数字信号处理第七章2窗函数设计法
数字信号处理实验——用窗函数设计FIR滤波器
实验四 用窗函数设计FIR 滤波器一、 实验目的1、熟悉FIR 滤波器设计的基本方法。
2、掌握用窗函数设计FIR 数字滤波器的原理及方法，熟悉相应的计算机高级语言编程。
3、熟悉线性相位FIR 滤波器的幅频特性和相位特性。
4、了解各种不同窗函数对滤波器性能的响应。
二、 实验原理和方法窗函数法设计的任务在于寻找一个可实现有限长单位脉冲响应的传递函数H(e jw )=∑-=10N n h(n)e -jwn 去逼近h d (n)=1/2π⎰π20H d (e jw )e jwn dw即h(n)=h d (n)w （n ） (一)几种常用的窗函数1、矩形窗 w(n)=R N (n)2、Hanning 窗 w(n)=0.5[1-cos(2πn ／N-1)]R N (n)3、Hamming 窗 w(n)=[0.54-0.46cos(2πn ／N-1)]R N (n)4、Blackman 窗 w(n)=[0.42-0.5 cos(2πn ／N-1)+0.08 cos(4πn ／N-1)] R N (n)5、Kaiser 窗 w(n)=I 0(β（1-[(2n ／(N-1))-1]2）½)／I 0(β）（二）窗函数法设计线性相位FIR 滤波器的步骤1、确定数字滤波器的性能要求。
确定各临界频率{w k }和滤波器单位脉冲响应长度N 。
2、根据性能要求和N 值，合理地选择单位脉冲响应h(n)有奇偶对称性，从而确定理想频率响应h d (e jw)的幅频特性和相位特性。
3、用傅里叶反变换公式求得理想单位脉冲响应h d (n)。
4、选择适当的窗函数W （n ），求得所设计的FIR 滤波器单位脉冲响应。
5、用傅里叶变换求得其频率响应H (e jw)，分析它的幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N ，重复上述过程，直至得到满意的结果。
三、实验内容和步骤1、分别用矩形窗、Hanning 窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Kaiser 窗（β=8.5）设计一个长度N=8的线性相位FIR 滤波器。
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
数字信号处理08-课件 第二节 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器_4_73
数字信号处理Digital Signal Processing主讲人：陈后金电子信息工程学院窗函数法设计线性相位FIR滤波器◆设计原理◆设计方法◆窗口选择◆设计举例1．由H d (e j W )确定FIR DF 的类型和幅度函数A d (W )2．根据类型确定线性相位FIR 滤波器的相位ϕd (W )ϕd (W )= -0.5M W +b (b = 0或p/2)3．根据A d (W )和ϕd (W )通过IDTFT 求解h d [k ]d πj ()j d d π1[]()e e d 2πk h k A ϕW WW W -=⎰4．加窗截短h d [k ]，得到有限长因果序列h [k ]h [k ]=h d [k ]w N [k ]窗函数法设计线性相位FIR 滤波器举例解：(1) 确定线性相位FIR 滤波器类型，选用I 型(2) 根据类型确定理想滤波器的相位ϕd (W )c1c2d 1 π()0 A W W W W ⎧≤≤≤=⎨⎩其他ϕd (W )= -0.5M WW(e j W )BPH1-pp-W c2-W c1W c1W c2确定理想滤波器的幅度函数A d (W )M 为偶数线性相位FIR 滤波器。
W c1=0.4p rad ，W c2=0.6p rad , 矩形窗实现解：d πj ()j d d π1[]()e e d 2πk h k A ϕW WW W -=⎰(3) 计算IDTFT 得h d [k ]W W W W W W W W d e π21d e π21)5.0(j )5.0(j c21c 1c 2c M k M k ----⎰⎰+=(4) 加窗截短h d [k ]得d []][][N h k w h k k =长度为N 的窗函数线性相位FIR 滤波器。
W c1=0.4p rad ，W c2=0.6p rad , 矩形窗实现c2c1c2c1Sa[(0.5)]Sa[(0.5)]ππk M k M =---W W W W解：W(e j W)BPH1-p p-0.6p -0.4p 0.4p 0.6p ϕd (W )= -15WM =30线性相位FIR 滤波器。
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
数字信号处理课后答案 第7章高西全
h(n)=hd(n)RN(n)= δ(n − α ) −
sin[ωc (n − α )] R N ( n) π(n − α )
为了满足线性相位条件： h(n)=h(N－1－n) 要求满足
N −1 α= 2
（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ejπ)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， 4π π N应满足： , 即N≥40。 取N=41。 ≤ N 10 6． 理想带通特性为
解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1 －n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：
N −1 θ (ω ) = −ω = −2.5ω 2
由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于ω=π点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： π N −1 π θ (ω ) = − − ω = − − 3ω 2 2 2 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对 称。
e − jωa jω H d (e ) = 0
ωc ≤ | ω | ≤ π
其它
（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响 应h(n)表达式， 确定α与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？ 解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］计算：
