甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第五次(期末)考试试题文
2024届甘肃天水一中高三数学第一学期期末联考试题含解析
2024届甘肃天水一中高三数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -2．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．434．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <5．设02x π≤≤，且1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ） A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤6．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．347．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．328．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -11．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比40% 40% 10% 10%脱贫率95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学(文)试题(解析版)
2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|11B x x =-<≤，则AB =（ ）A ．[]1,1-B ．(]1,1- C ．()1,2-D ．[)1,2【答案】B【解析】(1,2)(1,1]A A B =-∴⋂=- ,选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥【答案】D【解析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c =的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性. 【详解】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立； 对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.3．下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题；故选：C.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S =A ．140B ．70C ．154D ．77【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,则椭圆22221x y a b +=的离心率为( )A ．12B C D ．2【答案】C【解析】根据双曲线离心率可求得224a b =，代入椭圆方程中，根据椭圆222c a b =-可构造出离心率，化简得到结果. 【详解】由双曲线离心率得：22222514a b b a a +=+=，解得：224a b =∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率2e == 故选：C 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题. 6．函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.7．将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A ．()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()122k x k Z ππ=-+∈ C ．()62k x k Z ππ=+∈ D ．()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A【解析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+,即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
甘肃省天水一中2020届高三联考文科数学
天水一中2020届高三联考文科数学（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，集合B ={x |2x +1＞1}，则C B A =（）A.B.C. D.2. 下列说法错误的是（）A. 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题,则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“,使得”,则非p ：“,”3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，，，②，③，，④，其中正确命题的个数有（ ）A. 3个 B. 1个 C. 2个 D.0个4. 若cos （-α）=，则cos （+2α）的值为（A. B. C. D.5.已知等差数列的前n项为，且，，则使得取最小值时的n为( )A. 1 B. 6C. 7D. 6或76.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是 A. 9 B. 4C. D.7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.12 B. C. D.8.函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A. B. C. D.9.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A. 或 B. 1或 C. 2或1D. 2或10.已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为( )A.C. D.B.11.是平面上一定点是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过( )A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心12.定义R上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是A. 当且仅当,B. 当且仅当,C. 对于,D. 对于,二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是______．14.等差数列，的前n项和分别为，，且，则______ ．15.已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为______ ．16.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成四面体P-DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，，求数列的前n项和．18.（12分）已知函数，．求函数的单调区间；若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值．19.（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B=2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．20.（12分）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B-CMN的体积．21.（12分）已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）-在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．22.（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内恒有f（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案：1.A2.C3.D4.A5.B6.A7.D8.C9.B10.B11.A解：由正弦定理得 ,所以,而，所以表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即P的轨迹一定是通过三角形的重心.12.D解：∵f（x）是定义在R上的减函数，f′(x)＜0，∴，化为f(x)+x＞，∴f（x）+f′(x)(x-1)＞0，∴＞0，∴函数y=(x-1)f(x)在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈(1，+∞)时，x-1＞0，故f(x)＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f(x)＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立．故选D．13.14.15.16.如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线角或者其补角，设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，，，故，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是，17.解：（Ⅰ）a n=（n∈N*）；（Ⅱ）b n===-，n∈N*，∴数列{b n}的前n项和S n=++…+=1-，n∈N*．18.解：（1）==sin2x+cos2x=2sin（2x+），可得函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．19.解：（Ⅰ）．（Ⅱ）△ABC周长的最大值为．20.（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC，过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC，又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD，由于SN=NB，所以NE=SD=所以S△CMB=CM•BM=，所以V B-CMN=V N-CMB=S△CMB•NE==.21.解：（1）因为，…①，∴，∴…②由①②得，．（2）由=．得：，令t=2x，则t＞0，即方程…（*）只有一个大于0的根，①当a=1时，，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，∴a＞1，③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则△=8a2+4（a-1）=0，∴，a=-1（舍）时，，综上：或a≥1．22.解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上递减；当a＞0时，令f'（x）=0，得（负根舍去）．当f'（x）＞0得，；令f'（x）＜0，得，∴在上递增，在（上递减；（2）当a=0时，f（x）=-x2＜0，符合题意．当a＞0时，，∵a＞0，∴，∴，∴0＜a≤2．当a＜0时，在（0，+∞）上递减，且与的图象在（0，+∞）上只有一个交点，设此交点为（x0，y0），则当x∈（0，x0）时，f（x）＞0，故当a＜0时，不满足f（x）≤0．综上，a的取值范围[0，2].。
2020届甘肃省天水市第一中学等八校联考高三12月联考数学(文)试题(含答案解析)
2020届甘肃省天水市第一中学等八校联考高三12月联考数学（文）试题一、单选题 1．34()12ii-=+A ．12i -B ．2i -C ．2i --D ．12i --【答案】D【解析】上下同时乘以12i -再化简即可. 【详解】234(34)(12)31081051212(12)(12)55i i i i i i i i i i ----+--====--++- 故选D 【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.2．已知全集为R ,集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|0B x x x =-+<，则()()R A C B ⋃=A ．[)(,2)1,-∞-⋃+∞ B ．(,0](1,)-∞+∞U C ．(2,1]- D ．(]1,1-【答案】C【解析】分别求得集合,A B 再求()R A C B U 即可. 【详解】{}{}{}2|2|(2)(1)|21A x x x x x x x x =+-<0=+-<0=-<< {}{}2|0|(1)0{|1B x x x x x x x x =-+<=->=>或0}x <故{}|01R C B x x =≤≤,故{}()|21R A C B x x ⋃=-<≤ 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.A ．44B ．55C ．143D ．176【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列{}n a 中,则5766842,a a a a ===+,故1161144S a == 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当n 为奇数时,前n 项和12n n S na += .属于基础题型.4．函数3()cos ()xx x xf x e+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先分析奇偶性,再分析当0x +→时函数值的正负即可. 【详解】33()cos ()cos ()()x xx x x x x xf x f x e e--+-==-=-,故()f x 为奇函数.排除C,D 又当0x +→时, 30,cos 00,xx x x e +>>>,此时()0f x >,排除B故选A 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.5．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．22320x y x +++=B ．22320x y x +-+=C ．22320x y y +++=D ．22320x y y +-+=【答案】B【解析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可. 【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβ C ．若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则 D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ 【答案】B【解析】试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ． 