数学归纳法(有答案)
数学归纳法
2015高考会这样考
1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；
2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．
复习备考要这样做
1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；
2.规范书写数学归纳法的证题步骤．
一、知识梳理
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．
[难点正本疑点清源]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
小试牛刀
1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案π
解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π.
2．用数学归纳法证明：“1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
2n－1
＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．答案2k
解析n＝k时，左边＝1＋1
2
＋…＋
1
2k－1
，当n＝k＋1时，
左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋1
2k ＋1－1.
所以左边应增加的项的项数为2k
. 3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2
＋…＋a n ＋1
＝1－a
n ＋2
1－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左
边需计算的项是
( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
答案 C
解析 观察等式左边的特征易知选C.
4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2? ????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，
若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B
解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.
5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n
2，则 ( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2
－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )中共有n 2
－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
答案 D
解析 从n 到n 2
共有n 2
－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项. 二、典型例题
题型一 用数学归纳法证明等式
例
1
已知n ∈N *
，证明：1－12＋13－14＋…＋
12n －1
－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
. 思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关．
证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2
，
右边＝1
2，等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，
左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－1
2k ＋
1
2
k ＋1－1－
1
2
k ＋1
＝? ????1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ＋12k ＋1－
12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋??????1k ＋1－12k ＋1
＝
1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k ＋1
k ＋1＋k ＋1
＝右边，
所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 综合①②知对一切n ∈N *
，等式都成立．
探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．“假设n ＝k (k ∈N *
，且k ≥n 0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝
k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明
确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
【变式1】 用数学归纳法证明：
对任意的n ∈N *
，11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n 2n ＋1
.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝1
3
，
右边＝12×1＋1＝1
3，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k 2k ＋1
， 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3
＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3
＝2k 2
＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋1
2k ＋1＋1，
所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *
等式都成立．
题型二 用数学归纳法证明不等式
例
2 用数学归纳法证明：
1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *
)． 思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1
2
＋1，
∴32≤1＋12≤3
2，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时命题成立，即 1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋
k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2
k
<12＋k ＋2k
·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *
都成立．
探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．
【变式2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式? ???
?1＋13? ????1＋15·…·? ??
??1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *
)时不等式成立，即? ????1＋13? ????1＋15·…·? ??
??1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，
? ????1＋13? ????1＋15·…·? ????1＋12k －1????
??1＋12k ＋1－1
>
2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋2
22k ＋1
＝4k 2
＋8k ＋422k ＋1>4k 2
＋8k ＋3
22k ＋1
＝
2k ＋32k ＋122k ＋1
＝2k ＋1＋1
2.
∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立．
题型三 用数学归纳法证明整除性问题
例
3用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．
思维启迪：当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．
证明(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
则当n＝k＋1时，
方法一42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3
＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，
∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．
∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
方法二因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)
＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)
＝42k＋1·13，
∵42k＋1·13能被13整除，
∴[4
2(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
]－3(4
2k ＋1
＋3
k ＋2
)能被13整除，因而4
2(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
能被13整除，
∴当n ＝k ＋1时命题也成立， 由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，4
2n ＋1
＋3
n ＋2
能被13整除．
探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P (k )?P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被
p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除?P (k ＋1)能被p 整除．”
【变式3】 已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
能被a 2
＋a ＋1
整除．
证明 (1)当n ＝1时，a
n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
＝a 2＋a ＋1，能被a 2
＋a ＋1整除．
(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1
＋(a ＋1)
2k －1
能被a 2
＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，
a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1
＝(a ＋1)2
[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1
]＋a k ＋2－a
k ＋1
(a ＋1)2
＝(a ＋1)2[a
k ＋1
＋(a ＋1)
2k －1
]－a
k ＋1
(a 2
＋a ＋1)能被a 2
＋a ＋1整除．
即当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a
n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
能被a 2
＋a ＋1整除．
题型四 归纳、猜想、证明
【例4】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12?
?
???a n ＋1a n .
(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12?
?
???a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，
a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明．
规范解答
解 (1)S 1＝a 1＝12? ????a 1＋1a 1得a 2
1＝1.
∵a n >0，∴a 1＝1，[1分] 由S 2＝a 1＋a 2＝12?
?
???a 2＋1a 2，
得a 2
2＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.[2分]
又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12? ?
???a 3＋1a 3
得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.[3分] (2)猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *
)[5分]
证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．[6分]
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k
＝12?
?
???a k ＋1＋1a k ＋1－12? ????a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12? ????a k ＋1＋1a k ＋1－12? ??
