中,根据三角函数可得AE ,BE ,在Rt △ADE 中,根据三角函数可得DE ,再根据DB=DE ﹣BE 即可求解. 试题解析:过A 点作AE ⊥CD 于E . 在Rt △ABE 中,
∠ABE=62°. ∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米,
BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米, 在Rt △ADE 中,∠ADB=50°, ∴DE==18
米,
∴DB=DE ﹣BE≈6.58米. 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
9.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°,条幅底端E 点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米,求条幅AE 的长度.(结果保留根号)
【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】
在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】
过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知:四边形CDBF 为矩形
12CF DB ∴==
在Rt ACF 中,45ACF ∠=?
tan 1AF
ACF CF
∴∠=
= 12AF ∴=
在Rt CEF 中,30ECF ∠=? tan EF
ECF CF
∴∠=
3
123
EF ∴
=
43EF ∴=
1243AE AF EF ∴=+=+ ∴求得AE 的长为()
1243+
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
10.如图,AB 是圆O 的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD .延长PD 交圆的切线BE 于点E
(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线,并说明理由; (2)如果∠BED=60°,PD=3,求PA 的长;
(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ,点F 正好在圆O 上,如图2,求证:四边形DFBE 为菱形.
【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接OD ,由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD 为⊙O 的切线;
(2)根据BE 是⊙O 的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD 为⊙O 的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD ,由勾股定理得OP ,即可得出PA ;
(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF ,由AB 是圆O 的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x 的值,可得出△BDE 是等边三角形.进而证出四边形DFBE 为菱形. 【详解】
(1)直线PD 为⊙O 的切线, 理由如下: 如图1,连接OD ,
∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,
∴∠BDO=∠PBD,
∵∠PDA=∠PBD,
∴∠BDO=∠PDA,
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∵点D在⊙O上,
∴直线PD为⊙O的切线;
(2)∵BE是⊙O的切线,
∴∠EBA=90°,
∵∠BED=60°,
∴∠P=30°,
∵PD为⊙O的切线,
∴∠PDO=90°,
在Rt△PDO中,∠P=30°,3
∴0 tan30
OD
PD
=,解得OD=1,
∴22
PO PD OD
+,
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;
(3)如图2,
依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,
∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,∵四边形AFBD内接于⊙O,
∴∠DAF+∠DBF=180°,
即90°+x+2x=180°,解得x=30°,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,
∵BE、ED是⊙O的切线,
∴DE=BE,∠EBA=90°,
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,
∴BD=DE=BE,
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴BD=DF=BF,
∴DE=BE=DF=BF,
∴四边形DFBE为菱形.
【点睛】
本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
人教数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=, 2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到
1cm)? 【答案】 【解析】 于F,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可. 3.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm. (1)AE的长为 cm; (2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值; (3)求点D′到BC的距离. 【答案】(1);(2)12cm;(3)cm. 【解析】 试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案: ∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.
锐角三角函数单元测试题
锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA= 4 3,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B .323 C .10 D .12 2、已知∠A 是锐角,且sinA= 3 2 ,那么∠A 等于( ) A .30°B .45° C .60° D .75° 4、化简2)130(tan - =( )。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A 、∠B 的对边是a 、b ,且满足02 2=--b ab a ,则tanA 等于( ) A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A .1 4 B . 13 C .1 2 D .2 (1) (2) (3) 7、如图2所示,已知⊙O 的半径为5cm ,弦AB 的长为8cm ,P?是AB?延长线上一点,?BP=2cm ,则tan ∠OPA 等于( ) A . 32 B .23 C .2 D .1 2 8、如图3,起重机的机身高AB 为20m ,吊杆AC 的长为36m ,?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是( ) A .(30+20)m 和36tan30°m B .(36sin30°+20)m 和36cos30°m C .36sin80°m 和36cos30°m D .(36sin80°+20)m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向 走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中,若│sinA-1│+(3 -cosB )=0,则∠C=_______
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明(2021.03.07) 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有()A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是() A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是() A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知 sin α·cos α=81,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为() A.23B.2 3- C.43D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是()
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式() A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O , AC=6,若a ABD =∠,则下列式子正确的是() A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1,0°<α<180°,则tan α的值是( )43B.43- C.34D.34- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。 4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE 。 (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值。 题型:三角函数值的计算(1) 例:计算:000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式:1、计算: 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算:0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值的计算(2)
(完整版)锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B .53 C .255 D .52 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,c=202,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,23),求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α,tan α的值. 解直角三角形 一、填空题 1. 已知cosA=2 3,且∠B=900-∠A ,则sinB=__________.