【考点】直线与平面位置关系的判定． 7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 【答案】A【解析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2；又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k ∈Z ， 即φ＝2kππ3-，又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-；综上所述，ω＝2、φπ3=-．故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 8．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是（ ） A ．3450x y -+= B ．3450x y --= C ．3450x y +-= D ．3450x y ++=【答案】D直线上求解即可. 【详解】设所求直线上点的坐标x y （，），则关于x 轴的对称点的坐标x y -（，）在已知的直线3450x y -+=上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=,故选D ． 【点睛】本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,(1,2,,6)i E i =L 分别是棱的中点，则多面体1123456B E E E E E E 的体积为（ ）A ．916B ．14C ．38D ．13【答案】C【解析】由题易得123456E E E E E E 为正六边形,故连接对角线取中心O ,再求得高1B O 与底面123456E E E E E E 面积即可. 【详解】取123456E E E E E E 为正六边形中心O ,则易得1,,D O B 共线,再建立如图空间直角坐标系,则1(1,1,1)DB =u u u u r ,14(1,0,1)E E =-u u u u r ,1611(0,,)22E E =-u u u u r 故1140DB E E ⋅=u u u u r u u u u r ,1160DB E E ⋅=u u u u r u u u u r故1OB ⊥面123456E E E E E E ,故1123456B E E E E E E 体积123456211132336()3328E E E E E E V S OB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=故选：C本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型.11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．323π C ．12π D ．32π【答案】A【解析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】BCD V外接圆直径sin CD d CBD ===∠ ,故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =求解即可.属于中等题型.12．设21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程1()2f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．2) B ．(2,)eC．1(2 D．1(2【答案】C【解析】画出函数图像,再根据直线12y kx =-与()f x 有四个交点分析即可. 【详解】画出21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩图像,由12y kx =-过定点1(0,)2,故将直线绕着1(0,)2旋转进行分析,得出临界条件如图,直线过(1,0)B 和与ln y x =相切时为临界条件.当12y kx =-过(1,0)B 时,易得12k =.当1y kx =-与ln y x =相切时,设切点(,ln )A x x ,1'y =,故在(,ln )A x x 处切线斜率11k x =,故1111ln ()120x k x x --==-,故11ln 2x =,故1x e =,故11k x e == 故k 的取值范围是1(,)2e故选C 【点睛】本题主要考查了数形结合解决分段函数零点的问题,重点是画出图像,分析满足条件时的情况,再求得临界条件,最后得出斜率的取值范围,属于难题.二、填空题13．若向量(1,2)a x =+r和向量(1,2)b =-r 垂直，则a b -=r r _______．【答案】5【解析】利用垂直0a b ⋅=r r 求得x ,再求出a b -r r的向量坐标,进而求得模长即可.【详解】因为向量(1,2)a x =+r 和向量(1,2)b =-r 垂直,所以0a b ⋅=r r, (1,2)(1,2)0x +⋅-=故140,3x x +-==,故(4,2)a =r,故(41,2(2))(3,4)a b -=---=r r故22345a b -=+=r r故答案为5 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,包括垂直的性质以及模长的运算等,属于基础题型. 14．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为【答案】20x y -+= 【解析】先求导函数'()f x ,再代入1x =于'()f x 内求得斜率, 代入1x =于()f x 内求得切点坐标,再用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 【点睛】本题主要考查了导数几何意义,求在某点处切线的方程,属于基础题型. 15．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数．．，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+______.【答案】3+【解析】先根据等差中项的性质可知得2×（312a ）=a 1+2a 2，进而利用通项公式表示出q 2=1+2q ，求得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案．【详解】 依题意可得2×（312a ）=a 1+2a 2， 即，a 3=a 1+2a 2，整理得q 2=1+2q ， 求得∵各项都是正数 ∴q ＞0，∴91078a a a a ++=89116711a q a q a q a q ++故答案为：3+【点睛】知识的理 解．16．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB AC AA °?== ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________ 【答案】60o【解析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA -u u u r ，1(1,0,1)AC =u u u r，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC =×u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得到所求角大小．【详解】Q 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA -u u u r Q ，1(1,0,1)AC =u u u r∴1111111co 2,s 22BA AC BA AC BA AC ===´×u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r 又Q 异面直线所成的角在鞍（0,90]∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，AB ⊥1BB ，12AC BC BB ===，D 为AB 的中点，且CD ⊥1DA .(1)求证：1BB ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥11B A DC -的体积.【答案】解：(1)见解析；(2)1111B A DC A B D V V --三棱三棱 ＝＝1311A B D S ∆·CD ＝16A 1B 1×B 1B×CD ＝16×2×2×2＝43. 【解析】本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力（1）证明CD ⊥BB 1，通过BB1⊥AB ，AB∩CD=D ，即可证明BB1⊥面ABC （2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．解：(1)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又∵CD ⊥DA 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥BB 1，又BB 1⊥AB ，AB∩CD ＝D ，∴BB 1⊥平面ABC(2)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ，故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，CD 2，又BB 1＝2，∴1111B A DC A B D V V --三棱三棱 ＝＝1311A B D S ∆·CD ＝16A 1B 1×B 1B×CD ＝16×2×2×2＝43 【详解】请在此输入详解！18．已知半径长为5的圆C 截y 轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线:20l x y +=65． （1）求这个圆的方程；（2）求经过()1,0P -与圆C 相切的直线方程．【答案】（1）22(4)(1)25x y -+-=；（2）125120x y ++=和1x =-.【解析】(1)设圆心(,)C a b ,半径r =5,利用圆C 截y 轴所得弦长为6算出4a =.再利用C 到直线:20l x y +=的距离为655算得1b =即可. (2)分情况当斜率不存在时判断是否满足条件,再考虑当斜率存在时,设过()1,0P -的点斜式方程,再利用与圆C 相切列出圆心到直线的距离等于半径的方程,求解即可.【详解】由题圆心(,)C a b ,半径r =5Q 截y 轴弦长为62925,0a a ∴+=>Q 4a ∴=,由C 到直线:20l x y +=的距离为655,4265,55b d +==1,=b 所以圆的方程为22(4)(1)25x y -+-=（2）分情况讨论：当直线存在斜率时,设切线方程为：(1)y k x =+由C 到直线(1)y k x =+的距离222515(51)25(1)1k k k k -=⇒-=++125k ∴=- ∴切线方程：125120x y ++= 当直线过点()1,0-且斜率不存在时,方程1x =-也是所求的切线方程.综上,切线方程为125120x y ++=和1x =-【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程问题.重点在于根据题目条件找到圆心半径的关系,相交一般利用垂径定理,相切一般用圆心到直线的距离等于半径列式求解.同时注意求过定点的直线时,要分斜率存在与不存在的情况,属于中等题型.19．如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos B =，1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD∠的值；（2）求AC边的长．【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）4；【解析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出. （2）在ABDV中，利用正弦定理得2BD=，在ADCV中利用余弦定理即可求出. 【详解】解：()1因为10cos8B=，所以36sin8B=．又1cos4ADC∠=-，所以15sin ADC∠=，所以()sin sinBAD ADC B∠=∠-∠15101366sin cos cos sin4ADC B ADC B⎛⎫=∠-∠=-=⎪⎝⎭．()2在ABDV中，由sin sinAD BDB BAD=∠366=解得2BD=．故2DC=，在ADCV中，由余弦定理得2222cosAC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠22132232164⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭，得4AC=．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.20．已知数列{}n a的前n项和为n S，且22()n nS a n N*=-∈.（1）求数列{}n a的通项n a.（2）设(1)n nc n a=+，求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）()*21,nna n n N=≥∈；（2）12nnT n+=⋅.【解析】(1)利用通项与前n 项和的关系求得关于n a 的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列{}n a 的通项n a .(2) )2(1n nc n =+⋅为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）1122,22(2,)n n n n S a S a n n N *--=-=-≥∈Q 两式相减得1122n n n n S S a a ---=-12n n a a -∴=,12(2)n n a n n N a *-∴=≥∈，即数列{a n }是等比数列． 1222(2,)n n n a n n N -*∴=⋅=≥∈112(1,)n n a S a n n N Q *=∴=≥∈(2)(1)2n n c n =+Q12312232422(1)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯ ①234122232422(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯++⨯ ②①﹣②得234142222(1)2n n n T n +-=++++⋅⋅⋅+-+⨯(1)2(12)2(1)212n n n +-=+-+⨯- 1112(1)22n n n n n +++=-+⨯=-⋅12n n T n +∴=⋅【点睛】本题主要考查了通项与前n 项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O所得的弦长为l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2x =或34100x y +-=；（2）见解析.【解析】（1）记圆心到直线l 的距离为d ，利用垂径定理求得d ．