复数的四则运算
复数的四则运算
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi
说明：1、两个复数的积仍然是一个复数； 说明： 两个复数的积仍然是一个复数；
2
即 a + bi)(c + di) = ac −bd) + (bc + ad)i ( （
2、复数的乘法与多项式的乘法是类似的， 复数的乘法与多项式的乘法是类似的， 换成－ 然后实、 只是在运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、 虚部分别合并。 虚部分别合并。 3、复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 、复数的乘法满足交换律、
2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+d )+(x+yi (c+di a+bi 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数 叫做复数a+bi减去复数c+di a+bi减去复数c+di的差 x+yi(x, y ∈R)，叫做复数a+bi减去复数c+di的差 记作：x+yi (a+bi (c+di 记作：x+yi＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义， 由复数的加法法则和复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－ y=b－ 由此，x=a－c ， y=b－d
(a,b∈R ) ∈
z + z =? z −z =?
实数的共轭复数仍是它本身 思考：复数 是实数的充要条件是什么 是实数的充要条件是什么？ 思考：复数z是实数的充要条件是什么？
∴ (a+bi )－(c+di) i － i
复数的四则运算公式
复数的四则运算公式复数是数学中的一个概念，它可以表示为实部与虚部的和。
在复数的四则运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算。
一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的加法可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。
二、复数的减法复数的减法是指将两个复数相减的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的减法可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。
三、复数的乘法复数的乘法是指将两个复数相乘的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的乘法可以表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即实部相乘减虚部相乘，并将结果相加。
四、复数的除法复数的除法是指将两个复数相除的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的除法可以表示为：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)÷(c^2+d^2)] + [(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i即将实部和虚部分别除以除数的实部和虚部的平方和。
通过以上介绍，我们了解了复数的四则运算公式。
在实际应用中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理等领域。
对于复数的运算要求掌握加减法的运算规则，以及乘法和除法的计算方法。
复数的四则运算在解决实际问题中起到了重要的作用，对于深入理解复数的概念和应用具有重要意义。
因此，掌握复数的四则运算公式对于数学学习和实际应用都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够对复数的四则运算有更深入的了解，并能够熟练运用于实际问题的解决中。
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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5.2.1复数的四则运算
3
13 3 1 3 2 1 3 3 i ) ( 证明：（1 ） 1 1 ( i) （ 2 ） ( 2 i2 ) 2 2 2 2 1 3 1 2 3 1 3 3 3 2 1 2 i ( ) 2 i ) ( i ( i ) i ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 1 i )( i) i ( 2 i 2 2 4 2 2 4 2 2 1 2 3 2 1 3 ( ) ( i ) 1 0; 2 2 4 4
类似于多项式的乘法
3、复数的乘方 (复数的乘方是相同复数的积)
C 对任何 z, z1 , z2 及
m n
m n
m , n N ，有
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2 特殊的有：i 1 i i 2 1
mn
z z z
mn
一般地，如果 n N ，有 i 幂的周期性：
2
例6求 i i i i i 解：根据 i 的性质，
0 1 2 3
2006
的值等于______
i i i i 0 0 1 2 3 2004 2005 2006 则有i i i i i i i 0 1 2 3 2004 2005 2006 i (i i i i ) i i 0 1 2 1 0 i 1 i i 0 i i
1.复数加减法的运算法则 2、复数的乘法法则 3、复数的乘法运算律 4、复数的除法法则
5、一些常用的计算结果:
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
复数的四则运算修改后
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
一.复数的加法与减法
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ， ∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ， 由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
求证：
(1) 2 ; (3)1 2 0;
3
( 2) 1(1 0) ( 4) 3 1
在复数集中 , 方程x 1的三个解为: 1, , .
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
例题选讲
1. 若复数z满足方程 zi i 1 ，则z ?
2. 求8＋6i的平方根 .
3、在复平面内，若复数 z 满足 z 1 z 1 4
，则 z 在复平面内对应点的轨迹方程为
.
交换率 结合率
分配率
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立，即
3.2复数的四则运算加减乘法
(4) 若z1=3-2i,z2=1+3i,则z1+z2=_____ Z1-2z2=_____
3.复数的乘法
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
提示
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系 中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
例题1
计算
动动手
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫做共轭虚数.
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数. 复数z的共轭复数用 表示.
z 若z＝a＋bi，则 ＝a－bi (a，b∈R)
复数的四则运算(一)
(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i
2、复数的乘法满足交换律、
结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z1, z2, z3 有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
例2、 (2 i )( 3 2i )( 1 3i )
一.复数加法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i 即:两个复数相加就是实部与实部, 虚部与虚部分别相加.
2、复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1, z2, z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例3、求下列复数的平方根
(1) -4 (2) 2i，3i，-8i
(3) 5+12i
例4：计算
2
(a bi )( a bi ) 解： (a bi )(a bi )
a abi abi b i
2 2
a b
2
2
(a bi )( a bi ) a b
2
2
例5、在复数范围内分解因式 (1) x2 +9 (2) x4 -16
(3) x2+2x+5
再见
二.复数减法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
复数四则运算
若 z1, z2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 • z2 是一个怎样的数?
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈C , 则
z z z z
得 a 1,b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
(b
4b a2 b2
)i
z 4R
z
b(1
a2
4
b2
)
0
b 0或a2 b2 4 ①
| z 2 | 2得| a bi 2 | 2
(a 2)2 b2 2 ②
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2 b2 4 代入② (a 2) Nhomakorabea 4 a2 4, 得 a 1
22
22
1
小结： 2 , ( )2 ,
3 1, ( )3 1.
例4：已知z (4 3i)(1 7i) ，求 z 2 i
解：z (4 3i)(1 7i) 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i|
5 8 10 6 .
3
3
例5 计算 (1 3i)3 (1 i)6
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi 及复数 c di对应，则 OZ1, (a,b)
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5．3 复数的四则运算
1．若z－3－2i＝4＋i，则z等于
() A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1－3i
答案 B
解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.
2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝
() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i
答案 A
解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.
3．5－(3＋2i)＝________.
答案2－2i
4．复数1
1－i
的虚部是________．
答案1 2
解析∵1
1－i ＝
1＋i
(1－i)(1＋i)
＝
1＋i
2＝
1
2＋
1
2i.∴虚部为
1
2.
1．复数代数形式的加、减法运算法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.
即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．
2．复数代数形式的乘法运算法则
(1)复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意的z 1，z 2，z 3∈C ，有
z 1·z 2＝z 2·z 1(交换律)，
(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)(结合律)，
z 1·(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3(乘法对加法的分配律)．
3．复数代数形式的除法运算法则
在无理式的除法中，利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地，在复数的除法运算中，也存在所谓“分母实数化”问题．将商a ＋b i
c ＋
d i 的分子、
分母同乘以c －d i ，最后结果写成实部、虚部分开的形式：a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )
＝(ac ＋bd )＋(－ad ＋bc )i
c 2＋
d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋－ad ＋bc c 2＋d 2i 即可.。