一次函数与方程
一次函数与一次函数方程
一次函数与一次函数方程一次函数是数学中的基本概念之一，它的研究在数学的初等代数中占据重要地位。
一次函数方程则是由一次函数构成的方程，它们在数学建模、实际问题解决以及经济学等领域都有广泛的应用。
本文将从理论与实际应用两个方面来介绍一次函数以及一次函数方程的基本概念和性质。
一、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的函数，通常形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。
一次函数的定义域是实数集，值域也是实数集。
一次函数通过两个点，可以确定一条直线，并且函数的图像是一条直线。
直线的斜率体现了一次函数的性质，斜率为a，表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线递增，斜率为负表示直线递减。
二、一次函数方程的解的类型一次函数方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知的实数。
一次函数方程的解可以分为三种情况：有唯一解、无解、无限多解。
当a不等于0时，方程有唯一解x = -b/a；当a等于0且b不等于0时，方程无解；当a等于0且b等于0时，方程有无限多解。
三、一次函数与实际应用1. 经济学应用：一次函数可以用来描述供求关系、成本与产量关系、价格与销量关系等经济学中的基本问题。
例如，通过一次函数可以建模分析某个产品的销售价格与销量之间的关系，进而确定最大利润时的价格和销量。
2. 物理学应用：一次函数可以应用于运动学中描述物体的运动情况。
例如，通过一次函数可以建立起加速度、速度和位移之间的关系，从而对物体的运动进行分析和预测。
3. 工程应用：一次函数可以应用于工程学中的线性规划问题。
例如，在工程实践中，通过一次函数可以描述材料的成本与产量之间的关系，从而确定成本最小或产量最大的最优方案。
四、一次函数方程的解法与示例解一次函数方程的常用方法是通过消元法或代入法。
下面通过一个具体的例子来说明解一次函数方程的过程。
例：解方程2x + 3 = 0解法：将2x + 3 = 0中的3移到等号右边，得到2x = -3；再将2移到x的系数前面，得到x = -3/2。
一次函数与方程、不等式详细教案
一次函数与方程、不等式详细教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义介绍一次函数的定义：形式为y = kx + b（k、b为常数，k≠0）的函数。
强调一次函数的图像为直线。
1.2 一次函数的斜率与截距解释斜率k的意义：直线的倾斜程度。
解释截距b的意义：直线与y轴的交点。
1.3 一次函数的图像特点描述一次函数图像的形状、方向和位置。
第二章：一次函数的图像与解析式2.1 一次函数图像的绘制利用斜率和截距绘制一次函数的图像。
2.2 一次函数解析式的求解介绍求解一次函数解析式的方法：观察图像或给定的点。
2.3 一次函数图像与解析式的关系解释图像与解析式之间的联系。
第三章：一次函数的应用3.1 线性方程的解法介绍解线性方程的方法：代入法、消元法等。
3.2 实际问题中的一元一次方程举例说明一元一次方程在实际问题中的应用。
3.3 一次函数与不等式介绍一次函数与不等式的关系：图像与解集。
第四章：一元一次不等式的解法4.1 不等式的基本性质介绍不等式的加减乘除性质。
4.2 一元一次不等式的解法介绍解一元一次不等式的方法：同解变形、图像法等。
4.3 不等式的应用举例说明一元一次不等式在实际问题中的应用。
第五章：一次函数与方程的综合应用5.1 实际问题中的一次函数与方程组举例说明一次函数与方程组在实际问题中的应用。
5.2 一次函数与方程的综合解法介绍一次函数与方程的综合解法：代入法、图像法等。
5.3 一次函数与方程的拓展应用探讨一次函数与方程在其他领域的应用。
第六章：一次函数的图像与几何性质6.1 一次函数图像的交点介绍如何求出两条一次函数图像的交点。
强调交点在解析几何中的应用。
6.2 一次函数图像与坐标轴的交点解释一次函数与x轴、y轴的交点求解方法。
6.3 一次函数图像的距离和角度介绍如何利用一次函数图像求解两点间的距离和角度。
第七章：一次函数图像的变换7.1 一次函数图像的平移介绍如何对一次函数图像进行上下、左右平移。
一次函数与方程、不等式(市级优质课)
当$k > 0$时，函数为增函数；当$k < 0$时，函数为减函数。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程
1 2
一次函数与一元一次方程的联立
通过联立一次函数和一元一次方程，可以求解出 未知数的值。
解法示例
以$y = x + 1$和$x + y = 2$为例，联立后得到 $x = 1, y = 0$。
应用场景
03
在实际问题中，如抛物线、球体等，可以通过一次函数和一元
二次方程来求解。
一次函数与分式方程
一次函数与分式方程的联立
通过联立一次函和分式方程，可以求解出未知数的值。
解法示例
以$y = x + 1$和$frac{x}{2} + frac{y}{3} = 1$为例，联立 后得到$x = frac{4}{5}, y = frac{9}{5}$。
题能力。
02
一次函数在数学建模中的应用
数学建模是数学竞赛中的重要部分，一次函数可以用来建立实际问题与
数学模型之间的关系。
03
一次函数在几何学中的应用
在几何学中，一次函数可以用来描述直线、平面等几何图形的关系。
一次函数在物理中的应用
一次函数在力学中的应用
在力学中，一次函数可以用来描述物体的运动状态，如速度、加 速度和位移之间的关系。
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应用场景
在实际问题中，如化学反应、工程问题等，可以通过一次 函数和分式方程来求解。
03 一次函数与不等式
一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元一次不等式之间的关系
一次函数是线性函数的一种，而一元一次不等式是数学中常见的不等式类型。两者之间存 在密切的联系，可以通过函数的图像和性质来解不等式。
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
一次函数与方程、不等式