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k ，则直线方程可求；（2）设P （x 1，y 1），由直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），分别求出直线PA 、PB 的方程，进一步得到M ，N 的坐标，由P 在圆上，整体运算可得M N y y ⋅为定值．【详解】∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切，∴圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为=（1）记圆心到直线l 的距离为d ，∴2=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0．∴2d ==，解得k=﹣34，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0． 综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；（2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．设P （x 1，y 1），∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），∴直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=()11311y x x ---，y ﹣3=()11311y x x -++． 令x=0，得M （0，11131x y x --），N （0，11131x y x ++）， 则221111112111339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∴221110x y +=，即221110y x =-，代入（）式，得()221121910101M N x x y y x --⋅==-为定值．【点睛】求定值问题常见的方法 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知定义在R 上的函数32()2(0)f x ax ax b a =-+>在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是11-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]1,1t ∈-时，()0f x tx +≤'恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）32()25f x x x =-+；（2）[0,1]【解析】（1）求出导函数，由导数确定单调性，得最值后可得,a b ，得解析式；（2）2()340,[1,1]f x tx x x tx t '+=-+≤∀∈-恒成立，作为t 的函数可以看作是一次函数，只要区间两个端点处函数值满足不等式即可．【详解】解：（1）2()34(0)f x ax ax a =->'令()0f x '=，解得0x =或43x =（舍）， 因为(2)16,(0),(1)f a b f b f a b -=-+==-+，由0a >知，()f x 在[2,0]-上单调递增，()f x 在[0,1]上单调递减，()f x 在[]2,1-上的最大值为(0)f ，最小值为(1)f -51611b a b =⎧∴⎨-+=-⎩， 解得51b a =⎧⎨=⎩， 32()25f x x x ∴=-+.（2）由（1）知2()34f x x x '=-，2()340,[1,1]f x tx x x tx t '+=-+≤∀∈-∴恒成立，令2()(34)g t x t x x =⋅+-，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，等价于：(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即22350330x x x x ⎧-≤⎨-≤⎩.解得01x ≤≤，故实数x 的取值范围为[0,1].【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，不等式恒成立问题常常要进行转化．。
甘肃天水一中高三上学期第五次(期末)考试数学(文)试题含答案
天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试文科数学试卷一、单选题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2．设集合1|22x A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．(]1,2- D ．[]1,2-3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）A ．x y =B ．x y lg =C ．x y 2=D ．x y 1=4．已知向量()4,7a =-v ，()3,4b =-r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ）A ．2B ．-2C ．25-D ．255．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ）A ．29B ．36C ．13D ．3 6．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ） A ．-1 B ．12 C ．1 D ．329．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．32C ．5D ．7211．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v ，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．3 12．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（用序号作答）14．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______. 15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为0040.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数, 用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下20组随机数: 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.16．已知函数()()2ln ,m f x x x g x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++L 的值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，求这2个白凤桃质量至少有一个不小于400克的概率；（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有白凤桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21．设函数()e 2x af x ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22．在平面直角坐标xOy 系中，曲线C 的参数标方程为11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数，且0t >），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23．已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试文科数学试卷（答案）一、选择题（12*5=60分）1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C11．D 12．B11.详解：过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MNNF =1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.12．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===233ABC S AB ==V Q AB 6=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴==Rt OMB V 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=二、填空题（4*5=20分）13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分）14312 15．0.316．0m ≥或21e m e +=- 详解：因为()110f x x =+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x=有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e =∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e+-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时，()0h x '<，当1x e<时，()0h x '>，所以当1x e =时，(h x ）有唯一极小值21e e +-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e+=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e +=-. 三、简答题17．（Ⅰ）因为121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=.（6分）（Ⅱ）因为n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L .（12分） 18．（Ⅰ）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵底面ABCD 为矩形，∴//BC AD ，∴PE BC ⊥（4分）（Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB Ì平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA 、AB Ì平面PAB ，PD ∴⊥平面PAB ，∵PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD （8分）（Ⅲ）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴//FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴1//,2ED BC DE BC =， ∴//ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴//EF GD ，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴//EF 平面PCD .（12分）19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在[)350,400和[)400,450的比例为3:2，∴应分别在质量为[)350,400和[)400,450的白凤桃中各抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的白凤桃为1A ，2A ，3A ，质量在[)400,450的白凤桃为1B ，2B ， 则从这5个白凤桃中随机抽取2个的情况共有以下10种： 12A A ，13A A ，23A A ，11A B ，21A B ，31A B ，12A B ，22A B ，32A B ，12B B其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为710.（6分） （Ⅱ）方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[)200,250的频率为500.0010.05⨯=同理，白凤桃质量在[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[)450,500的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案B 收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为()0.050.160.2410000045000++⨯=个白凤桃质量不低于350克的个数为55000个∴收益为450005550009720000⨯+⨯=元若按方案A 收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为(2255000275160003252400037530000⨯+⨯+⨯+⨯42520000475200004755000)201000709000+⨯+⨯+⨯⨯÷=（元）∴方案B 的收益比方案A 的收益高，应该选择方案B .（12分）20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1c =；因为椭圆过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++； 221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).（12分） 21.（Ⅰ）∵()2x a f x e ax =-+，∴()x f x e a '=-，∴(1)f e a '=- 由题设知(1)0f '=，即e-a =0，解得a =e ．经验证a =e 满足题意．（4分）（Ⅱ）令()0f x '=，即e x =a ，则x =ln a ，①当ln a ＜1时，即0＜a ＜e对于任意x ∈（-∞，ln a ）有()0f x '<，故f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减； 对于任意x ∈（ln a ，1）有()0f x '>，故f （x ）在（ln a ，1）单调递增， 因此当x =ln a 时，f （x ）有最小值为a 3a alna a lna 022⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭＞成立．所以0＜a ＜e ②当ln a ≥1时，即a ≥e 对于任意x ∈（-∞，1）有()0f x '<，故f （x ）在（-∞，1）单调递减，所以f （x ）＞f （1）．因为f （x ）的图象恒在x 轴上方，所以f （1）≥0，即a ≤2e ，综上，a 的取值范围为(0,2e],所以a 的最大值为2e ．（12分）22. （Ⅰ）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥. 将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=. 所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.（5分） （Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan 3θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（5分） 23．（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（5分） （Ⅱ）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．（5分）。
