电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
第六章 平面向量和复数第六节复数的指数形式及在电工学中的应用
第一节 平面向量的概念及加、减、数乘 第二节 平面向量的数量积 *第三节 复数的概念 *第四节 复数的四则运算 *第五节 复数的三角形式及乘除运算 *第六节 复数的指数形式及在电工学中的应用
*第六节 复数的指数形式及在电工学 中的应用
一、复数的指数形式
前面我们学习了复数的代数形式和三角形式，在科学 技术中，特别在电学中还需要用到复数的指数形式.
即Z 8ei6的立方根为2ei18 , 2ei1138 , 2ei2158 ,显然
n
rei
n
rei
+2k n
(k
0,1,
2,
, n 1).
复数在电工学中应用举例. 例6 如图6-22所示,电阻R=2,电容C=10-3F,串联在交流
电路中,电源的瞬时电压为V =220 2
sin
314t
12
V
,
求电路中的瞬
;
(3)
2ei4
4
.
(2)
原式=4ei
2
7 6
4ei53
;
(3) 原式=4ei .
例5 试求复数Z 8ei6 立方根的指数形式.
解
Z
=
8 cos
6
isin
6
,
3
Z
2 cos
6
2k
3
isin 6
2k
3
2ei
18
2
k 3
(k
0,1, 2).
当k 0时,1 2ei18 ;当k 1时,2 2ei1138 ;当k =2时,3 2ei2158 .
根据欧拉公式:cos i sin ei
可知,对于任一个复数Z = r cos i sin 都可以写成 : Z = r cos i sin rei
《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
《电工技术》课件 复数的表示形式及复数的四则运算
8 B 10370
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516
B 10
其中：
r a2 b2 ψ arctan b
a
j 1900 j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算
• 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
3.复数的除法运算 • 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A1 1 2
A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
A 3 j4 B 8 j6
求它们的和、差、积、商。
解： A B 38 j 4 6 11 j10 A B 38 j 4 6rctan 4 53o
3
A 5530
B 82 62 10
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j = 1.代数形式： 在复平面上表示
1
j2 = -1
A a jb
a rcosψ
•
b r sinψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sinψ r (cos ψ jsinψ)
复数的模 复数的辐角
正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质复数是数学中一种重要的数，包括实部和虚部。
在复数运算中，我们将探讨复数的基本运算规则和性质。
一、复数的表示形式复数可以用标准形式或者三角形式来表示。
标准形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r 为模，θ为辐角。
二、复数的加法复数的加法与实数的加法类似。
将两个复数的实部相加得到新复数的实部，虚部相加得到新复数的虚部。
例如，将复数z1=a1+b1i和复数z2=a2+b2i相加得到新复数z=a+b。
三、复数的减法复数的减法与实数的减法类似。
将被减数减去减数的实部得到新复数的实部，虚部相减得到新复数的虚部。
例如，将复数z1=a1+b1i减去复数z2=a2+b2i得到新复数z=a+b。
四、复数的乘法复数的乘法是根据乘法分配律进行计算的。
将实部相乘减去虚部相乘得到新复数的实部，实部相乘再相加得到新复数的虚部。
例如，将复数z1=a1+b1i和复数z2=a2+b2i相乘得到新复数z=a+b。
五、复数的除法复数的除法是根据乘法的逆运算进行计算的。
将复数的实部相乘再相加除以模的平方，得到新复数的实部；将虚部相乘再相减除以模的平方，得到新复数的虚部。
例如，将复数z1=a1+b1i除以复数z2=a2+b2i得到新复数z=a+b。
六、复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负得到的新复数。
即将复数z=a+bi的共轭为z*=a-bi。
七、复数的乘方复数的乘方是将复数自乘n次得到的结果。
例如，将复数z=a+bi自乘n次得到z^n。
八、复数的性质1. 加法的交换律：z1+z2=z2+z12. 加法的结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)3. 乘法的交换律：z1*z2=z2*z14. 乘法的结合律：(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)5. 分配律：z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3以上是复数的基本运算与性质的介绍。
复数运算在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域中。
电路基础原理交流电路中的复数形式与复数运算
电路基础原理交流电路中的复数形式与复数运算电路基础原理：交流电路中的复数形式与复数运算电路是电子科学与技术中的重要分支，交流电路是其中一类最常见的电路。
交流电路是指电压或电流的方向和大小周期性变化的电路。
在交流电路中，复数形式与复数运算是理解和分析电路行为的重要工具。
交流电路中的电压和电流可以用复数表示。
复数是由实部和虚部构成的数学对象。
在电学中，实部表示电压或电流的振幅，虚部表示相位角。
通过将交流电压或电流看作复数，我们可以用更简洁的方式表示电路中的信号。