第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b -+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201mm m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________． 04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －2与y ＝kx ＋k 的交点为整点时，k 的取值可以取( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y x y kx k =-⎧⎨=+⎩得21221k x kk y k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数， ∴x 、y 均为整数，又当x 为整数时，y 为整数， ∴21k k +-为整数即可，2213311111k k k k k k k ++-+=-=-=------， ∵k －1是整数，∴k －1＝±1，±3时，x 、y 为整数， ∴k ＝－2，0，2，4． 所以选A ．【变式题组】01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q (p ≠q )，构成函数y ＝px －2和y ＝x ＋q ，并使这两个函数图象的交点在直线x ＝2的右侧，则这样的有序数对(p ，q )共有( ) A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对 02． (浙江竞赛试题)直线l ：y ＝px (p 是不等于0的整数)与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l 有( ) A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 03． (荆州竞赛试题)点A 、B 分别在一次函数y ＝x ，y ＝8x 的图像上，其横坐标分别是a 、b (a ＞0，b ＞0)．若直线AB 为一次函数y ＝kx ＋m 的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k 的值． 【例4】已知x 、y 、z 都为非负数，满足x ＋y －z ＝1，x ＋2y ＋3z ＝4，记ω＝3x ＋2y ＋z ．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x 、y 、z 中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x 、y 、z 的三元方程可变成关于x 、y 的二元方程，从而求出x 与y ，然后代入ω＝3x ＋2y ＋z 中，可得ω与z 的一次函数关系式，然后再求出z 的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y z x y z +=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x z y z =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x ＋2y ＋z ＝3(5z －2)＋2(3－4z )＋z ＝8z ．∵x 、y 、z 都为非负数，∴5203400z z z -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z ≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01． (荆州竞赛试题)已知x 满足不等式：31752233x xx -+--≥，|x －3|－|x ＋2|的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是( )A ．6B ．5C ．－5D ．－102． 已知非负数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5．设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m ＝________．03． (黄冈竞赛试题)若x ＋y ＋z ＝30，3x ＋y －z ＝50，x 、y 、z 均为非负数，则M ＝5x ＋4y＋2z 的取值范围是( ) A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140【例5】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∵y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)．∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S △ABC ＝12×2×3＝3．演练巩固·反馈提高01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________． 08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________． 10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________．11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________．13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l2、l1的解析式；⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，32 )．⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．l2第14题图。
一次函数与方程
一次函数与方程一次函数（也称为一元线性函数）是指函数的最高次数为一次的函数，通常以y=ax+b的形式表示，其中a和b为实数常数，且a不能为零。
一次函数在数学中有着广泛的应用，并且与方程有着密切的联系。
本文将探讨一次函数与方程的关系，以及它们在数学问题中的应用。
一. 一次函数的定义和特性一次函数是一种形式简单、易于理解的函数。
一次函数的定义域是全体实数，值域也是全体实数。
具体来说，一次函数的图像呈现直线，斜率为a，截距为b。