2020-2021学年甘肃省天水一中高三(上)第五次月考数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|log2x>1}，则A∩B=()A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2.设复数z满足(1+i)z=3+i，则|z|=()A. √2B. 2C. 2√2D. √53.纹样是中国艺术宝库的瑰宝，火纹是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A. 2B. 3C. 10D. 154.在△ABC中，∠ABC=π4，AB=√2，BC=3，则sin∠BAC=()A. √1010B. √105C. 3√1010D. √555.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,3)，若a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦值为()A. √1010B. 3√1010C. √55D. 2√556.已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y24=1的焦距为4，则C的离心率()A. 13B. 12C. √22D. 2√237.已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则“a与b为异面直线”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax+ycosA−cosB=0A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9.我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变．督导一年后．分别随机抽查了高中(用A表示)与初中(用B表示)各10所学校．得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所示．则从茎叶图可得出正确的信息为()(80分及以上为优秀)①高中得分与初中得分的优秀率相同②高中得分与初中得分的中位数相同③高中得分的方差比初中得分的方差大④高中得分与初中得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④10.数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=2，若S n=a n+1−2(n∈N∗)，则a2020=()A. 22019B. 22020C. 22021D. 2202211.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f(x)的图象()A. 关于点(−π16,0)对称 B. 关于点(π16,0)对称C. 关于直线x=π16对称 D. 关于直线x=−π4对称12.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log3(x+1)+ax2−a+1(a为常数)，则不等式f(3x+4)>−5的解集为()A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−2,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=e x cosx+x在点(0,f(0))处的切线方程为______．14.已知直线y=ax与圆C：x2+y2−2ax−2y+2=0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为______．15.直角△ABC的三个顶点都在球O的球面上，CA=CB=2，若球O的表面积为12π，则球心O到平面ABC的距离等于______．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y=[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数．设{x}=x−[x]，则函数f(x)=2x{x}−x−1的所有零点之和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都不相等的等差数列{a n}，a6=6，又a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18.2014年非洲爆发了埃博拉病毒疫情，在疫情结束后，当地防疫部门做了一项回访调查，得到如下结果，(Ⅰ)结合上面列联表，是否有99.9%的把握认为是否患病与卫生习惯有关？(Ⅱ)现从有良好卫生习惯且不患病的180人中抽取A1，A2，A3，A4，A5共5人，再从这5人中选两人给市民做健康专题报告，求A2，A3至少有一人被选中的概率．X2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．(1)求证：PA⊥BD；(2)若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．20.已知直线l1：y=kx+2与椭圆C：x28+y22=1交于A，B两点，l1与直线l2：x+2y−4=0交于点M(1)证明：l2与C相切；(2)设线段AB的中点为N，且|AB|=|MN|，求l1的方程．21. 设函数f(x)=(x −2)e x +12ax 2−ax ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a =1，当x ≥0时，f(x)≥kx −2，求k 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(其中t 为参数).现以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(−1,0)，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x +m|−2|x −1|(m >0)，不等式f(x)≤1的解集为{x|x ≤13或x ≥3}．(1)求实数m 的值；(2)若不等式f(x)≤ax +3a 对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：集合A={x|0<x<3}=(0,3)，B={x|log2x>1}=(2,+∞)，则A∩B=(2,3)，故选A．2.【答案】D【解析】解：由(1+i)z=3+i，得z=3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何概型的基础知识是基础题．边长为5的正方形的面积S正方形=5×5=25，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．【解答】解：为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，设阴影部分的面积为S阴，∵该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，，解得，∴估计阴影部分的面积是10．故选：C．4.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=π4，AB=√2，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=2+9−6=5，∴AC=√5，则由正弦定理ACsin∠ABC =BCsin∠BAC得：sin∠BAC=3×√22√5=3√1010．故选：C．由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC 的值．此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,3)，∴2a⃗−b⃗ =(2−m,1)．又∵a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，∴a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=2−m+2=0，解得m=4，即b⃗ =(4,3)，故cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√5×5=2√55．故选：D．利用平面向量坐标运算法则，求出2a⃗−b⃗ =(2−m,1).再由a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，求出b⃗ =(4,3)，由此能求出a⃗与b⃗ 夹角的余弦值．本题考查两向量夹角的余弦值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y24=1的焦距为4，可得√a2−4=2，可得a=2√2，又c=2，所以e=2√2=√22．故选：C．利用椭圆方程结合椭圆的焦距，列出方程，然后求解a，即可得到椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．7.【答案】A【解析】解：a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，若a与b为异面直线，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α//β，满足充分性；反之，若α//β，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则a与b平行或异面，故不满足必要性．则“a与b为异面直线”是“α//β”的充分不必要条件．故选：A．由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案．考查立体几何线线，线面的几何位置关系，考查充分必要条件的判断，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由于直线ax+ycosA−cosB=0与xcosB−by+cosA=0垂直，利用直线垂直的充要条件，则(−acosA )⋅(cosBb)=−1，所以acosB−bcosA=0，利用正弦定理sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=0，所以A=B．则△ABC一定是等腰三角形．故选：C．结果．本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，正弦定理，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①高中与初中得分在80分及以上的均有3所学校，所以优秀率相同，即①正确；②高中得分的中位数为74+772=75.5，初中得分的中位数为72+732=72.5，即②错误；③高中得分比初中得分更分散，方差更大，即③正确；④高中得分的平均分为110×(62+65+72+74+74+77+78+82+83+90)=75.7，初中得分的平均分为110×(63+66+71+72+72+73+76+84+85+88)=75.0，即④错误． 故选：B ．①根据80分及以上学校数的占比可判断；②将得分按照从小到大的顺序排列，再计算最中间两个得分的平均数即可； ③根据方差的含义即可判断；④根据平均数的计算方法求出两组数据的平均数即可判断．本题考查茎叶图的概念与数字特征，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=2，若S n =a n+1−2，①， 当n ≥2时，S n−1=a n −2②，①−②得：a n =S n −S n−1=a n+1−a n ， 整理得a n+1a n=2(常数)，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以a n =a 1⋅2n−1=2n ，(首项符合通项)． n故选：B．首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由函数y=f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，可知其周期为T=12π，所以ω=2πT=4，所以f(x)=sin(4x+φ)；将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到函数y=sin[4(x+3π16)+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×3π16+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ−π4，k∈Z；又|φ|<π2，所以φ=−π4，所以f(x)=sin(4x−π4)，令4x−π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ4+π16，k∈Z；k=0时，得f(x)的图象关于点(π16,0)对称，B正确．故选：B．由函数y=f(x)的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f(x)的解析式，再求f(x)的对称中心，即可得解．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)为定义在R上的奇函数，因为当x≥0时，f(x)=log3(x+1)+ax2−a+1，所以f(0)=1−a=0，故a=1，f(x)=log3(x+1)+x2在[0,+∞)上单调递增，根据奇函数的性质可知f(x)在R上单调递增，因为f(2)=5，所以f(−2)=−f(2)=−5，由不等式f(3x+4)>−5=f(−2)可得，3x+4>−2，解可得，x>−2，故解集为(−2,+∞)故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．13.【答案】y=2x+1【解析】解：f(x)=e x cosx+x的导数为f′(x)=e x(cosx−sinx)+1，可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0−sin0)+1=2，且切点为(0,1)，可得切线的方程为y=2x+1．故答案为：y=2x+1．