数字信号处理第七章2窗函数设计法
《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲课程编码：课程名称：数字信号处理英文名称： Digital signal processing适用专业：物联网工程先修课程：复变函数、线性代数、信号与系统学分：2总学时：48实验（上机）学时：0授课学时：48网络学时：16一、课程简介《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
二、课程目标和任务1.课程目标课程目标1（CT1）:运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、Z变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[课程思政点1]。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神[课程思政点2]。
课程目标2 （CT2）:说明利用DFT对模拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[课程思政点3]。
2.课程目标与毕业要求的对应关系三、课程教学内容第一章时域离散信号与系统（1）时域离散信号表示；（2）时域离散系统；（3）时域离散系统的输入输出描述法；*（4）模拟信号数字处理方法；教学重点：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
本科专业认证《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲（Digital Signal Processing）编写单位：计算机与通信工程学院计算机科学与系（教研室）编写时间：2021 年 7 月《数字信号处理》课程教学大纲一、基本信息课程名称：数字信号处理英文名称：Digital Signal Processing课程类别：专业教育课程课程性质：选修课课程编码：08100J0257学分：2总学时：32学时。
其中，讲授学时20学时，实验学时12，上机学时0适用专业：计算机科学与技术、计算机科学与技术专业卓越工程师先修课程与知识储备：人工智能基础、信号与系统、MATLAB建模与仿真技术二、课程简介：该课程系统介绍了数字信号z域分析技术z变换，数字信号连续w域分析技术DTFT，数字信号离散w域分析技术DFT，以及数字IIR滤波和FIR滤波器的设计方法及实现结构。
通过本课程学习，学生能够掌握数字信号处理的基本原理和技术，为学习后续专业课程和从事数字信号处理算法研究及其工程实现技术打好基础。
三、教学目标1、课程思政教学目标：通过数字信号处理技术在国家民众生产生活中的影响，培养学生的爱国意识和对新技术的研究探索精神。
2、课程教学总目标：使学生掌握数字信号处理的基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：课程思政目标将科学研究精神与爱国主义有机融合，有利于培养德才兼备的通信专业人才；课程教学目标使学生掌握数字信号处理的分析和研究方法，培养学生独立分析问题与解决问题的能力，提高科学素质。
四、课程内容及学时分配本课程内容、建议学时以及知识单元如表1所示。
表1 课程内容及学时分配五、教学方法及要求1、教学方法要求要求任课教师具有通信工程专业背景；严格按照教学大纲执行教学计划，教材选择贴合教学大纲，体现教学目标；采用线上+线下混合式教学，课堂教学结合图形动画视频等多媒体资源，调动学生多种学习感官；课后利用微信、QQ、网络教学平台等多种线上资源，扩大学生的学习空间和形式；并通过一定的上机操作提高学生的动手实践能力，进一步加深理论知识；在讲授过程中，淡化公式推导，注重物理意义，去繁求简，抓住主线，由点到线，由线到面。
数字信号处理课程设计基于窗函数设计法线性相位型FIR
数字信号处理课程设计课题：基于窗函数设计法线性相位型FIR数字低通滤波器设计学院：专业：学生姓名：指导老师：起止时间：目录内容概述……………………………………….. 题目要求细则………………………………………设计原理…………………………………………设计过程………………………………………实验结果及分析………………………………………实验心得…………………………………………参考文献………………………………………源代码………………………………………【内容概述】FIR 数字滤波器设计最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅里叶级数法。
它是在属于进行的，因而必须由理想滤波器的频率响应)(ωj d e H 推导出其单位冲击响应)(n h d ，再设计一个FIR 数字滤波器的单位冲击响应)(n h 去逼近)(n h d 。
窗函数设计法的基本原理是用一定宽度窗函数截取无限脉冲响应序列获得有限长的脉冲响应序列,先通过傅里叶逆变换获得理想滤波器的单位脉冲响应hd(n)。
再由性能指标确定窗函数W(n)和窗口长度N 。
最后求得实际滤波器的单位脉冲响应h(n)。
窗函数在设计FIR 数字滤波器中有很重要的作用，正确的选择窗函数可以提高所涉及的数字滤波器的性能，或者在满足设计要求的情况下，减小FIR 数字滤波器的阶数。
【题目要求细则】基于窗函数设计法线性相位型FIR数字低通滤波器设计目的：①熟练掌握MATLAB工具软件在工程设计中的使用；②熟练掌握窗函数法设计线性相位型FIR滤波器的方法。
要求：①根据给定ALPF幅频特性指标，生成与之相对应的模拟滤波器h(t)；②根据h(t)取得与之相对应的数字滤波器冲击响应函数h(n)；③选择适当的窗函数，构建线性相位型FIR的冲击响应函数hd(n)；④设计与之相对应的DLPF，对比分析DLPF幅频特性是否符合要求；⑤产生一个有干扰频率的时域序列（借助FFT分析说明其有干扰），使之通过所设计的DLPF，对滤波输出结果作出分析，说明输出结果。
窗函数法设计FIR滤波器实验报告
窗函数法设计FIR滤波器实验报告实验一窗函数法设计FIR滤波器数字滤波是数字信号处理的一种重要算法，广泛用于对信号的过滤、检测与参数的估计等信号处理中。
数字滤波器是使用最为广泛的装置，在工业、农业和其他行业均有应用数字滤波器按其单位脉冲响应的长度可分为有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器两类。
FIR 滤波器的线性与稳定性使其应用更为广泛。
1.FIR滤波器数字滤波器是一个能够完成特定任务的离散时间系统,它可以利用有限精度算法来实现。
当采用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近滤波器所要求的性能指标时,由于系统函数有无限长单位冲激响应(IIR)系统函数和有限长单位冲激响应(FIR)系统函数两种,相应地数字滤波器也就有无限长单位冲激响应(IIR)滤波器和有限长单位冲激响应(FIR)滤波器两种。
FIR 滤波器的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数的问题,设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。
FIR 滤波器的基本结构可以理解为一个分节的延时线,把每一节的输出加权累加,可得到滤波器的输出。