当a大于零时，直线呈上升趋势；当a小于零时，直线呈下降趋势。
二. 一次方程的定义和解法一次方程是一个未知数的一次多项式等于一个已知数的等式。
一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，且a不能为零。
解一次方程的基本方法是移项和合并同类项。
通过将未知数的系数相消，最终求得未知数的值。
三. 一次函数与方程的关系一次函数与方程有着紧密的联系。
一次函数的图像实际上是一次方程的图解表示。
通过一次函数的图像，我们可以确定一次方程的解的个数和范围。
具体而言，当一次函数的斜率为零时，即a=0，解是不存在的；当a大于零时，方程有无穷多个解；当a小于零时，方程也有无穷多个解。
这种对应关系使得我们可以通过一次函数的性质来分析和解决一次方程相关的问题。
四. 一次函数与方程的应用一次函数与方程在数学和现实生活中都有广泛的应用。
在数学中，一次函数和方程是解析几何、代数和微积分等课程的基础。
在实际问题中，一次函数和方程可以用于描述和解决各种线性变化的情况。
例如，在经济学中，一次函数可以用来描述成本、收入和利润之间的关系；在物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度和位移之间的关系。
通过运用一次函数和方程，我们可以建立相应的模型，分析和预测实际问题中的各种情况。
综上所述，一次函数与方程是数学中重要且基础的概念。
它们之间存在密切的联系，并在数学问题的解决中起着重要作用。
了解一次函数与方程的定义、特性和解法，能够帮助我们更好地理解数学知识，提高问题解决的能力。
一次函数与方程不等式知识点
一次函数与方程、不等式综合一、一次函数与一元一次方程的关系直线y =也+ b (k工0)与x轴交点的横坐标就是一元一次方程fcv + b = 0伙h 0)的解。
求直线y =恋+ b 与•丫轴交点时，可令y = 0，得到方程d + b = 0 ,解方程得x=—£，直线y = M + b交人轴于(--.0),-- k k k 就是直线y =恋+ b与x轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为iu+b>0或a + bcOS b为常数，“工0)的形式，所以解一元次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变星相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程(组)的关系一次函数的解析式y = b・ + b (kHO)本身就是一个二元一次方程，直线y = M + b (kHO)上有无数个点■每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y = d + b (k = 0),因此二元一次方程的解也就有无数个。
一、一次函数与一元一次方程综合【例1】若直线y =伽-2)—6与x轴交于点(6,0),则加的值为( )A.3B.2 Cl D.0【例2】已知直线y = (3〃】 + 2)x + 2和y = -3x + 6交于x轴上冋一点，加的值为(A. -2 B・ 2 C・一1 D・ 0【巩固】已知一次函数y = -A+t/与y = x +〃的图象相交于点(/n>8),则“ + b = _______二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数y = -2x + 5.(1)画出它的图象：(2)求出当x =-时，y的值：(3)求岀当时，x的值：(4)观察图象，求出当x为何值时，y>0, y = 0, y<0【例4】当自变量兀满足什么条件时，函数y = -2x + 3的图象在：(1)x轴下方：(2) y轴左侧；(3)第一象限.【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数y = Yx + l的图象在：(1) .V轴上方：(2) y轴左側：(3)第一象限.【例5】如图，直线y = lcx + b与x轴交于点（-4,0）,贝lJy>0时，x的取值范围是（）A.x>-4 B・ x>0 C.x<-4 D・ x<0【巩固】一次函数y = ^ + /7的图象如图所示，当）Y0时，x的取值范围是（）A. x>0 B・ x<0 C・x>2D・x<2【例6】已知一次函数经过点（1,・2）和点（-1, 3）,求这个一次函数的解析式，并求: （1）当x = 2时，y的值；（2）x为何值时，yvO?（3）当-2<A <1时，y的值范围；（4）当-2<y<l时，x的值范用.【巩固】已知一次函数y = -2x + 3（1）当x取何值时，函数y的值在-1与2之间变化？（2）当x从-2到3变化时，函数y的最小值和最大值各是多少?【例7】一次函数y = kx + b g b是常数，20）的图象如图所示，则不等式kx + h>0的解集是（）A. x>-2 B・ x>0 C・ x<-2 D・ x<0【巩固】如图，一次函数y^ca + b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax + b<0的解集是_______ ・【例8】如图，直线y = kx + b经过A（2,l）, 5（-1,-2）两点，则不等式L x>kx + h>_2的解集为 __________【巩固】直线/t:y = V + b与直线•在同一平而直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x>k{x + h的解集为__________________ ・• •三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例9】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）A •无解B •有唯一解C •有无数个解 D.以上都有可能【例⑹已知直线3与＞7 + 2的交点为5 4则方程组仁十二。
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学案
校区年级学科八年级数学班级珍珠教师曹老师
考点一：一次函数与一元一次方程
函数y=ax+b(a≠0)中，y=0时x的值一元一次方程ax+b=0的解
函数y=ax+b(a≠0)的图像与x交点的横坐标一元一次方程ax+b=0的解例1如图，已知直线y=ax-b，则关于x的方程ax-1=b的解x=___________.