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，由斜截式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】±√3【解析】解：∵圆C：x2+y2−2ax−2y+2=0，即(x−a)2+(y−1)2=a2−1，∴圆心C(a,1)，半径r=√a2−1，∵△ABC为等腰直角三角形，所以圆心C到直线y=ax的距离d=√22r，∴2√a2+1=√22√a2−1，解得a2=3，∴a=±√3．故答案为：±√3．∵△ABC为等腰直角三角形，所以圆心C到直线y=ax的距离d=√22r，再根据圆心到直线的距离等于半径列式可解得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．15.【答案】1【解析】解：△ABC的三个顶点都在球O的球面上，若∠BCA=90°，CB=AC=2，则三角形的外心D在BA的中点，∵球O的表面积为12π，可得球的半径为：√3，OB=OA=OC=√3，BD=√2，OD=1．故答案为：1．求出球的半径，然后求解△ABC的外心与球的球心的距离即可．本题考查几何体的外接球的表面积，点到平面的距离的求法，考查计算能力．16.【答案】−1，【解析】解：由题意知f(0)=−1，令f(x)=0，得2{x}=1+1x则函数y=f(x)的零点，即为函数y=2{x}与函数y=1+1的图象交点的横坐标，x的图象如图所示．作出函数y=2{x}与函数y=1+1x由图象可知，两函数图象除交点(−1,0)之外，其余的交点关于点(0,1)对称，则函数y=f(x)的所有零点之和为−1．故答案为：−1．将原问题转化为两个函数交点横坐标的问题，然后绘制函数图象，结合函数的对称性即可求得所有零点之和．本题主要考查函数图象的应用，新定义知识的应用，函数的对称性等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)∵各项都不相等的等差数列{a n}，设公差为d，又a6=6，且a1，a2，a4成等比数列．∴{a6=a1+5d=6(a1+d)2=a1(a1+3d) d≠0，解得a1=1，d=1，∴数列{a n}的通项公式a n=1+(n−1)×1=n．(2)∵b n=2 a n+2n=2n+2n，∴数列{b n}的前n项和：S n=(2+22+23+⋯+2n)+2(1+2+3+⋯+n)=2(1−2n)1−2+2×n(n+1)2=2n+1−2+n2+n(n∈N∗).【解析】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．(1)利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．(2)由b n=2 a n+2n=2n+2n，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意填写列联表如下；由表中数据计算χ2=500×(20×220−80×180)2200×300×100×400=1256≈20.833>10.828，所以有99.9%的把握认为是否患病与卫生习惯有关；(Ⅱ)从A1，A2，A3，A4，A5中任取2人，有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5共10种取法，其中仅有A2有三种：A2A1，A2A4，A2A5，其中仅有A3有三种：A3A1，A3A4，A3A5，有A2且有A3有一种：A2A3，所以A2，A3至少一人取到的概率为P(A)=710．【解析】(Ⅰ)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.【答案】(1)证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴由余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又AD⊥BD，AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PAD，∴BD⊥平面PAD，又∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD；(2)解：由(1)可知AD⊥BD，又底面ABCD为平行四边形∴AD//BC，CD=AB=2∴BD⊥BC，∴S△BCD=12×BC×BD=√32，∵PD⊥平面ABCD，CD、BD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥BD，∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2，PC=√2CD=2√2，∴V P−BCD=13×√32×2=√33，∵PB=√PD2+DB2=√7，BC=1，∴BC2+PB2=PC2，∴PB⊥BC，∴S △BCP =12BC ⋅PB =√72， ∴V D−BCP =13×√72×ℎ=√76ℎ， 又V P−BCD =V D−BCP ， ∴√7ℎ6=√33， 解得ℎ=2√217．【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查点到平面的距离、棱锥的体积计算，属于中档题．(1)利用勾股定理逆定理证明AD ⊥BD ，结合BD ⊥PD 得出BD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质得PA ⊥BD ；(2)根据V P−BCD =V D−BCP 列方程解出h 即可．20.【答案】(1)证明：由题意，可将直线l 2与椭圆C 联立方程，得：{x 28+y 22=1x +2y −4=0消去x ，整理得：y 2−2y +1=0． ∵△=4−4×1×1=0， ∴直线l 2与椭圆C 相切．(2)解：由题意，联立直线l 1与直线l 2的方程，得： {y =kx +2x +2y −4=0，解得：{x =0y =2．∴M 点的坐标为(0,2)．由题意，再联立直线l 1与椭圆C 的方程，得： {x 28+y 22=1y =kx +2． 消去y ，整理得：(4k 2+1)x 2+16kx +8=0， ∵直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，∴△=(16k)2−32(4k 2+1)=128k 2−32>0，解得：k 2>14． 由题意，可设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 0,y 0)， 则x 1+x 2=−16k1+4k 2，x 1x 2=81+4k 2，∴x 0=x 1+x 22=−8k 1+4k 2．∵|AB|=|MN|，即√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2|x 0−0|， ∴√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|x 0|， 即|8k 1+4k 2|=4√2√4k 2−11+4k 2， 解得k 2=12，满足k 2>14． ∴k =±√22， ∴直线l 1的方程为y =±√22x +2．【解析】(1)将直线和椭圆的方程联立消元后根据所得方程的判别式为0可证得结论成立；(2)由|AB|=|MN|，并结合弦长公式可得关于k 的方程，解方程可得k 的值，进而得到所求直线方程．本题体现了代数方法在解决解析几何问题中的应用，通过代数运算达到解决位置关系和数量关系的目的．由于在解题中会遇到大量的计算，所以在解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以达到简化运算的目的．21.【答案】解：(1)∵x ∈R ，f′(x)=(x −1)(e x +a)，当a ≥0时，x ∈(−∞,1)，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0； 所以f(x)在(−∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增， 当a <0时，令f′(x)=0，得x =1，x =ln(−a)，①当a <−e 时，x ∈(−∞,1)，f′(x)>0；当x ∈(1,lnn(−a))时，f′(x)<0； 当x ∈(ln(−a),+∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,1)，(ln(−a),+∞)单调递增，在(1,ln(−a))单调递减； ②当a =−e 时，f′(x)≥0，所以f(x)在R 单调递增； ③当−e <a <0时，x ∈(−∞,ln(−a))，f′(x)>0； 当x ∈(ln(−a),1)时，f′(x)<0； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,ln(−a))，(1,+∞)单调递增，在(ln(−a),1)单调递减； (2)令g(x)=f(x)−kx +2=(x −2)e x +12x 2−x −kx +2， 有g′(x)=(x −1)e x +x −1−k ，令ℎ(x)=(x −1)e x +x −1−k ，有ℎ′(x)=xe x +1， 当x ≥0时，ℎ′(x)=xe x +1>0，ℎ(x)单调递增， 所以ℎ(x)≥ℎ(0)=−2−k ，即g′(x)≥−2−k ，①当−2−k ≥0即k ≤−2时，g′(x)≥0，g(x)在(0,+∞)单调递增， g(x)≥g(0)=0，不等式f(x)≥kx −2恒成立 ②当−2−k <0即k >−2时，g′(x)=0有一个解，设为x 0根， 所以有x ∈(0,x 0)，g′(x)<0，g(x)调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0；g(x)单调递增，所以有g(x 0)<g(0)=0， 故当x ≥0时，f(x)≥kx −2不恒成立； 综上所述，k 的取值范围是(−∞,−2]．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)令g(x)=f(x)−kx +2，求出函数的导数，通过讨论k 的范围结合函数的单调性确定k 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(其中t 为参数)．∴直线l 的普通方程为x −y +1=0．∵曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=6x ，即(x −3)2+y 2=9． (2)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(其中t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程(x −3)2+y 2=9．得：(√22t −4)2+(√22t)2=9，整理，得t 2−4√2t +7=0，△=(−4√2)2−4×7=4>0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1,t 2， t 1t 2=7，t 1+t 2=4√2，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4√2．【解析】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．(1)直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ2=6ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．(2)直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2−4√2t+7=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．23.【答案】解：(1)f(x)=|x+m|−2|x−1|={x−m−2,x≤−m3x+m−2,−m<x<1−x+m+2,x≥1(m>0),作出函数f(x)的图象，结合图象，∵不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤13或x≥3}．∴{3×13+m−2=1−3+m+2=1，解得m=2．(2)直线y=ax+3a过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为43，结合图象可得实数a的取值范围为[43,1]．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．(1)把f(x)用分段函数来表示，结合图象，可得m．(2))直线y=ax+3a过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为43，结合图象可得实数a的取值范围．。
甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题文
甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题 文（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U C A B ⋂=（）（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“2211og a og b <”是“11a b <”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x x y x ⋅=+ C ．ln x y x =D ．()22e x y x x =-7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．B ．C ．D ．8．平面上三个单位向量两两夹角都是23π，则与夹角是（ ） A ．3πB ．23πC ．12πD ．6π 9．已知数列的前项和满足(）且，则（ ） A ． B ． C ． D ．10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如右图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC∠为钝角，M 为BC 边的中点，则的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．6 D ．512．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____． 14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．15．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．16．在同一个平面内，向量的模分别为1,1,2,与的夹角为α，且tan 7,α=与的夹角为45︒，若，则m n +=_________．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7,c ABC △=33ABC △的周长． 18．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控 非微信控 合计 男性26 24 50 女性30 20 50 合计 56 44 100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率．