部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 课件
（山东.威海）已知关于x的一元二次方程
x2 （k 1）x k 2 0
的根的情况是（ B ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定
解法归纳
课本P39 归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法 可以推出求根公式，公式法直接利用求根公 式；因式分解法要先使方程一边为两个一次 因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因 式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法用于某些一元二次方程。 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二 次方程化为一次方程，即降次。
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
思维拓展 3.（2006，广东韶关）实数x、y满足关系式
x2 2xy y2 x y 6 0
则x-y的值为（ A ） A.-2或3 B.2或-3 C. -1或6 D 1或-6
4.（2006.日照）已知关于x的方程，
x2
1 x2
（2 x
8.（09.汕头）小明用下面的方法求出方程 2 x 3 0 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并 把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得 解新方 新方程 程
检验
求原方程的解
令 x t， 2 x 3 0 则2t 3 0
t3 2
t 30 2
x 3，所以 x 9
6.解方程 ①3x2-27=0， ②4x2-4x-1=0，
③12x2=25x，④ （ 3 4x 1）2 （ 4 4x 1）
较方便的方法是（ C ） A.依次是：因式分解法，配方法，公式法， 因式分解法 B.依次是：因式分解法，公式法，配方法， 因式分解法 C. ①③④用因式分解法，②用公式法 D. ①④用因式分解法，②③用公式法 解法选择
一元二次方程 复习课
知识结构 定义：一个未知数，最高次数是2，
1.概念
整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0） 2.方程的解（两个）
一
直接开平方法 ①直接开平方法
元 二
3.解法 配方法
选择顺序 ②因式分解法
次
公式法
③公式法
方 程
因式分解法
④配方法
4.根的判别式、根与系数的关系
5.一元二次方程的应用 （五种问题）
6.写出以下列各数为根的方程：
X1=2，x2=3 X1=4，x2=-5 X1=-1，x2=4
—X—2-—5x—+6—=0——— —X—2+—x-—20—=0——— —X—2-—3x—-4—=0———
X1=-10，x2=-3 —X2—+1—3x—+3—0=—0——
你发现了什么规律？
以x1，x2为根的一元二次方程为：
的两个根为x1，x2，则
x12
x
2 2
=
11
————
11
x1 x2
= 3 ——————
， x2
x1
x1 x2
=
-11
——————
4.若关于x的一元二次方程 x2 mx n 0
的两个根互为相反数，则m= —0——，
若两个根互为倒数，则n=
1
—————。
5.已知方程 x2 4x 3 0 的两个根为， 则 2 5 ——-—7———
根与系数的关系的应用
1.设一元二次方程 3x2 x 5 0 1
的两个根为x1，x2，则x1+x2= x1·x2= ——53————
———3—
2.已知方程 则k= -7
5x2 kx 6 0的一3个根为2， ，另一个根为x 。
5
3.设一元二次方程 x2 3x 1 0
1 x
）
1
，那么
x
1 x
1的值
为 ±2 。
1.某经济开发区今年一月份工业产值达
50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、
三月平均每月增长的百分率为x,根据题
意得方程为
.
