湘教版解读-43实数

4. 3 实数 1.新课导读问题链接 小明在阅读《圆周率的出生记》，思考了这样的问题： 圆周率（π读pài）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。

在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。

公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ≈3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。

为什么是近似值？这个数与我们前面学过的0、1、2、－2是不是同类呢？ 问题探究 π是什么样的数？2.教材解读知识点1 不变 （知识详解，不变 【知识拓展】不变【探究交流】有四组数（1）0.1010010001，（2）0.1010010001……（每两个1之间依次增加1个0），（3）•1.0（4）1010010001……（每两个1之间依次增加1个0）是不是都是无理数？【点拨】只有第二个对。

第一个是有限小数，第三个是循环小数，第四个是整数。

【教材栏目答疑】“问题：试计算a 12、a 22、a 32、a 42、a 52，你能说出a 1、a 2、a 3、a 4、a 5的值吗？(课本P101“尝试”)【答疑】a 12、a 22、a 32、a 42、a 52分别等于2，3，4，5，6，a 1、a 2、a 3、a 4、a 5的值分别等于2，3，2，5，6。

【新课导读点拨】π是无限的、不循环小数，它不同于以前学习过的有理数，是新的一类数;无理数。

【例1】原【探究交流】【分析】无理数常有三类：①开方开不尽的数，如2、34…；②含有π的数，如π21、π2-…③以无限不循不小数的形式出现的特定结构的数，如2121121112.0…. 【解】原【探究交流】【点拨】不变【规律·方法】对于无理数要抓住“无限”和“不循环”这两个特征，缺一不可。

知识点2 实数的概念与分类重点/难点/掌握 （知识详解）有理数和无理数统称为实数正有理数有理数 0 有限小数或无限循环小数负有理数 实数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数【知识拓展】不同的分类标准，分类的结果也不一样，实数还可以这样分为：}{{}{⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0【例2】把下列各数填入相应的集合内:213、38-、0、27、3π、5.0、1415.3、02002000.0、 2121121112.0(相邻两个2之间1的个数逐次加1).(1)有理数集合{ …} (2)无理数集合{ …} (3)正实数集合{ …} (4)负实数集合{ …}【分析】按照类别进行分类，注意有的数可能既属于这类又属于另一类.如：27既属于无理数，又属于正实数，【解】解;(1)有理数集合{ 213,38-,0,5.0,1415.3,02002000.0 …} (2)无理数集合{27,3π, 2121121112.0 …} (3)正实数集合 {213,0,27,3π,5.0,1415.3,02002000.0, 2121121112.0 …}(4)负实数集合{38- …}【解题策略/规律·方法】弄清概念，既不重复，也不遗漏.知识点3实数的有关概念和性质（重点/掌握）（知识详解）1．在实数范围内的一些概念，如相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同.2、实数和数轴上的点是一一对应的关系，即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点.【知识拓展】有理数大小的比较方法在实数范围内仍成立.（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小 【教材栏目答疑】“问题：试在图4－4中画出表示5，6的点(课本P102“探索”)【答疑】在数轴上，过2这个点作垂直于数轴的直线，0（O ） 1 2 B ACD再截取1个长度单位，得点A ，连结OA ，以点O 为圆心，OA 长为半径作弧，与数轴正半轴交于点B ，则点B 表示的数就是5；同样，过B 这个点作垂直于数轴的直线，再截取1个长度单位，得点C ，连结OC ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧，与数轴正半轴交于点D ，则点D 表示的数就是6。

【例3】如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A.2.5B.2 2C. 3D. 5【分析】：由勾股定理求出OB=5，根据同弧的半径相等，得这个点表示的实数是 5. 【解】D【解题策略】借助勾股定理，构造出直角三角形，得一线段长等于要求的值，再把它反映到数轴上。

知识点4 实数的大小比较（/难点/ /理解）（知识详解）有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用 【知识拓展/】1实数的大小比较运用“形”，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 2. 运用“数’,利用计算器、平方、倒数、作差等方法. 【教材栏目答疑】“问题：分别比较3 与7 、-7和-1.5 、5 12-与0.5 (课本P104“交流”) 【答疑】1、可以有以下方法;(1)通过估算比较大小，3＜2，7＞2，所以3＜7；(2)通过平方因为()()2233,77==，3＜7，, 所以3＜7，（3）通过数轴比较（略）2、对于-7和-1.5也可通过上面的方法进行比较，-7＜-1.53、可以有以下方法;(1)因为5＞2，5-1＞1，所以5-1除以2的商大于0.5；（2）0.5=12，与512-的分母相同，所以只要比较5-1与1的大小；（3）作差比较51151222---=＞0，所以5 12-＞0.5【例4】比较大小:7_______3(填写“<”或“>”).【分析】本题的每个数都是正数且比1大，可以将每个数平方，结果大的原来的数就大. 【解】因为()277=，32 =9, 7＜9，所以7＜3【规律·方法】常利用数的平方.知识点5 实数的运算（/难点/ /掌握） （知识详解）实数的混合运算在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的.【知识拓展/】任何实数都可以进行开立方运算，任何非负数都可以进行开平方运算. 和有理数一样要注意运算顺序. 【例5】计算：52.342π+- (精确到十分位)； 【分析】在实数运算中，当遇到无理数时，可以按要求取近似值，将无理数转化成有理数，再进行计算． 【解】5 2.342π+-≈12×2.24+2.34-3.14≈0.3； 【规律·方法】取无理数的近似值时，一般要比要求的精确度多取一位小数．计算的结果再四舍五入．要求结果精确到十分位，5应取2.24．3.典例剖析基本知识题类型1对实数的有关概念的理解【例6】将下列各数的序号填在相应的集合里．3512，π，3.1415926，-0.456，3.030030003 0，- ， ， ，22 有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}；整数集合：{ …}. 【分析】：先化简，再根据实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【解】根据定义知：有理数有： 3512，3.1415926，-0.456，0，，；无理数有：π，3.030030003…，- ， ，22； 正实数有：3512，π，3.1415926，3.030030003…，，，，22； 整数有： 3512，0，.【解题策略】要熟练掌握实数的分类，注意根据分类的标准不同有些实数会属于不同的类型，如是有理数、正实数还是整数.另外还要注意不能从表面形式上去判断，要经过化简后再辨析判断，如3512，它们都是有理数，而22从“形式”上看像分数，但2不是整数，所以22不是分数，也不是有理数。