附：2()P K k ≥ 0.100 0.050 0.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19．（12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1．（I ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（II ）若BC ＝1，求四棱锥F －ABCD 的体积．20．（12分）已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．（12分）已知函数()22x f x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数）（1）求,a b 的值；（2）若k Z ∈，且()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1{ x cos y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．（10分）已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++(1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学文科试题参考答案1．A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．B【解析】,选B.3．D【解析】【分析】 由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b <”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B【解析】，即 ，而，故选B.5．D【解析】∵是偶函数 ∴ 当时，，又∴故选：D6．D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x y =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数 ∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B 对于C ， ∵ln x y x =的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x < ∴0ln x y x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0x y e =>恒成立∴()22xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．B【解析】试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ． 考点：命题真假判断．8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c v v v 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=v v v v ，且()()222213111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=v v v v v v v v v v v ，所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为()()332cos 31a b a c a b a c θ-⋅+===⨯-⋅+v v v v v v v v 0θπ≤≤， 所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为6π，故选D. 9．C【解析】【分析】 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．则a 8=5．故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r.11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而cos ,AO AD AO AD =u u u v u u u v u u u v u u u v ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．A【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．63 【解析】 【分析】根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =，当2n …时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式作差可得：122n n n a a a -=-，则：12n n a a -=， 据此可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前6项和为66216321S -==-．故答案为63． 【点睛】本题考查了等比数列的前N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用. 16．3. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据各向量的模和各自的夹角可得,,A B C 各点坐标，再利用向量的等式关系到各坐标之间关系，解出,m n 后可求m n +的值． 【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A ，由OC uuu rOA u u u r 与OC uuur 的夹角为α，且tan 7α=知，cos αα== ，可得17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()cos 45,sin 45B αα︒︒++，34,55B ⎛⎫∴-⎪⎝⎭， 由OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 可得13173455,,,74555555m nm n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【点睛】向量的线性运算可以利用基底向量来计算，注意基底向量的合理确定，也可以利用向量之间的关系合理建立平面直角坐标系，把向量系数的计算归结为系数的方程组来考虑. 17．（Ⅰ）πC 3=；（Ⅱ）5【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据133sin C 22ab =． 及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得 ()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为57+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （Ⅱ）由已知，133sin 22ab C =． 又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）见解析；（2）3,2；（3）.【解析】 【分析】（1）列出联表，计算,所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）由图表可知，在名女性用户中，微信控有人，非微信控有人.（3）利用列举法，列举出位女性任选人的基本事件，由此求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率. 【详解】（1）由列联表可得：所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人.（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，所求为．【点睛】本小题主要考查列联表分析两个分类变量是否有关，考查分成抽样的知识，考查利用列举法求简单的古典概型问题.属于中档题.19．（I）见解析;（II）.【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.【详解】（I）∵AB为圆O的直径，点F在圆O上∴AF⊥BF又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB∴CB⊥圆O所在平面∴AF⊥BC 又BC、 BF为平面CBF上两相交直线∴AF⊥平面CBF又∴平面DAF⊥平面CBF．（II）连接OE∵AB＝2，EF＝1，AB EF∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形∴AF＝OA＝OF＝1∴等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直∴点F到边OA的距离即为四棱锥F－ABCD的高∴四棱锥F－ABCD的高又BC＝1∴矩形的ABCD的面积S ABCD＝∴【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1)因为2OP OA =+u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,x x y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++= 由>0∆,得214k >()*设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='. （2）由（1）知： ()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052xe x =-.∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为1{x cos y sin ϕϕ=+= （φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立2{3cosρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q（ρ2，θ2），联立()sin{3ρθθπθ==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．解析：（1）圆C的普通方程为()2211x y-+=，又cosxρθ=，sinyρθ=所以圆C的极坐标方程为2cosρθ=（2）设()11,ρθP，则由2{3cosρθπθ==解得11ρ=，13πθ=设()22Q,ρθ，则由()sin{3ρθθπθ+==解得23ρ=，23πθ=所以Q2P=23．（1）{|11}x x x<->或；（2）3【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x=-+++，∴1123xx≤-⎧⎨->⎩或1133x-<<⎧⎨>⎩或1213xx≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x或-.（2）f x x a x b c=-+++a x x b c a b c≥-+++=++3a b c=++=，()11111113a b ca b c a b c⎛⎫++=++++⎪⎝⎭133b ac a c ba b a c b c⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
甘肃省天水一中2020届上学期高三年级第五次(期末)考试数学试卷(文科)
甘肃省天水一中2020届上学期高三年级第五次（期末）考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设集合，，则（ ） A ． B ． C ．D ． 3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知向量，，则在方向上的投影为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．5．在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为（ ）A ．B ．C ． D6．函数的图象大致为（ ） A ． B ．(1i)2i z +=z =1i --1+i -1i -1+i 1|22x A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭A B =()1,2-[)1,2-(]1,2-[]1,2-lg 10x y =x y =x y lg =x y 2=x y 1=()4,7a =-()3,4b =-2a b -b -[1,1]-k (2)y k x =-221x y +=29613ln ||()x f x x x=+C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．π3C ．2π9D ．16π98．设实数满足，则的最大值是（ ） A ．-1 B ． C ．1 D ． 9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知，a =2，c，则C =（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A ．BCD ． 11．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值（ ）A ．B ．2C ．D ．312．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）,x y 242210x y x yx -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩1y x +1232sin sin (sin cos )0B A C C +-=π12π6π4π31111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 222:12C y x =F l M C N l ()0FN FM λλ=>4MF =λ3252A B C D ，，，ABC △D ABC -A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知l ，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥；③l ⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______．（用序号作答）14．设为锐角，若，则的值为_______. 15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生到之间取整数值的随机数, 用表示下雨，用表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下组随机数:据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.16．已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．