2、在宽为20米、长为 32米的矩形地面上修筑 同样宽的两条互相垂直 的道路。余下的部分作 为耕地。要使耕地的面 积为540平方米，问道 路的宽应为多少米？
一元二次方程的概念 1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A. ax2 bx c 0 B. x2 4 C. x 2 1 x2
x1 D. x2 4 (x 2)2
《感悟》P36选择1、P37填空3
根与方程的关系
2.（06·甘肃）关于x的一元二次方程
(k 4)x2 3x k 2 3k 4 0 的一个根是0，
《感悟》P36选择第3、4、5、9题 P37填空第2、5题 解答第1题
解法训练
7.用适当的方法解方程：
（1）.7x（3 x） （ 4 x 3）
（2）（. 3x 2）2 （ 4 x 3）2
（3）. 4y 1 y2
（4）（. 0 米
例3、如图，要建造一个面积为130平方米的 小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16米，并在 与墙平行的一边开一道1米宽的门。现有能 围成32米的木板，求仓库的长和宽。
x
x
(23 2x) 1
30cm 15cm
40cm ?cm
20cm
x2 （x1 x2）x x1x2 0
综合运用
1.当x为何值时，代数式 x2 7x 12
与代数式 x 5之差为1. x=4
2.（07，四川改编）三角形的一边长为10 2
另两边长为方程 x2 20x 100 0
的两实数根，则这是一个（ D ）
A.等边三角形
B.等腰三角形
2
4
x2 x30
x x240
双基训练 9.用适当的方法解方程：
（1）. 1（2x 1）2 32 0 2
（2）.3x2 4x 1 0 （3）（. 2x 3）2 4（2x 3） （4）.x2 4x 20 0
(5).3x(x 1) 2(x 1) (6).(2x 3)2 9(x 2)2
则k的值为 1
。
3.若x=1是方程 ax2 bx 2 0 的根,则
2a+2b=___4__ 《感》P37填空7 整体思想
4.（07.江苏淮安）写出一个两实数根之差 为3的一元二次方程 x2-3x=0 。
求根判别公式
5. 方程 3x2 2 2 6x 的根的情况是。
有两个相等的实数根 变式：
x2 （k 1）x k 2 0
的根的情况是（ B ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定
解法归纳
课本P39 归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法 可以推出求根公式，公式法直接利用求根公 式；因式分解法要先使方程一边为两个一次 因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因 式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法用于某些一元二次方程。 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二 次方程化为一次方程，即降次。
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
思维拓展 3.（2006，广东韶关）实数x、y满足关系式
x2 2xy y2 x y 6 0
则x-y的值为（ A ） A.-2或3 B.2或-3 C. -1或6 D 1或-6
4.（2006.日照）已知关于x的方程，
x2
1 x2
（2 x
8.（09.汕头）小明用下面的方法求出方程 2 x 3 0 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并 把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得 解新方 新方程 程
检验
求原方程的解
令 x t， 2 x 3 0 则2t 3 0
t3 2
t 30 2
x 3，所以 x 9
6.解方程 ①3x2-27=0， ②4x2-4x-1=0，
③12x2=25x，④ （ 3 4x 1）2 （ 4 4x 1）
较方便的方法是（ C ） A.依次是：因式分解法，配方法，公式法， 因式分解法 B.依次是：因式分解法，公式法，配方法， 因式分解法 C. ①③④用因式分解法，②用公式法 D. ①④用因式分解法，②③用公式法 解法选择
一元二次方程 复习课
知识结构 定义：一个未知数，最高次数是2，
1.概念
整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0） 2.方程的解（两个）
一
直接开平方法 ①直接开平方法
元 二
3.解法 配方法
选择顺序 ②因式分解法
次
公式法
③公式法
方 程
因式分解法
④配方法
4.根的判别式、根与系数的关系
5.一元二次方程的应用 （五种问题）
6.写出以下列各数为根的方程：
X1=2，x2=3 X1=4，x2=-5 X1=-1，x2=4
—X—2-—5x—+6—=0——— —X—2+—x-—20—=0——— —X—2-—3x—-4—=0———
X1=-10，x2=-3 —X2—+1—3x—+3—0=—0——
你发现了什么规律？
以x1，x2为根的一元二次方程为：
的两个根为x1，x2，则
x12
x
2 2
=
11
————
11
x1 x2
= 3 ——————
， x2
x1
x1 x2
=
-11
——————
4.若关于x的一元二次方程 x2 mx n 0
的两个根互为相反数，则m= —0——，
若两个根互为倒数，则n=
1
—————。
5.已知方程 x2 4x 3 0 的两个根为， 则 2 5 ——-—7———
根与系数的关系的应用
1.设一元二次方程 3x2 x 5 0 1
的两个根为x1，x2，则x1+x2= x1·x2= ——53————
———3—
2.已知方程 则k= -7
5x2 kx 6 0的一3个根为2， ，另一个根为x 。
5
3.设一元二次方程 x2 3x 1 0
1 x
）
1
，那么
x
1 x
1的值
为 ±2 。
1.某经济开发区今年一月份工业产值达
50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、
三月平均每月增长的百分率为x,根据题
意得方程为
.
