边界层理论的基本内容
04第四章 边界层理论基础
d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ
第四章 边界层理论
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
第五章 边界层理论
A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微 分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流 底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到 下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了 速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0
L
0
y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB
边界层理论
边界层理论边界层理论始于20世纪50年代，是一种以社会学中的社会心理学为基础的理论。
由于受到社会中的文化差异的影响，社会的边界层不同于一般的社会结构，它是一种身份认同和社会化过程的实质性结构。
其主要内容包括边界层的组成、功能、社会定位和边界层的调整等。
边界层理论主要聚焦于社会层次之间的关系，侧重考察如何管控不同社会层次之间的实证关系，揭示边界层的特征和机理，也为不同社会层次的社会活动提供了一种新的研究框架。
边界层理论告诉我们，每一个社会都由不同的社会层次组成，而每一个社会层次都有它自己的特点，例如在国家层次，就存在不同国家之间的文化差异和经济利益分配差异；在社会机构层次，就存在社会经济地位差异等。
边界层是社会层次之间连接的桥梁，在不同层次上，边界层有着不同的功能。
首先，边界层能够承载社会分类信息，从而使每个社会层次的身份认同更加清晰，例如在民族层次上，边界层有着民族特征，即民族分类的功能，而在宗教层次上，边界层有着宗教的认同，也就是运用边界层的宗教特征来区分每一个宗教信仰。
其次，当边界层作用于不同社会层次之间时，它还具有一种吸引力，它能够将不同社会层次之间的交流促进，以此来实现平等和融合。
这种吸引力可以表现为模仿或认可他人的行为，获得他人的认可和关注，以此来拓展自身的社会地位，最终可以实现融合或社会化。
最后，边界层理论还提供了一些有效的措施来加强边界层的建设，首先，政策立法应该重视社会层次之间的不平等问题，加强社会层次之间的调整，如政府可以以财政补贴的形式来实现资源分配的公平，减少社会层次之间的不公平。
其次，政府需要加强文化教育，确保建立一种同理心的文化氛围，减少不同社会层次之间的文化冲突，从而让边界层的建设更加有效。
社会的发展和进步，不仅需要不同社会层次之间的动力，而且也需要有效的边界层，只有社会的边界层得到加强和完善，才能有效地联系不同的社会层次，推动社会的发展。
边界层理论给我们提出了一种新的观点，用于解读不同社会层次之间的联系，进而让边界层更加有效地联结不同的社会层次，从而为社会发展提供了全新的基础。
第九章 边界层理论基础
根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着 层流和紊流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流， 称为层流边界层，若在边界层起始部分内是层流，而在 其余部分内是紊流，称为混合边界层，如图5-2所示，在 层流变为紊流之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁 面处也有一层极薄的层流底层。判别边界层的层流和紊 流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺寸用离前 缘点的距离x表示之，特征速度取边界层外边界上的速 度 ，即
由不可压缩流体的 连续性方程可知， 通过CD与AB控制 面质量流量的差值 应等于由BC控制 面流入的质量流量， 于是流入BC控制 面的质量流量与动 量分别为
m BC
∂ = ∂x
δ ∫ ρv x dy dx 0
图5-3 推导边界层的动量 积分关系式用图
∂ δ KBC = ue ∫ ρvx dy dx ∂x 0
图5-3 推导边界层的动量 积分关系式用图
首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率。 δ 单位时间流入x处控制面AB的动量为 2 K x = ∫ ρvxdy 0 从 x + d x 处控制面CD流出的动量为
δ ∂K x ∂ δ 2 2 Kx + dx = ∫ ρvx dy + ∫ ρvx dy dx ∂x ∂x 0 0
整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代数和，并 注意到略去二阶小量，得
d( pδ ) 1 dp dδ Fx = −τ w dx + pδ − pδ + dx + p + dx dx ∑ dx 2 dx dx dp = −δ dx − τ W dx dx
第九章 边界层理论基础
本章导读
边界层理论
6.95 5 10 1.965 4 0.15 10 3
3
从表12-1中，用内插法，查得
vx ' f ( ) 0.619 U
所以 Vx ＝0.619Ｕ＝4.3ｍ/ｓ
（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ
查表12-1，找出 由
v y ~
v 2v 1 y x ~ 1， ~ , 2 x y v y ~ , x 2v y ~ 2 x
v 1 x ~ y
