复数的四则运算(含答案解析)
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数的四则运算
复数代数形式的四则运算制作人：高二数学组学习目标1、掌握复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
2、能够熟练准确的运用法则解决相关的实际问题。
3、掌握共轭复数的概念及性质。
重点：复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
难点：共轭复数的概念及性质。
一、复习1、虚数单位 ，有 。
2、复数的代数形式 ，其中a 为 ，b 为 。
3、对于 ),(,R b a bi a z ∈+=，①、当 ，z 为实数； ②、当 ，z 为虚数； ③、当 ，z 为纯虚数。
4、若 di c z bi a z +=+=21,，则⇔=21z z 。
特别的：若0=+bi a ，则 。
二、新授思考：复数可以相等，那么复数是否可以四则运算？<一>、复数的加法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+++)()(di c bi a 。
复数的加法满足交换律： 。
结合律： 。
<二>、复数的减法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+-+)()(di c bi a 。
练习1、)43()42(i i -++2、)32()2(i i +--3、)23(5i +-4、)43()2()65(i i i +--+-<三>、乘法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=++))((di c bi a 。
例：1、)32)(43(i i ++ 2、)2)(43)(21(i i i +-+-练习1、)3)(67(i i --2、)43)(43(i i -+<四>、除法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+÷+)()(di c bi a 0)(≠+di c 。
例题：1、)43()21(i i -÷+ 2、i1练习：（1）ii -+11 （2）ii 437++小结：复数的四则运算法则： 。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
7.2复数的四则运算-高一数学同步备课系列(中档题,人教A版2019必修第二册)(解析版)
7.2复数的四则运算【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1．已知()12i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】由复数除法求得z 后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．【详解】 由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限． 故选：D ．2．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，且z =1z=（ ）A ．1255i +B ．1255i --C ．1255i -D ．1255i -+ 【答案】D【分析】根据复数的求出复数z ，然后再计算1z ．【详解】由题意，设1(0)z bi b =-+>，则z ==2b =，即12z i =-+， 所以1112121212(12)(12)555iii i i i z -+-+====-+-----+．故选：D ．3．已知复数1z i =+，z 是z 的共轭复数，若z ·a =2+bi ，其中a ，b 均为实数，则b 的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-， 因此221bibz i i a a a +==+=-， 所以21a 且1,ba =-则2,2ab ==-.故选：A4．复数cos67.5sin 67.5z i =+，则22zz =（ ）A ．22-B ．22-+C ．22--D ．1【分析】根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意，复数cos67.5sin 67.5z i =+，可得222cos 67.5sin 67.51z =+=， 2222(cos 67.5sin 67.5)cos135sin13522z i i =+=+=-+，所以2222i z z ===--. 故选：C.5．已知i 为虚数单位，且3(1)i z i +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．12i -B ．12-C ．12D ．12i 【答案】B【分析】 根据复数运算法则结合21i =-，求解31i z i =+即可得出选项. 【详解】由题3(1)i z i +=，又21i =-，3(1)11111(1)(122)2i i i i i z i i i i i -----∴=====--+++-. 所以复数z 的虚部为12-6．若纯虚数z 满足()235z i mi ⋅-=+，则实数m 的值为（ ）A ．152- B ．152 C ．103- D ．103【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，根据题意可得出关于实数m 的等式，进而可求得实数m 的值.【详解】 由题意得，()()()()52351031522323231313mi i mimmz i i i i +++-+===+--+，则10301520m m -=⎧⎨+≠⎩，解得103m =，故选：D.7．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且11z i =-（i 为虚数单位），则212z z +=（）A B C ．10 D ．2【答案】A【分析】首先求2z ，再计算212z z +，最后根据公式计算模.【详解】21z i =--，()()2212112113z z i i i i i +=-+--=---=--，所以21213z z i +=--==故选：A8．i对应的点的坐标为（ ）A ．(2，12-)B ．(2，32-)C ．12-)D ．32-) 【答案】A【分析】把复数化为代数形式，可得对应点坐标．【详解】12i i i i =+==-，对应点坐标为12⎫-⎪⎪⎝⎭．故选：A ．二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43n i i +=C ．复数52i -的共轭复数为2i -- D ．若m 为实数，i 为虚数单位，则“213m <<”是“复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件【答案】AD【分析】根据复数的概念与运算法则判断各选项．【详解】设221212,,z a bi z a bi z z a b R =+=-=+∈，所以A 正确；43i i n +=-，所以B 错；522i i =---，所以共轭复数为2i -+，所以C 错； 复数(3)(2)(32)(1)m i i m m i +-+=-+-在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是32010m m ->⎧⎨-<⎩，即213m <<，所以D 正确， 故选：AD ．10．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是（ ）A ．12+B ．12-+C ．12-D ．1【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可.