双曲线及其性质知识点及题型归纳总结
双曲线知识点总结和典型习题
1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略． ①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在； ③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④双曲线方程λ=-22y x 5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.y 264＋x 248＝1C.x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. (3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54 C.43 D.53题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43 B ．53 C ．２ D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
双曲线知识点及经典题型
双曲线知识点及经典题型1. 双曲线的定义与基本性质1.1 定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以通过焦点和准线来描述。
给定两个不重合的点F和F’，以及一个与两个焦点的连线垂直且交于O点的直线l，双曲线是满足离心率e大于1的所有点P，使得PF’ - PF = 2a（其中a为常数）。
1.2 基本性质•双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
•双曲线有两个顶点V和V’，位于x轴上方和下方。
•双曲线关于x轴和y轴对称。
•双曲线在顶点处与x轴和y轴相切。
2. 双曲线的标准方程双曲线有两种标准方程形式：横轴双曲线和纵轴双曲线。
2.1 横轴双曲线横轴双曲线的标准方程为：x2 a2−y2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
2.2 纵轴双曲线纵轴双曲线的标准方程为：y2 a2−x2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
3. 双曲线的图像及性质3.1 横轴双曲线的图像及性质横轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
横轴双曲线的渐近线方程分别为y = ±(b/a)x。
3.2 纵轴双曲线的图像及性质纵轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
纵轴双曲线的渐近线方程分别为x = ±(b/a)y。
4. 双曲线的经典题型4.1 确定双曲线方程已知焦点F和F’，准线l以及顶点V的坐标，求双曲线的方程。
例题：已知焦点F(3, 0)和F’(-3, 0)，准线l过原点O(0, 0)，顶点V位于x轴上方。
求双曲线的方程。
解答：首先，我们可以确定横轴双曲线的方程形式为x 2a2−y2b2=1。
根据焦点和准线的定义，焦距为PF′−PF=2a，其中P为横轴双曲线上的任意一点。
由于焦点F和F’的横坐标相等，所以a = 3。
由于准线l过原点O(0, 0)，所以准线l的方程为y = kx（k为常数）。
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。
本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。
一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。
常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。
椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。
在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。
2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。
渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。
在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。
而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。
3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。
三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。
解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。
因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
双曲线知识点和题型分类讲解
双曲线知识点和题型分类讲解[归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．[探究] 1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[探究] 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大． 3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e ＝2，渐近线方程为y ＝±x .[自测·牛刀小试]1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 由题意知，a ＝2，故长轴长为2a ＝4. 2．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：选D 由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ，故渐近线方程为y ＝±3x .4．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________． 解析：由已知可得c ＝4，a ＝2，所以b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1[例1] (1)(2012·大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35 C.34D.45(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [自主解答] (1)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×(42)×(22)＝34.(2)∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36.① 又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为方程y ＝3x ，∴ba＝ 3.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.[答案] (1)C (2)B ——————————————————— 双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |sin P ＝|PB －P A |AB ＝2a 2c ＝810＝45.2．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1·PF 2的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵P 在曲线上，∴x 203－y 20＝1，即x 20＝3(y 20＋1)＝6. ∴PF 1·PF 2＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.[例2] (1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43(2)(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8[自主解答] (1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，所以a ＝2.所以e ＝c a ＝32.(2)由题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．易知抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2a 2＝1，x ＝－4，得16－y 2＝a 2.(*)因为|AB |＝43，所以y ＝±2 3.代入(*)式，得16－(±23)2＝a 2，解得a ＝2(a >0)．所以双曲线C 的实轴长为2a ＝4. 答案：(1)C (2)C ——————————————————— 研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；(2)由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形即可求e ，并注意e >1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±34解析：选C b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝14，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.[例3] 已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ |＝2|QF |，求直线l 的方程．[自主解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca ＝2，c＝2，所以a ＝1，则b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ |＝2|QF |且M ，Q ，F 共线于l ， 所以MQ ＝2QF 或MQ ＝－2QF . 当MQ ＝2QF 时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k . 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，解得k ＝±212.所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)．当MQ ＝－2QF 时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，解得k ＝±352.