2、在宽为20米、长为 32米的矩形地面上修筑 同样宽的两条互相垂直 的道路。余下的部分作 为耕地。要使耕地的面 积为540平方米，问道 路的宽应为多少米？
一元二次方程的概念 1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A. ax2 bx c 0 B. x2 4 C. x 2 1 x2
x1 D. x2 4 (x 2)2
《感悟》P36选择1、P37填空3
根与方程的关系
2.（06·甘肃）关于x的一元二次方程
(k 4)x2 3x k 2 3k 4 0 的一个根是0，
《感悟》P36选择第3、4、5、9题 P37填空第2、5题 解答第1题
解法训练
7.用适当的方法解方程：
（1）.7x（3 x） （ 4 x 3）
（2）（. 3x 2）2 （ 4 x 3）2
（3）. 4y 1 y2
（4）（. 0 米
例3、如图，要建造一个面积为130平方米的 小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16米，并在 与墙平行的一边开一道1米宽的门。现有能 围成32米的木板，求仓库的长和宽。
x
x
(23 2x) 1
30cm 15cm
40cm ?cm
20cm
x2 （x1 x2）x x1x2 0
综合运用
1.当x为何值时，代数式 x2 7x 12
与代数式 x 5之差为1. x=4
2.（07，四川改编）三角形的一边长为10 2
另两边长为方程 x2 20x 100 0
的两实数根，则这是一个（ D ）
A.等边三角形
B.等腰三角形
2
4
x2 x30
x x240
双基训练 9.用适当的方法解方程：
（1）. 1（2x 1）2 32 0 2
（2）.3x2 4x 1 0 （3）（. 2x 3）2 4（2x 3） （4）.x2 4x 20 0
(5).3x(x 1) 2(x 1) (6).(2x 3)2 9(x 2)2
则k的值为 1
。
3.若x=1是方程 ax2 bx 2 0 的根,则
2a+2b=___4__ 《感》P37填空7 整体思想
4.（07.江苏淮安）写出一个两实数根之差 为3的一元二次方程 x2-3x=0 。
求根判别公式
5. 方程 3x2 2 2 6x 的根的情况是。
有两个相等的实数根 变式：
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九年级上册第二十一章一元二次方程复习ppt导学课件
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九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
考点 5 三种思想
9．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4 ＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
(1)BQ＝___2_t____cm，PB＝___(_5_－__t)_cm(用含t的 代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? 由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2. 当t＝2时，PQ的长度等于5 cm.
(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015 年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到 2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率．
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划 建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用 房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老 床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人 间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的 房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间 数为t.
∴x＝ (4 2) 0 2.
28
4
∴x1＝x2＝
2 ..
4
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2.
原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件
2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
第21章 一元二次方程 小结与复习 人教版数学九年级上册课件(29张PPT)
Δ<0,方程无实数根
根
b
*根与系数的关系
x1 x2 c
a
x1 x2 a
解法
直接开平方法： 形如 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) 的方程
配方法： 一般形式的方程先配方为 (mx + n)2 = p
(p≥0) 的形式再求解
公式法： x b b2 4ac (b2 4ac ≥ 0) 2a
因式分解法：若方程可变形为 (mx + n)(px + q) = 0
(mp≠0)，则
x1
=
n m
，x2
=
q p
列一元二次方程解实际问题的步骤：审 解、、设验、、列答、
应用 几种常见类型
传播问题 单(双)循环问题 平均变化率问题 销售问题 数字问题 几何图形面积问题
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次 方程，则 m 的取值范围是（ A ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须 有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的 值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
针对训练
2. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 −1 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解， 则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 7 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2023 的值为___2_0_2_2__.
初中人教版九年级数学上册第21一元二次方程复习(46PPT)
2
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于 0 的一元二次方程.