N −1 （2） 为了满足线性相位条件， 要求 a = ， N为 2 π 矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度∆β≤ rad, 所以要 8 4π π 求 , 求解得到N≥32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： ≤ N 8 sin[ωc (n − a )] h(n) = hd (n) ⋅ RN (n) = R N ( n) π (n − a )
《数字信号处理》实验报告
《数字信号处理》上机实验指导书一、引言“数字信号处理”是一门理论和实验密切结合的课程，为了深入地掌握课程内容，应当在学习理论的同时，做习题和上机实验。
上机实验不仅可以帮助学生深入地理解和消化基本理论，而且能锻炼初学者的独立解决问题的能力。
所以，根据本课程的重点要求编写了四个实验。
第一章、二章是全书的基础内容，抽样定理、时域离散系统的时域和频域分析以及系统对输入信号的响应是重要的基本内容。
由于第一、二章大部分内容已经在前期《信号与系统》课程中学习完，所以可通过实验一帮助学生温习以上重要内容，加深学生对“数字信号处理是通过对输入信号的一种运算达到处理目的” 这一重要概念的理解。
这样便可以使学生从《信号与系统》课程顺利的过渡到本课程的学习上来。
第三章、四章DFT、FFT是数字信号处理的重要数学工具，它有广泛的使用内容。
限于实验课时，仅采用实验二“用FFT对信号进行谱分析”这一实验。
通过该实验加深理解DFT的基本概念、基本性质。
FFT是它的快速算法，必须学会使用。
所以，学习完第三、四章后，可安排进行实验二。
数字滤波器的基本理论和设计方法是数字信号处理技术的重要内容。
学习这一部分时，应重点掌握IIR和FIR两种不同的数字滤波器的基本设计方法。
IIR滤波器的单位冲激响应是无限长的，设计方法是先设计模拟滤波器，然后再通过S~Z平面转换，求出相应的数字滤波器的系统函数。
这里的平面转换有两种方法，即冲激响应不变法和双线性变换法，后者没有频率混叠的缺点，且转换简单，是一种普遍应用的方法。
学习完第六章以后可以进行实验三。
FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的，设计滤波器的目的即是求出符合要求的单位冲激响应。
窗函数法是一种基本的，也是一种重要的设计方法。
学习完第七章后可以进行实验四。
以上所提到的四个实验，可根据实验课时的多少恰当安排。
例如：实验一可根据学生在学习《信号与系统》课程后，掌握的程度来确定是否做此实验。
若时间紧，可以在实验三、四之中任做一个实验。
数字信号处理---窗函数法设计FIR滤波器,窗函数选取原则
5
figure; stem(window5); xlabel('n'); title('布莱克曼窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h5)/abs(h5(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('布莱克曼窗的频谱'); beta=8; window6=kaiser(N,beta); [h6,w]=freqz(window6,1); figure; stem(window6); xlabel('n'); title('凯塞窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h6)/abs(h6(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('凯塞窗的频谱');
2
27
2
28
同一窗函数设计 时阶数的选择
>>>>>
同一窗函数设计时阶数的选择 问题
用同一窗函数设计的FIR数字滤波器的阶数Ｎ不同， 所得到的滤波器的过渡带会不一样，N越大，过渡 带越窄。 下面是当汉明窗的长度分别为N=23，N=33， N=43，N=53时的幅频响应：
29
程序
N1=23; wd=0.3*pi; window1=hamming(N1); [h1,w]=freqz(window1,1); figure; stem(window1); xlabel('n'); title('汉明窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h1)/abs(h1(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('汉明窗的频谱'); hn=fir1(N1-1,wd/pi,hamming(N1)); [h2,w]=freqz(hn,1); figure; stem(hn); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); title('汉明窗的单位脉冲响应'); grid; figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('汉明窗低滤波器的频谱');
数字信号处理第七章 FIR数字滤波器设计
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
返回
回到本节
④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
返回
回到本节
（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
返回
回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.865
阻带最小衰减只由窗形状决定
过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关
2020/6/14
课件
20
3、窗函数法的设计步骤
给定理想的频率响应函数 Hd (e j )
及技术指标 2,
求出理想的单位抽样响应 hd (n)
根据阻带衰减选择窗函数 w(n)
根据过渡带宽度确定N值 N A/
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 h(n) hd (n) w(n)
N
2 st p 0.2
s
N A 6.6 33 0.2
N 1 16
2
2020/6/14
课件
25
5）确定FIR滤波器的h(n)
h(n) hd (n)w(n)
sin
0.3 n 16 n 16
0.54
0.46 cos
n
16
R33 (n)
6）求 H (e j )，验证
若不满足，则改变N 或窗形状重新设计
,
2
)=低通滤课波件 器(2
)
低通滤波器(1
)
28
7、线性相位FIR带阻滤波器的设计
理想带阻的频响：
H
d
(e
j
)
e j 0
其单位抽样响应：
0 1,2 其它 N 1
2
hd (n)
1
2
e d 2 j (n )
1 e j (n )d
1
2
e
j
(
n
)