【详解】解：对A ，当122z =+时， 31z -122+- ⎪ ⎪⎭=⎝ 211122⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 213121334242i i i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误；对B ，当12z =-+时， 31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭= 21112222⎛⎫⎛⎫-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭142i =-- ⎪ ⎪⎝⎭13144=+- 0=，故310z -=，B 正确；对C ，当12z =--时， 31z -3112⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+- 0=故310z -=，C 正确；对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确.故选：BCD.三、填空题11．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.12．复数z 满足122z z i+=-，则=z _______________________． 【答案】21515i - 【分析】设,,z a bi a b R =+∈，然后根据22()5i a bi a bi +++=-建立方程组求解即可. 【详解】 设,,z a bi a b R =+∈，因为22()5i a bi a bi +++=-，所以225125a ab b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得25a =，115b =-，即21515z i =- 故答案为：21515i - 13．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋＋i 11，z 2＝i 1·i 2··i 12，则z 1·z 2＝________. 【答案】1【分析】利用*,n i n N ∈的周期性求出12,z z ，从而可求12z z【详解】对任意的*n N ∈，若41,n k k N =+∈，则41k i i +=，若42,n k k N =+∈，则421k i +=-， 若43,n k k N =+∈，则43k i i +=-，若44,n k k N =+∈，则441k i +=， 故()121111z i i i i =--++--=-， ()()()()221111z i i i i =⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅-=-⎡⎤⎣⎦，故121z z =，故答案为：114．设复数1z 、2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中||A =12||||z A z A +⋅+=_______. 【答案】6【分析】根据复数的运算性质，对12||||z A z A +⋅+进行化简后把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入可得答案.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，,,,a b c d R ∈，12z z a bi c di ⋅=+⋅+=()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=++=-++==所以1212z z z z ⋅=⋅， 所以121212||||||||||||z A z A z A z A z A z A +⋅+=+⋅+=+⋅+121212|()()|||z A z A z z z A A z A A =+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅， 把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得212||||||||6z A z A A A A +⋅+=⋅==.故答案为：6.四、解答题15．已知z 是复数，若z i +为实数，2z -为纯虚数，①求复数z ；①求21z z i-+的值．【答案】①2z i =-；【分析】①设复数z a bi =+，根据题意求出,a b 即可求解.①由①，利用复数的乘、除运算以及复数模的计算公式即可求解.【详解】①设复数z a bi =+，则1z i a b i ，()22z a bi -=-+，因为z i +为实数，2z -为纯虚数，则10200b a b +=⎧⎪-=⎨⎪≠⎩，解得2a =，1b =-，所以2z i =-. ①()()()()()()2222131131211111i i i i z z i i i i i i i -------====--=++++- 16．已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位. （1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】（1）|z |=2z i =+；（2）4m =-，5n =．【分析】（1）利用复数的运算法则求出2z i =-，由此能求出||z 和z ．（2）由复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，得到2(2)(2)0i m i n -+-+=，整理得()32(4)0m n m i ++-+=，由此能求出实数m ，n ． 【详解】解：（1）复数55(12)1112(12)(12)i z i i i i i -=++=++++- 1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2）复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩， 解得4m =-，5n =．【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。
复数的四则运算
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例4.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
记作： z=a+bi， 其中a叫做复数 z的 虚部 实部 b叫做复数 的 . z 全体复数集记 C 为 .
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
→ 练习．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量OB对 → 应的复数为－1＋2i，则向量BA对应的复数为( A．1＋5i C．－3－i B．3＋i D．1＋i )
→ → → 【解析】 ∵BA＝OA－OB，
→ 对应的复数为(2＋3i) －( －1＋2i) ＝(2＋1) ＋(3－2)i ∴BA ＝3＋i.故选 B.
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
§2 复数的四则运算(2)
（2）设 1 3 i, 则 1 3 i. 且有下列性质：
22
22
① 3k 1, 3k1 , 3k2 2; ② 2 1 0 ; ③ 1 .
1i 1i
4 3i
（2） 1 (
2
2i)5 (
1
)4
1 (
i
)7
;
i
1i 1i
（3）(
3 1 i)12 ( 2 2i )8 .
22
1 3i
答案（1） 16i； （2）(16 2 1) (16 2 1)i; 4 （3）7 8 3i.