所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)． ——————————————————— 求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB ，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，则x 23－5y 23＝5b 2，即(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.③由①式得x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2.④ 将③④代入②化简得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a ，b ，c 即可求得方程． (2)待定系数法①②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).3个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .易误警示——双曲线几何性质的解题误区[典例] (2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1[解析] 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.[答案] A [易误辨析]1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c ＝10，错选C ；2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成12＝ab ，从而错选B.3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a ，b ，c 之间的关系式c 2＝a 2＋b 2与椭圆中a ，b ，c 之间的关系式a 2＝c 2＋b 2的混淆，从而出现解题错误等．[变式训练]已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上，则4a 2－9b 2＝1，又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4， 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1. 所以离心率为e ＝ca＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：2针对训练：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若k ∈R 则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．3．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2.∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.4．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1·PF 2＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C ∵由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取P (3，1)，则PF1＝(－2－3，－1)，PF2＝(2－3，－1)．∴PF1·PF2＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.6．(2012·皖南八校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是()A.233 B. 3C．2 D．2 3解析：选A依题意，应有ba＝33，又ba＝e2－1，即e2－1＝33，解得e＝233.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m>0，a＝m，b＝m2＋4，所以c＝m2＋m＋4.由e＝ca＝5得m2＋m＋4m＝5，解得m＝2.答案：28．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：59．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2 3.答案：2 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝203.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin 120°＝533.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)∵由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝3，解得b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2. ∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴[3(y 1＋y 2)]2＋⎣⎡⎦⎤33(x 1＋x 2)2＝10，∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1.则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22－1 D.x 22－y 25＝1 解析：选D ∵中点⎝⎛⎭⎫－23，－53，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y ＝x －1的两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2＝2b 25a2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2＝2b 2，a 2＋b 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝5.∴方程为x 22－y 25＝1. 2．(2013·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12，故离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.答案：523．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)离心率是74.故在双曲线中，c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 23＝14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.所以s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，故e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.。
双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（ ）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
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双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x解析 设1C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==135262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为1342222=-y x ，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析 利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222>>=-b a b y a x ”，或“x bay =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析 （1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x b a y -=，又双曲线过点)2,5(-，所以142522=-ba ，又因为6=c ，所以622=+b a ，解得52=a ，12=b ，故所求双曲线方程为1522=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，()()=+--=+---++-=610356103526526522222a52530530=---.得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为1522=-y x .（2）解法一：由双曲线方程141622=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x bay -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为181222=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622<<-=+--k ky k x ， 由()k -=16322.得4=k ，故所求曲线的方程为181222=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721289n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=251751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式 2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（ ）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x 解析 由焦点为)0,4(-，)0,4(，可知焦点在x 轴上，故设方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，且2==ace ，故2=a .所以42=a ，162=c ，12222=-=a c b ，故所求双曲线的方程为112422=-y x .故选A. 变式 1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x 变式 3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线的方程为（ ）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±= 分析 对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析 双曲线的标准方程为12422=-x y ，焦点在y 轴上，且42=a ，22=b ，故渐近线方程为x b ay ±=，故所求渐近线方程为x y 22±=，即x y 2±=.