复数形式也便于进行电路参数之间的计算和分析。
复数形式的交流电压和电流是通过欧姆定律和基尔霍夫定律推导得到的。
在交流电路中，电压和电流的频率通常是固定的，因此可以用复数形式表示交流电压和电流。
我们通常将复数形式的交流电压表示为V=|V|∠θ，其中|V|表示电压的幅值，θ表示相位角。
同样，复数形式的交流电流表示为I=|I|∠φ，其中|I|表示电流的幅值，φ表示相位角。
相位角表示了电压和电流之间的相对关系，它们的变化可以描述电路中的频率和相位差。
复数运算在交流电路分析中扮演着重要角色。
复数的加法和减法可以用来计算电压和电流的叠加效果。
例如，当两个电源连接到一个电路上时，通过复数运算可以计算出总电压和总电流。
复数的乘法和除法可以用来计算电路中的电压和电流的变换。
例如，当电压经过电感时，可以用乘法计算出电感的负载。
在交流电路中，阻抗是一个重要的概念。
阻抗是复数形式中电压和电流之间的比值。
复数形式的电压和电流可以写为V=IZ，其中Z表示复数形式的阻抗。
阻抗是在交流电路中表示电阻、电感和电容的有效值。
利用复数运算，我们可以方便地计算电路中的阻抗，从而分析交流电路的性质。
除了用于分析交流电路之外，复数形式与复数运算还在实际电路设计中起着重要作用。
在实际电路设计中，我们通常使用电阻、电感和电容来构建各种功能电路。
通过使用复数形式和复数运算，我们可以更好地理解和设计这些电路。
交流电路的复数解法_2013
1
2
1
2
Z~ Z~ Z~
1
2
U~ U~1 U~2 ,
并联电路
I~ I~1 I~2 ,
1 Z~1
1 Z~2
1 Z~
例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗
和相位差
• 先算L、R 串联电路
的复阻抗ZLR
Z~LR Z~L Z~R R jL
再算总电 路复阻抗
交流电路的复数解法
一、交流电路的复数解法
矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复 杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程 组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出， 采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种 普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电 路，这种方法称复数解法。用复数表示，交流电路 的各种公式都写成和直流电路十分相似的形式，这 是复数解法的一个很大优点。
由I P 可看出,要减小电流
Ucos
就必须设法提高电路的功率因数
cos 的值, 使其尽可能接近 1.
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
R-L-C串联电路
电动机 空载 电动机 满载
日光灯 （R-L串联电路）
cos 1 ( 0)
cos 0 ( 90)
I
C
0
I/I 0 0
I
U0
R2 (L 1 )2
C
f
f1 fo f2
2
2
f o 0
f
arctan L 1/ C
R
根据以上结果，我们来分析串联谐振电路的主要特征： 1、谐振频率
电工基础正弦量的复数表示法ok
2002年4月19日课题正弦量的复数表示法复数形式的欧姆定律课型新授授课日期2002.4.30 授课时数2（总第7~8）教学目标1、掌握正弦量的复数表示法2、掌握复数形式的欧姆定律教学重点复数形式的欧姆定律教学难点公式Z= /与|Z|=U/I板书设计一、正弦量的复数表示法1、电压2、电流3、电压、电流的计算二、复数形式的欧姆定律1、复数形式的欧姆定律2、电阻、感抗与容抗的复数表示教学程序教学内容教学方法与教学手段ⅠⅡⅢ课前复习（作业讲评）新课导入由于正弦量可以用矢量表示，而复数也可以用矢量表示。
因此正弦量也可以用复数表示。
确切地说，正弦量与复数之间存在着对应关系，应用这种对应关系，就可以用复数的模表示正弦电压或电流的有效值，用辐角表示正弦电压或电流的初相角。
这种与正弦电压(或电流)相对应的复数电压(或电流)称为相量。
电压相量与电流相量分别以与表示。
新课讲授教后记教学程序教学内容教学方法与教学手段一、正弦量的复数表示法正弦交流电的解析式与复数之间的对应关系可表示为1、电压u=Usin（ωt+φu0）=U∠φu02、电流i=Isin（ωt+φi0）=I∠φi0例如：u=220sin（ωt+30°）V，i=5sin（ωt－60°）A 将它们表示成有效值的相量式为=220∠30°V，=5∠－60°A这也就是正弦交流电有效值的复数表示式。
上述电压相量与电流相量的相量图，如图所示。
3、电压、电流的计算用相量表示正弦交流电后，正弦交流电路的分析与计算就可以用复数来进行。
例题1、已知两个正弦交流电流为i1=6sin（ωt＋120°）A，i2=8sin（ωt＋30°）A，用相量来表示它们，并求它们的与。
举例讲解板书作图例题1教后记教学程序教学内容教学方法与教学手段解：i1与i2分别用相量表示为1=6∠120°A2=8∠30°A将复数的极坐标表示式变换为代数表示式，分别为1=6∠120°A=（－3＋j5.2）A2=8∠30°A=（6.9＋j4）A所以=1＋2=（－3＋j5.2＋6.9＋j4）A=（3.9＋j9.2）A=10∠67°A最后，将电流相量写成对应的解析式i=10sin（ωt＋67°）A。
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一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
一、复数的四种表示形式
⒊ 指数形式：
A r ej ψ
这两种表示形式适用于复数的乘除运算。
⒋ 极坐标形式：
A r ψ
四种表示方式之间可相互转换：
jψ A a jb r (cos ψ jsin ψ) r e r ψ
其中：
r a2 b2 b ψ arctan a
j 1900
j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a 2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2