第4章 频域分析法
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第4章 频域分析法3
2011年11月18日星期五
机电与汽车工程学院
11
四、频域分析法
■ ω = 0时
■ ω = 1/T时 ■ ω = ∞时
张家港校区
A(ω) = A(0) = 1 ϕ (ω) = ϕ (0) = 0° A(ω) = 2ξ ϕ(ω) = 90° A(ω) = ∞ ϕ(ω) = 180°
ω =∞
ω G(jω)
2011年11月18日星期五
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20
四、频域分析法
张家港校区
一阶不稳定环节和惯性环节： 0
Bode Diagram
ϕ(ω) / (deg) L(ω)/ (dB)
对数幅频 特性相同
-5
-10
-20dB/dec
-15
该结论对-200其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微 分环节幅-45频特性互为对应的不稳定惯环性节环也节成立。
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19
四、频域分析法
张家港校区
惯性环节：G( jω) = 1 1+ jωT
= 1− jωT 1+ ω2T 2
实、虚频关系：⎡⎢⎣P(ω)
−
1 2
⎤ ⎥⎦
2
+ [Q(ω)]2
=
⎛ ⎝⎜
1 2
⎞2 ⎠⎟
Im
ω =0
ω =∞ ω =∞
-1
0
一阶不稳定环节
惯性环节
ω =0 1 Re
ω
ω
Nyquist Diagram
ω
Nyquist Diagram
0<ξ <1
ϕ(ω) / (deg) L(ω)/ (dB)
0 -40dB/dec
-20
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
信号分析与处理第4章-3(频域分析)
h
(
)
t
0
线性相位
无失真传输
信号幅度不失真
信号放大、时延， 波形不失真
y(t) Kx(t t0 )
线性相位，波形 不失真
h ()
Y () KX ()e j t0
K H()
x(t)
Kx(t t0 )
t0
H ()
t
h ()
无失真传输的频域条件：
X ()
H ( )
Y ( )
×
k
2
＝
kπ/2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-ωc
0 ωc
-ωc -1 0 1 ωc
根据以上图示，分三种情况讨论Y(ω)
(1) c 3
X () H()
Байду номын сангаас
2
- ωc -3 -2 -1 0
1 2 3 ωc
输入信号的频带完全被包含在低通滤 波器的通带内，有
系统的幅频特性是一个与频率无关的常 数，即在全部频带内，系统都具有恒定 的放大倍数
系统的相频特性与频率成线性关系。且 信号通过系统的延迟时间t0就是系统相频 特性 h () 斜率的负值，即
t0
dh () d
3、理想低通滤波器
H
()
1ge 0
jt0
H() 1
c
Sa[c (t
t0 )]
h(t)
c
0
t0
[例3] 求信号x(t)=Sa(t)cos(2t) 通过理想低通滤 波器（设通带内的放大倍数为k）后的输出响应。
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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机电学部
4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
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sin(t tg 1T )
电路参数 （R、C给定后， G ( j ) ） 随频率变化规律就完全确定。所以频率 特性反映了电路本身性质，与外界因素无关。
例4-1-2 设系统的传递函数 振幅为
G(s)
时，系统的稳态输出。 X 0 10 f 1Hz
K 10 ，求输入信号频率为 Ts 1 0.5s 1
频率法分析和设计控制系统的优点