d
1
n
sin n sin 1 n sin 2 n
阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示
解：1）求数字频率
p p / fs 2p / s 0.2
st st / fs 2st / s 0.4
2 50dB
2020/6/14
课件
23
2）求hd(n)
Hd
(e
j
)
e j
0
c c c,c
c
c fs
1/ 2
2
p st s
0.3
hd
(n)
1
2
e j e jnd 1
2
e d c j (n )
c
1 (n
)
sin[c
(n
)]
c
2020/6/14
课件
n n
N 1
2
24
3）选择窗函数：由 2 50dB 确定海明窗（-53dB）
w(n)
0.54
0.46
cos
2 n
N 1
RN
(n)
4）确定N 值
海明窗带宽： 6.6
二、窗函数设计法
1、设计方法
N 1
H (e j ) h(n)e jn Hd (e j ) n0
1
hd (n) 2
Hd
e j e jnd
h(n) w(n)hd (n)
w(n)：窗函数序列 要选择合适的形状和长度
2020/6/14
课件
1
以低通滤波器为例讨论：
线性相位理想低通滤波器的频率响应：
N
为最小值，负肩峰
c
2
N
随 ，H ()绕零值波动
c
2
N
随 ，H ()绕H (0)波动
2020/6/14
课件
9
加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩 峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
在
c
2
N
处出现肩峰值，两侧形成起伏振
荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主
课件
5
加窗处理后对频率响应的影响：
时域乘积相当于频域卷积 h(n) hd (n)w(n)
H (e j ) 1 2
Hd
e j W
e j d
而矩形窗的频率响应：
WR (e j )
N 1
w(n)e jn
j N 1
e2
sin N
2
n0
sin
2
sin N
其幅度函数： WR ( )
H
d
(e
j
)
e j
0
c c c,c
其理想单位抽样响应：
hd
(n)
1
2
c e j e jnd c sin[c (n )]
c
c (n )
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
2020/6/14
课件
2
2020/6/14
课件
3
取矩形窗：
w(n) RN (n)
hd
(n)
N
旁瓣幅度更小
2020/6/14
课件
15
布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗）
w(n)
0.42
0.5cos
2 n
N 1
0.08
cos
4 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.42WR ()
0.25 WR
2
N
WR
2
N
0.04
WR
4
N
WR
4
N
主瓣宽度最宽：12
N
N 1 n N 1 2
窗谱： W (e j ) W
j N 1
e2
幅度函数：
W ( )
2 N
sin
N
4
sin
2
2
N 1
主瓣宽度宽： 8
旁瓣幅度较小
N
2020/6/14
课件
13
汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗）
w(n)
1 2
1
cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
课件
11
矩形窗
w(n) RN (n)
窗谱：
N1
WR (e j ) w(n)e jn WR
j N 1
e2
n0
幅度函数： sin N
WR ()
2
sin
2
主瓣宽度最窄：4
N
旁瓣幅度大
2020/6/14
课件
12
三角形（Bartlett）窗
2n
w(n)
2
N 1 2n
N
1
0 n N 1 2
瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为Gibbs效应
N
N
sin
幅度函数：WR ( )
2
sin
sin
N
2
N
N sin x x
2
2
2020/6/14
课件
10
2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 – 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度
以减小肩峰和波纹
2020/6/14
2
sin
2020/6/14
课件
2
6
理想滤波器的频率响应：
Hd
(e
j
)
Hd
()e
j
N 1 2
其幅度函数：H
d
(
)
1 0
c c
则FIR滤波器的频率响应：
H (e j ) 1
2
j N 1
j N 1( )
Hd ( )e 2 WR ( )e 2
d
j N 1
e 2
1
2
Hd ( )WR ( )d
旁瓣幅度最小
2020/6/14
课件
16
2020/6/14
课件
17
2020/6/14
课件
18
凯泽（Kaiser）窗
w(n)
I0
1
1
2n 2 N 1
I0( )
I0 ()：第一类变形零阶 贝塞尔函数
改变 可同时调整主瓣
宽度和旁瓣幅度
旁瓣幅度
但主瓣宽度
2020/6/14
课件
0 n N 1
W
( )
0.5WR ( )
0.25 WR
2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
旁瓣幅度小
N
2020/6/14
课件
14
海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗）
w(n)
0.54
0.46cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.54WR ()0.23 WR Nhomakorabea2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
n
1
1
2
n
带阻202滤0/6/1波4 器(1，
2
)=高通滤波器( 课件
2
)+低通滤波器(1
)
29
19
窗函数
窗谱性能指标
加窗后滤波器性能指标
旁瓣峰值 主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减
/dB / 2 / N / 2 / N
/dB
矩形窗 -13
2
0.9
-21
三角形窗 -25
4
2.1
-25
汉宁窗 -31
4
3.1
-44
海明窗 -41
4
3.3
-53
布拉克曼窗 -57
6
5.5
-74
凯泽窗 -57
5
-80
其幅度函数：H 1