人教版九年级上册数学-一元二次方程课件
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人教版九年级上册数学课件：解一元二次方程--公式法
解：a=5,b=-4,c=-1
解：a=1,b=-8,c=17
∆=(-4)2-4×5×(-1) =36 ＞ 0
1 ∴x1=1 或x2= - 5 .
∆=(-8)2-4×1×17 =-4＜0
∴方程无实数根.
巩固练习
1.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的求根公式
是 x b
b2 4ac
问题2 我们知道，任何一个一元二次方程都可以 转化为一般情势
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） (1) 我们能否也用配方法得出它的解？
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解 决这个问题。
推导求根公式
解：因为a≠0,方程两边都除以a,得
移项，得
x2 b x c 0 aa
x2 + b x=- c aa
∴方程有两个不相 等的实数根.
化简，得2x2-8x +10=0
∵∆=64-4×2×10 =-16＜0
∴方程无实数根.
本节课应掌握： 1、请大家思考并回答以下问题： （1）本节课学了哪些内容？ （2）我们是用什么方法推导求根公式的？ （3）你认为判别式有哪些作用？ （4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
(2)求出b2-4ac的值,当∆>0时,方程有两个不等的实 数根；当∆=0时,方程有两个相等的实数根,当∆<0时, 方程无实数根.
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入公式进 行计算，最后写出方程的根.
自主探究
例2 用公式法解下列方程： （1） x 2 - 4x - 7 = 0；
解：a=1,b=-4,c=-7 ∆=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共20页)
解：x1+x2=3，x1x2=1；
x1+x2=
2 3
，x1x2=
2；
3
(3)2x2－9x＋5＝0； (4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2=
9 2
，x1x2=
5 2
； x1+x2=
7 4
，x1x2=
1 4
；
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2=
3 2
，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
x1+x2=0，x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝
b a
，x1x2＝
c a
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的 标准情势为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又 是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
（1）
1 x1
1 x2
；（2）
x12
x.22
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5－7=0的两根，不解方程 求下列各式的值：
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共18张)
则
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac xx2=
2a
2b b
=
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2
2 3
4 3
4 3
2x2－3x+1=0
1
1
3
1
2
2
2
6x2+7x-3=0
3
2
1 3
7 6
1 2
❖ 问形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的两根的和、
积分别与系数a,b,c有何关系？
x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
❖ 推理验证：
❖ （1）从因式分解法可知：方程(x-x1)(x-x2)=0
由根与系数的关系得：x1+x2＝
∴( k 1)2 4 k 3 1
k 1 2
x1x2＝
k 3 2
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
使它的两个根是：
31 3
，2
1 2
解：所求的方程是：
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即：
x2 5 x 25 0
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
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元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方 程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
新课讲解
例5 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号.
a 9. 4
随堂即练
4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值. 解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0，
二次项系数不为 零不容忽视
∴ m ≠-2，
综上所述，m =2.
能力提升
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1,
当 a=0时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx0时
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数.
新课讲解
含两个未知数
例3 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C
新课讲解
例6 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2018的值.
解：由题意，得a2 2a 2 0, 即a2 2a 2.
∴2(a2+2a)+2018= 2(a2+2a)+2018 =2×2+2018 =2022
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再 注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
数、一次项系数及常数项要先 化为一般式
使方程左右两边相等的未 知数的值
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
随堂即练
2.填空：
方程
随堂即练
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
解：设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
(50-2x)cm.根据方盒的底面积为 3600cm2,得 (100 2x)(50 2x) 3600.
整理，得 4x2 300x 1400 0.
化简，得 x2 75x 350 0. ①
x
100cm
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
求a+b+c的值.
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0, 即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的一个根吗? 解：由题意,得 a b c 0.
即a 12 b 1 c 0.
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
例4 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2；
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当
a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
2
整理,得
1 x2 1 x 28. 22
化简，得
x2 x 56 0
②
该方程中 未知数的 个数和最 高次数各 是多少？
探究交流:
新课讲解
方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元 一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 75x 350 0 ①
3
3
-2
2 3
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
-2
-5
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0, 即9+4a=0, ∴4a=-9，
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2
概念
一元二次 方程
一般形式
根
课堂总结
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2
ax2+bx+c=0 (a ≠0) ➢ 其中(a≠0)是一元二次方程的必
要条件； ➢ 确定一元二次方程的二次项系
二次项系数 一次项系数
常数项
新课讲解
★ax2 + bx +c = 0强调： ①“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ③“ = ”右边必须整理为0.
新课讲解
想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
2 一元二次方程的根
新课讲解
★一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二 次方程的解（又叫做根）. 练一练： 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4.
解：3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
50cm
新课讲解
例2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛 一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场 比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
RJ九(上) 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问 题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数 项．
练一练:下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
429 x
分式方程
新课引入
探究交流:
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程.
新课引入
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组） 及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
x2 x 56 0 ②
特点:
(1)都是整式方程; (2)只含一个未知数; (3)未知数的最高次数是2.
新课讲解
★一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，
并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程. ★一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
A.x2
1 x2
0
不是整式方程 B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式 方程；如果是整式方程，再进一步化简整理后再作判断.
新课讲解
2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程
叫做一元一次方程.
1 一元二方程概念
新课讲解
例1 如图，有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去 多大的正方形？请根据题意列出方程.