FIR 滤波器的冲激响应h(n)是有限长的,数学上M阶FIR 滤波器可以表示为:y（n) = ∑h(i)x(n-i) （1）其系统函数为：H (z) =Y(Z)/X(Z)=∑b(n)z-n （2）2.窗函数法窗函数是一种用一定宽度窗函数截取无限长脉冲响应序列获取有限长脉冲响应序列的设计方法。
而其设计FIR 滤波器的基本思想: 根据给定的滤波器技术指标选取滤波器长度N和窗函数wd(n), 使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。
其核心是从给定的频率特性, 通过加窗确定有限长单位脉冲响应序列h(n)即实际滤波器的系数向量, 其是由理想滤波器脉冲响应hd(n)与窗函数函数hd(n)相乘得到。
工程上常用的窗函数有5种：矩形窗（Rectangular Window),三角窗（Triangular Window),汉宁窗（Hanning),汉明窗（Hanming)和凯泽窗（Kaiaser-Bassel Window)。
数字信号处理---窗函数法设计FIR滤波器,窗函数选取原则
6 LogoBiblioteka 窗函数介绍矩形窗7 Logo
窗函数介绍
矩形窗
主瓣宽度 B m 4 / 23 0.5461 -13dB
旁瓣峰值衰减
精确过渡带 Bt 1.8 / 23 0.2457 阻带最小衰减 21dB
8 Logo
窗函数介绍
三角窗
三角窗(Bartlett Window)
2n N 1, wB ( n ) 2 2n , N 1 0 n N 1 2 N 1 2 n N 1
精确过渡带 Bt 6.6 / 23 0.9010 阻带最小衰减 53dB
17 Logo
布莱克曼窗
窗函数介绍
布莱克曼窗(Blankman Window) ，又
称二阶升余弦窗。
w Bl ( n ) [0.42 0.5 cos( 2 n N 1 ) 0.08 cos(
j
4 n N 1
figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('矩形窗低滤波器的频谱');
4
window2=bartlett(N); [h2,w]=freqz(window2,1); figure; stem(window2); xlabel('n'); title('三角窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('三角窗的频谱'); window3=hann(N); [h3,w]=freqz(window3,1); figure;
数字信号处理第七章
H(ej)h(n)
Hd (e j)为理想低通
滤波器的传输函数。
数字信号处理第七章
h (n )h d(n )R N (n )
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截
取，对截取后信号进行傅里叶变换得：
频域卷积定理
H(ej) 1
Hd
(e
j
)
1 e 0
j
c
c
：低通滤波器的延时
hd(n)
1
2
Hd(ej)ejnd
1
2
c ej
c
ejnd
1
2
c ej(n)d
c
1
2
1
j(n)
ej(n)
|c c
s
in( c(n)) (n)
数字信号处理第七章
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd
(n)
sin(c(n ) (n )
hd(n)的最大 值是多少？
ej 2 1 H d()W R ()d
H(ej)H()ej 数字信号处理第七章
则实际FIR滤波器的幅度函数H (ω) 为
H ()2 1 H d()W R()d
取样函数
矩形窗
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
数字信号处理第七章
H(0) 0.5H(0) H(ω)max H(ω)min
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近
（a）
（b）
hd(n)是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的
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c
sin[c (n )] c(n )
则FIR滤波器的单位抽样响应：
h(n)
hd
(n)w(n)
hd
(n) 0
0 n N 1 其它n
按第一类线性相位条件，得 N 1
2
hn
c
sin
c
n
N 1 2
c
n
N 1 2
0 n N 1
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0 课件
其它n
4
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W
( )
0.5WR ( )
0.25 WR
2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
旁瓣幅度小
N
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课件
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海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗）
w(n)
0.54
0.46cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.54WR ()
0.23 WR
2
N
WR
2
N
主瓣宽度宽：8
7.865
阻带最小衰减只由窗形状决定
过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关
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课件
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3、窗函数法的设计步骤
给定理想的频率响应函数 Hd (e j )
及技术指标 2,
求出理想的单位抽样响应 hd (n)
根据阻带衰减选择窗函数 w(n)
根据过渡带宽度确定N值 N A/
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 h(n) hd (n) w(n)
旁瓣幅度最小
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课件
16
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课件
17
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课件
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凯泽（Kaiser）窗
w(n)
I0
1
1
2n 2 N 1
I0( )
I0 ()：第一类变形零阶 贝塞尔函数
改变 可同时调整主瓣
宽度和旁瓣幅度
旁瓣幅度
但主瓣宽度
