5线性参数的最小二乘法处理(精)

用矩阵表示
AT V 0
A L AX 0 ( AT A) X AT L
T
解上面方程组得
X A A
T


1
AT L
可以证明最小二乘估计值是无偏估计。
多于未知数的数目t。因而直接用一般解代数 方程的方法求解这些未知数是不可能的。最 小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的 代数方程，而且方程个数正好等于未知数的 个数，从而可求解这些未知数。
一、等精度测量线性参数的LSM处理的正规方 程。
线性参数的误差方程式为：
l1 a11 x1 a12 x2 ... a1t xt v1
第五章 线性参数的最小二乘法处理
第一节 最小二乘法原理
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻 找最可信赖值的问题。
, xn 对某量 x 进行测量，得到一组数据 x1, x2 , ,不存在 系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分 布,其标准差为 1, 2 , , n
测得值
xi
落入 xi , xi dx的概率
线性测量方程组的一般形式为
yi ai1 x1 ai 2 x2 ait xt aij x j
j 1 t
含有随机误差
测量残差方程组
yi aij x j vi
j 1 t
i 1, 2,
,n
矩阵形式
Ax = y
a11 a12 a a A 21 22 an1 an 2 a1t a2t ant
a1k v1 a 2 k v 2 ... a nk v n 0 即
k 1,2 , t
a1k [l1 (a11 x1 a12 x 2 ... a1t xt )] a 2 k [l 2 (a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2t xt )] a nk [l n (a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nt xt )] 0 k 1,2, , t
最可信赖值满足
权因子 wi 1
2 i
Min wv Baidu Nhomakorabeain
i 2 i
2 i i
vi2
2 wi 1 0
v ( x x )
2 i i
2
Min
虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上， 按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成 一种准则。
测量方程组
l2 a21 x1 a22 x2 ... a2t xt v2
ln an1 x1 an2 x2 ... ant xt vn
……
v2 2a1k v1 a2k v2 ... ank vn 0 xk

k 1,2, t
l a x a x ... a xt ......... i
' i ' i1 1 ' i2 2 ' it ' i


L* A* X V *

^ ^ * * * * T (L A X ) V V ( L A X )最小
*
第二节 正规方程
为了得到可靠的测量结果，测量次数n总是要
正规方程为
[a1 a1 ]x1 [a1 a 2 ]x 2 ... [a1 at ]xt [a1 L] [a 2 a1 ]x1 [a 2 a 2 ]x 2 ... [a 2 at ]xt [a 2 L] [at a1 ]x1 [at a 2 ]x 2 ... [at at ]xt [at L]
vi2 1 pi exp( 2 )dx 2 i i 2
测得值 x1, x2 , , xn 同时出现的概率为
1 v 2 1 n i P pi exp ( dx ) n 2 ( 2 ) i i i i i
x1 x x 2 xt
y1 y y 2 yn
测量残差方程组
y - Ax = v
v1 v v 2 vn
最小二乘法原理式 等精度测量
V V L A X L A X min
'
T
不等精度测量
V PV L A X P L A X min
'
T
w1 0 w 0
0 ww 0
2 2 0 1 0 0 wn 0
0
2 2 2
记
[ai ai ] a1i a1i a 2i a 2i ... a ni a ni [ai a j ] a1i a1 j a 2i a 2 j a ni a nj [ai L] a1i l1 a 2i l 2 ... a ni l n
i 1,2, t (i, j 1,2,, t ) i 1,2, t
0
0 0 2 2 n
2 2 为单位权方差， P 为的权， 为的 i i
li 方差。
化误差方程组为等权形式：
Pi li (ai1 x1 Pi ai 2 x2 Pi ... ait xt Pi ) i Pi , i
：
Yi ai1 X 1 ai 2 X 2 ... ait X t , i
估计量形式：
yi ai1 x1 ai 2 x2 ... ait xt , i
误差方程组：
li (ai1 x1 ai 2 x2 ... ait xt ) i , i