练习
1．下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y=2的解的是（）
A． B． C． D．
2. 已知关于x的方程ax﹣5=7的解为x=1，则一次函数y=ax﹣12与x轴交点的坐标为．
考点二：一次函数与一元一次不等式
ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围；
ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围.
ax+b>0的解集直线y=ax+b位于x轴上方的部分对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集直线y=ax+b位于x轴下方的部分对应的x的取值范围。
例2．如图，函数y=ax+4和y=bx的图象相交于点A，则不等式ax+4＜0的解集为，不等式bx≥ax+4的解集为．
练习
1．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（）
A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2
2．（易错）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
考点三：一次函数与二元一次方程组
例3．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．
练习
1．已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是．
2．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点（1，a），试确定方程组的解为，b= ．
3．如图所示，函数y=ax+b和y=|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．
随堂训练
一．选择题
1．一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象如图所示，自变量为x时对应的函数值分别为y1，y2．若﹣3＜y1＜y2，则x的取值范围是（）
A．x＜﹣1 B．﹣5＜x＜1 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜1
2．一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B． C． D．
3．如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（）A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3C．k≥1 D．k≥3
第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图
4．如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为（）
A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
5．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
二．填空题
6．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x=3时，y1=y2；④不等式kx+b＞x+a的解集是x＜3，其中正确的结论有．（只填序号）
7．如图所示，函数y1=|x|和y2=x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．8．一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示．根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=﹣3的解为．
第6题图第7题图第8题图
9．如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0
的解集为．
三．解答题
10．如图，已知直线y=x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．
（2）求线段AB的长．
（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．
一次函数专题复习
考点清单
专题一函数关系和函数图象
察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；
③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正
确的有___________（填序号）．
例2星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y
（千米）与时间t（分钟）的关系如图7所示．根据图象回答下列问题：
（1）小明家离图书馆的距离是____________千米；
（2）小明在图书馆看书的时间为___________小时；
（3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时．
例3.某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障
关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)
的函数图象如图．
请结合图象，回答下列问题：
(1)根据图中信息，请你写出一个结论；
(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟
(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗请说明理由．
专题二一次函数应用题型解析
例4．铜仁某水果店销售公司准备从外地购买西瓜31吨、柚子12吨，现计划租甲、乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4吨和柚子1吨，乙种货车可装西瓜1吨和柚子2吨．
（1）该公司安排甲、乙两种货车时有几种方案
（2）若甲种货车每辆要付运输费用1800元，乙种货车每辆要付运输费用1200元，则该公司选择哪种方案运费最少最少运费是多少
例5．某商场计划购进两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
进价（元/件）售价（元/件）
价格
类型
A3045
B5070
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装个购进多少件
（2）若商场规定B种服装进货数量不超过A种服装进货数量的三倍，且超过A种服装进货数量的2倍，求商场有几种进货方案；
（3）在（2）条件下应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多此时利润为多少元
例6．（选做）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示．
（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；
（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x 吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．
例7．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= ，b= ；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人
专题三一次函数与面积
例8．已知直线l1：y=k1x+b1经过点（﹣1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线l2：y=﹣x﹣3，它和x轴、y轴的交点分别是D和C．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）设直线l1与l2交于点P，求△PBC的面积．
例9．如图直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．
专题四一次函数与几何图形综合问题
例10． OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．求B′点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的解析式．。