实际问题与一元二次方程-面积问题 - 教师版

实际问题与一元二次方程-面积问题

知识点一：通道类面积问题

1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( ) A ．(10)900x x -= B ．(10)900x x += C ．10(10)900x += D ．2[(10)]900x x ++=

【答案】B

2．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为( )

A B ．5

C ．25

D ．7

【答案】B

3．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？

【答案】解：设道路的宽应为x 米，由题意有 (100)(80)7644x x --=，

解得1178x =（舍去），22x =． 答：道路的宽应为2米．

4．如图，将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积为3400cm ，求原正方形铁皮的边长．

【答案】解：设原正方形铁皮的边长为xcm 则由题意可得24(8)400x -=

解得118x =，22x =-（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为18cm ． 知识点二：围墙类面积问题

5．如图，有面积为2150m 的长方形养鸡场，鸡场的一边靠围墙（围墙长为18米），另外三边用篱笆围成，竹篱笆的总长为35m ． （1）求鸡场的长与宽各为多少米？

（2）能围成面积比2150m 更大的养鸡场吗？如果能，请求出最大面积．

【答案】解：（1）设养鸡场的宽为xm ，则长为(352)x -，由题意得(352)150x x -=，

解方程得：115

2

x =

，210x = 当养鸡场的宽为15

12

x =时，养鸡场的长为20m 不符合题意，应舍去，

当养鸡场的宽为110x m =时，养鸡场的长为15m ． 答：鸡场的长与宽各为15m ，10m ．

（2）设围成养鸡场为S ，由（1）得，

2351225

(352)2()48

S x x x =-=--

+

， 所以能围成面积比2150m 更大的养鸡场，最大面积为

2

12258

m ． 6．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

【答案】解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(1004)x -米． 根据题意得(1004)400x x -=，

解得120x =，25x =．

则100420x -=或100480x -=． 8025>Q ， 25x ∴=舍去．

即20AB =，20BC =．

答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米．

7．如图，矩形ABCD 的长AB 为42米，宽BC 为30米，黑色园区为宽度相等的一条“7”形的健身用鹅卵石小路，若鹅卵石小路的面积为140平方米，求小路的宽BE ．

【答案】依题意得：()()42304230140x x --=⨯-，解得2x = 所以BE 的长为2米． 能力提升

8．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m ？

【答案】解：设矩形温室的宽为xm ，则长为2xm ， 根据题意，得(2)(24)288x x -⋅-=，

解得：110x =-（不合题意，舍去），214x =，

F

E

C

B

A

所以14x =，221428x =⨯=．

答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是2288m ．

9．一幅长20cm 、宽12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2．设竖彩条的宽度为xcm ，图案中三条彩条所占面积为2ycm ．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的

2

5

，求横、竖彩条的宽度．

【答案】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为3

2xcm ，

∴020203

1202

x x x ⎧

⎪>⎪

->⎨⎪⎪->⎩， 解得：08x <<，

233

20212235422

y x x x x x x =⨯+⨯-⨯=-+g g ，

即y 与x 之间的函数关系式为2354(08)y x x x =-+<<； （2）根据题意，得：22

35420125

x x -+=⨯⨯，

整理，得：218320x x -+=， 解得：12x =，216x =（舍)，

∴

3

32

x =， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．

10．如图，一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．

（1）求人行通道的宽度；

（2）一名园丁要对这56米2的绿地进行绿化，他在绿化了16米2后将效率提高了25%，结果提前1小时完成任务，求园丁原计划每小时完成多少米2．

【答案】解：（1）设人行通道的宽度为x米．

根据题意得：(203)(82)56

x x

--=．

整理得：2

332520

x x

-+=．

解得：

12

x=，

226 3

x=（舍去）．

答：人行通道的宽2米．

（2）设园丁原计划每小时完成x米2．

4040

1

1.25

x x

=+．

解得：8

x=．

经检验8

x=是原方程的解．

答：园丁原计划每小时完成8米2．

根据题意得：8米2

11．在一次美术展览活动中，小明画了一幅6040

cm cm

⨯的风景画．为了在展览时使画更好看，他决定在这幅画的四周镶上宽度相等的彩色纸条．经测量，在镶了彩色纸条后，这幅画的面积变成了2

2501cm．问小明所镶的彩色纸条有多宽？

【答案】解：设纸条宽为xcm，则镶上彩色纸条后，长宽分别变为(602)x cm

+，(402)x cm

+，根据题意列方程得，(602)(402)2501

x x

++=，

整理得，2

42001010

x x

+-=，

解得，

10.5

x=，

250.5

x=-（舍去）．

答：小明所镶的彩色纸条有0.5cm宽．