例3.已知 x, y R, 若 x2 2x (2 y x)i 和3x ( y 1)i 是共轭 复数, 求复数 z x yi 和z . 答案: z i, z i或z 1, z 1.
z 1
z 2
z 1
z 2
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd ) (bc ad )i c2 d2
ac bd bc ad c2 d2 c2 d2 i
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
复习回顾
1. (a bi) (c di) (a c) (b d )i
2. (a bi) (c di) (ac bd ) (ad bc)i
复数的加、减、乘法类似于多项式的加、减、乘法运算， 不同的是在运算过程中，需要用i2=-1进行化简，然后把实部与 虚部分别合并，结果应写成复数的标准形式.
3.共轭复数概念 复数z的共轭复数用 z来表示，即当z=a+bi时，z a bi. z z a2 b2 z 2 z 2 z z z z z R
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
复数的四则运算(上课用)很实用优质课
一.复数的加法与减法
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ， ∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ， 由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d
复数的除法
a bi (a bi ) (c di ) x yi ,那么 x ? , y ? c di
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad i 2 2 2 2 2 2 c d c d c d
Z1(a,b)
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
向量Z1Z2
o
y
x
Z2(c,d)
|z1-z2|表示什么?
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
Z1(a,b
o
x
例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－1| (4)|z+2i|
当堂检测
1. 若复数z满足方程 zi i 1 ，则z ?
2. 求8＋6i的平方根 .
2
3、在复平面内，若复数 z 满足 z 1 z 1 4
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复数的四则运算
1.复数z=的虚部为（）
A.-1
B.-3
C.1
D.2
2.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（）
A.i
B.1
C.-i
D.-1
3.已知a∈R，i为虚数单位，若（1-i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
4.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）
A.0
B.1
C.-1
D.2
5.计算=（）
A.-1
B.i
C.-i
D.1 6.已知i是虚数单位，，则|z|=（）
A. B.2 C. D.4
7.复数z满足z（2-i）=2+i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.若a=i+i2+…+i2013（i是虚数单位），则的值为（）
A.i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
9.设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）
A. B. C.3 D.-3
10.复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）
A.1+3i
B.1-3i
C.-1+3i
D.-1-3i
11.已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，是z的共轭复数，则的值为（）A. B.--i C.-+i D.-
12.设x，m均为复数，若x2=m，则称复数x是复数m的平方根，那么复数3-4i（i是虚数单位）的平方根为（）
A.2-i或-2+i
B.2+i或-2-i
C.2-i或2+i
D.-2-i或-2+i
13.设i为虚数单位，则（）2014等于（）
A.21007i
B.-21007i
C.22014
D.-2201414.已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ______ ．
15.复数z=，i是虚数单位，则z2015=
______ ．
复数的四则运算答案和解析
1. B解：∵z==
，∴复数z=的虚部为-3．
2. A 解：∵m+（m2-4）i＞0，∴，解得：m=2．则=．
3. D 解：∵（1-i）（a+i）=1+a+（1-a）i为纯虚数，∴，解得：a=-1．
4. B解：∵=
，∴，解得，
则a+b=1．
5. B解：=
．
6. C解：由，得，即|z|=
．
7. D解：∵z（2-i）=2+i，∴z（2-i）（2+i）=（2+i）（2+i），∴z=（3+4i），
则=-i在复平面内对应的点（，-）所在象限为第四象限．
8. D解：因为i+i2+i3+i4=0，所以
a=i+i2+…+i2013=i．==
=-=-=-1-i．
9. C解：==
，
∵复数的实部与虚部是互为相反数，∴
，即a=3．
10. B解：由（z+2i）i=1+i，得
，∴z=1-3i．11. D解：∵复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，则复数z=a+i．又模长为2，∴，解得a=．
∴z=，．则=
=
．
12. A解：设z=x+yi，则（x+yi）2=3-4i，即
x2-y2+2xyi=3-4i，∴，解得：或．
∴复数3-4i的平方根为2-i或-2+i．
13. A解：∵（）2=-2i，∴（）2014=（-2i）1007=（-2）1007•i1007=21007i．
14. 解：设复数z2=a+bi（a，b∈R），z1z2=
，∵|z2|=3，z1z2是正实数，
∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．
15. 解：∵z==（1+i），∴z2=
（1+2i+i2）=i，z3=z2•z=i•（1+i）=（-1+i），z4=（z2）2=-1，
z5=z4•z=-（1+i），z6=z4•z2=-i，z7=z3•z4=（1-i），z8=z2•z6=1，z9=z•z8=（1+i），∴z t=z8k+t （k、t∈N*），
∵2015=251×8+7，∴z2015=z7=（1-i），故答案为：（1-i）．
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