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有( )A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是( ) A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是( ) °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知sin α·cos α= 8 1 ,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为( ) A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是( ) A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式( ) A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O ,AC=6,若a ABD =∠,则 下列式子正确的是( ) A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51,0°<α<180°,则tan α的值是( )43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。
锐角三角函数》单元测试题
第四章《锐角三角函数》单元测试题 一.选择题(共10小题) 1.利用计算器求sin30°时,依次按键,则计算器上显示的结果是 () A.0.5 B.0.707 C.0.866 D.1 2.Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于() A.B.C.D. 3.已知sinα?cosα=,45°<α<90°,则cosα﹣sinα=() A.B.﹣C.D.± 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为() A.B.C.D. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB等于() A.B.C.D. 6.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是() A.bcosB=c B.csinA=a C.atanA=b D. 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式中不一定成立的是() A.b=atanB B.a=ccosB C.D.a=bcosA 8.如果∠A为锐角,且sinA=0.6,那么() A.0°<A≤30°B.30°<A<45°C.45°<A<60°D.60°<A≤90° 9.若锐角α满足cosα<且tanα<,则α的范围是() A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60°
10.下面四个数中,最大的是( ) A . B .sin88° C .tan46° D . 二.填空题(共8小题) 11.用“>”或“<”号填空: 0. 12.已知∠A 为锐角,且,那么∠A 的范围是 . 13.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=,则tanA= . 14.如上图,∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则cos ∠AOB 的值 是 . 15.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B 到A 行走了26米时,小杰实际上升高度 AC= 米.(可以用根号表示) 16.如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,E 为垂足,若cosB=,EC=2,P 是AB 边上的一个动点,则线段PE 的长度的最小值 是 . 17.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已知BC=BD=15cm ,∠CBD=40°,则点B 到CD 的距离为 cm (参考数据 sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm ,可用科学计算器). 18.如图,为了测量楼的高度,自楼的顶部A 看地面上的一点B ,俯角 为30°,已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ,那么楼的高度AC 为 m (结果保留根号). 三.解答题(共8小题) 19.在△ABC 中,∠B 、∠C 均为锐角,其对边分别为b 、c , 求证:=. 第16题 第17题
锐角三角函数专题
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案
新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3 tan 4 B =,CD 为AB 边上的中线,CE 平分ACB ∠,则 AE AD 的值( ) A . 35 B . 34 C . 45 D . 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE :BE =AC :BC =3:4,进而求得AE = 3 7 AB ,再由点D 为AB 中点得AD = 12AB ,进而可求得AE AD 的值. 【详解】 解:∵CE 平分ACB ∠, ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等, 设点E 到ACB ∠的两边距离位h , 则S △ACE = 12AC·h ,S △BCE =12 BC·h , ∴S △ACE :S △BCE = 12AC·h :1 2 BC·h =AC :BC , 又∵S △ACE :S △BCE =AE :BE , ∴AE :BE =AC :BC , ∵在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3tan 4 B =, ∴A C :BC =3:4, ∴AE :BE =3:4 ∴AE = 3 7 AB , ∵CD 为AB 边上的中线, ∴AD = 1 2 AB ,
∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用,通过面积比证得AE :BE =AC :BC 是解决本题的关键. 2.如图,某地修建高速公路,要从A 地向B 地修一条隧道(点A ,B 在同一水平面上).为了测量A ,B 两地之间的距离,一架直升飞机从A 地起飞,垂直上升1000米到达C 处,在C 处观察B 地的俯角为α,则AB 两地之间的距离约为( ) A .1000sin α米 B .1000tan α米 C . 1000 tan α 米 D . 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=1000米,根据tan AC AB α=,即可解决问题. 【详解】 解:在Rt ABC ?中,∵90CAB ∠=o ,B α∠=,1000AC =米, ∴tan AC AB α=, ∴1000 tan tan AC AB αα = =米. 故选:C . 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.如图,对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,得到折痕EF ,把纸片展平,再一次折叠纸片,使点A 落在EF 上的点A′处,并使折痕经过点B ,得到折痕BM ,若矩形纸片的宽AB=4,则折痕BM 的长为( )