2v 1 x ~ 2 2 y
化简后为
vx vx 2 vx 1 p vx vy x y x y 2 p 0 y v y vx 0 x y
由于f和η 均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν 及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。 表12-1给出问题的数值解，其中
vx f ( ) U
'
就
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1
本例说明上表12-1的用法。
(1)
欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
U 可将ｘ及ｙ的值代入 y x 中得出η 值，由
LU 2
Re L
b
总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：
1.328 Cf 1 2 Re L 2 U bL
L
Rf
（12-21)
为按平板板长计算的雷诺数。算出 式中 Re Re
UL
摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况 下的摩擦阻力为：
1 2 R f C f U bL 2
(12-22)
1 p p p ( p dx)d ( p dx)( d ) 0 dx 2 x x p dx 0 dx x
流体力学第8、10、11章课后习题
第八章 边界层理论基础一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）22100y x x xy y x v pv v v v xy x y py v v x y νρ⎧∂∂∂∂+=-+⎪∂∂∂∂⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂∂⎪+=∂∂⎪⎩其边界条件为：在0y =处，0x y v v == 在δ=y 处，()x v v x =（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以δ表示。
边界层的厚度δ顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度1δδδδ=-=-⎰⎰1001()(1)x x v v v dy dy v v2、动量损失厚度2δδρρ∞∞=-=-⎰⎰221()(1)x x x x v vv v v dy dy v v v（四）边界层的动量积分关系式δδρρδτ∂∂∂-=--∂∂∂⎰⎰200x x w Pv dy v v dy dx x x x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P =常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为δδτρ∞-=-⎰⎰200w x x d d v dy v v dy dx dx 二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
边界层基本理论.
沿边界层外法线方向压强不变，等于边界层外边界上
p dp 的压强，即p=p(x)。所以 x dx
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第6页
第六章 边界层基本理论 在边界层外边界上，由势流的伯努利方程:
1 2 ue C 2 ue 1 p ue ue t x x p
第六章 边界层基本理论
y * x f * ( ) x
x x ue ue g ( ) x 1 2 x 1 2
（6-17）
4) 若有相似性解，要使边界条件与x 无关，则有
u Cons tant 1 2 x
使必有 m 1 2 ,
2009-11-25
1 从而， 2
粘性流体力学
，故
第20页
唐晓寅制作
（6-16）
1）引入线性变换群
x A1 x,
1
y A2 y ,
1
A ,
5
ue A4 ue
u x 3 x 1 y 2 A ( ) ( ) ( ) x y ux
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第18页
1
第六章 边界层基本理论 将变换群代入方程和边界条件得
2009-11-25 粘性流体力学 唐晓寅制作 第2页
第六章 边界层基本理论 （2）边界层的性质 1）雷诺数↑↑时，惯性力〉〉粘性力，但在边界上的 流体质点必然粘附在固体边界上，流速为零，称为 无滑动条件。 2）在流动区流速较大，因此在靠近壁面附近的一个 薄层内，存在很大的速度梯度，即使粘性很小的流 体，其粘性力也很大，粘性的影响不能忽略;而在这 一薄层之处的主流区，速度梯度较小，即使粘性很 大的流体，其粘滞力也很小，粘性力的影响可以忽 略。
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边界层理论的基本内容:
流体流过某一固体壁面时,由于粘性力的作用,在壁面附近会形成边界层.将整个流场分为两个区域.即边界层区和主流区.在边界层区内,不论流体粘性有多小,因为存在很大的速度梯度,故粘性力不可被忽略.流场的速度分布计算需由N-S方程进行计算.而在主流区,不论流体粘性有多大,因为不存在速度梯度,故粘性力可被忽略,流场的速度分布计算需由EuLer方程进行计算.这种想法最初是由普朗特提出的.
意义: 由于边界层的特点，可用量级分析法将N-S方程进行简化。
由其学生布拉修斯对层流绕流平板的流场进行了计算。
通过EuLer方程及伯努利方程计算主流区流场速度及压力分布并同时得到边界层区流场速度边界条件，从而整个流场微分解得以求出。