已知数列满足，，其中为的前项和，. （Ⅰ）求；（Ⅱ）若数列满足,求的值. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；ααααπ3cos()65α+=sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0040091,2,3,45,6,7,8,9,020488932812458989431257390024556734113537569683907966191925271()()2ln ,m f x x x g x e x=+-=e ()f x {}n a 11a =121n n a S +=+n S {}n a n *n N ∈n a {}n b 31log n n b a =+122320172018111b b b b b b +++P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =E F AD PB PE BC ⊥（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在，的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，求这2个白凤桃质量至少有一个不小于400克的概率； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有白凤桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）20．已知椭圆的右焦点为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21．设函数，． （Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；PAB ⊥PCD //EF PCD[200,500][350,400)[400,450)2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2222:1x y C a b+=(1,0)(0,1)A :(1)l y kx t t =+≠±()e 2x a f x ax =-+0a >()y f x =(1,(1))f x a（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数，且），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求直线与曲线的公共点的极坐标.23．已知.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时不等式成立，求的取值范围. 1x <()f x x a xOy C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 0t >O x l sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C l C P ()11f x x ax =+--1a =()1f x >()0,1x ∈()f x x >a高三数学（文科）参考答案一、选择题（12*5=60分）1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C11．D 12．B【详解】11.过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.12．详解：如图所示点M 为三角形ABC 的中心，E为AC 中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M 为三角形ABC 的中心中，有 二、填空题（4*5=20分）13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则②（写出一个即为满分）''MM FF MN NF 1λλ-4MF =，''MM FF 461λλ-3λ∴=DM ⊥ABC D ABC -OD OB R 4===24ABC S AB ==AB 6=2BM 3BE ∴==Rt OMB ∴OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=1415．0.3 16．或 详解：因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时， 令有一解即可，设，令得，因为当时，，当时，，所以当时，有唯一极小值，即有最小值，故当时有一公共点，故填或. 三、简答题17．解：（Ⅰ）因为，，，两式相减得注意到，，于是，所以.（6分） （Ⅱ）因为，于是 所以.（12分） 18．解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴（4分）（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面， ∵平面，∴平面平面（8分）0m ≥21e m e+=-()110f x x =+>'()0,+∞1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭0m ≥()m g x x=0m <()()22,f x g x x xlnx x m e =∴+-=22(=h x x xlnx x e+-）2(=2x +1=0h x lnx e -'+）1x e =10x e <<()0h x '<1x e<()0h x '>1x e =(h x ）21e e +-()h x 21e e+-21e m e +=-0m ≥21e m e +=-121n n a S +=+121n n a S -=+2n ≥112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥11a =2112133a S a =+==11,3n n n a a +∀≥=13n n a -=n b n =()1111111n n b b n n n n +==-++1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=PA PD =E AD PE AD ⊥ABCD //BC AD PE BC ⊥ABCD AB AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =AB ABCD AB ⊥PAD PD ⊂PAD AB PD ⊥PA PD ⊥PA AB A =PA AB PAB PD ∴⊥PAB PD ⊂PCD PAB ⊥PCD（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为矩形，且为的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（12分）19．解：（Ⅰ）由题得白凤桃质量在和的比例为， ∴应分别在质量为和的白凤桃中各抽取3个和2个.记抽取质量在的白凤桃为，，，质量在的白凤桃为，，则从这5个白凤桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：，，，，，，，，， 其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为.（6分） （Ⅱ）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在的频率为同理，白凤桃质量在，，，，的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为个 白凤桃质量不低于350克的个数为55000个∴收益为元若按方案收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益PC G ,FGGD ,F G PB PC //FG BC 12FG BC =ABCD E AD 1//,2ED BC DE BC =//ED FG ED FG =EFGD //EF GD EF ⊄PCD GD ⊂PCD //EF PCD [)350,400[)400,4503:2[)350,400[)400,450[)350,4001A 2A 3A [)400,4501B 2B 12A A 13A A 23A A 11A B 21A B 31A B 12A B 22A B 32A B 12B B 710B [)200,250500.0010.05⨯=[)250,300[)300,350[)350,400[)400,450[)450,500B ()0.050.160.2410000045000++⨯=450005550009720000⨯+⨯=A为（元） ∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.（12分）20．解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）设 联立得，，，. 直线，令得，即； 同理可得. 因为,所以； ，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.（12分）21.解：（Ⅰ）∵，∴，∴ 由题设知，即e-a =0，解得a =e ．经验证a =e 满足题意．（4分）（Ⅱ）令，即e x =a ，则x =ln a ，(2255000275160003252400037530000⨯+⨯+⨯+⨯42520000475200004755000)201000709000+⨯+⨯+⨯⨯÷=B A B (1,0)1c =(0,1)A 1b =2222ab c =+=2212x y +=1122(,),(,)P x y Q x y 2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩222(12)4220k x ktx t +++-=21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++121222()212t y y k x x t k +=++=+222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+111:1y AP y x x --=0y =111x x y -=-111x OM y -=-221x ON y -=-2OM ON =1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++221121t t t -=-+0t =y kx =l (0,0)()2x a f x e ax =-+()x f x e a '=-(1)f e a '=-(1)0f '=()0f x '=①当ln a ＜1时，即0＜a ＜e对于任意x ∈（-∞，ln a ）有，故f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减； 对于任意x ∈（ln a ，1）有，故f （x ）在（ln a ，1）单调递增， 因此当x =ln a 时，f （x ）有最小值为成立．所以0＜a ＜e ②当ln a ≥1时，即a ≥e 对于任意x ∈（-∞，1）有，故f （x ）在（-∞，1）单调递减，所以f （x ）＞f （1）．因为f （x ）的图象恒在x 轴上方，所以f （1）≥0，即a ≤2e，综上，a 的取值范围为(0,2e],所以a 的最大值为2e ．（12分）22.解：（Ⅰ）消去参数，得曲线的直角坐标方程. 将，代入，得. 所以曲线的极坐标方程为.（5分） （Ⅱ）将与的极坐标方程联立，消去得. 展开得.因为，所以.于是方程的解为，即. 代入的极坐标为.（5分） 23．解：（Ⅰ）当时，，即故不等式的解集为．（5分） （Ⅱ）当时成立等价于当时成立． ()0f x '<()0f x '>a 3a alna a lna 022⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭＞()0f x '<t C ()2242x y x -=≥cos x ρθ=y sin ρθ=224x y -=()222cos 4sin ρθθ-=C 2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭l C ρ242cos23sin πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-cos 0θ≠23tan 10θθ-+=tan θ=6πθ=sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭1a =()11f x x x =+--()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()1f x >1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭()0,1x ∈11x ax x +-->()0,1x ∈11ax -<若，则当时；若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为．（5分）0a ≤()0,1x ∈11ax -≥0a >11ax -<20x a <<21a≥02a <≤a (]0,2。
2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学(文)试题(解析版)
2020届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|11B x x =-<≤，则AB =（ ）A ．[]1,1-B ．(]1,1- C ．()1,2-D ．[)1,2【答案】B【解析】(1,2)(1,1]A A B =-∴⋂=- ,选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥【答案】D【解析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c =的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性. 【详解】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立；对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.3．下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题；故选：C.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S =A ．140B ．70C ．154D ．77【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则椭圆22221x y a b +=的离心率为( )A ．12B ．3C ．2D ．2【答案】C【解析】根据双曲线离心率可求得224a b =，代入椭圆方程中，根据椭圆222c a b =-可构造出离心率，化简得到结果. 【详解】由双曲线离心率得：22222514a b b a a +=+=，解得：224a b =∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率2e == 故选：C 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题. 6．函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，排除D 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7．将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( )A ．()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()122k x k Z ππ=-+∈ C ．()62k x k Z ππ=+∈ D ．()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A【解析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+,即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