3 一元二次方程根的判别式
2 2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 即 x1,2＝ ； 2a
2 2
( )
2
p x1＝－ ＋ 2
p －q＋ 2
()
2
p ，x2＝－ － 2
( ). p －q＋(2) .
p ＝－q＋ 2
2 2
3.公式法： 如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且 b2－4ac≥0， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ . 2a 4.因式分解法： 若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f )(mx＋n)(a≠0)， f n 则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝－ . e m
5 一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的 步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题 对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均增长率，m 为增 长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题， 则 a(1－x)m＝b. (2)比赛场次问题 n 个队进行单循环比赛，一共比赛 (3)面积问题 求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则 图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解． － 场．
b (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于 0 的一元二次方程.
3 一元二次方程根的判别式
2 2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 即 x1,2＝ ； 2a
2 2
( )
2
p x1＝－ ＋ 2
p －q＋ 2
()
2
p ，x2＝－ － 2
( ). p －q＋(2) .
p ＝－q＋ 2
2 2
3.公式法： 如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且 b2－4ac≥0， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ . 2a 4.因式分解法： 若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f )(mx＋n)(a≠0)， f n 则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝－ . e m
5 一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的 步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题 对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均增长率，m 为增 长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题， 则 a(1－x)m＝b. (2)比赛场次问题 n 个队进行单循环比赛，一共比赛 (3)面积问题 求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则 图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解． － 场．
b (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。19: 07:2419 :07:241 9:078/ 10/2021 7:07:24 PM
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11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 8.1019: 07:2419 :07Aug -2110-A ug-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。19:07: 2419:0 7:2419: 07Tues day, August 10, 2021
【跳出误区】
用一元二次方程解决实际问题时，所得到的根需要双重检验：
(1)必须满足是原方程的根；
(2)必须使实际问题有意义，
第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一章 一元二次方程
超越自我拓展练
4．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题：
2
例题：解一元二次不等式 x －4＞0.
2
解：∵x －4＝(x＋2)(x－2)，
2
∴x －4＞0 可化为(x＋2)(x－2)＞0.
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4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
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第二十一章 一元二次方程
(5)∵12 ＜ m ＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由 求 根 公 式 ， 得 x ＝
2（2m－3）± 8m＋4
＝(2m－3)± 2m＋1.
(期末复习精炼)人教版数学九年级上册课件：第二十一章一元二次方程复习课件
条件：一般情势中，当二次项系数含字母已知数时，必
须找出a≠0这个隐含的前提条件，避免出错.
【例1】（202X潍坊）若关于x的一元二次方程kx2-
2x+1=0有实数根，则k的取值范围是
.
易错提示：解这类题时，学生往往忽略二次项系数不为
零这一条件，而得到错误结果k≤1.
本章易错点归总
正解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即4-4k≥0. 解得k≤1. 又∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0， ∴k≤1且k≠0. 答案:k≤1且k≠0
考点1 一元二次方程及其相关概念
5. 关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-5m+4=0，
常数项为0，则m的值等于（ B ）
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 0
6. 将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般情势为（ A ）
A. 3x2-4x+2=0
B. 3x2-4x-2=0
C. 3x2+4x+2=0
本章易错点归总
正解:原方程可化为3x2-5x-2=0. ∵a=3，b=-5，c=-2, ∴Δ=（-5）2-4×3×（-2）=49.
∴x= ∴x1=2， x2=
本章易错点归总
三、当方程两边都含有某个未知数的相同因式时，在不 能保证相同因式不为0的前提下，两边同时除以这个相 同因式，得到一元一次方程求解，从而导致失根. 【例3】解一元二次方程：（3x+1）2=9x+3. 易错提示：将原方程变形得到（3x+1）2=3（3x+1）， 两边再同时除以（3x+1）得3x+1=3，从而解得x= 错误的原因有两个：一是将方程两边同时除以 （3x+1），造成了漏根，二是在不清楚3x+1的值是
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
人教版九年级数学上册课件：第二十一章 一元二次方程复习(共27张PPT)
把握住：一个未知数，最高次数是2，
一元二次方程的定义
整式方程
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方
一元二次方程的解法 配方法： 任何一个一元二次方程
程
公式法： 任何一个一元二次方程
.b²-4ac≥0.