??k －k －1＋1k －k －1 ＝12? ?
???a k ＋1＋1a k ＋1－k ，
∴a 2
k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．[11分]
由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *
)．[12分]
温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．
(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.
方法与技巧
1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
2．对于证明等式问题，在证n ＝k ＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减 少
计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．
3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写． 失误与防范
1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．
2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意n ＝k ＋1时命题的正确性．
4．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
课堂练习
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22
＋…＋2n ＋2
＝2n ＋3
－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为
( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋22
D ．1＋2＋22
＋23
答案 D
解析 左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23
，故 选D.
2．用数学归纳法证明“2n
>n 2
＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值
n 0应取
( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案 C
解析 令n 0分别取2,3,5,6，依次验证即得．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加
上
( )
A ．k 2
＋1
B ．(k ＋1)2
D ．(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
答案 D
解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2
.
当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2
＋(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
，
故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.故应选D.
4．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n
·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为
( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1)
答案 B
解析 n ＝k ＋1时，左端为
(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )[2(2k ＋1)]， ∴应乘2(2k ＋1)．
二、填空题(每小题5分，共15分) 5．用数学归纳法证明“2
n ＋1
≥n 2
＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________．
答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.
6．若f (n )＝12
＋22
＋32
＋…＋(2n )2
，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
解析 ∵f (k )＝12
＋22
＋…＋(2k )2，
∴f (k ＋1)＝12
＋22
＋…＋(2k )2
＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
.
7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n
能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1
解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 三、解答题(共22分)
8．(10分)若n 为大于1的自然数，求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324
. 证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>13
24.
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，
即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324
， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1
＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1 ＝? ????1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 >1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋122k ＋1k ＋1>1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．
9．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n
(n ∈N *
)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *
，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.
∴b 2＝b 11－4a 21＝13.a 2＝a 1·b 2＝1
3
.
∴点P 2的坐标为? ??
??13，13， ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *
)时，
2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时， 2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k
1－4a 2k
(2a k ＋1)
＝b k 1－2a k ＝1－2a k
1－2a k ＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．
由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上． 课后练习
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．对于不等式n 2
＋n )，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12 ＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N * )时，不等式成立，即k 2 ＋k k ＋1 2 ＋ k ＋1＝k 2＋3k ＋2 2 ＝(k ＋1) ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D 解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314 (n ≥2，n ∈N * )的过程中，由n ＝k 递推 到n ＝k ＋1时不等式左边 ( ) A ．增加了一项1 2k ＋1 B ．增加了两项12k ＋1、1 2k ＋2 C ．增加了B 中两项但减少了一项 1k ＋1 D ．以上各种情况均不对 答案 C 解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12) ，n ＝k ＋1时， 左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2 ， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1 k ＋1 . 3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N * )成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 B 解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－1 2n 1－12＝2－1 2 n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7) 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴ n －1n 2 ＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 5．用数学归纳法证明? ????1＋13? ????1＋15? ????1＋17…? ????1＋12k －1>2k ＋12 (k >1)，则当n ＝k ＋1时， 左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________． 答案 ? ????1＋12k ＋1? ????1＋12k ＋3…? ?? ??1＋12k ＋1－1 2k －1 解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是? ?? ??1＋12k ＋1，最后一个是? ????1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有 2k ＋1－1－2k ＋12＋1＝2k －2k －1 ＝2 k －1 项． 6．在数列{a n }中，a 1＝1 3且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________． 答案 a n ＝1 2n －12n ＋1 解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1 15； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝1 35 ； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝1 63. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9 ， 故猜想a n ＝1 2n －12n ＋1. 三、解答题 7．(13分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈??????14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值； (2)设0 ，证明：a n <1n ＋1. (1)解 由题意，知 f (x )＝ax －32x 2＝－32? ????x －a 32＋a 2 6 . 又f (x )max ≤16，所以f ? ????a 3＝a 26≤16. 所以a 2 ≤1. 又当x ∈???? ??14，12时，f (x )≥18， 所以??? ?? f ? ????12≥1 8，f ? ????14≥18 ，即????? a 2－38≥1 8，a 4－332≥18， 解得a ≥1. 又因为a 2 ≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0 2 ，显然结论成立． 因为当x ∈? ?? ??0，12时，0 3. 故n ＝2时，原不等式也成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N * )时，不等式0 1 k ＋1 成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈? ????0，13时，f (x )为增函数． 所以由0 ??1k ＋1.