甘肃省2020届高三数学上学期期末考试试题文
高三数学上学期期末考试试题文一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．集合A x 1x 2,B xx 1，则A∩B=（）A．xx1B x 1x 2C．x 1x 1D．x 1x 12．已知i是虚数单位，若z 1i 13i，则z （）A．2i B．2i C．1iD．1i3．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．4.若直线2ax by 20(a 0，b 0)被圆11的最小值是a bx2y22x 4y 10截得的弦长为4，则A.11B.42C. 2D. 45．已知直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log34和log43，则输出M的值是（）A．0B．1C．3D．1- 1 -7．函数g(x)A c os x的图象，可以将f(x)的图象如下图所示，为了得到的图象（）πA．向右平移个单位长度12B．向右平移5π12个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向左平移5π12个单位长度8.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（A．B．C．D．）9.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A．4B．3C．2D．110．已知向量a,b满足|a ||b ||a b |1,则向量a,b夹角的余弦值为（）A．12B．12C．32D．32- 2 -11.过椭圆C：x2y21(a b 0)a2b2的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若11k32，则椭圆C的离心率的取值范围是（）1A．(0,)212C．(,)232B．( ,1)312D．(0,)(,1)2312.函数 fx在定义域R内可导，若 fx f 2x，且当x，1时，x1f x 0，设a f，b f12，c f3，则（）A．a b c B．c a b C．c b a D．b c a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第五次（期末）考试试题 文一、单选题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2．设集合1|22xA x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．(]1,2-D ．[]1,2-3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是（ ）A ．x y =B ．x y lg =C ．xy 2= D ．xy 1=4．已知向量()4,7a =-v，()3,4b =-r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ）A ．2B ．-2C ．25-D ．255．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ．29B ．3 C ．13D ．3 6．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．329．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ） A ．22B ．3 C ．5 D ．7 11．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．312．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（用序号作答） 14．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为0040.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数, 用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下20组随机数:488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 16．已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++L 的值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，求这2个白凤桃质量至少有一个不小于400克的概率； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有白凤桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21．设函数()e 2x af x ax =-+，0a >． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22．在平面直角坐标xOy系中，曲线C的参数标方程为11 x tty tt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t为参数，且0t>），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin23πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标.23．已知()11f x x ax=+--.（Ⅰ）当1a=时，求不等式()1f x>的解集；（Ⅱ）若()0,1x∈时不等式()f x x>成立，求a 的取值范围.天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试文科数学试卷（答案）一、选择题（12*5=60分）1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C11．D 12．B11.详解：过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MMFF=MNNF=1λλ-，又4MF=，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MMFF=46=1λλ-，3λ∴=.12．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===233ABC S AB ==V Q AB 6=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴==Rt OMB V 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=二、填空题（4*5=20分）13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分） 1431215．0.316．0m ≥或21e m e+=-详解：因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()mg x x=有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e =∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e+-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时，()0h x '<，当1x e<时，()0h x '>，所以当1x e =时，(h x ）有唯一极小值21e e +-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e+=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e+=-.三、简答题17．（Ⅰ）因为121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥， 两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥ 注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=.（6分）（Ⅱ）因为n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L .（12分）18．（Ⅰ）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥. ∵底面ABCD 为矩形，∴//BC AD ，∴PE BC ⊥（4分） （Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB Ì平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA 、AB Ì平面PAB ，PD ∴⊥平面PAB ， ∵PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD （8分） （Ⅲ）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴//FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴1//,2ED BC DE BC =，∴//ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴//EF GD ，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴//EF 平面PCD .（12分）19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在[)350,400和[)400,450的比例为3:2， ∴应分别在质量为[)350,400和[)400,450的白凤桃中各抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的白凤桃为1A ，2A ，3A ，质量在[)400,450的白凤桃为1B ，2B ， 则从这5个白凤桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：12A A ，13A A ，23A A ，11A B ，21A B ，31A B ，12A B ，22A B ，32A B ，12B B其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为710.（6分） （Ⅱ）方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[)200,250的频率为500.0010.05⨯=同理，白凤桃质量在[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[)450,500的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案B 收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为()0.050.160.2410000045000++⨯=个 白凤桃质量不低于350克的个数为55000个 ∴收益为450005550009720000⨯+⨯=元 若按方案A 收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为(2255000275160003252400037530000⨯+⨯+⨯+⨯42520000475200004755000)201000709000+⨯+⨯+⨯⨯÷=（元）∴方案B 的收益比方案A 的收益高，应该选择方案B .（12分）20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1c =；因为椭圆过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).（12分） 21.（Ⅰ）∵()2xa f x e ax =-+，∴()xf x e a '=-，∴(1)f e a '=- 由题设知(1)0f '=，即e-a =0，解得a =e ． 经验证a =e 满足题意．（4分）（Ⅱ）令()0f x '=，即e x=a ，则x =ln a ，①当ln a ＜1时，即0＜a ＜e对于任意x ∈（-∞，ln a ）有()0f x '<，故f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减； 对于任意x ∈（ln a ，1）有()0f x '>，故f （x ）在（ln a ，1）单调递增， 因此当x =ln a 时，f （x ）有最小值为a 3a alna a lna 022⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭＞成立．所以0＜a ＜e ②当ln a ≥1时，即a ≥e 对于任意x ∈（-∞，1）有()0f x '<， 故f （x ）在（-∞，1）单调递减，所以f （x ）＞f （1）． 因为f （x ）的图象恒在x 轴上方，所以f （1）≥0，即a ≤2e， 综上，a 的取值范围为(0,2e],所以a 的最大值为2e ．（12分） 22. （Ⅰ）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥.将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.（5分）（Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-. 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（5分）23．（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（5分） （Ⅱ）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．（5分）。