b b2 4ac x
2a
因式分解法： 适应于左边能分解为两个
检查你的复习效果：
1是、用配（方x+法1）解²=方程12 2x²+4x
+1 =0，配方后得到的方程 。
2、一元二次方程ax²+bx +c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 ，
若a -b+c=0，则方程必有一根为 X=-1 。
3、若9am2 4m4与5a9是同类项，则m _5_或_-_1_。__
解 : 设每年的平均增长率为x, 根据题意, 得
(1 x)2 2.
解这个方程 : (1 x) 2, x 1 2,
x1 1 2 41.42%; x2 1 2 0(不合题意,舍去). 答 : 每年的平均增长率约为41.42%.
开启 智慧
.若调整计划,两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2 倍、…,那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少?
解 : 设应多种x棵桃树,根据题意,得
(100 x)(1000 2x) 1001000(1 15.2%)
100000 200x 1000x 2x2 100000 15200 200x 1000x 2x2 15200
x2 400x 7600 0
(x 380)(x 20) 0
一元二次方程的定义
整式方程
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方
一元二次方程的解法 配方法： 任何一个一元二次方程
程
公式法： 任何一个一元二次方程
.b²-4ac≥0.
b b2 4ac x
2a
因式分解法： 适应于左边能分解为两个
检查你的复习效果：
1是、用配（方x+法1）解²=方程12 2x²+4x
+1 =0，配方后得到的方程 。
2、一元二次方程ax²+bx +c =0，
若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 ，
若a -b+c=0，则方程必有一根为 X=-1 。
3、若9am2 4m4与5a9是同类项，则m _5_或_-_1_。__
解 : 设每年的平均增长率为x, 根据题意, 得
(1 x)2 2.
解这个方程 : (1 x) 2, x 1 2,
x1 1 2 41.42%; x2 1 2 0(不合题意,舍去). 答 : 每年的平均增长率约为41.42%.
开启 智慧
.若调整计划,两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2 倍、…,那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少?
解 : 设应多种x棵桃树,根据题意,得
(100 x)(1000 2x) 1001000(1 15.2%)
100000 200x 1000x 2x2 100000 15200 200x 1000x 2x2 15200
x2 400x 7600 0
(x 380)(x 20) 0
人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程章节复习课件
值为___1__.
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根， 则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1， 则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的 定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此 相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数 不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相 等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应 填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根， 则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1， 则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的 定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此 相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数 不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相 等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应 填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程复习课1(公开课19张ppt)
40 ,x2
6 2
40
注意公式的符号， 结果要化到最简！
正解：
x
6 40 21
3
10
x1 3 10,
x2 3 10
问题3：解方程:
④ (2x 7)2 25 0
⑤ x2 31x 210 0
⑥ 3x2 5x 2
看谁 又快 又对
思考：
再用通法
程
b2-4ac＞0
方程有两个不相等的实数根
判别式 b2-4ac＝0
方程有两个相等的实数根
b2-4ac＜0
方程没有实数根
应用 注意解含参方程是否需要分类讨论！
1、复习本章内容 2、课后作业
2a
√ √
√ √ √
√ √
解方程(1)4x2 = 5
小明同学是这样做的，
4x2=5，
x2 5 4
不
x
正解：4x 2
5 4
5
1
要 漏
x
5 44解Fra bibliotekx1
5 2
,x2
5 2
解方程(2)x2=3x
小马同学是这样做的
将方程两边同除以x,
得
x1 =3
4
正解： x2-3x=0, x（x-3）=0 x1＝ 0， x2＝3
开平方法 化成x2 mm 0 x m 基本思想：
因式分解法 化成A B 0 A 0或B 0 降次转化
一 元
解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
解法选择： 特法不行
二 次 方
公式法
x b
b2 4ac (b2 4ac 0) 2a