【例7】下列说法正确的有＿＿个。

1.无限小数都是无理数 2.无理数包括正无理数、负无理数和零。

3.带根号的数是无理数。

4.无理数是用根号形式表示的数。

5.无理数是开方开不尽的数。

6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。

7.无理数与有理数的乘积是无理数。

8.有些无理数是分数。

9.无理数比有理数少。

10.一个无理数的平方一定是有理数。

【分析】从定义、性质等角度认真分析。

【解】正确的一个也没有。

1.无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。

2.受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。

3.4是有理数2，-83是有理数－2，可见带根号的数不一定是无理数。

4.π是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个），亦为不带根号的无理数。

5.无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如π，0.232232223……，等无理数，都不是由开方得到的。

6.两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：()-+=220()()32321+-=22ππ=等都是有理数。

7.这种说法是错误的！ 由2222362⨯=⨯=，ππ等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了！如20000⨯=⨯=，π等足以推翻以上结论。

8.因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。

如22，但一定要注意它并不是分数。

9.这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。

10.这种说法错误，不要误认为只有23，等无理数，如2534，等也是无理数，显然()()253242，等不是有理数。

【解题策略】掌握定义与性质并能考虑特殊情况是解题的关键。

类型2在数轴上表示一个无理数【例8】在数轴上作出3对应的点.【分析】因为22－12＝（3）2，则1个单位长度、2个单位长度为一直角边和斜边构造出直角三角形即可。

【解】分别以1个单位长度、2个单位长度为一直角边和斜边画一个直角三角形（如图），以原点为圆心，直角三角形的另一直角边为半径画弧，与正半轴的交点就表示3（与负半轴的交点就表示－3）.【规律·方法】在数轴上表示无理数的点，是对数形结合思想的具体运用.类型3实数的大小比较【例9】P84例3【规律·方法】比较一个有理数与无理数的大小的方法是借助算术平方根，通过比较被开方数的大小得出结果．综合应用题类型4估计无理数的范围【例10】（）若将三个数11,7,3表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．【分析】首先利用估算的方法分别得到- ，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），然后实数与数轴的对应关系从而可判断出被覆盖的数．【解】∵-2＜- ＜-1，2＜＜3，3＜＜4，且墨迹覆盖的范围是1-3，∴能被墨迹覆盖的数是．解：754321-1-2【解题策略/规律·方法】此题的本质是无理数的估算，要估算一个无理数的范围采用逐步逼近的方法求解 类型5 运用实数的性质 【例11】（ ）P84例2 【分析】 【解】【解题策略/】【例12】P85例5 【分析】 【解】【解题策略】 【例13】P85例6 【分析】 【解】【解题策略】探索与创新类型6 巧用数轴【例14】如图，数轴上表示1、2的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C所表示的数是（ ）A.2－1B.1－2C.2－2D.2－2【分析】本题中要确定点C 所表示的数，由于点都在原点右边，所以只要能求出OC 的大小，而OC ＝OA －AC .【解】由图知，|OA |＝1，|OB |＝2，从而|AB |＝|OB |－|OA |＝2－1.又点B 、点C 关于点A 对称，所以|AC |＝|AB |＝2－1，这时|OC |＝|OA |－|AC |＝1－(2－1)＝2－2， 即点C 所表示的点为2－2.故应选C .【解题策略】解本题时会错误地认为点B 关于点A 的对称点为C ，就是点B 与点C 所表示的两个数是互为相反数.【例15】（）已知a ，b 在数轴上两点的位置如图所示.试化简()2a b a b --+．【分析】先运用算术平方根的性质化去根号，再根据绝对值的意义，要对绝对值符号内的数的正、负性进行讨论．【解】 由a ，b 在数轴上的位置可知，b<0<a ，且a b <． 所以a-b>0， a+b<0． 所以()2a b a b --+=a b a b --+=()()a b a b ⎡⎤---+⎣⎦=2.a b a b a -++=0 1 2 C A B O【解题策略】绝对值化简问题，关键是去掉绝对值符号．4.易错疑难辨析一、易错点忽视对无理数概念的理解【例1】下列各数：3.14， 0.001001001…，227,2π，其中无理数的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4【正解】选A.【错解】选C【易错辨析】把 3.14等同于π因而把 3.14判定无无理数,实际上 3.14是有限小数,是有理数；0.001001001…是无限循环的,属于有理数,受到形如0.1010010001…这种无限不循环小数的干扰,把0.001001001…判断为无理数；在计算器中计算227,得,227=3.XXXX5714……，好像是无限不循环而把227判断为无理数,没有发现这里是285714循环,还有忘了分数属于有理数；把2π看成是分数，因此把2π当成是有理数.二、疑难点如何在数轴上找出符合条件的无理数。