故选A. 评注 应熟记，若双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则焦点落在x 轴上，渐近线方程为x a by ±=；若双曲线的标准方程为12222=-b x a y ，则焦点落在y 轴上，渐近线方程为x b ay ±=.本题也可以直接写出渐近线方程为04222=-y x ，化简得x y 2±=. 变式 1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式 2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF PF ⋅等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________. 解析 由题设可知其中一条渐近线方程为043=+y x ，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322=+⨯=d .评注 双曲线12222=-by a x 的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b .变式 1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （ ） A. 3B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x 例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB 21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为_______. 解析 解法一：对于)0,(a A ，则直线方程为0=-+a y x ，将该直线分别与两渐近线联立，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---b a ab b a a C ,2，则有=BC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2222222,2b a b a b a b a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b a ab b a abAB ,，因为AB 21=BC ，则222b a b a b a ab -=+-，得a b 2=，故224a b =，得双曲线方程为142222=-ay a x ，则双曲线的渐近线方程为02=±y x . 解法二：如图10-5所示，过C 点作BO CD //交x 轴于点D ，作x CH ⊥轴于H ，则由AB 21=BC ，得AO 21=OD ，故)0,2(a D -. 又COD BOA CDO ∠=∠=∠，所以CO CD =，则H 为OD 中点，即)0,(a H -. 又在直角三角形CHA 中，︒=∠45CHA ，故a AH CH 2==，即)2,(a a C -.故22-=-==-aak a b OC ，即2=ab，故双曲线的渐近线方程为02=±y x . 评注 在解法一种，若注意到AB AC 3=，则可利用B C y y 3=巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为_____________.题型3 离心率的值及取值范围 思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（ ） A.21B.2C. 22D.27解析 由题意可知42=a ，32=b ，故7222=+=b a c ，所以离心率27==a c e .故选D. 评注 本题若借用公式27474311222=⇒=+=+=e ab e ，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量c 的求解，从而使得求解过程变得更为简捷.但是同学们应对公式：椭圆中)10(1222<<-=e a b e ；双曲线中)1(1222>+=e ab e ，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为26的是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x 变式 2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式 3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（ ） A.)0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(-- 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于________分析 因为不确定焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的a ，b 关系，结合222b a c +=得出离心率.解析 依题意，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.若双曲线的焦点在x 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，故有2=ab，所以离心率5122=+=ab e ；若双曲线的焦点在y 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x b a y ±=，故有2=b a ，即21=a b ，所以离心率25122=+=ab e ；故离心率e 等于5或25.评注 ①若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 时（焦点在x 轴上），其渐近线方程为x a by ±=；若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y 时（焦点在y 轴上），其渐近线方程为x bay ±=；②若双曲线的渐近线方程为)0(>±=k kx y ；则其离心率21k e +=（焦点在x 轴上）或211ke +=（焦点在y 轴上）；③若双曲线的离心率为e ，则其渐近线方程为x e y ⋅-±=12（焦点在x 轴上）或x e y ⋅-±=112（焦点在y 轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（ ）A.6B.5C.26D.25 变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为______.例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.解析 （1）由题设可知c a b +=2，且222b ac +=，故2222⎪⎭⎫⎝⎛+=-c a a c ，得4c a a c +=-，即a c 53=，所以35=e . （2）由题设可知ac b =2，且222b a c +=，即ac a c =-22，由ac e =可得012=--e e ，得215+=e 或251-（舍去），所以215+=e . 变式 1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.213+D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e _________.（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.6B.3C.2D.33解析 依题意，如图10-7所示，不妨设12=MF ，则21=MF ，321=F F ，则3222121=-===MF MF F F a ca c e ，故选B. 变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（ ）A.13-B.26C.13+D.213+变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.)3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3 解析 解法一：由双曲线的定义知a PF PF 221=-，212PF PF =，故a PF 41=，a PF 22=，又c F F PF PF 22121=≥+，故c a 26≥，即3≤e ，又1>e ，故31≤<e ，故选B.解法二：利用21PF PF 的单调性，22221212PF aPF a PF PF PF +=+=，随2PF 的增加，21PF PF 减小，也就是说，当P 点右移时，21PF PF 值减小，故要在双曲线上找到一点P ，使得221=PF PF ，而当P 点在双曲线的右顶点时，221≥PF PF ，得c a ac ca ≥⇒≥-+32，则31≤<e ， 故选B.评注 若在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上存在一点P ，使得)1(21>=λλPF PF ，则111-+≤<λλe ，注意与椭圆中)1(111><≤+-λλλe 类似结论的区分和对比识记. 变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型4 焦点三角形 思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆. 例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为_________.分析 利用双曲线的定义求解解析 如图10-8所示，由定义知412=-MF MF ，12=-NF NF 所以()81122=+-+NF MF NF MF ，所以22=-+MN NF MF变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（ ） A.2B.3C.-2D.3- 变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF __________.有效训练题1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ） A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A.41B.53 C.43 D.544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±=5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2B. 21+C. 31+D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM =，则该双曲线的离心率为（A.3B.2C. 3D. 27. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P . （1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ； （3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。