（1）当控制系统的结构和参数变化时，很容易确定相应的频率特 性的变化。再通过频率特性指标和时域性能指标之间的关系，就 将系统的结构和参数与时域性能指标联系起来了。 （2）不解系统的闭环特征方程，用系统开环频率特性曲线图就可 以研究闭环系统的稳定性和相对稳定性。 （3）频率特性有明确的物理意义，控制系统或元部件的频率特性 都可用实验方法测定，这对于很难列写运动方程的元部件或系统 很有实用意义。 （4）频率法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可推广应用 于某些非线性控制系统。 （5）当系统在某些频率范围内存在严重的噪声时，应用频率法， 可以设计出能够抑制这些噪声的系统。
输入信号的拉氏变换为
则输出信号的拉氏变换为
（4-1-2）
A01 G ( s) X ( s).(s j ) |
同理
x0 ( s j ) G ( s) | ( s j )(s j ) s j x0 G ( j ) 2j x
A02 2 0j G( j )
2．对数频率特性
4.2典型环节的频率特性
2.惯性环节的频率特性
1 惯性环节的传递函数为 G ( s ) 1 Ts
(1) 幅相频率特性
式中 T——环节的时间常数
G( j )
1 P( ) jQ( ) A( )e j ( ) 1 jT 1 式中 实频特性 P ( ) = 1 T 2 2 T 虚频特性 Q ( )= 1 T 2 2
第4章频率分析法
4.1 频率特性的基本概念与表示方法 4.2 典型环节的频率特性 4.3 系统开环频率特性的绘制 4.4 用频率法分析控制系统的稳定性 4.5 系统开环频率特性与时域特性的关系 4.6 设计实例：雕刻机位置控制系统
第4章 频域分析法
本章首先由系统对正弦输入的稳态响应引出频率特性基本概念及频率响应， 具体讲述频率特性的表示方法即极坐标图(奈氏图)和对数频率特性图 (BODE图)；通过典型环节频率特性的绘制，引出系统开环频率特性两种 曲线的手工绘制方法及用MATLAB工具软件的绘制。然后根据绘制出的 曲线,用奈氏稳定判据判断其稳定性并计算其相对稳定性指标——相角裕 量和幅值裕量(手工和用MATLAB软件计算)；最后分析系统频率特性性能 与时域性能指标之间的关系。 频率法是研究自动控制系统的一种经典工程方法，也是一种基本方法。 它仍然是分析研究系统的瞬态特性、稳定性、稳态误差等问题的主要方 法之一。研究方法是用图解方法，间接分析系统的瞬态特性和稳定性。 一旦用频率法对控制系统做出了分析和设计后，再根据时域和频域的关 系就可确定系统的时域特性。
0
电路频率特性以 可得
j 代替 s j ( ) G( j) 1 1 G ( j ) e jT
t
幅频特性为 相频特性为
G ( j )
y (t )
1 1 jT
1 1 (T ) 2
() G( j) tg 1T
x0 1 (T ) 2
系统频率特性为
x0 X ( s) s 2 2 ( s j )( s j ) x0
m K (s Z i ) x0 i 1 Y (s) G ( s) X (s) n ( s j )( s j ) (s P j ) j 1
输入信号的幅值； x—— 0
幅频特性 A( ) =
(4-2-2)
4.1 频率特性的基本概念与表示方法
频率特性的基本概念
在一般情况下，系统的传递函数为 若输入信号为正弦函数 式中
x(t ) x0
m K (s Z i ) Y (s) G(s) X ( s) i 1 n (s P j ) j 1 sin t
——输入信号的角频率。输入信号的拉氏变换为
解：[解题步骤]（1）输出与输入频率相同
f 1Hz ，所以
2f 6.3(rad / s)
（2）求输出与输入相位差 惯性环节相位落后为
tg 1T tg 1 0.5 6.3 tg 1 3.15 72.4
（3）求输出幅值
100 30.3 1 y 0 x 0 K 0.5 1 10 10 j 1 (0.56.3) 2 1 3.295
同理 G( j)
G( j) e j ( ) G( j) e j ()
例4-1-1 求图4-1-1，电路的频率响应。 解： R C 电路的传递函数为
G(s)
图4-1-1
1 正弦输入信号为 x(t ) x sin
（4）稳态输出
y(t ) y0 sin(t ) 30.3 sin(6.3t 72.4 )
4.1.2 频率特性的表示方法
系统或环节的频率特性的表示方法很多，其本 质都是一样的，只是表示的形式不同而已。最 常用的有； 频率特性 幅相频率特性 对数频率特性
1.幅相频率特性
s j
（4-1-6）
因为
G ( j )是一个复数，则可以用幅值和相角表示，即
G( j) G( j) e j ()
式中 G( j) 是 G ( j ) 的幅值;
（4-1-7）
( )
是 G ( j ) 的相角（或幅角）。
G( j )的虚部 1 ( ) G( j ) tg [ ] G( j )的实部