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课件
0 n N 1
N
为最小值，负肩峰
c
2
N
随 ，H ()绕零值波动
c
2
N
随 ，H ()绕H (0)波动
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课件
9
加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩 峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
在
c
2
N
处出现肩峰值，两侧形成起伏振
荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主
课件
11
矩形窗
w(n) RN (n)
窗谱：
N1
WR (e j ) w(n)e jn WR
j N 1
e2
n0
幅度函数： sin N
WR ()
2
sin
2
主瓣宽度最窄：4
N
旁瓣幅度大
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课件
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三角形（Bartlett）窗
2n
w(n)
2
N 1 2n
N
1
0 n N 1 2
课件
5
加窗处理后对频率响应的影响：
时域乘积相当于频域卷积 h(n) hd (n)w(n)
H (e j ) 1 2
Hd
e j W
e j d
而矩形窗的频率响应：
WR (e j )
N 1
w(n)e jn
j N 1
e2
sin N
2
n0
sin
2
sin N
其幅度函数： WR ( )
计算频率响应 H (e j ) ，验算指标是否满足要求
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课件
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Hd (e j )
hd (n)
公式法：
hd
(n)
1
2
Hd
e j e jnd
IFFT法：
对
Hd
(e j )
M点等间隔抽样：H d
j 2
(e M
k
)
计算其IFFT，得： hM (n) hd (n rM ) r
N 1 n N 1 2
窗谱： W (e j ) W
j N 1
e2
幅度函数：
W ( )
2 N
sin
N
4
sin
2
2
N 1
主瓣宽度宽： 8
旁瓣幅度较小
N
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课件
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汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗）
w(n)
1 2
1
cos
2 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为Gibbs效应
N
N
sin
幅度函数：WR ( )
2
sin
sin
N
2
N
N sin x x
2
2
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课件
10
2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 – 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度
以减小肩峰和波纹
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N
旁瓣幅度更小
2020/5/10
课件
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布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗）
w(n)
0.42
0.5cos
2 n
N 1
0.08
cos
4 n
N 1
RN
(n)
幅度函数： N 1
W
( )
0.42WR ()
0.25 WR
2
N
WR
2
N
0.04
WR
4
N
WR
4
N
主瓣宽度最宽：12
N
2
sin
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课件
2
6
理想滤波器的频率响应：
Hd
(e
j
)
Hd
()e
jNLeabharlann 1 2其幅度函数：Hd
(
)
1 0
c c
则FIR滤波器的频率响应：
H (e j ) 1
2
j N 1
j N 1( )
Hd ( )e 2 WR ( )e 2
d
j N 1
e 2
1
2
Hd ( )WR ( )d
二、窗函数设计法
1、设计方法
N 1
H (e j ) h(n)e jn Hd (e j ) n0
1
hd (n) 2
Hd
e j e jnd
h(n) w(n)hd (n)
w(n)：窗函数序列 要选择合适的形状和长度
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课件
1
以低通滤波器为例讨论：
线性相位理想低通滤波器的频率响应：
其幅度函数：H 1
2
Hd ( )WR ( )d
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课件
7
2020/5/10
课件
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幅度函数：H () 1
2
Hd ( )WR ( )d
0
H (0)近似于WR ( )的全部积分面积
c H (c ) 0.5H (0)
c
2
N
H
c
2
N
为最大值，正肩峰
c
2
N
H
c
2
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窗函数
窗谱性能指标
加窗后滤波器性能指标
旁瓣峰值 主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减
/dB / 2 / N / 2 / N
/dB
矩形窗 -13
2
0.9
-21
三角形窗 -25
4
2.1
-25
汉宁窗 -31
4
3.1
-44
海明窗 -41
4
3.3
-53
布拉克曼窗 -57
6
5.5
-74
凯泽窗 -57
5
-80
H
d
(e
j
)
e j
0
c c c,c
其理想单位抽样响应：
hd
(n)
1
2
c e j e jnd c sin[c (n )]
c
c (n )
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
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课件
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课件
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取矩形窗：
w(n) RN (n)
hd
(n)