第14章相对论习题解答

第14章 相对论基础习题

14.1一观察者测得运动着的米尺长为0.5m ，问此米尺以多大的速度接近观察者？

解：米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为1m ，当米尺沿长度方向相对观察者运动时，由于“长度收缩”效应，观察者测得尺的长度与相对运动的速度有关。

设尺的固有长度为L ，由长度收缩效应2

2'

1c

L L υ

-

=，得

1

8

2

2's

m 10

6.21-⋅⨯=-

=L

L

c υ

14.2一张正方形的宣传画边长为5m ，平行地贴在铁路旁边的墙上，一高速列车以18s m 102-⋅⨯的速度接近此宣传画，问若是高速列车上的乘客测量该画的边长为多少？

解：由题意得，在垂直于相对运动的方向上，画的高度不变，在平行于相对运动的方向上，长度变短。由长度收缩效应公式

m

7.312

2'

=-

=c

L L υ

乘客测量的尺寸为2m 7.35⨯。

14.3 从地球上测得，地球到最近的恒星半人马座'S 星的距离为m 103416⨯.。某宇宙飞船以速率υ=0.99c 从地球向该星飞行，问飞船上的观察者将测得地球与该星间的距离为多大？

解：飞船上的观察者认为地球与'S 星的距离是运动的，故长度收缩。 即

m

10

1.6115

2

2

0⨯=-=c

l l υ

14.4如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得的一半，求彗星相对于地面的速率是多少？

解：根据长度缩短公式，有2

2

01c

v

l l -=，又已知

2

10

=

l l

所以 18s m 106.22/3-⋅⨯==c υ

14.5 一根米尺静止在'S 系中，与o ’x ’轴成 30角，如果在S 系中测得米尺与

ox 轴成 45角，S ‘相对于S 的速率（沿ox 轴正向运动）必须是多少？S 系测得的米尺的长度是多少？

解：设米尺在'S 系中的长度为0l ，坐标为()00,y x ，在S 系中长度为l ，坐标为()y x ,。在S 系中看来，米尺仅在x 方向缩短21β-倍，y 方向上长度不变。故有

m 5.030sin 00＝

l y y == m

5.045

0＝y yctg x ==

所以 m

707.02

2

=+=y

x l

由 2

2

1c

x x υ

-=，并将0y x =，003y x =代入上式，得

c 32=

υ

14.6 一个在实验室中以0.8c 的速率运动的粒子，飞行3m 后衰变，实验室中的观察者测量，该粒子存在了多长时间？由一个与该粒子一起运动的观察者来测量，这粒子衰变前存在多长时间？

解：在实验室（S 系）测量，该粒子存在的时间为

s

10

25.110

38.038

8

-⨯=⨯⨯=

=

∆υ

s

t

在与该粒子一起运动的参考系（'S 系）中测量，该粒子衰变前存在的时间为

s

10

5.719

2

2

'

-⨯=-∆=∆c

t t υ

14.7 在惯性系S 中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系S ‘

中观察到这两个时间间隔为6.0s 。求从S ‘

系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S ‘系以恒定速率相对于S 系沿xx ‘轴运动。

解：由相对论时间膨胀效应可知，在'S 系中测得在S 系中的同一地点发生的两个事件的时间间隔't ∆要比在S 系中测得的t ∆长，即有：2

2'1c

t t υ

-

∆=

∆

由此可得'S 系相对于S 系的速率为：

c t t c 3

512

'=

⎪

⎭

⎫

⎝⎛∆∆-=υ

此两事件在'S 系中的空间间隔为

m

10

34.19

'

'

⨯=∆=∆t x υ

14.8 一观察者看到A 、B 两宇宙飞船以0.99c 的速率彼此离开，求从一个飞船上看到另一个飞船的速率为多大？

解：设观察者静止于S 系，'S 系固定于船A ，并以船A 的飞行方向为x 轴正向，由题意，'S 系相对于S 系的速率为c 99.0=υ，S 系的观察者测得船B 的速率为c u x 99.0-=，由洛仑兹速度变换式得

c

u c

u u x

x x 99995.012

'

-=-

-=

υ

υ

所以从一个飞船上看到另一个飞船的速率为c 99995.0

14.9 火箭A 以0.8c 的速率相对于地球向正北飞行，火箭B 以0.6c 的速率相对于地球向正西飞行，求由火箭B 测得火箭A 的速度大小和方向。

解：设S 系固定于地球，'S 系固定于火箭B ，正东为x 轴正方向，正北为y 轴正方向，火箭A 为运动物体。根据题意，'S 系相对于S 系的速度为c 6.0-=υ，且0==z x u u ，c u y 8.0=，由洛仑兹速度变换式得

c

u c

u u x

x x

6.012

'=-

-=

υ

υ，c

u c

u u x

y y

64.0112

2

'=-

-=

υ

β

所以火箭B 测得火箭A 的速度'u 的大小为

c

u u u y x 877.02

'2''

=+=

与x 轴（正东）的夹角为： 83.46)/(cos ''1==-u u x

α 14.10 S 系中有一原长为L 0的棒沿x 轴放置，并以速率u 沿xx ‘轴运动，有一'S 系以速率v 相对于S 系沿xx ‘轴运动。求从'S 系测量此棒的长度为多少？

解：设棒相对于'S 系的速率为'u ，由于棒和S 系相对于'S 系的运动方向相同，根据洛仑兹速度变换式，有

u

c

u u 2

'

1υ

υ-

-=

（1）

由长度收缩公式可知，在'S 系中测得速率为'u 的运动直棒的长度为

2

2

'0

1c

u

l l -= （2）

将（1）代入（2）中，得

()()

2

2

2

2

2

02

2

02

2

'0)(11υ

υ

υυ---=

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡---=-=c

u

c

u c l u c u c l c

u l l

14.11 两个婴儿A 、B 分别在相距m 100.23⨯的两所医院里同时出生。若一宇宙飞船沿两医院的连线方向由A 向B 飞行时，测得A 、B 出生地相距为

m 100.13

⨯。求宇航员认为A 、B

是同时出生的吗？